-Transformation
Warum -Transformation? Die -Transformation führt Polynome und rationale Funktionen in die Analyse der linearen eitdiskreten Systeme ein. Die Faltung geht über in die Multiplikation von Polynomen. Algebraischen Operationen wie Division, Multiplikation und Faktorisierung entsprechen dem Zerlegen bw. Zusammenseten von LTI Systemen. Im allgemeinen sind die -Transformationen rationale Funktionen, d.h. sie bestehen aus einem Zähler- und einem Nennerpolynom. Die Wureln dieser Polynome sind wichtig, da die meisten Eigenschaften digitaler Filter von der Lage dieser Wureln abhängen. -Transformation 2
n, ˆ, Bereich n Zeitbereich (Time domain) Impulsantwort, Differenengleichungen, "wirklicher" Signalbereich ˆ Frequenbereich (Frequency domain) Frequenantworten, Spektraldarstellungen Analyse von Tönen Domain Operatoren, Pole und Nullstellen mathematische Analyse und Synthese -Transformation 3
Eingangssignale Impuls Komplexe Exponentialfunktion x[n] = n -Transformation 4
-Transformation und FIR-Filter M yn [ ] bxn [ k] k k als Filtergleichung oder mit der Faltungssumme yn [ ] xn [ ] hn [ ] hn [ ] b[ nk] Wir verwenden das Signal k n xn [ ] { für alle n}, beliebige (komplexe) Zahl als Eingangssignal M M M M M k yn [ ] bxn k [ k] b k b k b k k k k M M k b k k k H( ) hk [ ] k k n k n k n... Systemfunktion Zur Erinnerung: -Transformation 5 k j ˆ e
Die Systemfunktion H( ) ist die Transformation der Impulsantwort: M hn [ ] b[ nk] H( ) b k k k M k k Für das Eingangssignal n yn [ ] hn [ ] H( ) folgt wobei H( ) die Transformierte von hn [ ] ist. n n -Transformation 6
hn [ ] H( ) b 1, 2,1 H( ) b b b 12 1 k =1+ 1 2 1 2 1 2 2 2 1 21 2 2 Die Systemfunktion ist eine gebrochen rationale Funktion mit dem Zählerpolynom 2 21 und dem Nennerpolynom 2 -Transformation 7
Aus der Impulsantwort hn [ ] b[ n] b[ n1] b[ n2] 1 2 wird durch -Transformation die Systemfunktion 2 1 2 1 2 1 2 2 H( ) b b b b bb -Transformation 8
k Darstellung von Signalen Ein Signal endlicher Länge kann dargestellt werden N xn [ ] xk [ ] [ nk] die Transformation dieses Signales ist definiert N X() M M xk [] k k k H( ) b k hk [ ] k k k ist eine beliebige komplexe Zahl, d.h. ist die unabhängige ( komplexe) Variable der -Transformation. Man kann auch schreiben N 1 k ( ) [ ]( ) X xk k was nicht anderes bedeutet, dass X( ) ein Polynom der 1 Ordnung N der Variablen ist!... Systemfunktion -Transformation 9
Transformieren Den Übergang von n nennt man die -Transformation von x[n]. Um X [] u erhalten ist es lediglich erforderlich ein Polynom in -1, dessen Koeffiienten die Werte der Folge x[n] sind, u bilden..b.: n n < -1-1 1 2 3 4 5 n > 5 x[n] 2 4 6 4 2 1 2 3 4 X( ) 24 6 4 2 -Transformation 1
ndomain Domain N x[ n] xk [ ] [ nk] X ( ) xk [ ] k k N k x[ n] X ( ) Beispiel: xn [ ] [ nn] X[ ] n o jω = e DFT N j k jωk ω = re x[ k] r e k= DFT von xkr [ ] k -Transformation 11
Die Systemfunktion H( ) ist eine Funktion der komplexen Variablen. Die Transformation eines FIR-Filters ist ein Polynom M ten Grades und hat daher M Nullstellen, die das Polynom (bis auf eine multiplikative Konstante) vollständig definieren (Fundamentalsat der Algebra). Beispiel: yn [ ] 6 xn [ ] 5 xn [ 1] xn [ 2] H( ) 65 (3 )(2 ) 6 Nullstellen bei 1 1 1 2 1 1 3 2 2 und 1 1 3 2 -Transformation 12
Eigenschaften der -Transformation Linearität ax [ n] bx [ n] ax ( ) bx ( ) 1 2 1 2 Time-delay 1 im von 1 im Bereich entspricht einer Zeitverögerung nbereich (Zeitbereich) n n < 1 2 3 4 5 n > 5 x[n] 3 1 4 1 5 9 X( ) 3 4 5 9 1 ( ) ( ) Y X 1 2 3 4 5 = ( ) 3 4 5 9 1 2 3 4 5 6 -Transformation 13
