Mathematik I+II für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 I. Wiederholung Schulwissen 1.1. Zahlbereiche 1.2. Rechnen mit reellen Zahlen 1.2.1. Bruchrechnung 1.2.2. Betrag 1.2.3. Potenzen 1.2.4. Wurzeln 1.2.5. Logarithmen 1.3. Intervalle 1.4. Gleichungen 1.5. Ungleichungen 1.6. Summenzeichen und Produktzeichen 1.7. Binomischer Satz II. III. komplexe Zahlen 2.1. algebraische bzw. kartesische Form 2.2. trigonometrische Form 2.3. Exponentialform 2.4. Radizieren Lineare Algebra 3.1. Vektorrechnung 3.1.1. Vektoren 3.1.2. Rechnen mit Vektoren 3.1.3. Lineare Unabhängigkeit 3.1.4. Vektoren im kartesischen Koordinatensystem 3.1.5. Produkte von Vektoren 3.1.5.1. Skalarprodukt 3.1.5.2. Vektorprodukt 3.1.5.3. Spatprodukt 3.1.6. Geometrische Anwendungen 3.1.6.1. Geraden 3.1.6.2. Ebenen 3.2. Matrizen 3.2.1. Grundbegriffe 3.2.2. Operationen auf Matrizen 3.2.3. Determinante 3.2.4. Inverse Matrix 3.3. Lineare Gleichungssysteme (LGS) 3.3.1. Algorithmus von Gauß
3.3.2. Lösungsfälle eines LGS 3.3.3. LGS zum Bestimmen der inversen Matrix 3.4. Eigenwerte und Eigenvektoren IV. Funktionen 4.1. Definitionen 4.2. Darstellungsformen 4.3. Eigenschaften von Funktionen 4.4. Umkehrfunktion 4.5. Wichtige Funktionenklassen 4.5.1. Polynome 4.5.2. Hyperbelfunktionen V. Differentialrechnung 5.1. Zahlenfolgen 5.1.1. Konvergenz 5.1.2. Wichtige Grenzwerte 5.1.3. Grenzwertsätze 5.2. Grenzwerte von Funktionen 5.3. Stetigkeit 5.4. Der Ableitungsbegriff 5.4.1. Differentialquotient 5.4.2. Ableitung elementarer Funktionen 5.4.3. Ableitungsregeln 5.4.4. logarithmische Differentiation 5.4.5. Ableitung der Umkehrfunktion 5.4.6. Differential 5.4.7. Höhere Ableitungen 5.4.8. Satz von Taylor 5.4.9. L Hospitalsche Regel 5.4.10. Untersuchung von Funktionen durch Ableitung 5.5. Kurvendiskussion am Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion 5.6. Das Newton-Verfahren VI. Integralrechnung 6.1. unbestimmte Integrale 6.1.1. Stammfunktion, unbestimmtes Integral 6.1.2. Grundintegrale 6.1.3. Technik des Integrierens 6.1.3.1. Grundlegendes 6.1.3.2. Integration durch Substitution 6.1.3.3. Partielle Integration 6.1.3.4. Integration gebrochenrationaler Funktionen
6.2. Bestimmte Integrale 6.2.1. Definition des bestimmten Integrals 6.2.2. Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung 6.2.3. Eigenschaften 6.2.4. Mittelwertsatz der Integralrechnung 6.2.5. Integrationsmethoden 6.2.5.1. Substitution 6.2.5.2. Partielle Integration 6.2.5.3. Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 6.2.6. Anwendungen 6.2.6.1. Flächeninhalt 6.2.6.2. Volumen eines Rotationskörpers 6.2.6.3. Mantelfläche eines Rotationskörpers 6.2.6.4. Bogenlänge einer ebenen Kurve 6.2.6.5. Schwerpunkt einer ebenen Fläche 6.2.6.6. Guldinsche Regel 6.2.7. Uneigentliche Integrale 6.2.8. Numerische Integration VII. Funktionen mehrerer Variablen 7.1. Darstellungsformen einer Funktion 7.1.1. Analytische Darstellung 7.1.2. Graphische Darstellung 7.1.2.1. Darstellung von z = f(x, y) als Fläche im Raum 7.1.2.2. Höhenliniendiagramme 7.1.3. Vektorielle Schreibweise 7.2. Grenzwert von Funktionen 7.3. Stetigkeit von Funktionen 7.4. Differentiation 7.4.1. Richtungsableitung 7.4.2. partielle Ableitungen 7.4.3. partielle Ableitungen höherer Ordnung 7.4.4. Der Gradient 7.5. Linearisierung 7.5.1. Tangentialebene 7.5.1.1. Parameterdarstellung 7.5.1.2. Hessesche Normalform 7.5.1.3. Analytische Form 7.5.2. Approximation durch Tangentialebene 7.5.3. Das totale Differential 7.6. Die verallgemeinerte Kettenregel 7.7. Implizite Differentiation 7.8. lokale Extremwerte
VIII. Mehrfachintegrale 8.1. Doppelintegrale / Flächenintegrale 8.1.1. Definition 8.1.2. Eigenschaften 8.1.3. Berechnung von Doppelintegralen 8.1.3.1. kartesische Koordinaten 8.1.3.2. Polarkoordinaten 8.1.3.3. beliebige Koordinaten Transformationsformel 8.1.4. Anwendungen 8.1.4.1. Flächeninhalt 8.1.4.2. Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche 8.2. Dreifachintegrale / Volumenintegrale 8.2.1. Definition 8.2.2. Eigenschaften 8.2.3. Transformationsformel 8.2.4. Berechnung von Dreifachintegralen 8.2.4.1. kartesische Koordinaten 8.2.4.2. Zylinderkoordinaten 8.2.4.3. Kugelkoordinaten 8.2.5. Anwendungen 8.2.5.1. Volumen eines Körpers 8.2.5.2. Masse eines Körpers 8.2.5.3. Schwerpunkt eines Körpers 8.2.5.4. Massenträgheitsmoment eines Körpers IX. Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) 9.1. Grundbegriffe 9.1.1. Einführende Beispiele 9.1.2. Definition 9.1.3. Anfangswert- und Randwertprobleme 9.2. DGL 1. Ordnung 9.2.1. geometrische Betrachtungen 9.2.2. Lösungsverfahren 9.2.2.1. Trennung der Variablen 9.2.2.2. Substitution 9.2.2.3. lineare DGL y + f(x)y = g(x) 9.3. lineare DGL 2. Ordnung 9.3.1. homogene lineare DGL 2. Ordnung 9.3.2. lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 9.3.2.1. homogener Fall 9.3.2.2. inhomogener Fall 9.3.3. Anwendungen 9.3.3.1. allgemeine Schwingungsgleichung 9.4. Systeme lineare DGL 9.4.1. homogene DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten
X. Reihen 10.1. einführende Beispiele 10.2. Definitionen 10.3. Konvergenzkriterien 10.3.1. Quotientenkriterium 10.3.2. Wurzelkriterium 10.3.3. Vergleichskriterien 10.3.4. Leibnizkriterium 10.4. Eigenschaften (absolut) konvergenter Reihen 10.5. Potenzreihen 10.6. Fourierreihen XI. Fouriertransformation