Vorlesung von Leichtbaustrukturen 7. Vorlesung Institut für Mechanik 28. Oktober 2014 (IFME) 28. Oktober 2014 1 / 1
7. Vorlesung Folie 1 - NM LB Theorie zweiter Ordnung Angenommener Geltungsbereich für kleine Verformungen: w max < 0.2h Für bestimmte Aufgabenklassen reicht diese Annahme nicht mehr aus und führt zu ungenauen Ergebnissen Erweiterung von der Theorie erster Ordnung auf Theorie zweiter Ordnung Gleichgewicht am verformten System Verformungen gelten weiterhin gegenüber den Abmessungen der Mittelfläche als klein : w max < 5h Theorie zweiter Ordnung bildet auch die Grundlage für Stabilitätsuntersuchungen an der Platte. Ermittlung der kritischen Last (IFME) 28. Oktober 2014 2 / 1
7. Vorlesung Folie 2 - NM LB Anmerkung Die durch die Verschiebung w der Platte hervorgerufene zusätzliche Dehnung und Verzerrung und die daraus resultierenden Spannungen (Membran- oder Scheibenspannungen) dürfen nicht mehr vernachlässigt werden. In die Gleichgewichtsbedingungen werden auch die Scheibenschnittgrößen. eingehen Keine Entkopplung von Scheiben- und Plattenzustand Linearisierungen in den Beziehungen für Dehnungen und Gleitungen sind trotz großer Verformungen von w max < 5h möglich. Alle übrigen Voraussetzungen und Annahmen gelten wie für die dünne Platte mit kleinen Verformungen. Die darauf aufgebaute Theorie zur dünner Platten mit großen Verformungen geht auf Theodore von Kármán zurück. (IFME) 28. Oktober 2014 3 / 1
7. Vorlesung Folie 3 - NM LB Gleichgewichtsbedingungen Von den sechs Gleichgewichtsbedingungen sind fünf identisch mit denen des Scheiben- und Platteproblems mit kleinen Verformungen : Vernachlässigung von Größen, die klein von höherer Ordnung sind Neigungen werden trotz großer Verschiebungen w als klein angenommen Änderung des Kraftgleichgewichtes in z-richtung (IFME) 28. Oktober 2014 4/1
7. Vorlesung Folie 4 - NM LB Gleichgewichtsbedingungen z : p n(x, y)dxdy + q x dy + q x,x dxdy q x dy + q y dx + q y,y dxdy q y dx + n x w,x dy + n x,x w,x dxdy + n x w,xx dxdy n x w,x dy +n y w,y dx + n y,y w,y dxdy + n y w,yy dxdy n y w,y dy +n xy w,y dy + n xy,x w,y dxdy + n xy w,yx dxdy n xy w,y dy +n yx w,x dx + n yx,y w,x dxdy + n yx w,xy dxdy n yx w,x dy = 0 bzw. z : p n(x, y) + q x,x + q y,y + (n x,x + n yx,y )w,x +(n y,y + n xy,x )w,y + n x w,xx + n y w,yy +n xy w,yx + n yx w,xy = 0 mit n x,x + n yx,y = 0 ; n y,y + n xy,x = 0 ; n xy n yx = 0 (IFME) 28. Oktober 2014 5 / 1
7. Vorlesung Folie 5 - NM LB Gleichgewichtsbedingungen Das Kräftegleichgewicht in z-richtung wird dann: z : p n (x, y) + q x,x + q y,y + n x w,xx + n y w,yy + 2n xy w,xy = 0 Damit müssen für eine Platte mit großen Verformungen folgende Gleichgewichtsbedingungen erfüllt werden: Scheibe Platte n x,x + n yx,y = 0 n y,y + n xy,x = 0 n xy n yx = 0 p n (x, y) + q x,x + q y,y + n x w,xx + +n y w,yy + 2n xy w,xy = 0 m x,x + m yx,y q x = 0 m y,y + m xy,x q y = 0 (IFME) 28. Oktober 2014 6 / 1
