Diskrete Strukturen Handout für den Start

Diskrete Strukturen Handout für den Start Wintersemester 2016/17 Bauhaus-Universität Weimar Stefan Lucks Professor für Mediensicherheit 10. Oktober 2016 Dies ist eine Zusammenstellung der wichtigsten Begriffe und der Schreibweisen, die im Rahmen der Vorlesung und Übung Diskrete Strukturen benutzt werden, sowie der mathematischen Grundlagen, die Ihnen zum größten Teil aus der Schule bekannt sein sollten. 1 Mengen und Logik 1.1 Mengen Eine Menge gibt man entweder durch eine Aufzählung aller in ihr enthaltenen Elemente an, z.b. A = {2, 3, 5} bzw. B = {2, 4, 6, 8,...}, oder durch die Angabe von Eigenschaften, die alle Elemente der Menge erfüllen müssen, z.b. C = {n N n ungerade}, D = {n N n prim}, E = {n N n < 5, n > 3} = {4}, F = {z Z z 2 < 3} = { 1, 0, 1}. Wir scheiben {} für die leere Menge, für das Enthaltensein eines Elements in einer Menge (z.b. 4 B), für die Teilmengeneigenschaft (z.b. {} {2, 3} A D) und bzw. für das jeweilige Gegenteil (z.b. 4 A bzw. {2, 3} B). Ein Element kann entweder in einer Menge enthalten sein, oder nicht. Insbesondere unterscheiden wir bei Mengen nicht, wie oft ein Element in ihr vorkommt, oder in welcher Reihenfolge die Elemente aufgezählt werden, z.b. gilt {5, 5, 2, 3} = {5, 2, 2, 3} = {5, 2, 3} = {5, 3, 2} = A. Die Anzahl der Elemente einer Menge M schreiben wir mit M, unter Verwendung des Symbols für unendlich. (Z.B. ist A = F = {1, 1, 2, 3} = 3, B = und C =.) Den Durchschnitt von Mengen schreiben wir mit, die Vereinigung mit, die Differenz mit \, und die symmetrische Differenz mit. D.h., für zwei Mengen M und N gilt: M N = {x M x N}, 1

M N = {x x M oder x N}, M\N = {x M x N} und M N = (M N)\(M N). Ist eine Menge (ein Elemente-Universum ) U festgelegt, ist auch das Komplement M einer Menge M U definiert: M = U\M. Wie man leicht verifizieren kann, gilt M M = U und M M = {}. 1.2 Die Aussagenlogik Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem man sinnvoll sagen kann, dass es entweder wahr oder falsch ist auch wenn man im Einzelfall vielleicht nicht sagen kann, ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Aussagen sind z.b. P = Es gibt unendlich viele Primzahlen. 1 Q = Es gibt unendlich viele gerade Primzahlen. R = Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge. 2 S = Von den Aussagen P, Q und R ist mindestens eine wahr, und mindestens eine falsch. T = Es gibt mindestens drei Primzahlen. T = Es gibt mindestens drei Primzahlen, die kleiner als fünf sind. Beachten Sie, dass die Aussagen P und T wahr, und Q und T falsch sind. Deshalb ist S wahr. Ob R wahr ist, wissen wir nicht. Keine Aussagen sind die folgenden sprachlichen Gebilde: Was ist eine Primzahl? Dieser Satz ist falsch. Aussagen kann man negieren oder auf andere Weise verknüpfen, um neue Aussagen zu gewinnen. Diese Operationen definieren wir über eine Wahrheitstabelle. Zur Vereinfachung assozieren wir 0 mit falsch und 1 mit wahr. (Das ist einfach eine bequeme Notation Wahrheitswerte sind keine Zahlen! ) 1 X N ist eine Primzahl, wenn X durch genau zwei natürliche Zahlen teilbar ist, nämlich 1 und X. Die kleinste Primzahl ist die 2, weil die 1 nur durch eine einzige Zahl teilbar ist. 2 Primzahlzwilling ist ein Paar von Primzahlen, zwischen denen nur eine weitere Zahl liegt, z.b. (3, 5) und (17, 19). Die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, konnte bisher weder bewiesen noch widerlegt werden. 2

