Labor zur Vorlesung Physik 1. Zur Vorbereitung Die folgenden Begriffe sollten Sie kennen und erklären können: Gravitationsgesetz, Gravitationswaage, gedämpfte Torsionsschwingung, Torsionsmoment, Drehmoment, Dämpfungskonstante, Schwingungsdauer, logarithmisches Dekrement Gravitation.doc Seite 1 von 7 Stand: 10.09.008
Inhaltsverzeichnis... 1 1. Zur Vorbereitung... 1. Theoretische Grundlagen....1 Gravitation.... Gerätebeschreibung....1 Die Gravitationswaage.... Messmethoden.... Geometrische Überlegungen... 4. Winkelrichtgröße und gedämpfte Schwingung... 5 4. Versuchsdurchführung... 5 4.1 Endausschlagmethode... 5 4. Beschleunigungsmethode... 6 5. Arbeitsprogramm... 7 6 Literatur... 7. Theoretische Grundlagen.1 Gravitation Zwischen zwei beliebigen materiellen Punkten mit den Massen m 1 und m wirkt eine anziehende Kraft, die Gravitationskraft F G, deren Größe von der Größe der Massen sowie von deren Abstand s abhängt. G = Gravitationskonstante m m F G = G s 1 (1) Isaac Newton fand dieses Gravitationsgesetz im Jahre 1666 und war damit erstmals in der Lage, die Bewegung eines vom Baum fallenden Apfel ebenso zu beschreiben wie die Bewegung der Planeten um die Sonne. Die Gravitation ist somit eine von nur 4 bekannten fundamentalen Wechselwirkungen. Die anderen sind die elektromagnetische, die starke und die schwache Wechselwirkung. Die beiden letztgenannten treten zwischen den Bausteinen der Atomkerne und den Elementarteilchen auf. Die Größe der anziehenden Gravitationskraft wird nicht nur von der Größe der Massen und deren Abstand sondern auch durch die Proportionalitätskonstante G bestimmt. Diese Gravitationskonstante ist so klein, dass zwischen zwei 1 kg schwere Massen, die 1 m voneinander entfernt sind, nur eine anziehende Kraft von ca. 7 10-11 N wirkt. So gelang es erst dem englischen Physiker Cavendish im Jahre 1798, die Gravitationskonstante g mit einer speziellen Drehwaage, der sog. Gravitationswaage (siehe.1), zu bestimmen. Die Bestimmung der Gravitationskonstante mit Hilfe der Gravitationswaage ist Inhalt dieses Laborversuchs. Gravitation.doc Seite von 7 Stand: 10.09.008
. Gerätebeschreibung.1 Die Gravitationswaage Die Gravitationswaage besteht aus einer waagerechten dünnen Stange, an deren Enden jeweils eine kleine kugelförmige Masse (m 1 ) befestigt ist. Die Stange ist an einem dünnen, vertikalen Draht, der mit einem kleinen Spiegel starr verbunden ist, drehbar aufgehängt. Die Periodendauer dieses Torsionsschwingers beträgt einige Minuten!! Dieser sehr empfindliche Teil der Waage ist durch ein transparentes Kunststoffgehäuse gegen Luftbewegung geschützt. Direkt unterhalb dieses Gehäuses ist eine zweite Stange (Träger) um dieselbe Achse drehbar befestigt. Diese Stange enthält an ihren Enden jeweils eine große Bleikugel der Masse m, die deutlich größer als m 1 ist. Stehen beide Stangen senkrecht zueinander, so heben sich die Gravitationskräfte aller vier Massen gegenseitig auf. Der Drehfaden ist nicht verdrillt, die Waage ist im Gleichgewicht. Lenkt man die Stange mit den großen Kugeln soweit um, dass sich auf beiden Seiten ein definierter, kleiner Abstand zwischen großen und kleinen Kugeln einstellt, so heben sich die Gravitationskräfte nicht mehr auf. Die Kräfte zwischen den Massen am linken und am rechten Ende sind vielmehr gleich groß und im gleichen Drehsinn zur Achse gerichtet. Da die Stange