Eine zentrale Aufgabe der Analysis ist die Untersuchung von Konvergenz. Zur Motivation betrachten wir die Folge von rationalen Zahlen

4 Folgen und Reihen Eine zentrale Aufgabe der Analysis ist die Untersuchung von Konvergenz. Zur Motivation betrachten wir die Folge von rationalen Zahlen, /, /3, /4, /5,.... Man sieht, dass sich die Zahlen immer mehr der 0 annähern. Was aber annähern heißt, müssen wir erst noch definieren. Wir formalisieren jetzt den Begriff der Folge: Definition 4. (Folge) Eine Folge in einer Menge X ist eine Funktion f : N! X. Gilt f(n) =x n, so bezeichnen wir die Folge auch mit dem Symbol (x n ) n oder mit x 0,x,x,... Oft ist es bequem, Folgen nicht beim Index 0 sondern erst bei einem anderen Startindex n 0 > 0 beginnen zu lassen. In diesem Fall schreibt man auch oft zur Verdeutlichung (x n ) n n0 bzw. x n0,x n0+,x n0+,.... In diesem Kapitel betrachten wir Folgen über dem Körper K = R und K = C. Im Folgenden steht K daher stets für einen der Körper R oder C. 4. Konvergenz Definition 4. (Konvergenz, Divergenz, Grenzwert) Eine Folge (x n ) n im Körper K konvergiert, wenneseinx K gibt mit folgender Eigenschaft: Für jedes ">0 gibt es ein N = N " N, sodassfürallen N gilt: x n x <". Wir sagen dann auch, die Folge (x n ) n konvergiert gegen x und schreiben x n! x oder lim n! x n = x. Falls (x n ) n gegen x konvergiert, so heißt x Grenzwert der Folge (x n ) n.konvergiert die Folge (x n ) n nicht, so sagen wir, sie divergiert bzw. sie ist divergent.

48 Folgen und Reihen U " (x ) U " (x ) x x " x + " (a) "-Umgebung in R " x (b) "-Umgebung in C Abbildung 4.: "-Umgebung eines Punktes x in R und C. U " (x ) U " (x ) x a N a 0 " x a N a 0 x " x + " (a) Konvergente Folge in R (b) Konvergente Folge in C Abbildung 4.: Grenzwert einer Folge: Ab einem Index N N liegen alle Folgenglieder in der "-Umgebung um dem Grenzwert x. Um den Begriff des Grenzwerts und der Konvergenz zu veranschaulichen, führen wir für x K und ">0 die Menge U " (x ):={x K : x x <"} (4.) ein, die wir als "-Umgebung von x bezeichnen. Manchmal schreiben wir auch kürzer Umgebung, wennderspezifischewertvon">0 nicht wichtig ist. Im Fall K = R ist diese Umgebung nichts anderes als das offene Intervall (x ", x + ") (siehe Abbildung 4.(a)). Falls K = C, so erhalten wir die offene Kreisscheibe um x mit Radius " in der komplexen Zahlenebene (Abbildung 4.(b)). Definition 4. besagt dann Folgendes: Für jedes ">0gibt es einen Folgenindex N = N " N, so dass ab diesem Index N alle Folgenglieder in der Umgebung U " (x ) des Grenzwertes x liegen. Satz 4.3 Sei (x n ) n eine Folge im Körper K. Die Folge (x n ) n konvergiert genau dann gegen x K, wenn jede Umgebung von x bis auf höchstens endlich viele alle Glieder der Folge (x n ) n enthält. Beweis: Es gelte x n! x und U " (x ) sei eine Umgebung von x.esgibtdann wegen x n! x ein N = N ",sodass x n x <",alsox n U " (x ) für alle n N gilt. Somit liegen höchstens die Folgenglieder x 0,...,x N nicht in U " (x ). Nehmen wir umgekehrt an, dass jede Umgebung von x alle bis auf endlich viele Folgenglieder enthält. Sei ">0 vorgegeben. Wir müssen zeigen, dass es ein N N gibt, so dass für alle n N gilt: x n U " (x ). Nach Voraussetzung enthält U " (x ) alle Folgenglieder bis auf endlich viele. Falls alle x n in der Umgebung U " (x ) liegen, so setzen wir N := 0. Ansonstenexistiert k := max {n N : x n / U " (x )},

4. Konvergenz 49 da die Menge auf der rechten Seite nichtleer und endlich ist. Für alle n N := k + haben wir dann x n U " (x ),d.h. x n x <". Beispiel 4.4 (i) Jede konstante Folge a n = a für alle n N konvergiert und zwar gegen a. Man kann hier unabhängig von ">0 immer N =0wählen. (ii) Die Folge (a n ) n mit a n =/n (n sieht man wie folgt. )konvergiert gegen den Grenzwert 0. Dies Ist ">0vorgegeben, so finden wir wegen der archimedischen Eigenschaft von R ein N N mit N" >, also/n < ". Fürallen N gilt dann: a n 0 = a n = n = n n N apple N <". (iii) Wir behaupten, dass die Folge (i n ) n =(,i,, i,,i,,...) divergent ist. Um die Divergenz nachzuweisen, müssen wir für alle potentiellen Grenzwerte x C zeigen, dass es ein ">0 gibt, so dass zu jedem N N immer noch ein Folgeglied x n mit n N die Ungleichung x n x " erfüllt. Wir wählen " =.Danngilt / U (x ) oder nämlich nach der Dreiecksungleichung / U (x ).Andernfallswäre = ( ) apple x + x ( ) < +=, was unmöglich ist. Da aber für alle k N gilt i 4k = und i 4k+ = (dies zeigt man leicht durch Induktion), finden wir zu jedem noch so großen N N ein k N mit 4k N und 4k + N und damit gilt entweder x 4k =/ U (x ) oder x 4k+ = / U (x ). (iv) Wir können die gleiche Argumentation wie im letzten Beispiel benutzen, um zu zeigen, dass die reelle Folge (a n ) n mit a n =( ) n divergiert. Wir zeigen wieder, dass für alle potentiellen Grenzwerte x R und " := zu jedem N N immer noch ein Folgeglied x n existiert, so dass n N und x n x ". Wie oben gilt / U (x ) oder / U (x ).Daaberfürallek N gilt a k = und a k+ = (Induktion!), finden wir zu jedem noch so großen N N ein k N mit k N und k + N und damit gilt entweder x k =/ U (x) oder x k+ = / U (x). (v) Die Folge x n := n für n N konvergiert ebenfalls nicht (zumindest nicht im eigentlichen Sinne, d.h. nicht im Sinne unserer Definition 4.). Falls x n! x,dannwäre x x n < für alle n N für ein geeignetes N N. Wirhättendann n = x n = x n 0 apple (x n x )+(x 0) apple x n x + x < + x für alle n N. Setzen wir R := max {+ x, x 0, x,..., x N }, sofolgt dann n = x n applerfür alle n N, imwiderspruchzurunbeschränktheit von N. (vi) Sei q C fest. Wir betrachten die Folge (a n ) n mit a n = q n.diesefolge wird auch die geometrische Folge genannt. Wir behaupten, dass die Folge für q < gegen 0 konvergiert.

