Äquivalenzen stetiger und glatter Hauptfaserbündel

Äquvalenzen stetger und glatter Hauptfaserbündel Chrstoph Müller Chrstoph Wockel Fachberech Mathematk Unverstät Darmstadt 31. Süddeutsches Kolloquum über Dfferenzalgeometre

Glederung 1 De Problemstellung Hauptfaserbündel Äquvalenzen von Hauptfaserbündeln Bekannte und neue Resultate 2 Illustraton der Bewesmethode Glätten von gruppenwertgen Abbldungen Glätten von Bündeläquvalenzen Glätten von Hauptfaserbündeln Hauptresultat 3 Zusammenfassung

Hauptfaserbündel und Übergangsfunktonen G lokalkonvexe Le-Gruppe, auch dm(g) = z.b. dm(g) <, Banach Le, Kac Moody oder Dff(N) M parakompakte MFK, dm(m) < Hauptfaserbündel (HFB) (U ) N offene, lokal endlche Überdeckung von M, U kompakt g j : U U j G Übergangsfunktonen, also g j (x) g jk (x) g k (x) = 1 für x U U j U k g (x) = 1 für x U ( g j (x) = g j (x) 1 für x U U j ) Im Folgenden: Hauptfaserbündel (HFB) mmer gegeben durch G = (g j : U U j G),j N

Bespele von Hauptfaserbündeln Bespel (Rahmenbündel) M endlchdm. MFK mt Karten ϕ : U ϕ(u ) R n g j := U U j x d(ϕ ϕ 1 j )(ϕ j (x)) GL n (R) d(ϕ ϕ 1 j ) d(ϕ j ϕ 1 k ) d(ϕ k ϕ 1 ) 1 (Kettenregel) d(ϕ ϕ 1 ) = d(d U ) 1 Wetere Bespele Homogene Räume (auch -dmensonal) Bündel von Operatoren auf Hlberträumen

Äquvalenzen von Hauptfaserbündeln Beobachtung Gegeben: HFB G = (g j : U U j K ),j N Abbldungen (f : U G) N h j (x) := f 1 (x) g j (x) f j (x) defnert neues HFB H Bündeläquvalenz (BÄ) Zwe HFB G = (g j : U U j G),j N, H = (h j : U U j G),j N heßen äquvalent, falls ene Bündeläquvalenz (BÄ) exstert, also F = (f : U G) N mt h j (x) = f 1 (x) g j (x) f j (x).

Problemstellung Defnton (Stetge/glatte HFB und Äquvalenzen) En HFB G = (g j : U U j G),j N st stetg/glatt, falls alle g j stetg/glatt snd. Ene BÄ F := (f : U G) N zwschen stetgen/glatten HFB st stetg/glatt, wenn alle f stetg/glatt snd. Frage Exstert zu jedem stetgen HFB en äquvalentes glattes HFB und zu jeder stetgen BÄ von glatten HFB ene glatte BÄ?

Bekannte und neue Resultate Antwort (klasssch) Ja, falls dm(g) < : HFB gegeben durch klassfzerende Abbldung M BG, BÄ durch Homotope glatte Struktur auf BG und Glätten von Homotopen BG hat.a. kene glatte Struktur, nur n Ausnahmefällen, z.b. falls dm(g) < oder G = Dff(N). Deshalb st deser Zugang.A. ncht möglch! Antwort (neu) Ja, auch falls dm(g) = : HFB und BÄ gegeben durch gruppenwertge Abbldungen, de man besser glätten kann.

Hauptwerkzeug G lokalkonvexe Le-Gruppe M parakompakte MFK, dm(m) < M Satz A M abgeschlossen, U M offen, f : M G stetg, glatt auf A\U f : M G stetg, glatt auf A und f = f auf M\U + Kontrolle auf kompakten Mengen

Glätten von stetgen Bündeläquvalenzen Gegeben: glatte HFB G = (g j : U U j G),j N H = (h j : U U j G),j N (also alle g j, h j glatt) und stetge BÄ F = (f : U G) N (also alle f stetg mt h j = f 1 g j f j ) Gesucht: glatte Abbldungen f 1 : U G mt h j = f g j f j 1 Problem: bem Glätten muss h j = f g j f j erfüllt werden!