mit den großen Kugeln fixiert ist, entsteht ein Drehmoment auf die Stange mit den kleinen Kugeln. Der Aufhängefaden verdrillt sich so lange bis das Drehmoment auf Grund der Gravitation gleich dem Torsionsmoment des Aufhängefadens ist. Da es sich bei den am Faden aufgehängten Massen um ein Torsions-Schwingungssystem handelt, findet die Bewegung zur neuen Gleichgewichtslage in Form einer gedämpften Schwingung statt. Die Bewegung der Stange mit den kleinen Massen wird mittels eines Laserstrahls, der auf den Spiegel gerichtet ist, mehrfach vergrößert auf einer Skala an der Wand abgebildet und kann dort beobachtet werden.. Messmethoden Die Gravitationskonstante kann mit der Gravitationswaage auf zwei Arten bestimmt werden: 1. Endausschlagsmethode: Ist die gedämpfte Schwingung nach Verdrehen der großen Massen auf die andere Seite abgeklungen, so befindet sich die am Drehfaden aufgehängte Stange mit den kleinen Massen in einer neuen Gleichgewichtslage, in der wieder das Moment aufgrund der Gravitationskräfte M dem Torsionsmoment M T des Fadens gleich ist, allerdings in entgegengesetzter Richtung. Bei bekanntem Torsionsmoment kann also das Gravitationsmoment und daraus die Gravitationskraft ermittelt werden. Das Torsionsmoment ergibt sich aus dem Verdrehwinkel und der Winkelrichtgröße des Fadens. Die Winkelrichtgröße wiederum kann aus der Schwingungsdauer und Dämpfung der gedämpften Schwingung ermittelt werden.. Anfangsbeschleunigungsmethode: Direkt nach dem Verdrehen der großen Massen, wirkt die Beschleunigung des verdrillten Fadens und die Gravitationsbeschleunigung zwischen den Massen in die gleiche Richtung. Da das Torsionsmoment in der alten Gleichgewichtslage dem Drehmoment bedingt durch die Gravitation gleich ist, erhalten die kleinen Kugeln die doppelte Beschleunigung. Das resultierende Moment führt ausschließlich zur Drehbeschleunigung der am Faden aufgehängten kleinen Massen. Der neue Gleichgewichtszustand ist erreicht, wenn beide Momente in der entgegengesetzten Richtung wieder gleich sind. Aus der Anfangsbeschleunigung jedoch kann direkt das beschleunigende Moment und daraus die beschleunigende Kraft ermittelt werden. Gravitation.doc Seite von 7 Stand: 10.09.008
. Geometrische Überlegungen m 1.1, m 1. Massen der kleinen Kugeln m.1, m. : Massen der großen Kugeln s 0 : definierter Abstand zwischen kleinen und großen nach dem Auslenken der großen Kugeln β: Auslenkwinkel des dünnen Stabes aus der Ruhelage Wirkende Gravitationskräfte: Grundsätzlich wirkt jede der beteiligten Massen auf alle anderen Massen anziehend. Allerdings werden die Kräfte zwischen m 1.1 und m 1. sowie zwischen m.1 und m. durch die Verbindungsstangen aufgenommen. Die weiteren Gravitationskräfte führen zu einem Drehmoment auf die Stange mit den kleinen Massen. Dabei wirken die Kräfte von m.1 auf m 1.1 und von m. auf m 1. rechtsdrehend, die Kräfte von m.1 auf m 1. und von m. auf m 1.1 linksdrehend. Die zweitgenannten Kräfte sind auf Grund des größeren Abstandes deutlich kleiner. Das Gesamtdrehmoment ergibt sich zu: M = ( F r F r sin ) () 1 β Setzt man die Gravitationskräfte nach (Gl.1) ein und beachtet, das m 1.1 = m 1. = m 1 und m.1 = m. = m ist, so erhält man nach einigen Umstellungen für das durch die Gravitation verursachte Moment: r m1 m M = G ( 1 sin β ) () s0 Hierbei wird angenommen, dass die Bewegung der kleinen Kugeln klein ist gegenüber dem definierten Abstand s 0 und somit das aufgrund der Gravitation wirkende Drehmoment konstant angenommen werden kann. Der Winkel β kann aus der Gerätegeometrie (r und s 0 ) ermittelt werden. Gravitation.doc Seite 4 von 7 Stand: 10.09.008
