Numerische Verfahren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung

Verfahren zur Lösung der Monge-Ampère-Gleichung Yasemin Hafizogullari Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Seminar zu aktuellen Themen der Numerik im Wintersemester 2010/2011 1 / 32

Motivation Transportproblem: Transportiere einen Masse-Haufen (Remblai) mit geringsten Kosten in ein Behältnis (Deblai) von gleichem Volumen. Dieses Problem steht im Zusammenhang der Monge-Ampère-Gleichung (). Remblai? Déblai Abbildung 1: Transportproblem 2 / 32

Gliederung 1 für die () 2 Neues Finite-Differenzen-Verfahren 3 4 3 / 32

Partielle Differentialgleichungen Sei Ω R n ein Gebiet und F[u] = F (x, u(x), Du(x), D 2 u(x)) = 0 mit x Ω eine partielle Differentialgleichung (PDE) zweiter Ordnung, wobei 4 / 32

4 / 32 Partielle Differentialgleichungen Sei Ω R n ein Gebiet und F[u] = F (x, u(x), Du(x), D 2 u(x)) = 0 mit x Ω eine partielle Differentialgleichung (PDE) zweiter Ordnung, wobei u : Ω R, mit }{{} Du = Gradient u x1. u xn, D 2 }{{} u = [D ij ] 1 i,j n = Hessematrix u x1 x 1... u x1 x n.. u xn,x 1... u xnx n,

4 / 32 Partielle Differentialgleichungen Sei Ω R n ein Gebiet und F[u] = F (x, u(x), Du(x), D 2 u(x)) = 0 mit x Ω eine partielle Differentialgleichung (PDE) zweiter Ordnung, wobei u : Ω R, mit }{{} Du = Gradient u x1. u xn, D 2 }{{} u = [D ij ] 1 i,j n = Hessematrix F (x, u(x), Du(x), D 2 u(x)) eine reelle Funktion auf Γ = Ω R R n R n n und R n n der Raum der symmetrischen n n Matrizen sei. u x1 x 1... u x1 x n.. u xn,x 1... u xnx n,

Monge-Ampère-Gleichung () Sei Ω R n ein Gebiet und f : Ω R R n R, (x 1,..., x n, u, u x1,...u xn ) f (x 1,..., x n, u, u x1,...u xn ) eine gegebene Funktion. Die stark nichtlineare Gleichung det D 2 u = f heißt Monge-Ampère-Gleichung (). 5 / 32

Monge-Ampère-Gleichung () Sei Ω R n ein Gebiet und f : Ω R R n R, (x 1,..., x n, u, u x1,...u xn ) f (x 1,..., x n, u, u x1,...u xn ) eine gegebene Funktion. Die stark nichtlineare Gleichung det D 2 u = f heißt Monge-Ampère-Gleichung (). Für n = 2 ergibt sich die einfache Gestalt u xxu yy u xyu yx = f (x, y, u, u x, u y). Hier nur f = f (x 1,..., x n). 5 / 32

Monge-Ampère-Gleichung () Sei Ω R n ein Gebiet und f : Ω R R n R, (x 1,..., x n, u, u x1,...u xn ) f (x 1,..., x n, u, u x1,...u xn ) eine gegebene Funktion. Die stark nichtlineare Gleichung det D 2 u = f heißt Monge-Ampère-Gleichung (). Für n = 2 ergibt sich die einfache Gestalt u xxu yy u xyu yx = f (x, y, u, u x, u y). Hier nur f = f (x 1,..., x n). Ein Problem heißt korrekt gestellt falls: 1) eine Lösung existiert, 2) diese eindeutig ist, 3) und stetig von den Daten abhängt. 5 / 32

6 / 32 Elliptizität Die PDE F [u] = 0 heißt elliptisch in U Γ, wenn die Matrix F F (γ)... (γ) r 11 r 1n [F ij (γ)] =.. F r n1 (γ)... F r nn (γ) positiv definit für alle γ = (x, z, p, r) U Ω R R n R n n ist.

6 / 32 Elliptizität Die PDE F [u] = 0 heißt elliptisch in U Γ, wenn die Matrix F F (γ)... (γ) r 11 r 1n [F ij (γ)] =.. F r n1 (γ)... F r nn (γ) positiv definit für alle γ = (x, z, p, r) U Ω R R n R n n ist. Die PDE F[u] = 0 heißt degeneriert elliptisch, wenn F stetig ist und die Monotoniebedingung M N F(M) F(N) erfüllt ist, wobei M N heißt, dass x t Mx x t Nx für alle x R n.