7. Vorlesung Folie 6 - NM LB Verzerrungs-Verformungsbeziehungen Bei der Ermittlung der Verzerrungs-Verformungs-Beziehungen der Platte mit großen Verformungen müssen zusätzlich zu den Verzerrungsgrößen der Platte mit kleinen Verformungen die Verzerrungsgrößen der Plattenmittelfläche infolge der Verformungen v x in x-richtung und v y in y-richtung durch die Scheibenschnittgrößen und Verzerrungen der Mittelfläche infolge der Verschiebung w berücksichtigt werden. Die Verzerrungen können somit allgemein wie folgt aufgeschrieben werden: ɛ x = ɛ y = γ xy = zw,xx zw,yy 2zw,xy + v x,x + v y,y + v x,y + v y,x + ɛ xm + ɛ ym + γ xym Verzerrungen durch Plattenbiegung Verzerrungen durch Scheibenschnittgrößen Verzerrungen der Mittelfläche durch Verschiebung w (IFME) 28. Oktober 2014 7 / 1
7. Vorlesung Folie 7 - NM LB Verzerrungs-Verformungsbeziehungen Von den Verzerrungen sind die Anteile durch die Verschiebung w der Schalenmittelfläche unbekannt. Diese Zusammenhänge lassen sich an einem verformten differentiellen Element der Mittelfläche ableiten. Man kann folgende Beziehungen ableiten: ɛ xm = 1 2 (w,x) 2 ; ɛ ym = 1 2 (w,y ) 2 ; γ xym = w,x w,y Daraus folgt: ɛ x = ɛ y = γ xy = zw,xx + v x,x zw,yy + v y,y 2zw,xy + v x,y + v y,x + 1 2 w 2,x + 1 2 w 2,y Verzerrungen durch Plattenbiegung Verzerrungen durch Scheibenschnittgrößen + w,x w,y Verzerrungen der Mittelfläche durch Verschiebung w (IFME) 28. Oktober 2014 8 / 1
7. Vorlesung Folie 8 - NM LB Materialgleichungen Die Stoffgesetze der Platte mit kleinen Verformungen gelten auch bei großen Verformungen: ɛ x = 1 E (σ x νσ y ) + αt ; ɛ y = 1 E (σ y νσ x ) + αt ; γ xy = γ yx = τxy G ; oder σ x = E 1 ν (ɛ 2 x + νɛ y ); σ y = E 1 ν (ɛ 2 y + νɛ x ); τ xy = Gγ xy Einsetzen der Verformungsbeziehungen in die Materialgleichung : Ez E σ x = 1 ν (w 2,xx +νw,yy )+ 2(1 ν 2 ) (2v x,x +2νv y,y +w,x 2 +νw,y 2 ) Ez E σ y = 1 ν (w 2,yy +νw,xx )+ 2(1 ν 2 ) (2v y,y +2νv x,x +w,y 2 +νw,x) 2 τ xy = τ yx = Ez 1+ν w,xy + E 2(1+ν) (v y,y + v x,x + w,y w,x ) Das erste Glied (der Biegespannungszustand) ist identisch mit der Platte mit kleinen Verformungen. Der zweite Anteil (Scheiben- oder Membranspannungszustand) beschreibt die Spannungsänderung infolge der berücksichtigten großer Verformungen. (IFME) 28. Oktober 2014 9 / 1
7. Vorlesung Folie 9 - NM LB Schnittgrößen Nach dem Einsetzen der Spannungen in die Gleichungen für die Momente ergeben sich die gleichen Zusammenhänge wie bei kleinen Verformungen: m x = K(w,xx + νw,yy ); m y = K(w,yy + νw,xx ); m xy = (1 ν)kw,xy Nach dem Einsetzen der Spannungen in die Gleichungen für die Schnittkräfte erhält man folgende Zusammenhänge : n x = n y = Eh 2(1 ν 2 ) (2v x,x + 2νv y,y + w 2,x + νw 2,y ) Eh 2(1 ν 2 ) (2v y,y + 2νv x,x + w 2,y + νw 2,x) n xy = Eh 2(1+ν) (v x,x + v y,y + w,x w,y ) Somit lassen sich die Spannungen in folgender Form aufschreiben: σ x = 12 h 3 zm x + nx h ; σ y = 12 h 3 zm y + ny h ; τ xy = 12 h 3 zm xy + nxy h ; (IFME) 28. Oktober 2014 10 / 1