Negation Oder Und Exklusiv-oder Wenn-dann V W V V W V W V W V W 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 Als Beispiel, hier eine Reihe wahrer Aussagen: T = Es gibt höchstens zwei Primzahlen, die kleiner als fünf sind. Q T = Es gibt unendlich viele gerade Primzahlen oder es gibt mindestens drei Primzahlen. P T = Es gibt unendlich viele Primzahlen und es gibt mindestens drei Primzahlen. P T = Entweder es gibt unendlich viele Primzahlen, oder es gibt mindestens drei Primzahlen, die kleiner als fünf sind. Q Q = Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, oder es gibt nicht unendlich viele Primzahlzwillinge. Q R = Wenn es unendlich viele gerade Primzahlen gibt, dann gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge. Das Beispiel zum wenn-dann Operator mag überraschen wir wissen nicht, ob die Aussage R wahr ist. Das macht nichts, denn weil Q falsch ist, ist Q R wahr, unabhängig von R. Nur wenn Q wahr ist, hängt die Wahrheit von Q R von R ab: Q R Q R Q R. Die Umformung Q R Q R gilt dank der DeMorganschen Regeln (s.u.). Beachten Sie, dass das umgangssprachliche Wenn... dann... eine andere Bedeutung haben kann, als das mathematische. Die umgangssprachliche Aussage Wenn ich meine Aufgaben geschafft habe, dann gehe ich ins Kino würde mathematisch bedeuten, dass man ins Kino gehen muss, wenn man die Aufgaben geschafft hat, aber ins Kino gehen kann, wenn man bei den Aufgaben gescheitert ist: Aufgaben Kino. Umgangssprachlich dürfte aber eher gemeint sein, dass man nur dann ins Kino geht, wenn man (zuvor) die Aufgaben geschafft hat: 3 Aufgaben Kino. 3 Dann viel Erfolg bei den Aufgaben, und danach viel Spass im Kino. 3

1.3 Rechenregeln für Mengen und Aussagen Mit Mengen kann man symbolisch rechnen. Es gelten die folgenden Rechenregeln : Kommutativgesetze: M N = N M und M N = N M. Neutrale Elemente: M U = M und M {} = M. (U das Universum ). Inverse Elemente: M M = U und M M = {}. (U das Universum ). Assoziativgesetze: L (M N) = (L M) N und L (M N) = (L M) N. Distributivgesetze: L (M N) = (L M) (L N) und L (M N) = (L M) (L N). Doppeltes Komplement M = M. DeMorgan-Regeln: M N = M N und M N = M N. Die Rechenregeln der Aussagenlogik sind ganz ähnlich wie die für Mengen: Kommutativgesetze: V W = W V und V W = W V. Neutrale Elemente: V 1 = V und V 0 = V. Inverse Elemente: V V = 1 und V V = 0. Assoziativgesetze: L (V W ) = (L V ) W und L (V W ) = (L V ) W. Distributivgesetze: L (V W ) = (L V ) (L W ) und L (V W ) = (L V ) (L W ). Doppelte Negation V = V. DeMorgan-Regeln: V W = V W und V W = V W. 1.4 Prädikatenlogik Um interessante Aussagen machen zu können, entwickelt man die (sehr schlichte) Aussagenlogik zur Prädikatenlogik weiter, indem man Prädikate und Quantoren einführt: Ein Prädikat ist eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt von einer oder mehreren Variablen abhängen kann, z.b. X ist eine Primzahl, x < y, z ist das Produkt von x und y (oder kurz z = x y ),... Um daraus Aussagen zu machen, müssen die Variablen quantifiziert werden. Dazu gibt es zwei Quantoren, nämlich den Allquantor,, sprachlich für alle, und den Existenzquantor, sprachlich es gibt ein. Beispiele für Aussagen, die aus Quantoren und Prädikaten bestehen: 4

x N : x ist eine Primzahl (falsch nicht alle natürlichen Zahlen sind prim) x N : x ist eine Primzahl (wahr es gibt natürliche Zahlen, die prim sind) x N : x < x + 1 (wahr) x N : x = x x (wahr man denke an x = 1) Etwas komplexere Beispiele: x N : y N : y < x (falsch), x Z : y Z : y < x (wahr). a N : b N : c N : c = a b (wahr). In der Prädikatenlogik gelten die Rechenregeln der Aussagenlogik (klar, denn die Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik), und zusätzlich die folgenden Rechenregeln: Negation: x : Z(x) x : Z(x) und x : Z(x) x : Z(x). Ausklammerung: ( x : Z 1 (x)) ( x : Z 2 (x)) x : (Z 1 (x) Z 2 (x)) und ( x : Z 1 (x)) ( x : Z 2 (x)) x : (Z 1 (x) Z 2 (x)). Vertauschung: x : y : Z(x, y) y : x : Z(x, y) und x : y : Z(x, y) y : x : Z(x, y). Dank der Vertauschungsregel kann man auch schreiben: x, y : Z(x, y) bzw. x, y : Z(x, y). Ein Beispiel sei die folgende wahre Aussage: x, y N : (P (x) P (y)) P (x y). Die Vertauschungsregel gilt nur für gleiche Quantoren. Ein verbreiteter Fehler ist, die folgende Un-Regel anzuwenden: x : y : Z(x, y) y : x : Z(x, y) Fehler!!! 2 Zahlenmengen Die Mengen der natürlichen Zahlen (ohne Null) N = {1, 2,...}, der natürlichen Zahlen mit Null N 0 = {0, 1, 2,...}, der ganzen Zahlen Z = {x, x x N} {0}, der rationalen Zahlen Q = {x/y x Z, y N} und der reellen Zahlen R = Q {..., 2,..., π,...} 5

sollten Ihnen bekannt sein 4 einige dieser Symbole haben wir ja bereits benutzt. Insbesondere gilt N N 0 Z Q R. Wenn man eine rationale Zahl als Dezimalzahl darstellt, erhält man entweder eine endliche Dezimalzahl, oder eine Dezimalzahl, die in einer sich wiederholenden Periode mündet. Die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl kann unendlich und aperiodisch sein. Bsp.: 1/4 = 0.25 13/33 = 0.393939... = 0.39 13/18 = 0.7222... = 0.72 96/105 = 0.914285714 π 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510... 2.1 Arithmetische Operationen Über den Zahlenmengen sind die vier Grundrechenarten definiert, und eine Reihe weiterer arithmetischer Operationen: 1. Addition: x + y 2. Subtraktion: x y (über N bzw. N 0 nur def. wenn x > y bzw. x y). 3. Betrag: x = x falls x 0 und x = x sonst. 4. Auf- und Abrunden ( Gauß-Klammern ): x = min{b Z b x} und x = max{b Z b x}. 5. Multiplikation: x y für y N 0 : y-mal {}}{ x y = 0 +x + x + x +... + x. Insbesondere gilt x 0 = 0 und 0 y = 0. 6. Die Def. der Multiplikation: x y für y Z, y < 0 nutzt aus, dass y > 0 ist: x y = (x y). 7. Es gibt eine verallgemeinerte Definitionen der Multiplikation für y Q, y R. 8. Division: x/y ist der Wert k, so dass x = k y gilt (über N, N 0, Z nur definiert, wenn y ein Teiler von x ist, Schreibweise y x ). Für y = 0 gibt es ein solches k nicht x/0 ist undefiniert. 4 Manche Autoren definieren die natürlichen Zahlen auch als N = {0, 1, 2, 3,...}. Derartige kleine Abweichungen bei Begriffen und Notationen kommen in der Wissenschaft leider immer wieder vor. 6

9. Für x N 0 und y N definieren wir die Ganzzahl-Division. Die Werte D := x div y und R := x mod y werden bestimmt durch 10. Potenz-Bildung: x y, für y N 0 : D y + R = x, und R {0,..., y 1}. y-mal x y {}}{ = 1 x x x... x. Insbesondere ist für x 0 (a) x 0 = 1 und (b) 0 x = 0. 0 0 ist undefiniert (sonst gäbe es einen Widerspruch zwischen (a) und (b)). 11. Die Def. der Potenz-Bildung: x y, für y Z, y < 0 nutzt aus, dass y > 0 ist: x y = 1/x y. 12. Es gibt eine verallgemeinerte Definitionen der Potenz-Bildung für y Q, y R. 13. Wurzel-Ziehen und Logarithmieren: z = y x x = z y y = log z x (über N, N 0, Z und Q nur in Sonderfällen und über R auch nicht immer definiert). 2.2 Arithmetische Gesetze Man kann sich leicht davon überzeugen, dass die Grundrechenarten bestimmten Gesetzen unterworfen sind: f. d. Addition f. d. Multiplikation Name des Gesetzes x + 0 = x x 1 = x Ex. eines neutralen Elements x + x = 0 f. x 0: x (1/x) = 1 Ex. inverser Elemente x + y = y + x a b = b a Assoziativgesetze x + (y + z) = (x + y) + z a (b c) = (a b) c Kommutativgesetze a (x + y) = a x + b y Distributivgesetz Allerdings gelten die ersten beiden Gesetze nicht für alle unsere Zahlenmengen: Das neutrale Element der Addition ist die Null, die nur in N 0, Z, Q und R existiert. 7

Das additive Inverse von x ist x. Das Gesetz von der Existenz eines additiven Inversen gilt nur in Z, Q und R. Das multiplikative Inverse von x 0 ist 1/x. Das entsprechende Gesetz gilt nur in Q und R. Die Assoziativ- und Kommutativgesetze und das Distributivgesetz gelten dagegen in allen unseren Zahlenmengen. Dagegen ist die Potenzbildung weder kommutativ (im allgemeinen gilt nicht x y = y x ), noch assoziativ (im allgemeinen ist x (yz) verschieden von (x y ) z ). 2.3 Einige Rechenregeln Abgesehen von den Gesetzen erweisen sich beim Rechnen, vor allem beim symbolischen Rechnen mit Variablen, die folenden Rechenregeln als nützlich: Subtraktion/Negation: x = x, x = x, x = x,... Betrag: x y = x y, x / y = x/y, x + y x + y, x y x + y. Gauss-Klammern: Potenz-Bildung: Wurzel-Ziehen: x 1 < x x x < x + 1, x = x x Z. a x a y = a x+y, a x b x = (a b) x, a x /a y = a x y, a x /b x = (a/b) x, (a x ) y = a x y = a y x = (a y ) x. x x a b = x x a b, a/ x b = x a/b. x y a = x y a = y x a = x y a. Logarithmieren: log b (b x ) = x = b log b x, log b (x y) = log b x + log b y, log b (x/y) = log b x log b y, log a (x) = (log b x)/(log b a) (Basisaustausch). 8

2.4 Abkürzungen für Summen und Produkte Zur Abkürzung längerer Summen bzw. Produkte schreiben wir a 1 + a 2 + a 3 + + a n = a i bzw. a 1 a 2 a 3 a n = 1 i n 1 i n Der Name des Index spielt keine Rolle, z.b. ist 1 i n a i = 1 γ n a γ. Ist I eine endliche Menge, 5 können wir auch eine Summe i I (...) berechnen, z.b. ist 1 = A. i A In dieser Schreibweise kann man die Multiplikation bzw. doe Potenz-Berechnung darstellen als x y = y und y x = y. 1 i x 1 i x Als Sonderfälle legen wir i {} (...) = 0 und i {} (...) = 1 fest. Dank der Kommutativgesetze spielt die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren keine Rolle. Deshalb gilt das Prinzip des doppelten Abzählens: a i,j = und a i,j = a i,j. 1 i n 1 j m 3 Aufgaben 1 j m 1 i n a i,j 3.1 Einfache Aufgaben zur Selbstkontrolle 1 i n 1 j m 1 j m 1 i n Im folgenden finden Sie einige Aufgaben zur Selbstkontrolle. Die Aufgaben sollten Sie ohne großes Nachdenken lösen können. Bei der ersten Aufgabe dürfen Sie einen Taschenrechner oder Computer verwenden. Alle anderen Aufgaben sind KSP-Aufgaben, also mit Kopf, Stift und einem Blatt Papier zu bearbeiten. 6 Wenn Sie bei der Bearbeitung dieser Aufgaben einen Taschenrechner oder Computer benutzen, schaden Sie sich selbst! Sie sollten alle Aufgaben selbst bearbeiten, nicht in einer Arbeitsgruppe. Es ist aber kein Fehler, wenn Sie hinterher Ihre Ergebnisse miteinander vergleichen. Der Schwerpunkt der Aufgaben liegt, wie man leicht sieht, auf der Potenz-Bildung und dem Logarithmieren, insbesondere zur Basis 2. Das Verständnis für die entsprechenden Rechenregeln ist für die Diskreten Strukturen besonders wichtig und in diesem Bereich werden, meiner Erfahrung nach, die meisten Fehler gemacht. a i. 5 In den Diskreten Strukturen betrachten wir nur endliche Summen. In manchen Teilgebieten der Mathematik treten auch unendliche Summen auf. 6 Ihr Kopf ist dabei das wichtigste Werkzeug! 9

1. Nur für diese Aufgabe dürfen Sie einen Taschenrechner oder Computer benutzen! a) Sei I = {2, 3, 5, 7}. Berechnen Sie i I i und i I 1 j i j. b) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle der Zweierpotenzen: x 2 x x 2 x x 2 x 0 1 1 2 2 4 3 8 4 5 6 7 8 9 10 1024 11 2048 c) Berechnen Sie 7 ( 4 4) ( 4, 4 (4 4 ) (2, 4 4, 2 ) ) ( 2 2 2 ( 2 2 ) ) und 2. 2. Seien die Mengen A, B, C und F so wie in den Beispielen in Abschnitt 1.1 definiert (A = {2, 3, 5},... ). Geben Sie die Mengen A B, A B, A\B, A B, B C, B C, B\C, B C, A F, A F, A\F und A F an. 3. Sei A eine Aussage. Geben Sie an, welche der folgenden neun Aussagen wahr ist, wenn (a) A wahr ist bzw. (b) wenn A falsch ist: A A, A A, A A, A A, A A, A A, A A, A A und A A. 4. Seien A, B und C Aussagen. Geben Sie eine Wahrheitstabelle für die folgenden Aussagen an: a) (A B) C, b) ((A B) C) (A (B C)) c) (A B C) (A B C) 5. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? a) x, y N : z N : ((x < y) (y x > 10)) (x < z) (z < y) (z ist Primzahl) b) x, y N : z N : ((x < y) (y x > 10)) (x < z) (y < z) (z ist Primzahl) c) x, y N : z N : (((x < z) (z < x)) ((y < z) (z < x))) (z ist Primzahl) d) z N : x, y N : (((x < z) (z < x)) ((y < z) (z < x))) (z ist Primzahl) 6. Geben Sie ein Paar (x, y) mit x y y x an. 7 Warum schreibe ich nicht einfach 4 44 statt 4 (44 )? Nach Konvention in der Mathematik sind beide Ausdrücke gleich. Aber ich finde, dass derartige Ausdrücke mit überflüssigen Klammern zwar hässlicher aussehen, aber besser lesbar sind. Vielleicht bin ich, als Informatiker, zu sehr darauf gedrillt, gut lesbare Programme zu schreiben. 10

7. Berechnen Sie 3162 div 100 und 3162 mod 100. 8. Berechnen Sie (3162 4 ) mod 10. (Wenn Sie glauben, sie müssten für diese Aufgabe einen Taschenrechner verwenden, dann denken Sie noch einmal gründlich nach!) 9. Berechnen Sie 3162/100, 3162/100, 3162 /100, 3162 /100 und 3162 div 100. 10. Geben Sie ein x > 1 an, für das 2 x = x 2 gilt. Geben Sie ein y > 1 mit 2 y y 2 an. 11. Was ist größer, 9 9 oder 3 (33 )? 12. Berechnen sie (zwar ohne Taschenrechner, aber gerne mit Hilfe der Tabelle aus Aufgabe 1b) log 2 3, log 2 5, log 2 33, log 2 55, log 2 333 und log 2 555. 13. Geben Sie mindestens ein x N an mit log 2 x = log 2 x. 14. Berechnen Sie log 2 (1), log 2 (10), log 2 (100) und log 2 (1000) näherungsweise. Nein, sie brauchen auch hier keinen Taschenrechner, wohl aber die Näherung log 10 (2) 0.3 bzw. 1/ log 10 (2) 3.3. 15. Berechnen Sie log 10 (3.162), log 10 (31.62) und log 10 (316.2) näherungsweise. Es gilt log 10 3162 3.5. 16. Berechnen Sie log 2 (3.162), log 2 (31.62), log 2 (316.2) und log 2 (3162) näherungsweise. (Sie müssen dazu zweistellige Zahlen miteinander multiplizieren.) 17. Berechnen Sie log 2 (log 2 (log 2 (256)) 1). 18. Wieviele Tripel (x, a, b) mit x, a, b N und x a+b = x ab gibt es? Geben Sie ein solches Tripel an! 19. Berechnen sie 9 + 16 und 9 + 16. 20. Berechnen Sie 2 100 mod 10, d.h., die letzte Dezimalstelle von 2 100. (Ja, das geht ohne Taschenrechner! Ein typischer Taschenrechner würde Ihnen ohnehin nur ein ungefähres Ergebnis 1.2676506 10 30 liefern, dem Sie die letzte Dezimalstelle nicht entnehmen können.) 3.2 Weitere Aufgaben Die folgenden Aufgaben sind auch nicht schwierig, aber erfordern im Einzelfall ein kleines bisschen Nachdenken. Im Gegensatz zu den Selbstkontrollaufgaben oben können Sie diese Aufgaben auch in kleinen Arbeitsgruppen bearbeiten. A Suchen Sie im Internet nach einer Liste von Primzahlen, oder schreiben Sie selbst ein Programm, um alle Primzahlen in einem vorgegebenen Intervall zu erzeugen. Wieviele Primzahlen zwischen 1 und 100 gibt es, wieviele zwischen 1001 und 1100, wieviele zwischen 10001 und 10100? Was fällt Ihnen auf? 11

B Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen, die genau drei verschiedene natürliche Zahlen als Teiler haben. Beispielsweise ist die 4 durch 1, 2 und 4 teilbar, dagegen hat die 5 zuwenige und die 6 zuviele Teiler. Professor Hastig behauptet, es gäbe nur endlich viele derartige Zahlen. Hat er recht? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? C Professor Hastig behauptet, es gäbe nicht nur unendlich viele Primzahlen, sondern sogar unendlich viele ungerade Primzahlen. Hat er recht, oder macht er seinem Namen Ehre? Warum, bzw. warum nicht? D Ein Primzahltripel ist ein Tripel (p 1, p 2, p 3 ), von Primzahlen mit p 2 = p 1 + 2 und p 3 = p 2 + 2. Das kleinste Primzahltripel ist (3, 5, 7). Professor Hastig arbeitet seit Jahren an einem Beweis, dass es unendlich viele Primzahltripel gibt. Leider bisher vergeblich. Können Sie ihm helfen? E Drei Kinder sind zusammen 15 Jahre alt. Das jüngste ist a Jahre alt, das älteste c Jahre, und das dritte Kind ist b Jahre alt. Es gilt a c. Geben Sie alle Tripel (a, b, c) an, für die b und c beides Primzahlen sind. (Hinweis: Es gibt drei derartige Tripel.) 4 Ratschläge für das erste Semester Bereiten Sie den Vorlesungsstoff zeitnah nach! Ein bis zwei Stunden Nachbereitung binnen 24 bis 48 Stunden nach der Vorlesung sind meistens effektiver als vier Stunden verzweifeltes Grübeln nach einer Woche, oder noch später. Es ist normal, dass sie nach 90 Vorlesungsminuten nicht immer alle Teile des Vorlesungsstoffes vollständig verstanden haben. Dann sollten Sie geduldig über das Thema nachdenken, alternative Darstellung des Stoffes (aus Lehrbüchern, aus dem Internet,... ) zu Rate ziehen, und das Problem mit Ihren Komilitonen diskutieren. Gelingt es Ihnen, die Sachlage zu verstehen, dann genießen Sie das Erfolgserlebnis! Ergänzend zur Vorlesungsnachbereitung sollten Sie die Übungen bearbeiten. Diese sollen Ihnen helfen, den Vorlesungsstoff zu verstehen oder festzustellen, welche Teile des Vorlesungsstoffes Sie doch nicht verstanden haben. Bearbeiten Sie die Übungen regelmäßig, am besten in kleinen Arbeitsgruppen. Sollten Sie zur Lösung der einen oder anderen Aufgabe in Ihrer Gruppe nichts beigetragen haben, sollten Sie diese Lösung zumindest verstanden haben. Für die Prüfungsvorbereigung genügt es nicht, Beweise einfach reproduzieren zu können. Sie sind keine Wiederkäuer! Sie sollen die Beweise nicht auswendig lernen, sondern verstehen! Wenn Sie den Beweis einer Aussage verstanden haben, können Sie insbesondere auch die Beweismethodik anpassen, um andere (aber ähnliche) Fragestellungen zu beantworten. Genau das wird auch in der Prüfung von Ihnen erwartet. 12