() ist elliptisch Lösung u ist strikt konvex, d.h. D 2 u > 0 6 / 32 Elliptizität Die PDE F [u] = 0 heißt elliptisch in U Γ, wenn die Matrix F F (γ)... (γ) r 11 r 1n [F ij (γ)] =.. F r n1 (γ)... F r nn (γ) positiv definit für alle γ = (x, z, p, r) U Ω R R n R n n ist. Die PDE F[u] = 0 heißt degeneriert elliptisch, wenn F stetig ist und die Monotoniebedingung M N F(M) F(N) erfüllt ist, wobei M N heißt, dass x t Mx x t Nx für alle x R n.

Stetige Abhängigkeit von den Daten Elliptizität ist wichtig für Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von (), siehe Gilbarg und Trudinger. Sei die PDE mit Dirichlet-Randbedingung F [u](x) = 0 für x Ω, u(x) = g(x) für x Ω gegeben. Es existiere ein Lösungsoperator S, der stetige Randdaten g auf eine stetige Lösung u abbildet. 7 / 32

Stetige Abhängigkeit von den Daten Elliptizität ist wichtig für Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von (), siehe Gilbarg und Trudinger. Sei die PDE mit Dirichlet-Randbedingung F [u](x) = 0 für x Ω, u(x) = g(x) für x Ω gegeben. Es existiere ein Lösungsoperator S, der stetige Randdaten g auf eine stetige Lösung u abbildet. Wenn F degeneriert elliptisch ist, dann ist S monoton, das heißt g(x) h(x) für alle x Ω impliziert S(g)(x) S(h)(x) für alle x Ω, und stabil bezüglich der l -Norm, das heißt max x Ω S(g)(x) S(h)(x) max g(x) h(x). x Ω 7 / 32

für die () Ausgangssituation: Es gibt viele numerische Verfahren zur Lösung der (), die nur für in H 2 (Ω) konvergieren. 8 / 32

für die () Ausgangssituation: Es gibt viele numerische Verfahren zur Lösung der (), die nur für in H 2 (Ω) konvergieren. Benamou, Froese und Oberman (B,F,O) entwickelten ein Verfahren (Standard ) für die zweidimensionale (), das auch für konvergiert die nicht in H 2 (Ω) sind. 8 / 32

für die () Ausgangssituation: Es gibt viele numerische Verfahren zur Lösung der (), die nur für in H 2 (Ω) konvergieren. Benamou, Froese und Oberman (B,F,O) entwickelten ein Verfahren (Standard ) für die zweidimensionale (), das auch für konvergiert die nicht in H 2 (Ω) sind. Standard Finite-Differenzen-Verfahren: Gebiet wird mit einem Gitter unterteilt. Zweite Ableitungen in () werden über zentrale Differenzen der nächsten Nachbarn approximiert (narrow-stencil). Umformen der Gleichung zu einer Fixpunkt-Iteration zwei verschiedene (konvex und konkav). Auswahl der Lösung liefert Gauß-Seidel. 8 / 32

für die () Ausgangssituation: Es gibt viele numerische Verfahren zur Lösung der (), die nur für in H 2 (Ω) konvergieren. Benamou, Froese und Oberman (B,F,O) entwickelten ein Verfahren (Standard ) für die zweidimensionale (), das auch für konvergiert die nicht in H 2 (Ω) sind. Standard Finite-Differenzen-Verfahren: Gebiet wird mit einem Gitter unterteilt. Zweite Ableitungen in () werden über zentrale Differenzen der nächsten Nachbarn approximiert (narrow-stencil). Umformen der Gleichung zu einer Fixpunkt-Iteration zwei verschiedene (konvex und konkav). Auswahl der Lösung liefert Gauß-Seidel. Vermutung (B,F,O): Kein narrow-stencil für die () erfüllt die für den beweis wesentliche Eigenschaft. 8 / 32

