Minkowski-Wegelement und Eigenzeit Invariantes Wegelement entlang einer Bahnkurve einesteilchens im IS A: immer "Instantan mitlaufendes" Inertialsystem B' sei so gewählt, dass es zum Zeitpunkt t dieselbe Geschwindigkeit habe, sodass Teilchen instantan (d.h. zum Zeitpunkt t) in B' ruht. Dann gilt stimmt mit dem Zeitintervall dt' der "mitgeführten" Uhr überein, und definiert die "Eigenzeit" des Teilchens. Sie ist aus Sicht jedes beliebigen ISs gleich (weil invariant ist) Folglich ist die Eigenzeit invariant. denn Eigenzeit für ein beliebig bewegtes Punktteilchen P und Q seien Ereignisse auf einer Weltlinie, die im Inertialsystem A durch die Bahnkurve mit Geschwindigkeit beschrieben wird. Eigenzeit zwischen P und Q: B' sei ein IS das derjenigen Weltlinie folgt, die P und Q in gleichförmiger Bewegung verbindet. Aus Sicht von A folgt B' Bahn mit. Die Eigenzeitdifferenz von B ist also Jede andere Weltlinie von P nach Q hat eine kleinere Eigenzeitdifferenz! [Für Weltlinie entlang Photonbahnen (mit ) ist Eigenzeitdifferenz sogar = 0).] (2) impliziert "Zwillingsparadox": Raumfahrer kehrt jünger(!) zur Erde zurück als ein daheim gebliebener Zwilling. Wie kann das sein? Grund: Seine Bahn ist gekrümmt, d.h. er wird unterwegs beschleunigt, und laut allgemeiner Relativitätstheorie gehen beschleunigte Uhren langsamer.
Viererformalismus (Barthelmann et al., "Theoretische Physik, Kapitel 9, 10) Wir wählen für alle IS den Koordinatenursprung gleich. Das Ereignis P, beschrieben durch den "physikalischen Vierervektor", hat in unterschiedlichen IS unterschiedliche Koordinaten, weil die Basisvektoren unterschiedlich sind. In S: In S': Koordinaten Basisvektoren Konvention: immer ein Index oben, anderer Index unten! Lorentz-Transformation für Koordinaten: (1) = (2): (Indizes umbenennen) Lorentz-Transformation für Basisvektoren: Poincare-Transformation Poincare-Gruppe = ( Lorentz-Gruppe ) U (Translationsgruppe) Poincare-Transformation: Verschiebung von Zeitnullpunkt und/oder räumlichem Ursprung Für Koordinatendifferenzen und Koordinatendifferenziale gilt weiterhin: Definition eines allgemeinen Vierervektors: ist ein Vierervektor mit "kontravarianten Komponenten" wenn letztere bei der Lorentz-Transformation (43.3) wie folgt transformieren: (also "wie ") "kontravariant" = "entgegengesetzt zu den Basisvektoren" (damit invariant bleibt) Beispiele: Geschwindigkeit, Impuls, Beschleunigung, Kraft Man spricht oft von "Lorentz-kovarianten Vierervektoren". Das Attribut "Lorentz-kovariant" bedeutet dabei lediglich, dass sich alle Vierergrößen entsprechend ihrer Indexstruktur transformieren, denn die sind eigentlich kontravariante Komponenten
Minkowski-Metrik Invariantes Wegelement definiert eine metrische Fundamentalform des Minkowski-Raumes: "Minkowski- Metrik": Die Inverse der Minkowski-Metrik ist definiert durch: für für Inverse: [Achtung: für krummlinige Koordinaten sind die Matrixelemente von und verschieden!] Eigenschaften der Lorentz-Transformation Invarianz des Wegelements: (Indizes umbenennen) Definierende Eigenschaft von Lorentz-Transformationen: (2) = (1) Bestimmung der inversen Lorentz-Transformation: Inverse Transformation:
Kovariante Komponenten, duale Basisvektoren Def: "kovariante Komponenten": "Index runterziehen" Inverse Relation: "Index hochziehen" Definition: "duale Basisvektoren": "Index hochziehen" Inverse Relation: "Index runterziehen" Äquivalente Darstellungen von physikalischem Vierervektor: mittels kontravarianten Komponenten mittels kovarianten Komponenten Invariantes Intervall: (Indexziehen) Transformationseigenschaften von kovarianten Komponenten Somit folgt aus (1): gleiche Form! Vergleiche (43.5): Also transformiert wie ein Basisvektor (deswegen die Bezeichnung "kovariant") Iindexziehen für inverse Transformation: (Indexziehen) (46.4):