De Induktonsdee Idee Auf U U j : 1 h j = f g j f j f = g j f j h j Benutze f = g j f j h j, um f für = 1, 2,... nduktv zu defneren.

Beschrebung der Indukton Se f für < k defnert. Dann wrd f k auf U k <k U durch defnert, fk := g k f h k U nahe U auf f k abgeändert, durch f k auf U k \ <k U fortgesetzt Problem und schleßlch geglättet. U k Dabe wrd f k = g k f h k nahe U verletzt!

Der Scherhetsabstand Lösung Sperre den Berech, n dem f k = g k f h k ncht glt n enen Scherhetsabstand en, der nahe U st. Beobachtung (V ) N offene Überdeckung von M, V U und f : V G glatt mt f = g j f j h j auf V V j f k (x) := g k (x) f (x) h k(x) für x U k V defnert glatte BÄ BÄ durch Werte auf fenerer Überdeckung endeutg bestmmt!

Der Scherhetsabstand wähle (V ) N mt V U garantere fk = g k f h k auf V k V U V nach Konstrukton aller f defnere f := f V lefert glatte BÄ, endeutg bestmmt durch f : V G V k U k

Der Scherhetsabstand wähle (V ) N mt V U garantere V fk = g k f h k auf V k V nach Konstrukton aller f defnere f := f V V k lefert glatte BÄ, endeutg bestmmt durch f : V G

Technsche Schwergketen Frage Wo snd de Schwergketen n der Konstrukton? Lösung Bedngung f = g j f j h j Fortsetzung von U k <k U nach U k Scherhetsabstand blende f k (auf U k <k U ) nach f k (auf U k \ <k U ) über durch Konvexkombnaton von f k f 1 k auf 1 (G st lokalkonvex) Kontrolle auf kompakten Mengen bem Glätten f k f 1 k hat Werte n fester konvexer 1-Umgebung

Technsche Schwergketen Frage Wo snd de Schwergketen n der Konstrukton? Lösung Bedngung f = g j f j h j Fortsetzung von U k <k U nach U k Scherhetsabstand blende f k (auf U k <k U ) nach f k (auf U k \ <k U ) über durch Konvexkombnaton von f k f 1 k auf 1 (G st lokalkonvex) Kontrolle auf kompakten Mengen bem Glätten f k f 1 k hat Werte n fester konvexer 1-Umgebung Nur elementare Topologe verwendet!

Glätten von Hauptfaserbündeln Gegeben: stetges HFB G = (g j : U U j G),j N Gesucht: glattes HFB H = (h j : U U j G),j N (also h j h jk h k = 1) und stetge BÄ (also h j = f 1 g j f j ) F = (f : U G) N h k = h kj h j gleche nduktve Konstrukton mt geegneter Ordnung auf Tupeln (k, ) N N

Resultat Theorem G lokalkonvexe Le-Gruppe, M endlchdm. parakompakte MFK Zu jedem stetgen HFB exstert en äquvalentes glattes HFB. Zwe glatte HFB snd genau dann glatt äquvalent, wenn se stetg äquvalent snd. Bewes durch elementare topologsche Methoden Bewes ohne klassfzerende Räume relatve Verson des Theorems for free Anwendung: Ncht-abelsche Kohomologe Getwstete K -Theore (PU(H)-Bündel)

Zusammenfassung Hauptfaserbündel und Bündeläquvalenzen durch gruppenwertge Abbldungen Stetgket/Glatthet Verträglchketsbedngungen durch nduktve Konstrukton glatter Abbldungen erfüllt Glätten von BÄ und HFB C. Müller, C. Wockel Equvalences of Smooth and Contnuous Prncpal Bundles wth Infnte-Dmensonal Structure Group arxv: math.dg/0604142, chrstoph@wockel.eu