Viskositäts- Der partielle Differentialoperator von () sei degeneriert elliptisch. Eine unterhalbstetige Funktion u : Ω R heißt Viskositäts-Unterlösung von () wenn für jedes x 0 Ω gilt: Für alle konvexen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen φ : Ω R, für die x 0 Ω ein lokales Maximum der Funktion (u φ)(x) : Ω R ist, muss gelten, dass det(d 2 φ(x 0 )) f (x 0 ) 0. ( ) 9 / 32

Viskositäts- Der partielle Differentialoperator von () sei degeneriert elliptisch. Eine unterhalbstetige Funktion u : Ω R heißt Viskositäts-Unterlösung von () wenn für jedes x 0 Ω gilt: Für alle konvexen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen φ : Ω R, für die x 0 Ω ein lokales Maximum der Funktion (u φ)(x) : Ω R ist, muss gelten, dass det(d 2 φ(x 0 )) f (x 0 ) 0. Viskositäts-Oberlösung: Analog mit unterhalbstetig oberhalbstetig Maximum Minimum in ( ) ( ) 9 / 32

Viskositäts- Der partielle Differentialoperator von () sei degeneriert elliptisch. Eine unterhalbstetige Funktion u : Ω R heißt Viskositäts-Unterlösung von () wenn für jedes x 0 Ω gilt: Für alle konvexen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen φ : Ω R, für die x 0 Ω ein lokales Maximum der Funktion (u φ)(x) : Ω R ist, muss gelten, dass det(d 2 φ(x 0 )) f (x 0 ) 0. Viskositäts-Oberlösung: Analog mit unterhalbstetig oberhalbstetig Maximum Minimum in ( ) ( ) Eine Viskositäts-Lösung ist eine stetige Funktion die gleichzeitig eine Viskositäts-Oberlösung und eine Viskositäts-Unterlösung ist. 9 / 32

Gliederung 1 für die () 2 Neues Finite-Differenzen-Verfahren von () der Lösung 3 Diskrete Variante von 4 Vergleich Standard FD- mit 10 / 32

Umformulierung von () Teil 1 Ziel: Konvergentes wide-stencil für beliebige Dimensionen Sei die Lösung u C 2 von () strikt konvex. symmetrische Hessematrix (Schwarz) Seien 0 < λ 1... λ n die n Eigenwerte der Hessematrix von u. V beinhalte alle orthonormalen Basen des R n, d.h. V := {(v 1,..., v n) : v j R n, v i v j wenn i j, v j = 1}. 11 / 32

Umformulierung von () Teil 1 Ziel: Konvergentes wide-stencil für beliebige Dimensionen Sei die Lösung u C 2 von () strikt konvex. symmetrische Hessematrix (Schwarz) Seien 0 < λ 1... λ n die n Eigenwerte der Hessematrix von u. V beinhalte alle orthonormalen Basen des R n, d.h. V := {(v 1,..., v n) : v j R n, v i v j wenn i j, v j = 1}. Dann lässt sich () schreiben als det(d 2 u) = n λ i = i=1 min (v 1,...,v n) V n j=1 v T j D 2 uv j = f. 11 / 32

Umformulierung von () Teil 2 Sei: du dv θ := Du T v θ die Ableitung von u in Richtung v θ R n mit v θ = 1, v i θ der i-te Eintrag des Vektors v θ. Es gilt v T θ D 2 uv θ v T θ v θ }{{} =1 ( n ) n = vθu i x1 x i,..., vθu i xi x n i=1 i=1 v θ = d( n i=1 v i θu xi ) dv θ = d 2 u. dvθ 2 12 / 32

12 / 32 Umformulierung von () Teil 2 Sei: du dv θ := Du T v θ die Ableitung von u in Richtung v θ R n mit v θ = 1, v i θ der i-te Eintrag des Vektors v θ. Es gilt ( n ) vθ T D 2 uv θ n = vθu i vθ T x1 x i,..., vθu i xi x n v θ }{{} i=1 i=1 =1 Damit gilt det(d 2 u) = n λ i = i=1 min (v 1,...,v m) V n j=1 v θ = d( n i=1 v i θu xi ) dv θ v T j D 2 uv j = min (v 1,...,v m) V = d 2 u. dvθ 2 n d 2 u. j=1 dv 2 j

() diskretisieren Richtungsableitungen d2 u durch zentrale Differenzen dv 2 approximieren. D vvu i := 1 v 2 h 2 (u(x i + vh) 2u(x i ) + u(x i vh)) Randpunkte werden gleich der vorgegebene Randfunktion gesetzt. 13 / 32

