Konstante Zu- und Abflüsse (Veränderungen)

Konstante Zu- und Abflüsse (Veränderungen) Unser erstes Modell: Ein (großer) Eimer wird unter einen Wasserhahn gestellt. Der Wasserhahn wird geöffnet und ein konstanter Wasserstrom von 2 Litern pro Minute fließt in den Eimer, d.h. der Inhalt nimmt linear zu. Die Mathematik dazu: Der Zuwachs im Eimer de ist das Produkt aus dem Zuflussmenge pro Zeit (Wasserhahnstellung) w mit der Zeitspanne dt: de = w dt Nach einer Zeit t (von t1 bis t2) befindet sich im Eimer die Gesamtmenge (einfacher als E = w t bekannt). Erste Verbesserung: Der Eimer hat nur 20 Liter Fassungsvermögen! Wenn mehr Wasser in den Eimer gelangt, fließt es durch den Überlauf wieder ab. Für den Überlauf wird also die Bedingung wenn (Eimer > 20;Wasserzufluss;0) eingetragen. Die Syntax der "wenn"-funktion ist wie in Excel: "wenn (<Bedingung>;<dann>;<sonst>)". Die Ausgabe des Zeitdiagramms sieht dann so aus Zweite Verbesserung: Wasser kostet Geld! Machen wir unseren Wasserhahn intelligent, indem wir nur dann Wasser zulaufen lassen, wenn der Inhalt<20 ist! "wenn (Eimer<20;Wasserhahn;0)"

Die Ausgabe sollte nun anders aussehen! Damit haben wir unser erstes dynamisches System "mit Regelung" erzeugt. Proportionale Veränderungen Veränderliche Ströme Bislang waren Zufluss/Abfluss zeitlich konstant. Wie verhält sich aber z.b. der Abfluss aus einem Loch im Boden eines Eimers? Sehen wir uns die Ausgabe an! - eimer1.dyn Das Ergebnis ist offensichtlich falsch. Die Menge pro Zeiteinheit hängt ab von der Wasserhöhe, bei Eimern mit senkrechter Wand also einfach von der Füllmenge. Genauer gesagt: Die Änderungsrate der Wassermenge zu einem Zeitpunkt t ist proportional zur Menge zum Zeitpunkt t! Mit einer Konstanten "Lochgroesse" und der Füllmenge als Wirkungsgröße ergibt sich dann der Abfluss aus dem Produkt der beiden Größen. Weitere Einflüsse könnte man durch einen zusätzlichen konstanten Faktor erfassen. Die Formel für Abfluss heißt hier: "Eimer 0.1", also Füllhöhe Faktor, d.h. in diesem Beispiel fließt jeweils 10% des Eimerinhalts pro Zeiteinheit ab!

Etwas Mathematik dazu: Die Gleichungen aus Dynasys lauten: Eimer.neu <-- Eimer.alt + dt*(- Abfluss) Startwert Eimer = 1000 Abfluss = Eimer 0*1 Der zeitliche Abfluss aus dem Eimer de ist das Produkt aus der Restmenge im Eimer mit einem Faktor a, in dem die Lochgröße usw. enthalten ist. Die Abnahme im Eimer ist also proportional zur noch vorhandenen Menge: de = E a dt oder de/dt = a E oder E'(t) = a E(t) Eine solche Gleichung, bei der eine Größe (E) und ihre Ableitung(en) vorkommen, nennt man Differentialgleichung. Obige Differentialgleichung läßt sich mit den Mathematikkenntnissen aus Jahrgang 13 leicht lösen, wenn man für E die Funktion E(t) = E o e -k t einsetzt. Vorgänge, bei denen eine Zu- oder Abnahme proportional zur momentan vorhandenen Menge ist, werden durch Exponentialfunktionen f(t) = A e kt beschrieben! A beschreibt den Anfangswert zum Zeitpunkt t=0. Ist k positiv, handelt es sich um eine Zunahme (Wachstum), ist k negativ, handelt es sich um eine Abnahme. Welchen Wert haben E o und k? In den Naturwissenschaften spielt die Zeit, in der eine Menge genau auf die Hälfte abnimmt, eine besondere Rolle. Diese "Halbwertzeit" lässt sich leicht berechnen und an obigem Beispiel nachprüfen: Wenn gilt E(t) = E o e -k t, außerdem E(t) = 1/2 E o sein soll und k=0,1 ist, dann folgt 1/2 E o =E o e -0.1 t Kürzen mit E o und Logarithmieren bringt: ln(1/2) = -0.1 t, nach t aufgelöst ergibt somit t H = 6,93s, was in obigem Schaubild (oder noch besser in der Tabelle von Dynasys) zu sehen ist: In jeweils 6,93s (von einem beliebigen Zeitpunkt an!) hat sich die Menge halbiert. Überlagerung von konstanten und proportionalen Veränderungen Eimer füllen einmal anders:

Haben Sie schon mal versucht, einen Eimer zu füllen, der ein Loch hat? Wie "voll" der Eimer wird, hängt nur davon ab, in welchem Verhältnis der (konstante) Zufluß zum Abfluß steht. Letzterer hängt aber wieder von der Füllhöhe ab. Das Ergebnis: Es ist leicht einzusehen, dass eine "stabile" Wassermenge dann erreicht ist, wenn der Zufluss gleich dem Abfluss ist. Hier ist Abfluss=2, wenn der Eimer 20 l enthält. Etwas Mathematik dazu: Eimer.neu <-- Eimer.alt + dt*(zufluss- Abfluss) Startwert Eimer = 0 Abfluss = Eimer*0.1 Zufluss = Wasserhahn Die Zunahme im Eimer ist w dt, die Abnahme im Eimer ist wieder proportional zur noch vorhandenen Menge, also E a dt Insgesamt ist also die Veränderung im Eimer de = w dt - E a dt = (w - E a) dt Für eine solche Gleichung läßt sich der Ansatz E(t) = E e (1 - e -k t ) finden. (E e ist der Endwert/Grenzwert.) Konstanten Wasserhahn = 2 Verkettung von proportionalen Veränderungen Bis hier war also alles noch recht einfach und außerdem mathematisch leicht lösbar. Nehmen wir deshalb einmal zwei Eimer, die beide ein Loch haben. Der erste Eimer ist zu Beginn gefüllt und läuft in den zweiten Eimer aus, der zu Beginn leer ist! Der Zufluss im zweiten Eimer ist nun weder konstant

noch von seinem Inhalt abhängig, sondern gleich dem Abfluss des ersten Eimers, während sein Abfluss proportional zu seinem Inhalt ist. Eimer2.neu <-- Eimer2.alt + dt*(abfluss1-abfluss2) Startwert Eimer2 = 0 Eimer1.neu <-- Eimer1.alt + dt*(-abfluss1) Startwert Eimer1 = 20 Abfluss2 = Eimer2*0.1 Abfluss1 = 0.2*Eimer1...und so sieht das Ergebnis aus: Die Funktion für Eimer 1 hat natürlich die bekannte Form und ist leicht zu berechnen. Der Zufluss für Eimer 2 ist aber nun nicht mehr linear, sondern eine e-funktion. Die Differentialgleichung für Eimer 2 wäre nun de2 = E1(t) a1 dt - E2(t) a2 dt = (E1(t) a1 - E2(t) a2) dt oder E2'(t) = E1(t) a1 - E2(t) a2 Man kann ahnen, dass nun eine mathematische Lösung schon etwas schwieriger wäre. Im Rahmen der Überlegungen zu Modellen wollen wir uns deshalb im Folgenden darauf beschränken, Differentialgleichungen aufzuschreiben und sie in das jeweilige Modell einzubauen. Die Lösungen soll uns dann das Programm als Graphiken zeigen.