.4 Winkelrichtgröße und gedämpfte Schwingung Zur Bestimmung der Gravitationskonstante muss das rücktreibende Torsionsmoment M T des Fadens bekannt sein. Diese ergibt sich aus der Winkelrichtgröße c* und dem Verdrehwinkel Θ End des Fadens zu: M T = c * Θ (4) End Die Winkelrichtgröße c* des Fadens ist nicht konstant und muss bei jedem Versuch aus der Beobachtung der gedämpften Torsionsschwingung bestimmt werden. Für die Kreisfrequenz ω d einer gedämpften Torsionsschwingung gilt: * 4π d = c - Λ ω = (5) T J T d d Hierbei ist T d die Periodendauer der gedämpften Schwingung, J das Massenträgheitsmoment der Achse der kleinen Massen und Λ das logarithmische Dekrement. Λ kann aus Beobachtung aufeinander folgender Maximalamplituden der gedämpften Schwingung ermittelt werden: yˆ i Λ = ln (6) yˆ i+1 Nach Umformung ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die Winkelrichtgröße des Torsionsfadens zu: c * m1 r = ( 4π + Λ ) (7) T d 4. Versuchsdurchführung 4.1 Endausschlagmethode Aus dem aufgenommenen Schwingungsdiagramm werden die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung T d und das logarithmische Dekrement Λ ermittelt und daraus die Winkelrichtgröße c* des Fadens bestimmt. Bei der Ermittlung der neuen Nulllage Θ End ist zu beachten, dass durch die Abbildung mit Hilfe eines Spiegels der Lichtpunkt an der Wand auf beiden Seiten um den doppelten Verdrehwinkel des Fadens wandert. Außerdem bezieht sich Θ End auf den Lotpunkt bzw. Mitte der Skala, da in der Mitte das Torsionsmoment 0 ist d. h. die Auslenkung muß halbiert werden (Siehe Zeichnung). Ist der Abstand Spiegel - Wand l so gilt. Θ = 1 s End arctan l da: 1 s = s max folgt: 1 s arctan max Θ End = l (8) Gravitation.doc Seite 5 von 7 Stand: 10.09.008
Im neuen Gleichgewicht sind wieder Torsionsmoment des Fadens und Drehmoment aufgrund der Gravitation betragsmäßig gleich groß: r m1 m M T = c * Θ End = M = G ( 1 sin β ) (9) s0 c* ΘEnd s0 G = r m m 1 β 1 ( sin ) (10) 4. Beschleunigungsmethode Direkt nach dem Verdrehen der großen Massen, wirkt die Beschleunigung des verdrillten Fadens und die Gravitationsbeschleunigung zwischen den Massen in die gleiche Richtung. Da das Torsionsmoment in der alten Gleichgewichtslage dem Drehmoment bedingt durch die Gravitation gleich ist, erhalten die kleinen Kugeln die doppelte Beschleunigung. Es gilt: r m1 m M = G ( 1 sin β ) = JΘ ɺɺ (11) s0 Die Drehbeschleunigung ɺ θ kann aus der Beschleunigung a des Lichtpunktes auf der Skala ermittelt werden (s(t²)-diagramm liefert die Steigung a/). Mit a Θ ɺɺ = und: l J m r = 1 (1) kann die Gravitationskonstante aus folgender Gleichung bestimmt werden: G 0 r s a = 4l m 1 - sin β ( ) (1) Gravitation.doc Seite 6 von 7 Stand: 10.09.008
5. Arbeitsprogramm Finden Sie in der Excel-Datei Gravitation.xls 6 Literatur 1. Hering,Martin,Stohrer; Physik für Ingenieure; VDI-Verlag. Bergmann,Schäfer; Band 1, Mechanik, Akustik, Wärme; Walter de Gruyter-Verlag. Falk,Ruppel; Mechanik, Relativität, Gravitation; Springer-Verlag 4.Hauger,Schnell,Gross; Technische Mechanik ; Springer-Verlag Gravitation.doc Seite 7 von 7 Stand: 10.09.008