5. Vorlesung
Verteilungsfunktion (VF) Definition 9 Die Verteilungsfunktion (VF) einer Zufallsgröße X ist F : R R definiert als F (x) := P({ω Ω : X (ω) x}) = P( X x ) für jedes x R. Satz 9 - Eigenschaften der Verteilungsfunktion F der ZG X 1 F ist monoton wachsend, d.h. aus x 1 < x 2 folgt F (x 1 ) F (x 2 ). 2 lim F (x) = 1 und lim F (x) = 0 x x 3 F ist rechtsseitig stetig, d.h. lim F (x) = F (x 0 ) für x 0 R. x x0 4 P(a < X b) = F (b) F (a) Jede Funktion F : R R, welche die Eigenschaften 1., 2. und 3. des obigen Satzes erfüllt, ist eine Verteilungsfunktion.
Für die Verteilungsfunktion einer diskreten ZG X mit den Werten x i, i I gilt F (x) = P(X = x i ) x R. i I :x i x
Dichtefunktion (DF) einer stetigen ZG Zur Erinnerung: Eine Zufallsgröße heißt stetig, wenn sie überabzählbar viele Werte in einem Intervall oder R annehmen kann! Definition 10 Die Funktion f : R R heißt Dichtefunktion (DF) der stetigen Zufallsgröße X, falls für alle a, b R mit a < b gilt P(X (a, b]) = b a f (x) dx. Beispiel: Dichtefunktion der Standardnormalverteilung f (x) = 1 2π e x2 2, x R
Satz 10 Sei f Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X. Dann gilt 1 f (x) 0 für alle x R. 2 f (x) dx = 1. 3 F (x) = P(X x) = x 4 F ist eine stetige Funktion. f (t) dt x R. 5 Wenn F an der Stelle x differenzierbar ist F (x) = f (x). Jede Funktion f : R R, welche die Eigenschaften 1. und 2. des obigen Satzes erfüllt, ist eine Dichtefunktion.
Diskrete und stetige ZG eine diskrete ZG. X wird vollständig durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben ( ) ( ) x1 x X 2... x i... xi = p 1 p 2... p i... P(X (a, b]) = i I a<x i b p i P(X = x i ) i I eine stetige ZG. X wird vollständig durch ihre Dichtefunktion f beschrieben: für alle a, b R mit a < b gilt P(X (a, b]) = b a f (x) dx
Gleichmäßige Verteilung U[a, b] Bezeichnung: X U[a, b] Parameter: a, b R mit a < b Eine stetige Zufallsgröße X heißt auf dem Intervall [a, b] gleichverteilt, falls ihre Dichtefunktion gegeben ist durch { 1 für x [a, b] f (x) = b a 0 sonst
Beispiele: 1) Die Verkehrsnachrichten melden einen Unfall auf der Autobahn zwischen KM 60 und 100. Da keine weiteren Informationen verfügbar sind, betrachten wir die genaue Position des Unfalls als gleichverteilt auf dem genannten Streckenabschnitt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Unfall zwischen KM 80 und 85 ereignet hat? 2) Sei X gleichverteilt auf [0, 1]. Dann ist Y = a + (b a)x gleichverteilt auf dem Intervall [a, b].
Exponentialverteilung Bezeichnung X Exp(µ) Parameter µ > 0 Eine stetige Zufallsgröße X heißt exponentialverteilt mit dem (Intensitäts-) Parameter µ > 0, falls ihre Dichtefunktion gegeben ist durch { µe µx für x 0 f (x) = 0 für x < 0
X Exp(µ), man berechne ihre Verteilungfunktion! F (z) = z f (x)dx = { 0 für z < 0 1 e µz für z 0, Bespiel: In einer Kfz-Werkstatt sei die Reparaturzeit eines Autos exponentialverteilt mit dem Parameter µ = 1/2 [h 1 ]. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Reparatur eines zufällig ausgewählten Autos länger als 3 Stunden dauert?
Übung: Nichtalterungseigenschaft / Gedächtnislosigkeit Sei X Exp(µ), dann gilt für s, t > 0 P(X > t + s X > t) = P(X > s). P(X > t): Wahrscheinlichkeit für Lebensdauer größer t P(X > t + s X > t): Wahrscheinlichkeit dafür, weitere s Zeiteinheiten zu überleben, wenn bereits das Alter t überlebt wurde. Die letztgenannte Wahrscheinlichkeit ist nach der obigen Übung unabhängig vom Alter t.
Gaußsche Normalverteilung Bezeichnung X N (µ, σ 2 ) Parameter µ R Mittelwert (Lageparameter) σ > 0 Standardabweichung (Formparamter) σ 2 Varianz Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt bzw. Gauß-verteilt mit den Parametern µ R und σ > 0, falls ihre Dichtefunktion gegeben ist durch f (x) = 1 ( (x ) µ)2 exp 2πσ 2σ 2, x R. Für µ = 0 und σ = 1, d.h. X N (0, 1), spricht man von der Standardnormalverteilung.