50 Folgen und Reihen Satz 4.5 Sei ">0 vorgegeben. Wir wählen x := q mit N> "x.fürn N gilt dann: q n 0 = q n = q n = ( + x) n (wegen x = q apple +nx < nx apple Nx > 0 (wegen q < ) undn N ) (nach der Bernoulli-Ungleichung, Satz 3.3) (wegen n N) <" (wegen N> "x ). Also haben wir q n! 0 wie gewünscht. Falls (x n ) n gegen x konvergiert und (x n ) n ebenfalls gegen x 0 konvergiert, dann gilt x = x 0. Beweis: Sei ">0 vorgegeben. Da x n! x und x n! x 0 existieren N,N,sodass C x n x < " x n x 0 < " für alle n N für alle n N. Für alle n N := max {N,N } folgt daher nach der Dreiecksungleichung: x x 0 apple x x n + x n x 0 < " + " = ". Da ">0 beliebig gewählt war, folgt x x 0 =0,alsox = x 0. Definition 4.6 (Nullfolge) Eine Folge (x n ) n in K heißt Nullfolge, wennsiegegen 0 konvergiert. Beobachtung 4.7 Offenbar konvergiert eine Folge (x n ) n in K genau dann gegen x X, wenn die Folge (d n ) n mit d n := x n x eine Nullfolge ist. Ein wichtiger weiterer Begriff ist die Beschränktheit einer Folge: Definition 4.8 (Beschränkte Folge) Eine Folge (x n ) n in K heisst beschränkt, wenn es ein R>0 gibt, so dass x n appler für alle n N ist. Eine Folge (x n ) n in R heißt nach oben beschränkt (bzw. nach unten beschränkt) wenn es ein R R gibt, so dass x n apple R (bzw. x n R)fürallenN gilt. Lemma 4.9 Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beweis: Es gelte x n! x. Dann finden wir zu " := eine Zahl N,sodass x n x < für alle n N. Mit der Dreiecksungleichung ergibt sich dann wie in Beispiel 4.4(v) x n = x n x + x apple x n x + x apple+ x für alle n N. Setzen wir R := max {+ x, x 0, x,..., x N }, sofolgtdann x n appler für alle n N.

4. Rechnen mit konvergenten Folgen 5 Bemerkung 4.0 Nach Lemma 4.9 ist jede konvergente Folge beschränkt. Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Die Folgen a n = i n und a n =( ) n aus Beispiel 4.4 sind nämlich beide beschränkt, aber, wie wir gesehen haben, divergent. Beispiel 4. Die Folge x n = n für n N ist unbeschränkt, also kann sie nach Lemma 4.9 nicht konvergent sein. C Beispiel 4. Wir betrachten wieder die geometrische Folge (a n ) n mit a n = q n für festes q C. Nach Beispiel 4.4 wissen wir bereits, dass q n! 0 für q < gilt. Falls q > haben wir q =+x für ein x>0. NachderBernoulli-Ungleichung (Satz 3.3) giltdann q n = q n =(+x) n > +nx für alle n und wir sehen, dass die Folge (q n ) n nicht beschränkt ist. Also kann sie nach Lemma 4.9 nicht konvergent sein. C 4. Rechnen mit konvergenten Folgen Lemma 4.3 (Vergleichs-Lemma) Sind (a n ) n und (b n ) n Folgen reeller Zahlen mit a n! a und b n! b und a n apple b n für alle bis auf endlich viele n, dann gilt a apple b. Beweis: Wir nehmen an, dass a>bgilt. Dann ist " := (a b)/ > 0. Wirfinden N mit a n a <"für alle n N und N mit b n b <"für alle n N.Für n N = max {N,N } gilt dann aber a n >a " = a a b = b + a b = b + ">b n im Widerspruch zur Voraussetzung a n apple b n für alle bis auf endlich viele n. Vorlesung vom:.05.07 Lemma 4.4 (Carabinieri-Lemma) Seien (a n ) n, (b n ) n und (c n ) n Folgen reeller Zahlen mit a n apple b n apple c n für alle bis auf endlich viele n. Falls a n! x und c n! x, dann gilt auch b n! x. Beweis: Zu ">0 finden wir N mit a n x <"/3 für alle n N und N mit c n x <"/3 für alle n N.Fürallen N = max {N,N } gilt dann: b n x = b n a n + a n x apple b n a n + a n x {z } <"/3 (nach der Dreiecksungleichung) = b n a n + "/3 (wegen a n apple b n apple c n ) apple c n a n + "/3 (wegen a n apple b n apple c n ) = c n a n + "/3 (wegen a n apple b n apple c n ) apple c n x + x a n + "/3 <"/3+"/3+"/3 =". Korollar 4.5 Sei (x n ) n eine Folge in K und x n! x. Gilt für eine Folge (y n ) n in K, dann für alle bis auf (höchstens) endlich viele n die Ungleichung y n x apple x n x, dann gilt auch y n! x.