() diskretisieren Richtungsableitungen d2 u durch zentrale Differenzen dv 2 approximieren. D vvu i := 1 v 2 h 2 (u(x i + vh) 2u(x i ) + u(x i vh)) Randpunkte werden gleich der vorgegebene Randfunktion gesetzt. Semi-diskretes Verfahren: Für jeden Punkt x i des Gitters ergibt sich eine Gleichung der Form min (v 1,...,v m) V n D vj v j u i = f (x i ). j=1 ( ) 13 / 32

() diskretisieren Richtungsableitungen d2 u durch zentrale Differenzen dv 2 approximieren. D vvu i := 1 v 2 h 2 (u(x i + vh) 2u(x i ) + u(x i vh)) Randpunkte werden gleich der vorgegebene Randfunktion gesetzt. Semi-diskretes Verfahren: Für jeden Punkt x i des Gitters ergibt sich eine Gleichung der Form min (v 1,...,v m) V n D vj v j u i = f (x i ). j=1 ( ) Menge V aller Orthogonalbasen in ( ) ersetzen durch G := {Durch das Gitter gegebene Orthogonalbasen}. diskretes Verfahren: D. 13 / 32

Problem: Fehlende Randpunkte Für Punkte in der Nähe des Randes kann ein für die zentralen Differenzen benötigter Nachbar fehlen. Abbildung 2: Links: Situation im Gitterinneren; Rechts: Situation am Gitterrand. 14 / 32

Problem: Fehlende Randpunkte Für Punkte in der Nähe des Randes kann ein für die zentralen Differenzen benötigter Nachbar fehlen. 1) Verwendung nur vorhandener Nachbarn Genauigkeitsverlust. 2) Interpolation der Randfunktion durch gegebene Werte. Abbildung 2: Links: Situation im Gitterinneren; Rechts: Situation am Gitterrand. 14 / 32

Nur konvexe Funktionen als Lösung zulassen Bei einer konvexen Funktion ist die Hessematrix positiv semi-definit, d.h. alle Eigenwerte sind größer oder gleich Null. 15 / 32

Nur konvexe Funktionen als Lösung zulassen Bei einer konvexen Funktion ist die Hessematrix positiv semi-definit, d.h. alle Eigenwerte sind größer oder gleich Null. Determinante der Hessematrix in () durch det + (D 2 u) := n λ + j := j=1 n max(0, λ j ) = f ersetzen, wobei λ 1... λ n die Eigenwerte der Hessematrix der Lösung u sind. j=1 ( ) 15 / 32

Nur konvexe Funktionen als Lösung zulassen Bei einer konvexen Funktion ist die Hessematrix positiv semi-definit, d.h. alle Eigenwerte sind größer oder gleich Null. Determinante der Hessematrix in () durch det + (D 2 u) := n λ + j := j=1 n max(0, λ j ) = f ersetzen, wobei λ 1... λ n die Eigenwerte der Hessematrix der Lösung u sind. j=1 ( ) Für f > 0 können nur strikt konvexe Funktionen eine von ( ) sein. Problem, wenn f = 0. Dann ist jede nicht konvexe Funktion ebenfalls Lösung von ( ). 15 / 32

Neuer diskreter Operator Mit D + vv := max(d vvu, 0) erhalten wir den diskreten Operator + [u i ] := min (v 1,...,v m) G n D v + j v j u i = f. ( + ) j=1 Das ( + ) soll mittels gedämpften Newton-Verfahren gelöst werden. 16 / 32

Neuer diskreter Operator Mit D + vv := max(d vvu, 0) erhalten wir den diskreten Operator + [u i ] := min (v 1,...,v m) G n D v + j v j u i = f. ( + ) j=1 Das ( + ) soll mittels gedämpften Newton-Verfahren gelöst werden. Problem: Linke Seite in ( + ) nicht differenzierbar nach den Unbekannten + [u i ] glätten. 16 / 32

