Drehungen in der Ebene mittels Drehmatrizen

Drehmatrix Drehungen in der Ebene mittels Drehmatrizen a) Drehungen um den Ursprung O Abb.1 Abb.2 1 Bei einer Drehung um den Ursprung O mit dem Drehwinkel α wird der Einheitsvektor u r = 0 cos( α ) 0 auf den Vektor u ' = abgebildet (vgl. Abb.1) und der Einheitsvektor v r = auf den sin( α ) 1 - sin( α ) Vektor v ' = (vgl. Abb.2). cos( α ) Ein beliebiger Vektor r x 1 x = = x y 0 + y 0 1 wird dann abgebildet auf den Vektor: cos( α ) -sin( α ) x + y sin( α ) cos( α ) x cos( α ) + y (-sin( α )) cos( α ) = = x sin( α ) + y cos( α ) sin( α ) - sin( α ) x = cos( α ) y r D x Für die zur Drehung um O mit dem Drehwinkel α gehörende Matrix D (Drehmatrix) cos( α ) - sin( α ) gilt somit: D = sin( α ) cos( α ) Für einen Punkt A ergibt sich der Bildpunkt A (mittels Drehung um O mit dem Winkel α) mit A ' = D A b) Drehungen um ein beliebiges Drehzentrum M Ein Punkt B soll um einen Punkt M mit dem Winkel α gedreht werden (vgl. Abb.3). Dazu erfolgt zunächst eine Verschiebung mit dem Verschiebungsvektor (-M), die M in den Ursprung verschiebt. B wird dabei auf (B - M) abgebildet. Anschließend wird mittels der Matrix D die Drehung um den Ursprung vollzogen, wobei der Punkt (B-M) auf D (B - M) abgebildet wird. Schließlich wird die anfängliche Verschiebung mittels des entgegengesetzten Verschiebungsvektors M wieder rückgängig gemacht, sodass der Punkt B letztlich auf Abb. 3 D (B - M ) + M abgebildet wird. 1 / 2

Drehmatrix Definiere einen Schiebereglers für den Drehwinkel t im Bogenmaß von 0 bis 2π und die Drehmatrix D als Liste von Listen (Zeilenvektoren) D = {{ cos(t), -sin(t) }, { sin(t), cos(t) }}. Setze A = (2,1), B = (6,1), O = Schnitt[xAchse,yAchse] und M = (5,2), dann liefert A' = D A den um O durch den Winkel t gedrehten Punkt A und B' = M + D (B-M) den um M durch den Winkel t gedrehten Punkt B. Trage noch die Vektoren a = Vektor[A], u = Vektor[M,B], sowie die Kreisbögen von A nach A' und von B nach B' ein und beschrifte die Vektoren mit Pfeilen unter Eigenschaften Grundeinstellungen z.b. durch $\vec{a}$ (LaTeX) und Wahl von Beschriftung anzeigen. Wie hängen die Längen der Bögen mit dem Drehwinkel t zusammen? Unter Eigenschaften Erweitert kann man bei der Winkeleinheit zwischen Grad und Radiant wählen. Das File Schwerpunkt-vektoriell.ggb zeigt mittels der Linearen Unabhängigkeit von Vektoren einen vektoriellen Beweis, dass der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden diese im Verhältnis 2:1 teilt. Mittels des Schiebereglers T werden die Objekte ein oder ausgeblendet, siehe bei den Objekten die Bedingungen unter Eigenschaften - Erweitert. 2 / 2

Bild-Einbinden Bild-Einbinden Wähle in einem neuen GeoGebra-Fenster in der Menüleiste das Werkzeug Bild, klicke im Zeichenfenster eine Stelle (oder einen Punkt) für die linke untere Ecke des Bildes an und wähle z.b. aus dem Ordner Bild-Einbinden das File Bild.png (oder ein anderes Bild im jpg-, jpeg-, gif-, bmp-, oder svg Format). Das Bild ist dann über zwei Punkte (die linke und rechte untere Ecke) im Zeichenfenster beliebig zu skalieren und zu positionieren, vgl. Bild-1.ggb. Da es zunächst als Hilfsobjekt geladen wird, erscheint es zunächst nicht in der Algebra- Ansicht, siehe Eigenschaften -> Grundeinstellungen. Dort kann man es auch als Hintergrundbild setzen. Dann ist es (wie gewünscht) nicht mehr durch Mausklick auswählbar. Im File Bild-2.ggb sind die Ecken des Bildes auf die Eckpunkte Ei = Eckpunkt[i], i = 1, 2, 4 des Zeichenfensters positioniert mit dem Nachteil, dass das Bild bei Änderung des Zeichenblatts verzerrt wird (der Kreis bleibt ein Kreis). Zudem kann es als Hilfsobjekt und Hintergrundbild nur noch über Bearbeiten -> Eigenschaften ausgewählt und bearbeitet werden. 1 / 1