5 Folgen und Reihen Beweis: Nach Beobachtung 4.7 ist die Folge x n x eine Nullfolge. Nach Voraussetzung ist 0 apple y n x apple x n x für alle großen n (d.h. für alle n N für ein N N) undsomitnachlemma4.4 auch eine Nullfolge. Beobachtung 4.7 liefert jetzt, dass y n! x. Mit dem vorherigen Korollar können wir auch jetzt komfortabel zeigen, dass die Konvergenz von komplexen Folgen der Konvergenz der Folgen der Real- und Imaginärteile entspricht. Lemma 4.6 Sei (x n ) n eine Folge in C und x C, wobei x n = a n + b n i x = a + bi. Es gilt x n! x (in C) genau dann, wenn a n! a und b n! b (in R) gilt. Beweis: Für beliebiges z C gelten die Abschätzungen Re z apple z Im z apple z z =((Rez) +(Imz) ) / apple ( max{(re z), (Im z) }) / apple p max{ Re z, Im z }. Somit haben wir mit z = x n x und Re z = a n a sowie Im z = b n b: max{ a n a, b n b } apple x n x apple p max{ a n a, b n b }. (4.) Aus (4.) folgt die Behauptung mit Hilfe von Korollar 4.5. Satz 4.7 (Grenzwertsätze) Seien (a n ) n und (b n ) n Folgen in K mit a n! a und b n! b. Dann gilt: (i) a n + b n! a + b und a n b n! a b. (ii) a n b n! ab. (iii) Falls b 6= 0,soistb n 6=0für alle bis auf endlich viele n N und b n! b. (iv) Falls b 6= 0,soistb n 6=0für alle bis auf endlich viele n N und an b n! a b. Beweis: (i) Sei ">0 beliebig. Wir finden N N und N N mit a n a < " b n b < " Für N = max {N,N } und n für alle n N für alle n N. N folgt dann mit der Dreiecksungleichung (a n + b n ) (a + b) = (a n a)+(b n b) apple a n a + b n b < " + " = ". Analog folgt: (a n b n ) (a b) = (a n a)+(b b n ) apple a n a + b b n < " + " = ".

4.3 Monotonie und Konvergenz 53 (ii) Es gilt für alle n N: a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab = a n (b n b)+b(a n a) apple a n b n b + b a n a (nach der Dreiecksungleichng) Die Folge (a n ) n ist nach Lemma 4.9 beschränkt, etwa a n appler für alle n N. Für M := max {R, b } haben wir dann: a n b n ab applem( a n a + b n b ). (4.3) Sei ">0 vorgegeben. Wenn wir N N so groß wählen, dass a n a < " M und b n b < " M für alle n N gilt, dann ist nach (4.3) auch a nb n ab <". (iii) Wir finden zu " = b / eine Zahl N N mit b n der Dreiecksungleichung für alle n N: b <".Esgiltdannnach b = b 0 = (b b n )+(b n 0) apple b n b + b n < b + b n. Also haben wir die Ungleichung b n b / > 0 für alle n N. (4.4) Es folgt b n 6=0für alle n N. Ist ">0 vorgegeben, so finden wir ein N 0 N mit b n b < b " für alle n N 0. (4.5) Demnach gilt für n N 0 : b n b = b n b b n b (4.4) < b b n b (4.5) < ". (iv) Folgt wegen a n /b n = a n /b n aus (iii) und (ii). 4.3 Monotonie und Konvergenz Definition 4.8 (Monotone Folge) Eine Folge (x n ) n in R heißt monoton steigend oder monoton wachsend, falls x 0 apple x apple x apple... Analog heißt die Folge monoton fallend, falls x 0 x x... Falls oben in den Ungleichungen jeweils immer strikte Ungleichung gilt, so nennen wir die Folge streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend. Satz 4.9 (Monotoniekriterium) Jede monoton steigende von oben beschränkte Folge in R ist konvergent und es gilt lim x n =sup{x n : n N}. n! Jede monoton fallende von unten beschränkte Folge in R ist konvergent mit lim x n =inf{x n : n N}. n!

54 Folgen und Reihen a 0 a a a 3 a N s Abbildung 4.3: Eine monoton wachsende Folge ist konvergent. Beweis: Sei (x n ) n monoton steigend und von oben beschränkt. Dann ist die Menge M = {x 0,x,...} von oben beschränkt und es existiert nach der Supremumseigenschaft von R (siehe Satz 3.35) danns := sup M. Sei ">0 beliebig. Da s eine obere Schranke für M ist, gilt x n apple s für alle n. Das nach Definition des Supremums die kleinste obere Schranke ist, ist s "<skeine obere Schranke für M mehr. Also gibt es ein N N mit s " apple x N apple s. Wegen der Monotonie der Folge (x n ) n gilt: s " apple x N apple x n apple s für alle n N, d.h. x n s <"für n N und damit x n! s. Für eine monoton fallende Folge (x n ) n ergibt sich die Behauptung durch Betrachtung der Folge ( x n ) n,diedannmonotonwachsendundnachobenbeschränktist. 4.4 Teilfolgen Definition 4.0 Sei (x n ) n eine Folge in K. Ist (n k ) k dann eine monoton wachsende Folge von natürlichen Zahlen, also n 0 <n <n <...,soheißtdiefolge(x nk ) k Teilfolge von (x n ) n. Offenbar ist auch jede Teilfolge (x nk ) k einer konvergenten Folge (x n ) n konvergent und zwar gegen den gleichen Grenzwert wie (x n ) n. Lemma 4. Jede Folge in R besitzt eine monotone (also monoton wachsende oder monoton fallende) Teilfolge. Beweis: Sei (x n ) n eine Folge in R. Wirnennenn N eine Gipfelstelle, wenn x n x m für alle m n gilt, d.h. wenn nach der nten Stelle keine größeren Elemente mehr folgen. Falls (x n ) n unendlich viele Gipfelstellen hat, dann seien n 0 <n <n <... diese unendlich vielen Gipfelstellen. Die Folge (x n0,x n,x n,...) ist dann nach Konstruktion monoton fallend und wir haben eine monoton fallende Teilfolge gefunden. Falls (x n ) n nur endlich viele Gipfelstellen besitzt (dies schließt insbesondere den Fall ein, dass es überhaupt keine Gipfelstellen gibt), dann definieren wir eine monoton wachsende Folge n 0 <n <n <... von natürlichen Zahlen wie folgt. Da es nur endlich viele Gipfelstellen gibt, können wir n 0 N finden, so dass n 0 größer als alle Gipfelstellen ist. Seien n 0 <n < <n i bereits gefunden. Da n i keine Gipfelstelle ist, gibt es ein n>n i mit x n >x ni.wirsetzenn i+ := n und fahren fort. Somit erhalten wir eine monoton steigende Teilfolge (x n0,x n,x n,...). Satz 4. (Satz von Bolzano-Weierstraß für Folgen) Jede beschränkte Folge (x n ) n in K besitzt eine konvergente Teilfolge.