Neuer diskreter Operator Mit D + vv := max(d vvu, 0) erhalten wir den diskreten Operator + [u i ] := min (v 1,...,v m) G n D v + j v j u i = f. ( + ) j=1 Das ( + ) soll mittels gedämpften Newton-Verfahren gelöst werden. Problem: Linke Seite in ( + ) nicht differenzierbar nach den Unbekannten + [u i ] glätten. Betrachte die Funktionen max δ (a, b) = 1 2 min δ (a, b) = 1 2 ( ) a + b + (a b) 2 + δ 2 ( ) a + b (a b) 2 + δ 2. Es gilt max δ max und min δ min für δ 0. 16 / 32

( + ) glätten Ersetze Maximumfunktion in ( + ) durch D δ v j v j u i := max δ (D vj v j u i, 0). Das Minimum in ( + ) ersetzen: 1) Berechne immer das Produkt in ( + ) für zwei verschiedene Orthogonalbasen aus G und behalte nur die Basis in G die das Minimum liefert. 2) Vergleiche anschließend das Ergebnis mit dem der nächsten Orthogonalbasis in G. 3) Fahre fort bis die Basis aus G gefunden ist, die das Produkt in ( + ) minimiert. Das Minimum des Produkts wird also durch eine Verschachtelung von min δ (a, b) ersetzt. Für diesen geglätteten Operator ( δ ) gilt: ( δ ) ( + ) für δ 0. 17 / 32

Wahl des Startwerts Löse δ [u] = f mit gedämpften Newton- Systeme. 18 / 32

Wahl des Startwerts Löse δ [u] = f mit gedämpften Newton- Systeme. Wahl des Startwerts: Nutze früheres Verfahren (Poisson-Verfahren) von (B,F,O). Bei diesem Verfahren wird () so umgeschrieben, dass in jedem Schritt iterativ eine Poisson-Gleichung gelöst werden kann, bis ein Fixpunkt zufriedenstellend approximiert ist, welcher die Lösung von () darstellt. Die Poisson-Gleichung ist eine lineare PDE einfacher zu. 18 / 32

Wahl des Startwerts Löse δ [u] = f mit gedämpften Newton- Systeme. Wahl des Startwerts: Nutze früheres Verfahren (Poisson-Verfahren) von (B,F,O). Bei diesem Verfahren wird () so umgeschrieben, dass in jedem Schritt iterativ eine Poisson-Gleichung gelöst werden kann, bis ein Fixpunkt zufriedenstellend approximiert ist, welcher die Lösung von () darstellt. Die Poisson-Gleichung ist eine lineare PDE einfacher zu. Es ist nicht sichergestellt, dass der Startwert konvex ist. Startwert durch eine konvexe Funktion unter Verwendung der konvexen Hülle approximieren (Oberman). 18 / 32

Es wird in jeder Iteration das δ [u k ]s k = δ [u k ] f (u k ) gelöst, wobei u k+1 = u k αs k gesetzt wird. Dabei ist δ [u k ] die Jakobische Matrix und 0 < α 1 ein Dämpfungsparameter. 19 / 32

Es wird in jeder Iteration das δ [u k ]s k = δ [u k ] f (u k ) gelöst, wobei u k+1 = u k αs k gesetzt wird. Dabei ist δ [u k ] die Jakobische Matrix und 0 < α 1 ein Dämpfungsparameter. Damit das wohldefiniert ist, muss δ [u k ] regulär sein. () degeneriert elliptisch. δ [u k ] negativ semi-definit. 19 / 32

Es wird in jeder Iteration das δ [u k ]s k = δ [u k ] f (u k ) gelöst, wobei u k+1 = u k αs k gesetzt wird. Dabei ist δ [u k ] die Jakobische Matrix und 0 < α 1 ein Dämpfungsparameter. Damit das wohldefiniert ist, muss δ [u k ] regulär sein. () degeneriert elliptisch. δ [u k ] negativ semi-definit. Ersetze in ( δ ) die Funktion max δ (D vvu, 0) durch max δ (D vvu, ε) für einen kleinen Parameter ε > 0. δ [u k ] negativ definit. 19 / 32

Diskrete Variante von degeneriert elliptisch Sei Ω h ein kartesisches Gitter mit den Gitterpunkten x 1,..., x n Ω h. liefert für jeden Punkt x i eine Funktion der Form F i h[u] = F h (u i, u i u j j i ). kann als Abbildung F h : R n R n gesehen werden, die Gitterfunktionen u h in R n auf Gitterfunktionen f h in R n abbildet. 21 / 32

