Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen mit konvergenten Reihen Folgen und Reihen 1
1. Folgen und Reihen Exkurs (1) Rechnen mit Beträgen Dreiecksungleichung Folgen und Reihen 2
1. Folgen und Reihen Exkurs (2) Rechnen mit Ungleichungen Folgen und Reihen 3
1. Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion Problem: Gilt eine Aussage für alle? Methode: 1) Induktionsbeginn: Man zeigt, dass gilt. ( : Startwert) 2) Induktionsannahme: Man nimmt an, dass gilt. 3) Induktionsschluss: Man zeigt, dass gilt. Folgen und Reihen 4
1. Folgen und Reihen Vollständige Induktion Beispiel 1.1: zu zeigen: I.-Beginn: I.-Schluss: zu zeigen: I.-Beginn: I.-Schluss: Folgen und Reihen 5
1. Folgen und Reihen 1.2 Zahlenfolgen Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Zuordnung, die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zuordnet. explizit, z.b.: implizit, z.b.: erstes Glied allgemeines Glied Index monoton wachsend: monoton fallend: beschränkt: Folgen und Reihen 6
1. Folgen und Reihen Zahlenfolgen Beispiel 1.2: A) B) C) arithmetisch: D) geometrisch: E) (Fibonacci) Folgen und Reihen 7
1. Folgen und Reihen Zahlenfolgen Begriff Konvergenz Definition 1.1: beschränkt monoton wachsend Bezeichnung: x Grenzwert, Limes; Konvergenz ist unabhängig von den ersten Gliedern! divergent Nullfolge Folgen und Reihen 8
1. Folgen und Reihen Begriff Konvergenz Beispiel 1.3: A) beschränkt monoton fallend Grenzwert: -2 B) (geometrisch) Nullfolge für konvergiert 0 Folgen und Reihen 9
1. Folgen und Reihen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen Grenzwert ist stets eindeutig konvergent beschränkt jede unendliche Teilfolge konvergiert zum gleichen Grenzwert z. B. (-1) n Rechenregeln: Regel 2.1: einfacher Sonderfall: Regel 2.2: Folgen und Reihen 10
1. Folgen und Reihen Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen Beispiel 1.4: Nullfolgen: Folgen und Reihen 11
1. Folgen und Reihen 1.4 Konvergenzkriterien bisher: ist Grenzwert von ist nicht Grenzwert von wichtiger: konvergiert? (x unbekannt oder kompliziert) Kriterium 1.1 (Monotoniekriterium): beschränkt, monoton konvergent Folgen und Reihen 12
1. Folgen und Reihen Konvergenzkriterien Kriterium 1.2 (Vergleichskriterium): Kriterium 1.3 (Cauchy-Kriterium): Der Abstand von Folgegliedern mit hinreichend großem Index muss beliebig klein werden. Folgen und Reihen 13
1. Folgen und Reihen Einige häufig verwendete Folgen Folgen und Reihen 14
1. Folgen und Reihen häufig verwendete Folgen Bemerkung: von Interesse: Folgen und Reihen 15
1. Folgen und Reihen A) Beispiel 1.5: Nullfolgen konvergent, wegen Kriterium 1.1 B) konvergent, wegen Kriterium 1.2 Folgen und Reihen 16
1. Folgen und Reihen C) konvergent, wegen Kriterium 1.3 n 1 2 2 2,25 5 2,49 10 2,59 20 2,65 50 2,69 x n n x n 100 2,70 1.000 2,7169 10.000 2,71815 10 5 2,71825 10 6 2,7182183 Folgen und Reihen 17
1. Folgen und Reihen 1.5 Unendliche Reihen Summe der n Folgeglieder einer reellen Zahlenfolge neue Folge = Reihe : unendliche Reihe : Glieder : Teilsummen Summe Wert (Cauchy) Folgen und Reihen 18
1. Folgen und Reihen Unendliche Reihen Beispiel 1.6: A) konvergent B) divergent Folgen und Reihen 19
1. Folgen und Reihen Unendliche Reihen Bemerkung: Die Summe einer konvergenten Reihe ist keine Summe im gewöhnlichen Sinn! sondern: Die Rechenregeln für gewöhnliche Summen sind deshalb nicht ohne weiteres übertragbar: Aber: Folgen und Reihen 20
1. Folgen und Reihen Unendliche Reihen harmonische Reihe: Beweis von N. Oresme (1350) Computer mit 10 9 Additionen / sec rechnet 3 10 26 Jahre Universum ist 2 10 10 Jahre alt nur Primzahlen Folgen und Reihen 21
1. Folgen und Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen Kriterium 1.4 (Cauchykriterium): häufiger Sonderfall: Reihen mit positiven Gliedern Kriterium 1.5 (Monotoniekriterium) : leichter anzuwenden: Kriterium 1.6 (Vergleichskriterium): Folgen und Reihen 22
1. Folgen und Reihen Eigenschaften unendlicher Reihen Vergleich mit geometrischer Reihe: Kriterium 1.7 (Quotientenkriterium): Kriterium 1.8 (Wurzelkriterium): Folgen und Reihen 23
1. Folgen und Reihen 1.7 Rechnen mit konvergenten Reihen endliche Summe : Reihe : vgl. Klammern weglassen im Allgemeinen nicht erlaubt! Umordnen im Allgemeinen nicht erlaubt! Klammern setzen ist in konvergenten Reihen erlaubt Regel 1.3: gliedweise Addition Klammern weglassen hier erlaubt Regel 1.4: skalare Multiplikation Folgen und Reihen 24
1. Folgen und Reihen Rechnen mit konvergenten Reihen Im folgenden Beschränkung auf absolut konvergente Reihen, d.h. konvergiert ( konvergiert) Regel 1.5: Absolut konvergente Reihen darf man beliebig umordnen Regel 1.6:, beide absolut konvergent Produkt absolut konvergenter Reihen Folgen und Reihen 25
1. Folgen und Reihen Einige häufig verwendete Reihen Folgen und Reihen 26
1. Folgen und Reihen Einige häufig verwendete Reihen Folgen und Reihen 27
1. Folgen und Reihen N. H. Abel (1828): Die divergenten Reihen sind eine Erfindung des Teufels, und es ist eine Schande, sie überhaupt für Beweise heranzuziehen. sie sind für eine ganze Reihe von Irrtümern und Paradoxien verantwortlich vgl. Folgen und Reihen 28
Aufgaben im Tutorium Buch: A 1.2 A 1.6 A 1.7 A 1.9 A 1.14 a) und b) A 1.15 b) und c) A 1.16 Folgen und Reihen 29