4.5 Cauchy-Folgen 55 Beweis: Wir unterscheiden hier die Fälle K = R und K = C. Falls K = R, sobesitzt(x n ) n nach Lemma 4. eine monotone Teilfolge (x nk ) k. Wegen der Beschränktheit von (x n ) n ist auch (x nk ) k beschränkt und somit nach dem Monotoniekriterium aus Satz 4.9 konvergent. Im Fall K = C sind wegen Re z apple z und Im z apple z für alle z C auch die Folge der Realteile (Re x n ) n und der Imaginärteile (Im x n ) n beschränkt. Nach unserem Beweis für den Fall K = R besitzt daher die Folge der Realteile eine konvergente Teilfolge mit Re x nk! x für ein x R.DieTeilfolge(y nk ) k =(Imx nk ) k der entsprechenden Imaginärteile ist natürlich immer noch beschränkt, besitzt also ebenfalls nach dem Ergebnis für R eine konvergente Teilfolge mit y nkl! y R. Wir haben dann auch x nkl! x R, da wir eine konvergente Teilfolge der konvergenten Folge (x nk ) k auswählen. Damit haben wir eine Teilfolge von (x n ) n gefunden, bei der sowohl die Folge der Realteile als auch die Folge der Imaginärteile konvergieren. Nach Lemma 4.6 gilt dann auch x nki! x + iy C. 4.5 Cauchy-Folgen Definition 4.3 (Cauchy-Folge) Eine Folge (x n ) n in K heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ">0ein N N gibt, so dass für alle m, n N gilt: x m x n <". Lemma 4.4 Jede Cauchy-Folge ist beschränkt. Beweis: Sei (x n ) n eine Cauchy-Folge. Für " := gibt es dann ein N N, sodass x m x m < für alle m, n N gilt. Also gilt für alle n N insbesondere: x n = x n x N + x N apple x n x N + x N < + x N. Daraus folgt jetzt, dass mit R := + max{ x 0,..., x N } gilt x n appler für alle n N. Alsoistx beschränkt. Lemma 4.5 Jede konvergente Folge ist auch eine Cauchy-Folge. Beweis: Es gelte x n! x. Dann finden wir zu ">0 ein N N mit x n x <"/ für alle n N. Fürm, n N gilt dann: x m x n apple x n x + x x m <"/+"/ =". Also ist (x n ) n auch Cauchy-Folge. Vorlesung vom: 6.05.07 Satz 4.6 (Cauchy-Kriterium für Folgen) Eine Folge in K ist genau dann Cauchy-Folge, wenn sie konvergiert. Beweis: Die eine Implikation haben wir bereits in Lemma 4.5 gezeigt. Wir müssen also nur noch zeigen, dass jede Cauchy-Folge in K konvergiert. Sei also (x n ) n eine Cauchy-Folge in K. NachLemma4.4 ist (x n ) n beschränkt und besitzt daher nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 4.) einekonvergente Teilfolge (x nk ) k.seix =lim k! x nk der Grenzwert dieser Teilfolge. Wir zeigen nun, dass tatsächlich sogar schon x n! x gilt. Sei ">0 beliebig. Da x Cauchy-Folge ist, gibt es N N, sodass x n x m <"/ für alle n, m N (4.6) Video zur Vorlesung:

56 Folgen und Reihen gilt. Da die Teilfolge (x nk ) k gegen x konvergiert, finden wir N 0 N, sodass x nk x <"/ für alle n k N 0 (4.7) gilt. Wir wählen ein n k max{n 0,N}. Fürn N erhalten wir dann unter Zuhilfenahme der Dreiecksungleichung: x n x = x n x nk + x nk x apple x n x nk + x nk x {z } {z } <"/ nach (4.6) mitm := n k <"/+"/ =". <"/ nach (4.7) Somit folgt x n! x wie gewünscht. Beispiel 4.7 Wir betrachten noch einmal die geometrische Folge (a n ) n mit a n = q n für festes q C, die wir in Beispiel 4.4 und 4. bereits untersucht hatten. Falls q =,sogiltfürnn dann q n+ q n = q n q = q. Fallsq 6=, so ist für alle n N daher a n+ a n = q =: t>0 und (q n ) n kann keine Cauchy-Folge sein, da für überhaupt kein n N gelten kann, dass a n+ a n <t/. Nach Satz 4.6 konvergiert sie daher nicht. Ist q =,soistq n =für alle n N und die Folge konvergiert gegen, dasie konstant ist. C 4.6 Obere, untere und uneigentliche Grenzwerte Definition 4.8 (Bestimmte Divergenz) Sei (x n ) n eine Folge in R. Wirschreiben x n! + oder lim n! x n =+ und sagen, dass (x n ) n bestimmt gegen + divergiert, fallseszujedem!>0 ein N N gibt, so dass x n! für alle n N gilt. Analog schreiben wir x n! oder lim n! x n = und sagen, dass (x n ) n bestimmt gegen divergiert, fallseszujedem!>0ein N N gibt, so dass x n apple! für alle n N gilt. Beispiel 4.9 Für die Folge (x n ) n mit x n = p n gilt x n!. Zu vorgegebenem!>0wählen wir N>!.Danngiltfürn N die Abschätzung: x n = p p n N!. C Definition 4.30 Ein Punkt x K heißt Häufungspunkt der Folge (x n ) n,wennes eine Teilfolge (x nk ) k von (x n ) n gibt mit x nk! x. Für den Fall K = R erweitern wir den Begriff des Häufungspunkts auf die erweiterte Zahlengerade, indem wir den Begriff der bestimmten Divergenz aus Definition 4.8 nutzen. Der Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 4.) besagt,dass jede beschränkte Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt. Mit Definition 4.30 können wir ihn daher auch wie folgt definieren:

4.6 Obere, untere und uneigentliche Grenzwerte 57 Satz 4.3 (Satz von Bolzano-Weierstraß für Folgen) Jede beschränkte Folge in K besitzt einen Häufungspunkt in K. Lemma 4.3 Für eine beschränkte Folge (x n ) n in K gilt x n! x genau dann, wenn x der einzige Häufungspunkt von (x n ) n ist. Beweis: Falls x n! x,danngibteswegendereindeutigkeitdesgrenzwertes (siehe Satz 4.5) zujedemx 6= x ein r>0, sodassinderumgebungu r (x) nur endlich viele Folgenglieder liegen. Daher kann x kein Häufungspunkt sein. Ist umgekehrt x der einzige Häufungspunkt von (x n ) n,danngibteseineteilfolge (x nk ) k mit x nk! x.wirzeigenjetzt,dassindertatsogarx n! x gilt. Sei dazu ">0 vorgegeben. Es gilt dann x nk x <"für alle n k N,wobeiN>0 geeignet ist. Gilt sogar x n x <"für alle bis auf endlich viele n N, sofolgtx n! x wie gewünscht. Ansonsten betrachten wir die Folge derjenigen x n mit n N und x n x ". WirbezeichnendieseFolgedereinfacherenNotationmit(y k ) k.sie ist dann eine Teilfolge von (x n ) n. Die Folge (y k ) k ist dann beschränkt, da bereits (x n ) n beschränkt ist. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (in der Version von Satz 4.3) hatdiesefolgeeinen Häufungspunkt x 0,derdannnatürlichauchHäufungspunktvon(x n ) n ist (die gegen x 0 konvergente Teilfolge von (y k ) k ist auch eine Teilfolge von (x n ) n ). Nach Voraussetzung ist x der einzige Häufungspunkt von (x n ) n,alsomussx 0 = x gelten. Für alle y k gilt aber nach Konstruktion y k x ", alsokann(y k ) k gar nicht gegen x konvergieren. Dies ist ein Widerspruch. Definition 4.33 (Oberer und unterer Grenzwert) Sei (x n ) n eine Folge in R und H die Menge aller Häufungspunkte (in der erweiterten Zahlengeraden) von (x n ) n. Dann nennt man der Folge (x n ) n. lim sup x n := sup H den limes superior n! lim inf x n := inf H den limes inferior n! Beispiel 4.34 Für die Folge (x n ) n mit x n =( ) n (vgl. Beispiel 4.4) bestehtdiemengederhäufungspunkte aus und. Esgiltdaherlim sup n! x n =und lim inf n! x n =. C Eine nützliche Charakterisierung des limes superior und limes inferior liefert das folgende Lemma: Lemma 4.35 Für eine Folge (x n ) n reeller Zahlen gilt: lim sup x n = lim sup {x n : n>n} und lim inf x n = lim inf {x n : n>n}. n! N! n! N! Hierbei setzen wir lim N! sup {x n : n>n} := +,falls sup {x n : n>n} =+ für alle N N und analog lim N! inf {x n : n>n} :=, falls inf {x n : n>n} = für alle N N gilt. Beweis: Wir zeigen zunächst, dass die Folge (u n ) n mit u n =sup{x m : m>n} monoton fällt für jede reelle Folge (x n ) n.

58 Folgen und Reihen Sei dazu n N beliebig. Es gilt u n =sup{x m : m>n} =sup({x n+ }[{x m : m>n+}). Wenn x n+ apple sup{x m : m>n+} = u n+,danngiltu n = u n+,dadieobere Schranke der kleineren auch für die größere Menge gilt. Für x n+ > sup{x m : m> n +} = u n+,folgtaber,dassu n = x n+ >u n+ und damit die Monotonie. Wir können jetzt folgern, dass lim N! sup{x m : m>n} in der erweiterten Zahlengeraden existiert und eindeutig bestimmt ist: entweder ist die Folge beschränkt und damit dann auch konvergent nach Satz 4.9 oder sie ist unbeschränkt und divergiert dann offenbar bestimmt. Um die behauptete Gleichheit zu zeigen, unterscheiden wir drei Fälle: Fall : lim N! sup{x m : m>n} =+ Dann gilt, dass die Menge {x m : m>n} unbeschränkt nach oben ist für alle N N, d.h.fürjedesi N gibt es ein n i >Nsodass x ni >i.diese Teilfolge (x ni ) i von (x n ) n divergiert bestimmt nach +. Damitist+ ein Häufungspunkt von (x n ) n und daher lim sup n! x n =+. Fall : lim N! sup{x m : m>n} = x für ein x R Wir zeigen im ersten Schritt, dass x ein Häufungspunkt von (x n ) n ist, indem wir eine Teilfolge (x ni ) i finden, die gegen x konvergiert. Da die Folge der Suprema (sup{x m : m>n}) N gegen x konvergiert, gibt es für jedes i N ein m i N mit sup{x m : m>n} x < i für alle N>m i. Da sup{x m : m>m i +} die kleinste obere Schranke von {x m : m>m i +} ist, gibt es ein x ni {x m : m>m i +} mit x ni sup{x m : m>m i +} < i. Damit gilt x ni x apple x ni sup{x m : m>m i +} + sup{x m : m>m i +} x < i. Damit konvergiert die Teilfolge (x ni ) i gegen x. Im zweiten Schritt stellen wir sicher, dass es keinen größeren Häufungspunkt von (x n ) n gibt. Zu jedem b>x( potentieller größerer Häufungspunkt ) gibt es ein " = b x > 0 und aufgrund der Konvergenz der Folge der Suprema ein N 0 N, sodass sup{x m : m>n} x <"für alle N>N 0. Inbesondere gilt also sup{x m : m>n} <x+ " und nach der Definition des Supremums weiterhin x n apple sup{x m : m>n} <x+ " für alle n>n>n 0.Damit kann b kein Häufungspunkt sein, da es kein x n mit n>n>n 0 gibt, sodass x n b <". Fall 3: lim N! sup{x m : m>n} = Die Folge der Suprema (u N ) N mit u N =sup{x m : m>n} divergiert bestimmt nach, d.h.fürjedesrr, r>0 gibt es ein N 0 N, sodassfür alle M>N 0 gilt S M apple r. AusderDefinitiondesSupremumsfolgtdirekt für alle m>m+ >N 0 + dass x m apple S M apple r und damit divergiert die Folge (x n ) n (nicht nur eine Teilfolge!) bestimmt gegen und damit ist auch lim sup n! x n =. Alle drei Fälle zusammen implizieren die Behauptung für den lim sup. Der Beweis für lim inf ist analog. Korollar 4.36 Sei (x n ) n eine Folge reeller Zahlen. Dann gilt:

4.6 Obere, untere und uneigentliche Grenzwerte 59 (i) lim inf n! x n =+ genau dann, wenn x n! +. (ii) lim sup n! x n = genau dann, wenn x n!. (iii) (x n ) n ist genau dann nach oben unbeschränkt, wenn lim sup n! x n =+ gilt. (iv) (x n ) n ist genau dann nach unten unbeschränkt, wenn lim inf n! x n = gilt. Beweis: (i) Falls lim inf n! x n =+, sogibtesnachlemma4.35 zu jedem!>0 ein N N mit inf{x n : n>n} >!.Alsogiltx n >!für alle n>n und damit x n! +. Haben wir umgekehrt x n! +, so finden wir zu jedem!>0 ein N 0 N mit x n! für n N 0.Dannistinf{x n : n>n}! für alle N N 0 und damit lim N! inf{x n : n>n} =+. (ii) Analog zu (i). (iii) Wir finden wir zu jedem! = k N ein x nk mit x nk k.dieteilfolge(x nk ) k konvergiert dann offenbar gegen +. Gilt umgekehrt lim sup n! x n =+, so finden wir nach Lemma 4.35 zu jedem!>0ein N>0mit sup {x n : n>n} >!.NachDefinitiondesSupremums existiert zu beliebigem ">0 ein n>n mit x n sup {x n : n>n} ">! ". EsfolgtdieUnbeschränktheitderFolge(x n ) n. (iv) Analog zu (iii). Vorlesung vom: 8.05.07 Lemma 4.37 Eine Folge (x n ) n in R konvergiert genau dann, wenn Video zur Vorlesung: lim inf x n =limsupx n. n! n! Beweis: Es gelte x n!. Falls R, soist(x n ) n nach Lemma 4.9 beschränkt. Nach Lemma 4.3 hat (x n ) n nur einen Häufungspunkt, also gilt lim inf n! x n = lim sup n! x n.falls =+, so haben wir x n! für alle großen n für jedes vorgegebene!>0. Insbesondere kann kein < + Häufungspunkt von (x n ) n sein, d.h. die Menge der Häufungspunkte besteht nur aus +. Analogesgiltfür =. Sei nun umgekehrt =liminf n! x n =limsup n! x n.dannbestehtdiemenge der Häufungspunkte der Folge (x n ) n aus einem Element. Falls (x n ) n beschränkt ist, dann ist (x n ) n nach Lemma 4.3 auch konvergent. Falls =limsup n! x n =, dann ist (x n ) n nach Korollar 4.36 nach oben unbeschränkt. lim inf n! x n = bedeutet aber, dass x n!.derfall = verläuft analog.

60 Folgen und Reihen 4.7 Reihen In diesem Abschnitt betrachten wir weiterhin Folgen über K = R oder K = C. Definition 4.38 (Reihe) Ist (a n ) n eine Folge in K, so ordnen wir ihr mittels eine Folge (s n ) n zu. Das Symbol s n := X nx nennen wir eine (unendliche) Reihe. Die Zahlen a n heißen die Glieder der Reihe und die Zahlen s n Teilsummen der Reihe. Konvergiert (s n ) n gegen s, so nennen wir die Reihe konvergent und schreiben a n a k X a n = s, andernfalls sagen wir, dass die Reihe P a n divergiert. Beispiel 4.39 (Geometrische Reihe) Sei q C gegeben und a n = q n.wirbetrachtendiegeometrische Reihe Es gilt für q 6= die Summenformel s n = wie man leicht durch Induktion zeigt. X q n. nx q k = qn+, q Falls q <, sogiltq n+! 0 (siehe Beispiel 4.4) undnachdenrechenregelnfür Grenzwerte (Satz 4.7) haben wir s n! q. Falls q und q 6=,sodivergiertdiegeometrischeFolge(q n ) n (siehe Beispiel 4.) undesfolgt,dassauch(s n ) n divergiert. Es verbleibt der Fall q =.Dannists n = n und somit die Folge (s n ) n unbeschränkt, insbesondere also divergent (siehe Lemma 4.9). C Nach Satz 4.6 ist eine Reihe genau dann konvergent, wenn die Teilsummen eine Cauchy-Folge bilden. Wir erhalten damit: Satz 4.40 (Cauchy-Kriterium für Reihen) Die Reihe P a n konvergiert genau dann, wenn für jedes ">0 eine Zahl N N existiert, so dass mx a k <" (4.8) k=n für alle n, m N gilt.