Eigenvektoren Ausblick auf die Lineare Algebra Betrachtet man die lineare Abbildung : mit einer 2x2-Matrix als Selbstabbildung des Vektorraums auf sich, so kann man nach Vektoren fragen, deren Bild ein Vielfaches des Vektors ist. Da das Bild des Nullvektors stets der Nullvektor ist, sucht man speziell Vektoren deren Bild, ist. Öffne das File Eigenvektoren.ggb und klicke dich mittels der Navigationsleiste durch die ersten Schritte bis zum Schritt 9. Versuche dann durch Verschieben von Eigenvektoren zu finden. Was kannst Du dabei feststellen? Gehe in der Navigation weiter. In der Grafik-Ansicht 2 erscheint ein Polynom, dessen Nullstellen notwendige Bedingungen für die Existenz von nichttrivialen Lösungen des LGS:,,, det 0 mit der Einheitsmatrix liefern, wobei : ein Polynom 2.Grades in ist. Beachte: Für 0 ist invertierbar und einzige Lösung des LGS. Die reellen Nullstellen, bezeichnet man als Eigenwerte von und die Lösungen, des LGS,, als Eigenvektoren von Da in diesem LGS die beiden Gleichungen linear abhängig sind, erhält man jeweils eine Lösung, aus einer der beiden Gleichungen einfach als: e_i=vektor[wenn[x(v_2) 0 x(v_1) - λ_i 0, (y(v_2) - λ_i, -y(v_1)), (-x(v_2), x(v_1) - λ_i)]] i=1 oder 2, wobei berücksichtigt wird, dass die erste Gleichung eine Nullzeile sein könnte., spannen dabei jeweils einen eindimensionalen Lösungsraum auf. Beachte: Nicht alle 2x2-Matrizen besitzen zwei verschiedene reelle Eigenwerte und zugehörige reelle Eigenvektoren. Diese Fälle müssen eigens untersucht werden -> Lineare Algebra. 1 / 1

Treffer Treffer oder nicht? Im File Treffer.ggb ist die Richtung ( u=vektor[(-3,2)] ) eines Strahls s mit Anfangspunkt A sowie eine Strecke t = [B,C] (Target) und die (Orts-) Vektoren zu A, B und C gegeben. Dabei wurde mit dem Werkzeug Vektor von Punkt aus abtragen durch Anklicken von u und A der Punkt Aʹ und der Vektor u_a erzeugt und die Beschriftung jeweils als LaTeX- Formel eingegeben, z.b. $\vec{u}$ siehe Eigenschaften -> Grundeinstellungen. Ziel ist es, mit Hilfe der analytischen Geometrie möglichst effizient festzustellen, ob der Strahl s das Target t trifft, und in diesem Fall den reflektierten Strahl sʹ zu bestimmen. Dazu verwendet man jeweils die Punkt-Richtungsform zur Darstellung von s und t. Durch Gleichsetzen erhält man ein Lineares Gleichungssystem (LGS) dessen Koeffizientenmatrix man in GeoGebra als Liste von Listen eingibt: M = {{x(u), -x(v)}, {y(u), -y(v)}}. 1 / 2

Treffer Wenn die Vektoren und linear unabhängig sind (d.h. s und t nicht parallel liegen), erhält man die Lösung des LGS dann einfach als l = M^(-1)(b-a), wobei = x(l) und = y(l) ist. Damit kann man bereits entscheiden, ob ein Treffer vorliegt oder nicht, vgl. den Wahrheitswert ww = Wenn[(x(l) > 0) (0 y(l)) (y(l) 1), true, false]. Mit diesem Wahrheitswert kann man nun den LaTeX-Text \Rightarrow \; \; Treffer oder \Rightarrow \; \; kein \; Treffer ein- bzw. ausblenden. Im Fall des Treffers erhält man die Koordinaten von D als d = a + x(l) u sowie den Schnittwinkel = arccos(u v / sqrt(u u) / sqrt(v v)), wobei u v bzw. u*v das Standard-Skalarprodukt von Vektoren liefert, siehe auch das File Skalarprodukt.ggb, in dem auch die Formel für die Richtung des reflektierten Strahls angegeben ist. Um als Winkel im Gradmaß auszugeben, muss man dies unter Eigenschaften -> Erweitert auswählen. Physikalisch ist die Arbeit das Produkt der Kraft in Richtung des Weges mit der Länge des Weges und führt auf die Definition des Skalarprodukts cos,. Dabei folgt aus der rechten Seite der Definition cos, direkt die positive Definitheit 0, die Orthogonalität 0 und die Symmetrie. Mit der Bilinearität ergibt sich bezogen auf die Orthonormalbasis, 1, 0, 1 des kartesischen Koordinatensystems automatisch das Standard-Skalarprodukt: Anmerkungen zu obiger Fragestellung: Trifft der Strahl s das Target t? 1) Einsetzen der Punkt-Richtungsform des Strahls s in die Koordinatengleichung der Geraden BC liefert den Schnittpunkt D = s BC aber nicht die Lage von D zur Strecke [B,C]. 2) Mit orientierten Flächeninhalten von Dreiecken könnte man schnell feststellen, ob B und C auf verschiedenen Seiten des Strahls liegen. Das reicht aber nicht als Treff-Kriterium. 2 / 2