Diskrete Variante von degeneriert elliptisch Sei Ω h ein kartesisches Gitter mit den Gitterpunkten x 1,..., x n Ω h. liefert für jeden Punkt x i eine Funktion der Form F i h[u] = F h (u i, u i u j j i ). kann als Abbildung F h : R n R n gesehen werden, die Gitterfunktionen u h in R n auf Gitterfunktionen f h in R n abbildet. Das Verfahren F h heißt degeneriert elliptisch, wenn für jeden Punkt x i Ω h des Gitters die Funktion nicht fallend in jeder Variable ist. F i h[u] = F h (u i, u i u j j i ) ( + ) und ( δ ) sind degeneriert elliptisch. 21 / 32

Stabilität + Konistenz Sei F h ein numerisches Verfahren zur Lösung von (), u die auf das Gitter eingeschränkte exakte Lösung, u h die numerische Lösung und f h die zugehörige rechte Seite. 22 / 32

Stabilität + Konistenz Sei F h ein numerisches Verfahren zur Lösung von (), u die auf das Gitter eingeschränkte exakte Lösung, u h die numerische Lösung und f h die zugehörige rechte Seite. Unser Ziel: Ungleichung der Form u u h = F 1 h (F h (u )) F 1 h (F h (u h )) c F h (u ) F h (u h ) }{{} =f h für ein c > 0, unabhängig von h aufstellen. 22 / 32

Stabilität + Konistenz Sei F h ein numerisches Verfahren zur Lösung von (), u die auf das Gitter eingeschränkte exakte Lösung, u h die numerische Lösung und f h die zugehörige rechte Seite. Unser Ziel: Ungleichung der Form u u h = F 1 h (F h (u )) F 1 h (F h (u h )) c F h (u ) F h (u h ) }{{} =f h für ein c > 0, unabhängig von h aufstellen. Es ist dann nur zu zeigen: F h (u ) F h (u h ) 0 für h 0 (Konsistenz) Ziel erreicht, wenn F 1 h die Eigenschaft F 1 h [f h ] F 1 h [ f h ] c f h f h (Stabilität) für alle f h, f h R n erfüllt und damit Lipschitz-stetig ist. 22 / 32

Euler-Abbildung Für ρ > 0 definiere die Euler-Abbildung S h,ρ : R n R n durch S h,ρ (u h ) = u h ρf h [u h ]. Diese Abbildung ist das Euler-Verfahren angewandt auf ODE du h dt + F h (u h ) = 0. 23 / 32

Euler-Abbildung Für ρ > 0 definiere die Euler-Abbildung S h,ρ : R n R n durch S h,ρ (u h ) = u h ρf h [u h ]. Diese Abbildung ist das Euler-Verfahren angewandt auf ODE du h dt + F h (u h ) = 0. Wenn 1) F h degeneriert elliptisch ist und 2) Lipschitz-stetig, d.h. existiert ein K > 0, so dass F i h(u h ) F i h(v h ) K u h v h für alle i = 1,..., n und u h, v h R n gilt. Dann hat S h,ρ (u h ) für genügend kleines ρ ein eindeutigen Fixpunkt. Beweis: Fixpunktsatz von Banach. 23 / 32

Mit der Euler-Abbildung zum Ziel 1) Für jede Gitterfunktion u h gilt: S h,ρ (u h ) + ρf h [u h ] = u h. 2) S h,ρ ist eine Kontraktion für genügend kleines ρ > 0 in der l -Norm, d.h. es existiert ein 0 < r < 1, so dass S h,ρ (u h ) S h,ρ (v h ) r u h v h für alle Gitterfunktionen u h, v h R n gilt. 24 / 32

Mit der Euler-Abbildung zum Ziel 1) Für jede Gitterfunktion u h gilt: S h,ρ (u h ) + ρf h [u h ] = u h. 2) S h,ρ ist eine Kontraktion für genügend kleines ρ > 0 in der l -Norm, d.h. es existiert ein 0 < r < 1, so dass S h,ρ (u h ) S h,ρ (v h ) r u h v h für alle Gitterfunktionen u h, v h R n gilt. Damit erhalten wir: u u h 1) S h,ρ (u ) S h,ρ (u h ) + ρ F h [u ] F h [u h ] 2) r u u h + ρ F h [u ] F h [u h ]. 24 / 32