7. Vorlesung Folie 10 - NM LB Anmerkung Die Spannungen in einer Platte mit großen Verformungen sind somit die Überlagerung eines Biegespannungszustandes (1. Glied in Gleichung) mit einem Membranspannungszustand (2. Glied in Gleichung). Allerdings können die entsprechenden Schnittgrößen nicht getrennt voneinander berechnet werden, da beide Spannungszustände gekoppelt sind (vgl. Gleichgewichtsbedingungen). Differentialgleichung Für die Rechteckplatte ergibt sich folgende Differentialgleichung zur Bestimmung der Verschiebung w(x, y): KΔΔw(x, y) = p n (x, y) + n x w,xx + n y w,yy + 2n xy w,xy In der Differentialgleichung sind noch die unbekannten Scheibenschnittgrößen n x, n y, n xy enthalten. (IFME) 28. Oktober 2014 11 / 1
7. Vorlesung Folie 11 - NM LB Differentialgleichung Für ihre führt man zweckmäßig eine sogenannte Spannungsfunktion F (x, y) ein, die mit den Schnittgrößen des Scheibenspannungszustandes verknüpft ist: n x = hf,yy ; n y = hf,xx ; n xy = n yx = hf,xy Mit der Einführung der Spannungsfunktion F (x, y) sind die beiden Scheibengleichgewichtsbedingungen erfüllt. n x,x + n yx,y = 0; n y,y + n xy,x = 0 Die noch unbekannte Spannungsfunktion F (x, y) wird aus der folgenden Differentialgleichung bestimmt: ΔΔF (x, y) = E(w 2,xy w,xx w,yy ) Die gekoppelten Gleichungen sind die nichtlinearen Differentialgleichungen für die Plattenverschiebung w(x, y) bei großen Verformungen in kartesischen Koordinaten. (IFME) 28. Oktober 2014 12 / 1
7. Vorlesung Folie 12 - NM LB Differentialgleichungen Diese gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen werden auch als Kármánsche Differentialgleichungen bezeichnet. Kartesische Koordinaten : KΔΔw(x, y) = p n (x, y) + h(f,yy w,xx + F,xx w,yy 2F,xy w,xy ) ΔΔF (x, y) = E(w,xy 2 w,xx w,yy ) Zylinder-Koordinaten : KΔΔw(r) = p n (r) + h r (w,r F,r ),r ΔΔF (r) = E 2r (w 2,r ) r Anmerkung Die gekoppelten Differentialgleichungen sind nichtlinear infolge des Gliedes w 2,xy (w 2,r ) der rechten Seite der Differentialgleichung für F (x, y) (IFME) 28. Oktober 2014 13 / 1
7. Vorlesung Folie 13 - NM LB Anmerkung Eine allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen kann nicht angegeben werden. Meist werden nur Näherungslösungen (z. B. nach Ritz oder Galerkin) möglich sein. Als Randbedingungen lassen sich an jedem Rand vier Bedingungen formulieren: zwei Randbedingungen für das Scheibenproblem zwei Randbedingungen für das Plattenproblem Beim Plattenproblem wird wieder aus der Querkraft und dem Drillmoment eine Ersatzquerkraft gebildet Aus den Kármánschen Differentialgleichungen lassen sich einige Sonderfälle bei bestimmten Voraussetzungen ableiten. Die entstehenden Differentialgleichungen sind unter Umständen dann einfacher zu lösen. (IFME) 28. Oktober 2014 14 / 1
7. Vorlesung Folie 14 - NM LB Sonderfälle Kirchhoffsche Platte: Voraussetzung : Es sind nur Belastungen senkrecht zur Plattenmittelfläche und Biegemomente bei kleinen Verformungen vorhanden. n x = n y = n xy = 0 somit F (x, y) = 0 KΔΔw(x, y) = p n (x, y) Platte mit Belastungen in der Mittelfläche bei kleinen Verformungen: Voraussetzung : Es sind Belastungen senkrecht zur Plattenmittelfläche, Biegemomente und Belastungen in der Plattenmittelfläche bei kleinen Verformungen vorhanden. Spannungsfunktion F (x, y) ist unabhängig von w(x, y) ΔΔF (x, y) = 0 KΔΔw(x, y) = p n (x, y) + h(f,yy w,xx + F,xx w,yy 2F,xy w,xy ) (IFME) 28. Oktober 2014 15 / 1
7. Vorlesung Folie 14 - NM LB Sonderfälle Die absolut biegsame Platte (Membran): Voraussetzung : Plattensteifigkeit so klein, dass K = 0 gesetzt werden kann. Linke Seite der Plattendifferentialgleichung ist gleich 0 ΔΔF (x, y) = E(w 2,xy w,xx w,yy ) F,yy w,xx + F,xx w,yy 2F,xy w,xy = p n(x, y) h (IFME) 28. Oktober 2014 16 / 1
7. Vorlesung Folie 16 - NM LB Näherungslösungen Näherungsverfahren nach Ritz Das Ritzsche Verfahren ist bei entsprechender Erweiterung der Arbeitsanteile prinzipiell wie für die Platte mit kleinen Verformungen anwendbar Ergänzung der Formänderungsarbeit W um die Arbeit der Scheibenschnittgrößen n x, n y und n xy Ergänzung der Endwertarbeit W a um die Arbeit der in die Plattenmittelfläche fallenden Belastungsgrößen Die Ansatzfunktionen f i (x, y) müssen nur die geometrischen Plattenrandbedingungen erfüllen. Die geometrischen Scheibenrandbedingungen lassen sich durch entsprechende Bestimmung der bei der Lösung der Scheibendifferentialgleichung für F (x, y) anfallenden Integrationskonstanten erfüllen. (IFME) 28. Oktober 2014 17 / 1
7. Vorlesung Folie 17 - NM LB Näherungslösungen Näherungsverfahren nach Galerkin Das Näherungsverfahren von Galerkin kann bei entsprechender Anpassung der Lösung auch für Platten mit großen Verformungen angewandt werden Ausgangspunkt ist ein Näherungsansatz für die Verschiebung w(x, y), bei dem die Ansatzfunktionen f i (x, y) jetzt alle Plattenrandbedingungen (geometrische und dynamische) erfüllen müssen. Die geometrischen Scheibenrandbedingungen lassen sich durch entsprechende Bestimmung der bei der Lösung der Scheibendifferentialgleichung für F (x, y) anfallenden Integrationskonstanten erfüllen. Lösungsstrategie: Einsetzen des Näherungsansatzes w(x, y) = n a i f i in die i=1 Differentialgleichung ΔΔ F = E( w 2,xy w,xx w,yy ) (IFME) 28. Oktober 2014 18 / 1
7. Vorlesung Folie 17 - NM LB Näherungslösungen Näherungsverfahren nach Galerkin Ermittelung einer Näherungslösung für die Spannungsfunktion F (x, y) durch Integration der Differentialgleichung. Bestimmung der Konstanten aus den Scheibenrandbedingungen. Man erhält eine Näherung für die Spannungsfunktion F (x, y) in der nur die Koeffizienten a i unbekannt sind Die a i lassen sich berechnen, indem die Näherung für die Spannungsfunktion F (x, y) in die geltende Galerkinschen Gleichungen {(KΔΔ w h( F,yy w, xx 2 F,xy w, xy + F,xx w, yy) p n }f i da = 0 A mit i = 1, 2,..., n eingesetzt werden. Mit den Galerkinschen Gleichungen liegen n Gleichungen für die n unbekannten Koeffizienten a i vor. Die Gleichungen werden 3. Grades bezüglich der zu bestimmenden Koeffizienten a i. (IFME) 28. Oktober 2014 19 / 1