Linearkombination Von einer Linearkombination zur linearen Abbildung Öffne neben dem Grafik-Fenster ein zweites (Ansicht -> Grafik2) und ordne beide Fenster nebeneinander. Gib in beiden Fenstern ein Koordinatensystem mit dem Ursprung O = (0,0) aus. Setze dazu z.b. O = Schneide[xAchse, yachse] und wähle unter Eigenschaften -> Erweitert unten: Wähle dann in Grafik 2 zwei linear unabhängige Vektoren,, setze unter Eigenschaften -> Grundeinstellungen bei Beschriftung $\vec{v}_1 (bzw. 2) $ und wähle Beschriftung unter Beschriftung anzeigen. Wähle dann in Grafik einen Punkt P und bestimme in Grafik 2 die Linearkombination von,, mit den Koordinaten x 1 =x(p) und x 2 =y(p) als Koeffizienten. Wählt man unter Beschriftung bei P Name & Wert, so steht dort: P = (2, 2). Um dort P = (x 1, x 2 ) = (2, 2) auszugeben, setze einen Text P = (x_1, x_2) = (Objekt P) und positioniere ihn unter Eigenschaften -> Position am Punkt P. Wähle dann in Grafik 2 einen Vektor und bestimme die Koeffizienten y 1 und y 2 der Linearkombination von,, die in Grafik einen Punkt Q = (y 1, y 2 ) festlegen. Den Text am Vektor erhält man mit \left(\begin{array}{} q_1' \\ q_2' \\ \end{array} \right) = (Objekt qʹ). Die Lösung des LGS erhält man elementargeometrisch oder mit der angegebenen allgemeinen Lösungsformel. Einfacher geht es mit Hilfe der Linearen Algebra: 1 / 2

Betrachte den Vektor als Vektor ( p = Vektor[P] oder Vektor[O,P] ) des Vektorraums ( IR 2, +, ) und die Linearkombination als lineare Abbildung Linearkombination f: mit der Matrix und. Sind die Vektoren, linear unabhängig, so ist diese Abbildung eineindeutig, d.h. es existiert die Umkehrabbildung f -1 : mit der Matrix. Beachte:, sind linear abhängig 0. In GeoGebra gibt man Matrizen als Listen von Listen ein, hier: M = { {x(v_1), x(v_2)}, {y(v_1), y(v_2) } } und erhält damit pʹ = M p und q = M^(-1) qʹ. Da, veränderlich sind, d.h. ggfs. linear abhängig sind, wird im File Linearkombination.ggb die inverse Matrix nur im Fall 0 erzeugt, vgl. Mʹ und der Wahrheitswert ww = Wenn[ Determinante[M] 0, false, true], mit dem auch einige Objekte ausgeblendet werden. Ausblick in die Lineare Algebra Der Fall, dass, linear abhängig sind, führt auf zahlreiche Begriffe der Linearen Algebra, so das Bild des Vektorraumes (IR 2,+, ) mittels der linearen Abbildung f, das für ein eindimensionaler Untervektorraum (dargestellt in Grafik 2) ist, siehe Linearkombination- Zusatz.ggb und betrachte die Bilder von. Die Frage nach allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden, liefert einen eindimensionalen Untervektorraum im Ausgangsraum, den sogenannten Kern von f. Da x(v 1 ) und x(v 2 ) Null sein können, benötigt die Bestimmung eines Vektors des Kerns eine Fallunterscheidung. Vektor[Wenn[ x(v_1) > y(v_1), (-x(v_2), x(v_1)), (-y(v_2), y(v_1))]] liefert offenbar stets einen solchen Vektor für das Urbild des Nullvektors. Die Frage nach allen Vektoren, die auf den Vektor abgebildet werden, liefert eine Nebenklasse des Kerns, die ein Element der sogenannten Faktorgruppe ist. Auch bei der Bestimmung eines Vektors dieser Nebenklasse ist eine Fallunterscheidung nötig. Vektor[(Wenn[ x(v_1) > y(v_1), x(q') / x(v_1), y(q') / y(v_1)], 0 )] liefert offenbar stets einen solchen Vektor mit und damit die Nebenklasse als. Offenbar gilt auch der Dimensionssatz: dim(kern f ) + dim(bild f ) = dim(ir 2 ) des Ausgangsraumes. Für ist f die Nullabbildung und es gilt: Bild f = { } und Kern f = IR 2. 2 / 2