Gaußsche Normalverteilung Wegen der Gestalt ihres Graphen wird die Dichtefunktion f auch Gaußsche Glockenkurve genannt. Sie findet sich auf dem letzten Zehnmarkschein vor der Euro-Einführung neben dem Bildnis von Carl Friedrich Gauß (1777-1855). Anwendungen zufällige Schwankungen von Messfehlern (Fehlerrechnung) Brownsche Molekularbewegung Mathematische Statistik
z Die Verteilungsfunktion F (z) = f (x) dx ist bekanntlich eine Stammfunktion zur Dichtefunktion f. Obwohl diese existiert, kann sie jedoch nicht mit Hilfe anderer elementarer Funktionen ausgedrückt werden. Daher verwendet man Näherungen, welche für die Standardnormalverteilung N (0, 1) tabelliert bzw. in Softwares implementiert sind (in Matlab: normcdf ). Satz 11 1 Es seien a, b R, X N (µ, σ 2 ), Y die lineare Transformation Y = ax + b. Dann ist Y N (aµ + b, a 2 σ 2 ). 2 Standardisierung: Speziell gilt für a = 1/σ, b = µ/σ Z = X µ σ N (0, 1)
Beispiel: Der Kraftstoffverbrauch eines PKW auf 100 km kann durch eine normalverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern µ = 7 (Liter) und σ = 0.2 (Liter) beschrieben werden, d.h. X N (7, 0.04). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Verbrauch 1 zwischen 6.5 und 7.3 Liter liegt? 2 größer als 7.3 Liter ist?
Gamma-Verteilung Bezeichnung X Gamma(α, β) Parameter α > 0 (Formparameter) β > 0 (Skalenparameter) Eine stetige Zufallsgröße X mit Werten in (0, ) heißt Gamma-verteilt mit den Parametern α, β > 0, falls ihre Dichtefunktion gegeben ist durch f (x) = { 1 Γ(α)β α x α 1 e x β für x > 0 0 für x 0
1 Die Gamma-Funktion ist für a > 0 definiert durch Γ(a) := 0 t a 1 e t dt und kann als Erweiterung der Fakultät auf nichtganzzahlige Argumente betrachtet werden. Es gilt Γ(n + 1) = n!, n N. 2 Mit der Gamma-Verteilung werden z.b. modelliert: Schadenhöhen von Versicherungsschäden, Lebensdauern. 3 Spezialfälle Γ(1, 1 β ): Exponentialverteilung Exp(β) Γ( n 2, 2): χ2 -Verteilung mit Parameter n N
χ 2 -Verteilung Eine stetige Zufallsgröße X mit Werten in (0, ) heißt χ 2 -verteilt mit den Parameter n N, falls ihre Dichtefunktion gegeben ist durch { 1 n f (x) = 2 n 2 Γ( n )x 2 1 e x 2 für x > 0 2 0 für x 0 Anwendungen: Mathematische Statistik Anpassungstest (man prüft, ob die Daten der Stichprobe eine bestimmte Verteilung haben) Unabhängigkeitstest (man prüft, ob zwei Merkmale unabhängig sind) Homogenitätstest (man prüft, ob zwei oder mehr Stichproben dieselbe Verteilung haben)
Zufallsvektoren Definition 11 Es seien X 1,..., X n Zufallsgrößen, dann heißt Z = (X 1,..., X n ) Zufallsvektor (ZV) oder n-dimensionale Zufallsgröße. Zufallsgrößen X i : Ω R, i=1,...,n Zufallsvektor Z = (X 1,..., X n ) : Ω R n Beispiel: Werfen zweier Würfel: X = Zahl die der erste Würfel anzeigt Y = Summe der Zahlen die jeder Würfel anzeigt (X, Y ) Zufallsvektor
Ein Zufallsvektor (X, Y ) heißt diskret, wenn X und Y diskrete ZG sind: sie besitzen eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung Es gilt Beispiel: ( ) (xi, y (X, Y ) j ) p i,j (i,j) I J ( ), P (X, Y ) = (x i, y j ) = p i,j P(X = x i, Y = y j ) = 1 i I j J P(X = 1, Y = 0) = 1 12... Y = 0 Y = 1 Y = 2 1 1 1 X = 1 12 6 3 1 1 1 X = 2 4 12 12
Aus der gemeinsamen Verteilung von (X, Y ) ergeben sich die Randverteilungen der Komponenten X und Y : P(X = x i ) = j J P(Y = y j ), i I P(Y = y j ) = i I P(X = x i ), j J