7. Vorlesung Folie 19 - NM LB Beispiel Ermittlung einer Näherungslösung nach Galerkin für eine eingespannte Kreisplatte mit konstanten Flächenlast p 0 Gegeben: p 0 = 0.05 N/mm 2 ; R = 300 mm; E = 2.010 5 N/mm 2 ; ν = 0.3; h = 4 mm Gesucht : w(x, y) Kármánsche Differentialgleichungen in Zylinder-Koordinaten : KΔΔw(r) = p n (r) + h r (w,r F,r ),r ΔΔF (r) = E 2r (w 2,r ) r oder ( K ( K 1 r 1 r d dr d dr { r d dr { r d dr [ [ 1 r 1 r d dr d dr ( ( r r dw(r) dr df (r) dr )]}) = p n (r) + h r (w,r F,r ),r )]}) = E 2r (w,r 2 ) r (IFME) 28. Oktober 2014 20 / 1
7. Vorlesung Folie 20 - NM LB Beispiel Näherungsansatz: Lösung eingespannte Kreisplatte mit kleinen Verformungen w(r) = p 0R 4 64K ( ) 2 r 2 R 1 2 w(r) = a 1 ( r 2 R 2 1 Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung für die Spannungsfunktion und Integration : [ ] F,r (r) = 2Ea2 1 r 3 R 2R r 5 3 3R + r 7 r 5 12R + C 7 2 2 Hinweis: Die Konstanten C 1 = C 3 = 0, da die Verformung und Spannung für r = 0 endlich sein muss ) 2 Mit der Lösung für die Ableitung der Spannungsfunktion F,r ergeben sich die Spannungen σ r und σ φ zu: σ r = 1 r F,r ; σ φ = F,rr (IFME) 28. Oktober 2014 21 / 1
7. Vorlesung Folie 21 - NM LB Beispiel Zur Bestimmung der Konstanten C 2 gilt die Scheibenrandbedingung: Mit u(r = R) = 0 u(r) = rɛ φ = r E (σ φ νσ r ) = r E (F,rr ν E F,r ) F,r (r) = 2Ea2 1 R [ r 3 2R 3 r 5 3R 5 + r 7 12R 7 ] + C 2 r 2 F,rr (r) = 2Ea2 1 R [ 3r 2 2R 5r 4 3 3R + 7r 6 5 12R ] + C2 7 2 Damit ergibt sich die Scheibenverschiebung u(r) zu: u(r) = a 2 1 ( 1 6R (3ν 5) + C2R2 (1 ν) 2E ) Aus der Randbedingung u(r = R) = 0 erhält man für die Konstante C 2 : C 2 = a2 1 E (1 ν)r ( 1 2 3 (3ν 5)) (IFME) 28. Oktober 2014 22 / 1
7. Vorlesung Folie 22 - NM LB Beispiel Einsetzen der Spannungsfunktion F (r) in die Plattendifferentialgleichung: K( 1 r d dr {r d dr [ 1 r d dw(r) dr (r dr )]}) = p n (r) + h r (w,r F,r ),r Nach Multiplikation der Gleichung mit r, nachfolgender Differentiation und Division der entstandenen Gleichung durch r entsteht: K( d dr [ 1 d d w(r) r dr (r dr )]) = 1 2 p n(r)r + h r ( w,r F,r ) + C4 r Auf Grund endlicher Verschiebungen w für r = 0 muss gelten: C 4 = 0 Bilden von d dr [ 1 d d w(r) r dr (r dr )]: d dr [ 1 r d dr d w(r) (r dr )] = 32a1r R 4 Lösen der Galerkinschen Gleichung (A) L 1 ( w, F )f i,r da = 0: L 1 ( w, F ) = 32a1r R 4 1 2 p n(r)r h r ( w,r F,r ) + C4 r (IFME) 28. Oktober 2014 23 / 1
7. Vorlesung Folie 23 - NM LB Beispiel Lösung der Galerkinschen Gleichung zur Bestimmung von a 1 : 2 21 23 9ν 1 ν ( a1 h )3 + 16 3(1 ν 2 ) ( a1 h ) = pn(r) E ( R h )4 Mit den Zahlenwerten erhält man als reelle Lösung für a 1 : a 1 = 3.792315139 mm (IFME) 28. Oktober 2014 24 / 1