Mit der Euler-Abbildung zum Ziel 1) Für jede Gitterfunktion u h gilt: S h,ρ (u h ) + ρf h [u h ] = u h. 2) S h,ρ ist eine Kontraktion für genügend kleines ρ > 0 in der l -Norm, d.h. es existiert ein 0 < r < 1, so dass S h,ρ (u h ) S h,ρ (v h ) r u h v h für alle Gitterfunktionen u h, v h R n gilt. Damit erhalten wir: u u h 1) S h,ρ (u ) S h,ρ (u h ) + ρ F h [u ] F h [u h ] 2) r u u h + ρ F h [u ] F h [u h ]. Subtrahiere r u u h auf beiden Seiten und teile durch 1 r > 0. Ziel erreicht: u u h ρ 1 r F h[u ] F h [u h ]. 24 / 32

Stabilität Erreichtes Ziel: u u h ρ 1 r F h[u ] F h [u h ] ( ) Fixpunktsatz von Banach Euler-Abbildung hat eindeutigen Fixpunkt F h invertierbar. 25 / 32

Stabilität Erreichtes Ziel: u u h ρ 1 r F h[u ] F h [u h ] ( ) Fixpunktsatz von Banach Euler-Abbildung hat eindeutigen Fixpunkt F h invertierbar. Substitution in ( ) mit f h := F h [u ] und f h := F h [u h ] liefert u u h = F 1 h [f h ] F 1 h [ f h ] ρ 1 r f h f h. (Stabilität) 25 / 32

Stabilität Erreichtes Ziel: u u h ρ 1 r F h[u ] F h [u h ] ( ) Fixpunktsatz von Banach Euler-Abbildung hat eindeutigen Fixpunkt F h invertierbar. Substitution in ( ) mit f h := F h [u ] und f h := F h [u h ] liefert u u h = F 1 h [f h ] F 1 h [ f h ] ρ 1 r f h f h. (Stabilität) Um ( ) für ( δ ) zu zeigen, brauchen wir, dass δ [u h ] 1) Lipschitz-stetig und 2) degeneriert elliptisch ist. 25 / 32

Stabilität Erreichtes Ziel: u u h ρ 1 r F h[u ] F h [u h ] ( ) Fixpunktsatz von Banach Euler-Abbildung hat eindeutigen Fixpunkt F h invertierbar. Substitution in ( ) mit f h := F h [u ] und f h := F h [u h ] liefert u u h = F 1 h [f h ] F 1 h [ f h ] ρ 1 r f h f h. (Stabilität) Um ( ) für ( δ ) zu zeigen, brauchen wir, dass δ [u h ] 1) Lipschitz-stetig und 2) degeneriert elliptisch ist. Punkt 2) zeigen (F,O), aber sie sagen nichts zu 1) 25 / 32

(F,O) beweisen mittels Taylorentwicklung, dass ( + ) und ( δ ) Konsistent sind. Angenommen () hat eine eindeutige Viskositäts-Lösung und der Startwert ist nah genug an der eigentlichen Lösung. Dann konvergiert das Newton- das diskrete System δ [u h ] = f h quadratisch gegen u δ h, d.h es gibt ein c > 0 so dass u k+1 h u δ h c u k h u δ h 2, k = 0, 1, 2,... Hierfür muss Folgendes erfüllt sein: 1) Es gibt eine Lösung. 2) δ [u] muss lokal Lipschitz-stetig sein. 3) δ [u] muss regulär sein. 26 / 32

28 / 32 Verschiedene von () Abbildung 3: Glatte bis Singuläre auf einem N N Gitter. Links: C 2 Lösung u = exp( x 2 ). 2 ( Mitte: C 1 Lösung u = 1 2 ( x x0 0.2) +)2. Rechts: C 0,1 Lösung u = 2 x 2. Löse die zu den n gehörenden () mit Poisson-Verfahren, Standard und dem neuen.