Lorentz-invariantes Skalarprodukt Definition: Skalarprodukt für die Basisvektoren: Daraus ergibt sich ein Lorentz-invariantes Skalarprodukt für beliebige Vierervektoren: (Indexziehen) invariant, denn: ist also ein "Lorentz-Skalar" Vierertensoren höherer Ordnung Jeder Index hat wohldefinierte Transformationseigenschaften: z.b. für Tensoren 2. Stufe Beispiel: Minkowski-Metrik ist ein "invarianter Tensor" zweiter Stufe: Einsteins 1. Postulat, "alle physikalischen Phänomene laufen in allen IS gleich ab, impliziert: Eine relativistischen Theorie muss sich vollständig mittels Lorentz-Tensoren formulieren lassen! Lorentz-invariantes Skalarprodukt Definition: Skalarprodukt für die Basisvektoren: Daraus ergibt sich ein Lorentz-invariantes Skalarprodukt für beliebige Vierervektoren: invariant, denn: Vierertensoren höhrerer Ordnung Jeder Index hat wohldefinierte Transformationseigenschaften: z.b. für Tensoren 2. Stufe Beispiel: Minkowski-Metrik ist ein "invarianter Tensor" zweiter Stufe: Eine relativistischen Theorie muss sich vollständig mittels Lorentz-Tensoren formulieren lassen.
Vierergeschwindigkeit und -beschleunigung Weltlinie eines Teilchens sei beschrieben durch parametrisiert durch die Koordinatenzeit Geschwindigkeit: Vierergeschwindigkeit? wäre kein Lorentz-kovarianter Vierervektor, weil t nicht-trivial transformiert Lorentz-kovariante Vierergeschwindigkeit wird mittels Eigenzeit definiert: Lorentz-Skalar: in der Tat invariant! Viererbeschleunigung: Orthogonalität von Vierier- Geschwindigkeit und Beschleunigung: Relativistische Mechanik Ruhemasse, Viererimpuls "Ruhemasse" eines Punktteilchens = seine Masse in einem IS, in dem es ruht. Ruhemasse ist per Definition eine invariante Größe, d.h. ein Lorentz-Skalar. Lorentz-kovarianter Viererimpuls: = Ruhemasse x Vierergeschwindigkeit "Relativistischer Dreierimpuls": "Relativistische Masse": Lorentz-Skalar: Nullkomponente des Viererimpulses: [positives Vorzeichen, zwecks Konsistenz mit (2)]
Viererkraft Lorentz-invariante Viererkraft: Es gilt Dreierkraft: mit relativistischem Dreierimpuls Relativistische Impulserhaltung: in Abwesendheit v. externen Kräften gilt Für Punktteilchen mit zeitunabhängiger Masse: (4) ist die relativistische Version von Newton's 2. Gesetz. Es führt zu folgendem Ausdruck für die räumlichen Komponenten der Kraft (kann gezeigt werden...): Relativistische Trägheitskraft zeigt somit nicht notwendigerweise in Richtung von Relativistische Energie (50.7): Daraus lässt sich Bedeutung von ablesen: = Arbeit, die bei infinitesimaler Verschiebung von der Kraft geleistet wird. Wurde ein anfänglich freies Teilchen eine Zeit lang durch äußere Kräfte beschleunigt, dann hat sich um die geleistete Arbeit verändert, und wird deshalb als "Energie" interpretier mit "relativistischer Energie": (Einstein's berühmte Formel) Für ruhendes Teilchen gilt: "Äquivalenz von Masse und Energie"
Relativistische Energie-Impuls-Beziehung Wir wissen bereits: Relativistische Energie-Impuls- Beziehung: Taylor-Entwicklung: Ruhe- Energie kinetische Energie relativistische Korrektur Photonen: dann muss sein, ansonsten wäre Stattdessen: Zusammenfassung: Relativistische Mechanik Relativistische Masse: Relativistische Energie: Relativistischer Impuls: Energie-Impuls Vierervektor, und Zeit-Ort Vierervektor, haben dieselben Lorentz-Transformationseigenschaften: Energie- und Impulserhaltungssätze sind Lorentz-invariant Im Limes Relativistische Dispersion: Für Photonen: