Tobias Glosauer (Hoch)Schulmathematik Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni ~ Springer Spektrum
Inhalt..2 2 2. 2.2 2. 2.4..2 Formales Fundament Ein wenig Logik. Aussagenlogik.... Aussagen...2 Junktoren.. "nicht"....4 und"....5 (entweder) oder"...6 wenn..., dann... "..... genau dann, wenn... "..8 Aussagenlogische Formeln..9 Aussagenlogische Äquivalenz. Ausblick auf die Prädikatenlogik..2. Prädikate und Individuen.2.2 Der Allquantor....2. Der Existenzquantor... Beweismethoden........ Exkurs: Grundwissen über Zahlen Direkter Beweis.... Indirekter Beweis...... 2.. Kontraposition... 2..2 Widerspruchsbeweis Beweis durch vollständige Induktion. Mengen und Abbildungen Mengen...... Der Mengenbegriff....2 Teilmengen und Mengenoperationen Abbildungen.....2. Der Abbildungsbegriff...2.2 Bild- und Urbildmenge...2. In-, Sur- und Bijektivität..2.4 Verkettung und Umkehrabbildung..2.5 Mächtigkeitsvergleiche unendlicher Mengen 5 6 8 9 0 4 4 5 6 9 9 2 25 25 2 0 9 44 45 46 48 50. 54
viii INHALT II Anfänge der Analysis 4 Grenzwerte von Folgen und Reihen 4. Folgen..... 4.. Der Grenzwertbegriff.... 4..2 Die Grenzwertsätze........ 4.. Exkurs: Die Vollständigkeit von lr. 4..4 Ausblick: Cauchyfolgen. 4..5 Monotone Folgen 4..6 Rekursive Folgen.... 4.2 Reihen......... 4.2.l Reihen als spezielle Folgen 4.2.2 Die geometrische Reihe... 4.2. Die eulersche Zahl..... 4.2.4 Konvergenzkriterien für Reihen 4.2.5 Ausblick: Potenzreihen..... 4.2.6 Ausblick: e-funktion und natürlicher Logarithmus 5 Grundwissen Differenzialrechnung 5. Die Ableitung.......... 5.. Die Steigung einer Kurve.... 5..2 Der Grenzwert der Sekantensteigungen 5.. Die Tangentengleichung 5..4 Lineare Approximation. 5..5 Differenzierbarkeit... 5.2 Ableitungsregeln.... 5.2. Faktor- und Summenregel 5.2.2 Die Potenzregel...... 5.2. Die Ableitung von Sinus und Cosinus. 5.2.4 Die Produktregel........ 5.2.5 Die Kettenregel......... 5.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion 5.2. Die Quotientenregel...... 5.2.8 Vermischte Übungen... 5. Ausblick: Ableiten von Potenzreihen. 5.4 Ausblick: Taylorreihen....... 6 Grundwissen Integralrechnung 6. Stammfunktionen.... 6.2 Das bestimmte Integral.... 6.2. Die Streifenmethode 6.2.2 Das Darboux-Integral. 6.2. Das Riemann-Integral 6.2.4 Integral und Fläche.. 6. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 6.4 Uneigentliche Integrale....... 59 69 2 4 5 8 8 86 9 94 98. 0.05. 05. 05. 0... 4. 20. 20. 2. 22. 25. 2.. 4. 5. 6..4. 4. 4. 4. 52. 56.. 6. 68
INHALT ix III Rechenfertigkeiten Lösen von (Un)Gleichungen..... Polynom(un)gleichungen........... Lineare und quadratische Gleichungen..2 Gleichungen höheren Grades... Polynomungleichungen.2 Bruch(un)gleichungen....2. Bruchgleichungen...2.2 Bruchungleichungen.. Wurzel(un)gleichungen..... Wurzelgleichungen..2 Wurzelungleichungen.4 Betrags(un)gleichungen....4. Betragsgleichungen und Betragsfunktionen..4.2 Betragsungleichungen...5 Exponential(un)gleichungen....5. Exponentialgleichungen...5.2 Exponentialungleichungen 8 Die Kunst des Integrierens. 8. Produktintegration.... 8.2 Integration durch Substitution. 8.2. Die Substitutionsregel 8.2.2 Trigonometrische Substitution. 8.2. Hyperbolische Substitution... 8. Integration durch Partialbruchzerlegung 8.4 Vermischte Übungen........ 4.. 8. 8. 82. 86. 86. 8. 88. 88. 92. 9. 9. 96.98. 98. 20. 20. 206. 24. 2. 22 IV Abstrakte Algebra 9 Komplexe Zahlen............. 9. Überblick über die bekannten Zahlbereiche 9.2 Einführung der komplexen Zahlen C.. 9.2. Konstruktion von C.... 9.2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen.. 9.2. Komplexe Konjugation und Betrag 9. Der Körper der komplexen Zahlen..... 9.. Was ist ein Körper?......... 9..2 Unmöglichkeit der Anordnung von C 9.. Ausblick: Der Quaternionenschietkörper 9.4 Polarform komplexer Zahlen 9.4. Polarkoordinaten.... 9.4.2 Eulers Identität....... 9.4. Multiplikation in Polarform 22.225. 225. 226. 226. 20. 2. 26. 26. 24. 242. 245. 245. 246. 248
X INHALT 9.4.4 Komplexe Quadratwurzeln........... 9.4.5 Exkurs: Beweis trigonometrischer Identitäten 9.5 Algebraische Gleichungen in C.. 9.5. Quadratische Gleichungen.... 9.5.2 Die Kreisteilungsgleichung.... 9.5. Ausblick: Der Fundamentalsatz der Algebra 0 Grundzüge der Linearen Algebra.... 0. Vektorräume.... 0.. Zwei nur auf den ersten Blick verschiedene Beispiele 0..2 Die Vektorraumaxiome.. 0.. Beispiele für Vektorräume 0..4 Untervektorräume.. 0..5 Basis und Dimension... 0.2 Lineare Abbildungen.... 0.2. Definition und Beispiele linearer Abbildungen 0.2.2 Kern und Bild einer linearen Abbildung 0.2. Isomorphie............... 0. Matrizen.................... 0.. Die Matrix einer linearen Abbildung 0..2 Das Matrixprodukt... 0.4 Ausblick: LGS und Determinanten. 0.4. Homogene LGS.. 0.4.2 Die Determinante. 0.4. Inhomogene LGS. 249. 254. 255. 255. 25. 260.26. 26. 26. 265. 26. 22. 25. 282. 28. 28. 29. 29. 29. 06... 5. V Anhang Lösungen zu den Übungsaufgaben. Lösungen zu Kapitel.2 Lösungen zu Kapitel 2. Lösungen zu Kapitel.4 Lösungen zu Kapitel 4.5 Lösungen zu Kapitel 5.6 Lösungen zu Kapitel 6. Lösungen zu Kapitel.8 Lösungen zu Kapitel 8.9 Lösungen zu Kapitel 9.0 Lösungen zu Kapitel 0. 2.2. 2. 28. 40. 49. 64. 69.. 88. 408. 42