4.8 Reihen mit nichtnegativen Gliedern 6 Für n = m reduziert sich (4.8) auf Mit anderen Worten: a n <"für alle n N. Korollar 4.4 Falls die Reihe P a n konvergiert, so folgt lim n! a n =0. Aus dem Satz 4.9, dassmonotonebeschränktefolgenkonvergieren,ergibtsich weiterhin: Satz 4.4 Gilt für die reelle Folge (a n ) n, dass a n 0 für alle bis auf endlich viele n N, so konvergiert die Reihe P a n genau dann, wenn die Teilsummen (s n ) n eine beschränkte Folge bilden. Beweis: Falls a n 0 für alle großen n gilt, so ist die Folge (s n ) n monoton wachsend. Falls sie dann beschränkt ist, so ist sie nach Satz 4.9 konvergent. Ist umgekehrt die Folge (s n ) n nicht beschränkt, so kann sie nach Lemma 4.9 nicht konvergent sein. Satz 4.43 (Vergleichskriterium) (i) Ist a n appleb n für alle n N 0 und die Reihe P b n konvergent, so konvergiert P P a n. Man sagt dann, dass b n eine konvergente Majorante ist. (ii) Gilt a n c n 0 für alle n N und divergiert P P c n, dann divergiert auch a n. Wir nennen dann P c n eine divergente Minorante. Beweis: (i) Wir haben für m n N 0 : mx k=n a k apple mx a k apple k=n mx b k. (4.9) Da die Reihe P b n konvergiert, finden wir zu ">0 ein N N 0,sodass P m k=n b k <"für alle n, m N. Wegen(4.9) wird dann auch P m k=n a k <". (ii) Folgt aus (i): Fallsnämlich P a n konvergiert, dann muss nach (i) auch P c n konvergieren. k=n 4.8 Reihen mit nichtnegativen Gliedern Ein hilfreicher Satz zum Beweis der Konvergenz bzw. Divergenz von Reihen ist der sogenannte Verdünnungssatz: Satz 4.44 Sei (a n ) n eine reelle Folge mit a 0 a a 0. Dann konvergiert die Reihe P a n genau dann, wenn die verdünnte Reihe konvergiert. X k a k = a +a +4a 4 +8a 8 +...

6 Folgen und Reihen Beweis: Nach Satz 4.4 genügt es zu zeigen, dass die Teilsummen der beiden Reihen nach oben beschränkt sind. Wir setzen s n := t n := nx i=0 a i nx i a i. i=0 Für n< k haben wir n apple k apple k+ und damit s n apple s k+ = a +(a + a 3 )+(a 4 + + a 7 )+ +(a k + + a k+ ) apple a +a +4a 4 + + k a k = t k. Andererseits gilt für n> k : s n s k = a + a +(a 3 + a 4 )+ +(a k + + + a k) a + a +a 4 + + k a k = t k. Also sind die Folgen (s n ) n und (t k ) k entweder beide nach oben beschränkt oder unbeschränkt. Beispiel 4.45 Wir zeigen, dass die Reihe P n= /np für p apple divergiert und für p> konvergiert. Für p apple 0 folgt die Aussage aus der Tatsache, dass n p nicht gegen 0 konvergiert und Lemma 4.9. Für p>0 können wir den Verdünnungssatz (Satz 4.44) anwenden. Wir müssen dann die Reihe X k ( k ) p = X k kp = X p k auf Konvergenz untersuchen. Diese Reihe ist eine geometrische Reihe mit q = p. In Beispiel 4.39 haben wir gesehen, dass diese Reihe genau dann konvergiert, wenn q < gilt. Es gilt nun p < genau dann, wenn p> ist. C Beispiel 4.46 Die harmonische Reihe ist die Reihe X n= n =+ + 3 +... Wie wir in Beispiel 4.45 gesehen haben, divergiert P n= /n. Dieshatfolgende nette praktische Anwendung: Wir wollen einen Turm aus Ziegelsteinen der Länge so bauen, dass er möglichst weit quersteht. Wir bauen dazu den Turm von oben nach unten, indem wir den bereits gebauten Turm so auf den nächsten Stein setzen, dass sein Schwerpunkt gerade über der Kante des neuen untersten Steins liegt, der Turm also gerade nicht umfällt (vgl. Abbildung 4.4). Der oberste Stein (mit der Nummer ) hatseinenlinkenrandbei0.

4.9 Die Zahl e 63 6 5 4 3 3 4 5 6 n n + 3 4 5 6 Abbildung 4.4: Turm aus Ziegelsteinen Sei s n die x-koordinate des Schwerpunkts der ersten n Steine (von oben), so beginnt Stein n +bei Koordinate s n.seinschwerpunktliegtdaherbeis n +. Insgesamt liegt der Schwerpunkt des Turms aus n +Steinen dann bei s n+ = n + ns n +(s n + ) = s n + (n + ). (4.0) Wir beweisen durch Induktion, dass s n = P n k= k für n gilt. Für n =ist die Aussage offenbar richtig. Im Induktionsschritt haben wir wegen (4.0) (4.0) (IV) s n+ = s n + = (n + ) nx k + n + = k= n+ X Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe kann man den Überhang beliebig groß werden lassen. Zum Beispiel ist P 4 n= n =.04 und man kann mit fünf Steinen einen Überhang von mehr als einem Stein erreichen. C k= k. 4.9 Die Zahl e Satz 4.47 Die Reihe P n! konvergiert. Die Zahl e := X n! heißt Eulersche Zahl und ist irrational, d.h. e R \ Q. Beweis: Es gilt 0 apple n! apple = ( n )n für alle n. Dadiegeometrische Reihe mit q = nach Beispiel 4.39 konvergiert, folgt die Konvergenz aus dem Vergleichskriterium (Satz 4.43). Wir nehmen an, dass e = p/q Q, wobei wir o.b.d.a. p Z und q N \{0} annehmen können, und führen dies zum Widerspruch. Für die Partialsummen s n =