-Transformation als Operator Unit-Delay Operator D yn [ ] D{ xn [ ]} xn [ 1] n xn [ ] für alle n yn D xn D xn n n1 1 n 1 [ ] { [ ]} { } [ ] xn xn 1 Der Ausdruck [ ] gilt nur für [ ] Es ist allerdings üblich, die Größe 1 [ ] { [ ]} [ 1] -Transformation 14 1 n! alternativ um Unit-Delay Operatorsymbol D u verwenden! yn xn xn
x[n] Unit Delay x[n-1] X() -1-1 X() xn [ ] xn [ 1] xn [ 2] xn [ 3] -1-1 -1 b b1 2 b b 3 + + + yn [ ] -Transformation 15
Faltung und -Transformation ndomain Domain yn [ ] hn [ ] xn [ ] Y( ) H( ) X( ) Kaskadieren von Systemen LTI 1 LTI 2 xn [ ] xn [ ] h1[ n] 1 2 h1[ n] h [ n] 2 ( xn [ ] h[ n]) h[ n] hn [ ] h[ n] h[ n] H( ) H( ) H ( ) 1 2 1 2 -Transformation 16
Beispiel: H( ) 12 2 1 2 3 Eine Wurel dieses Polynoms liegt bei 1, damit ergibt sich H H H 1 1 ( ) 2( )(1 ) 1( ) ( 1 ) 1 2 3 H( ) 12 2 H 1 2 1 H1( ) 1 1 1 2 H( ) 1 1 Partitionierung 1 2 H ( ) 1 1 2 2 H ( ) (1 1 ) 1 -Transformation 17
-Bereich ωˆ -Bereich M M k ˆ k ω) k = k = H( ) = b H( = b k e j ˆ ωk = e j ˆ ω... Einheitskreis in der komplexen Ebene -Transformation 18
.B.: Pole und Nullstellen H( ) 12 2 1 2 3 j j 1 3 1 3 1 (1 )(1 e )(1 e ) 3 2 j j e e 3 3 2 2 1 ( 1)( )( ) 3 3 ο xxx ο ο dreifach im Nullpunkt -Transformation 19
Was bedeutet eine Nullstelle? yn [] xn [] 2[ xn1] 2[ xn2] xn [ 3] xn [ ] e j n 3 j j j j n n1 n2 n3 3 3 3 3 yn [ ] e 2e 2e e j n j j2 3 j e (12e 2 e e ) j n 3 e 1 1 j 3 1 j 3 1 Die komplexen Eingangsgrößen n n j n 1 2 3 n n 3 3 ( ) 1, ( ) e, ( ) e werden unterdrückt! j -Transformation 2
Nulling Filter (Sperrfilter) Nullstellen in der Ebene "entfernen" Signale der Form xn [ ]. n Um ein Kosinussignal cos( ˆ n) e e 1 jˆn 1 jˆn 2 2 u entfernen müssen wei Eingangsgrößen entfernt werden! Die Nullstellen liegen konjugiert komplex! -Transformation 21
PN-Video -Transformation 22
L1 L1 j2k k L 1 ( ) (1 ) H e k 9 k1 1-point running average L 1 1 1 1 1 k H( ) -Transformation 1 9 23 k 1 ( 1)
3 2 1 2 3 + 3 H( ) = 1 2 + 2 = 2 2 1 Imaginary Part 1.8.6.4.2 -.2 -.4 3 B = [1 2 2-1] A = [1] plane(b,a) -.6 -.8-1 6 5 Magnitude Response -1 -.5.5 1 Real Part 4 Magnitude 3 3 2 jπ /3 jπ /3 2 + 2 1 = ( 1)( e )( e ) = = 1, ± e jπ /3 -Transformation 24 2 1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 Normalied Frequency ( π rad/sample)
lin log Magnitude Response Magnitude Response (db) 6 15 5 1 4 5 Magnitude 3 Magnitude (db) -5 2-1 1-15.1.2.3.4.5.6.7.8.9 Normalied Frequency ( π rad/sample) -2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 Normalied Frequency ( π rad/sample) -Transformation 25
Inverse Filterung (1) Ausgangssignal bekannt Kanal Kanal bekannt Eingangssignal gesucht yn [ ] = hn [ ] xn [ ] xn [ ] =? Inverse Faltung Deconvolution -Transformation 26
Inverse Filterung (2) Lösung im Zeitbereich schwer/nicht möglich Lösung im -Bereich Y( ) = H ( ) H 1 2( ) X( ) = H( ) X( ) Kanal Korrektur H( H ) ( ) = 1 H( ) = 1 2 2 1 H ( ) 1 -Transformation 27
Inverse Filterung (3) H 1 2 1( ) = (1 +.5 ) 1 1 H 2() = = 1 2 H 1( ) (1 +.5 ) Imaginary Part 1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1 -1 -.5.5 1 Real Part 2 Nullstellen in Nenner (außerhalb von Null) Polstellen -Transformation 28
Pole/Zero Plot 1 Imaginary Part.8.6.4.2 -.2 -.4 H( ) = 1 1.9 1 -.6 -.8-1 -1 -.5.5 1 Real Part PN-Diagramm 16 14 12 1 H() 8 6 4 Impulsantwort 2 1 Impulse Response -1 Amplitude.9.8.7.6.5.4.3.2.1 -.5 1.5.5 1 -.5-1 Re Im -Transformation 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Samples
H( ) = 1 1.9 1 π 1.8.6.4 Imaginary Part.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1 -Transformation 3-1 -.5.5 1 Real Part