Rechenzeiten für die verschiedenen Verfahren Methode C 2 C 1 C 0,1 Standard F.D. Moderate Moderate Moderate O(M 1.8 ) O(M 1.9 ) O(M 2 ) Poisson Fast Slow-Fast Slow O(M 1.4 ) O(M 1.4 ) O(M 2 ) neue F.D. Fast Fast Fast O(M 1.3 ) O(M 1.3 ) O(M 1.3 ) Tabelle 1: Rechenzeit für Standard FD-, Poisson- und neue, für mit in C 2, C 1 und C 0,1, in Abhängigkeit von der Gittergröße. Dabei ist M = N 2 die Anzahl der Gitterpunkte. Neue unabhängig von der Regularität der Lösung, die beiden anderen Verfahren sind das nicht. ist deutlich schneller 29 / 32

Betrachte Genauigkeit für die Die Genauigkeit vom neuen hängt von: der räumlichen Auflösung h und der Richtungsauflösung θ ab. 30 / 32

Betrachte Genauigkeit für die Die Genauigkeit vom neuen hängt von: der räumlichen Auflösung h und der Richtungsauflösung θ ab. Mehr Gitterpunkte und größeres stencil mehr Genauigkeit. 30 / 32

Betrachte Genauigkeit für die Die Genauigkeit vom neuen hängt von: der räumlichen Auflösung h und der Richtungsauflösung θ ab. Mehr Gitterpunkte und größeres stencil mehr Genauigkeit. Die Genauigkeit des Standard hängt nur der räumlichen Auflösung h ab, nicht von der Auflösung der Richtung. 30 / 32

Betrachte Genauigkeit für die Die Genauigkeit vom neuen hängt von: der räumlichen Auflösung h und der Richtungsauflösung θ ab. Mehr Gitterpunkte und größeres stencil mehr Genauigkeit. Die Genauigkeit des Standard hängt nur der räumlichen Auflösung h ab, nicht von der Auflösung der Richtung. Maximaler Fehler, C 2 Beispiel N 9 Punkte 17 Punkte 33 Punkte Standard FD 31 17.9 10 4 8.9 10 4 7.0 10 4 7.14 10 5 63 16.2 10 4 5.1 10 4 3.1 10 4 1.73 10 5 127 15.9 10 4 4.6 10 4 1.8 10 4 4.3 10 6 255 15.9 10 4 4.4 10 4 1.5 10 4 1.1 10 6 361 15.9 10 4 4.4 10 4 1.5 10 4 0.5 10 6 Tabelle 2: Genauigkeit des neuen s und des standard. 30 / 32

Mehr für die Genauigkeit Maximaler Fehler, C 1 Beispiel N 9 Punkte 17 Punkte 33 Punkte Standard FD 31 3.0 10 3 1.7 10 3 1.5 10 3 2.6 10 4 63 2.5 10 3 1.0 10 3 0.6 10 3 1.5 10 4 127 2.3 10 3 0.8 10 3 0.3 10 3 0.6 10 4 255 2.2 10 3 0.7 10 3 0.3 10 3 361 2.2 10 3 0.7 10 3 0.3 10 3 Maximaler Fehler, C 0,1 Beispiel N 9 Punkte 17 Punkte 33 Punkte Standard FD 31 1.7 10 3 1.7 10 3 1.7 10 3 17.51 10 3 63 0.9 10 3 0.6 10 3 0.6 10 3 12.53 10 3 127 0.8 10 3 0.3 10 3 0.2 10 3 9.00 10 3 255 0.8 10 3 0.3 10 3 0.2 10 3 6.42 10 3 361 0.8 10 3 0.3 10 3 0.2 10 3 5.41 10 3 Tabelle 3: Genauigkeit des neuen s und des Standard. 31 / 32

: Vorstellung von () und Viskositäts-. Es wurde neues von (F,O) hergeleitet. des Verfahrens konnte weder nachvollzogen noch wiederlegt werden. Vergleich neues mit Standard FD, zeigte: Neues ist Verbesserung, wenn die Lösung nicht glatt ist. 32 / 32

: Vorstellung von () und Viskositäts-. Es wurde neues von (F,O) hergeleitet. des Verfahrens konnte weder nachvollzogen noch wiederlegt werden. Vergleich neues mit Standard FD, zeigte: Neues ist Verbesserung, wenn die Lösung nicht glatt ist. Ausblick: Es zeigte sich, dass das Standard genauere für das C 2 und C 1 Beispiel liefert. Bei dem C 0,1 Beispiel war das neue ein wenig genauer. Kombiniere Standard FD- mit neuem. 32 / 32