64 Folgen und Reihen P n k! gilt: 0 <e s n = (n + )! + (n + )! + (n + 3)! +... = + (n + )! n + + (n + )(n + 3) +... 0 < B (n + )! @ + + n + (n + ) {z } +... C A =:q< = Falls e = p/q, danngiltdaher (n + )! n+ 0 <e s q < q!q = n!n.,0 < (e s q )q! < q apple. (4.) Andererseits ist eq! =p/q q! =p(q )! Z und s q q!=(++/! + /3! + + /q!)q! Z. Alsoist(e s q )q! Z und nach (4.) müsste damit eine ganze Zahl strikt zwischen 0 und existieren, was unmöglich ist. Vorlesung vom: 0.05.07 Video zur Vorlesung: 4.0 Absolute Konvergenz Definition 4.48 Wir sagen, die Reihe P a n konvergiert absolut,wenn P a n konvergiert. Satz 4.49 Konvergiert P a n absolut, so konvergiert die Reihe ebenfalls. Beweis: Dies folgt unmittelbar aus der Ungleichung mx k=n a k mx apple a k für alle m, n N mit m n k=n und Satz 4.40. Die Bedeutung der absoluten Konvergenz wird (leider erst) im Abschnitt 4.4 klar werden. 4. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium Satz 4.50 (Wurzelkriterium von Cauchy) Sei (a n ) n eine Folge komplexer Zahlen und =limsup n! n p a n. (i) Falls <, so konvergiert die Reihe P a n absolut. (ii) Falls >, so divergiert die Reihe P a n. Beweis:

4. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium 65 (i) Wir wählen R mit 0 < < <. Danngilt p n an < < für alle n N (4.) mit einem N N geeignet (ansonsten wäre np a n > für unendlich viele n und es gäbe nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 4.3) einen Häufungspunkt in [,] im Widerspruch zur Wahl von als größtem Häufungspunkt). Wegen (4.) haben wir a n < n für alle n N. Da 0 < < konvergiert die geometrische Reihe P n und die Konvergenz von P a n folgt aus dem Vergleichskriterium (Satz 4.43). Wie wir bereits in P Satz 4.49 gesehen haben, impliziert dies wiederum die Konvergenz der Reihe a n. (ii) Falls >, soexistierteinefolge(n k ) k mit n kp ank! > und es gilt a n für unendlich viele n. Daherkonvergiert(a n ) n nicht gegen 0 und nach Korollar 4.4 divergiert dann P a n. Bemerkung 4.5 Um zu zeigen dass =limsup n! n p a n < gilt, genügt es ein 0 apple < zu finden, so dass np a n apple < für alle n>nfür ein N N (genau dies haben wir im Beweis in (4.) benutzt). Darüberhinaus folgt aus np a n für unendlich viele n N die Divergenz der Reihe P a n,dadann a n für unendlich viele n gilt und wir wie in unserem Beweis von Satz 4.50 schließen können, dass die für die Konvergenz der Reihe notwendige Bedingung a n! 0 verletzt ist. Satz 4.5 (Quotientenkriterium von D Alembert) Sei (a n ) n eine Folge komplexer Zahlen mit a n 6=0für alle bis auf endlich viele n N. (i) Falls lim sup n! a n+ a n <, dann konvergiert die Reihe P a n absolut. (ii) Falls es ein N N gibt, so dass an+ a n > für alle n N ist, so divergiert die Reihe P a n. Beweis: (i) Wir finden 0 < <, sodass a n+ a n gilt, wobei N N geeignet ist. Es folgt dann < < für alle n N (4.3) a N+ < a N a N+ < a N+ < a N.. a N+k < k a N. Da P n wegen 0 < < konvergiert, folgt die behauptete Konvergenz mit dem Vergleichskriterium (Satz 4.43).

66 Folgen und Reihen (ii) Es gilt a n+ a n für alle n N. Darausfolgt,dass(a n ) n nicht gegen 0 konvergiert. Dies ist aber nach Korollar 4.4 notwendig für die Konvergenz der Reihe P a n. Bemerkung 4.53 Ähnlich wie beim Wurzelkriterium genügt es ein 0 apple < zu finden, so dass an+ a n apple < für alle n>nfür ein N N, umzuzeigendass a lim sup n+ n! a n <. Bemerkung 4.54 Falls lim sup n! a n+ /a n =,dannliefertdasquotientenkriterium keine Konvergenzinformation. Als Beispiel betrachten wir die Reihen P n= a n und P n= b n mit a n =/n und b n =/n. Wie wir in Beispiel 4.45 gesehen haben, divergiert die erste Reihe (harmonische Reihe), während die zweite Reihe konvergiert. Es gilt: lim n! lim n! a n+ a n b n+ b n = lim n! = lim n! n n + = n (n + ) = lim n! n (n + ) lim n! n (n + ) =. Die harmonisch Reihe ist übrigens auch ein Beispiel dafür, dass man im Quotientenkriterium wirklich ein < braucht, so dass a n+ /a n apple < für alle großen n ist und es nicht ausreicht, dass a n+ /a n < für alle großen n gilt. 4. Potenzreihen Wir haben in Satz 4.47 gesehen, dass die Reihe P n! konvergiert. Betrachten wir einmal für festes z C die Reihe Wir haben X z n n!. (4.4) lim n! z n+ (n+)! z n n! = lim n! z n + = lim n! z n + =0. Nach dem Quotientenkriterium (Satz 4.5) konvergiert die Reihe(4.4) daher für jedes z C absolut und wir können eine Funktion exp : C! C definieren, die jedem z C den Wert der entsprechenden Reihe (4.4) zuweist.diesefunktion,die sogenannte Exponentialfunktion, werden wir später in Abschnitt 4.5 noch genauer kennenlernen. Definition 4.55 (Potenzreihe) Ist (a n ) n eine komplexe Folge, dann nennen wir die Reihe P a nz n eine Potenzreihe in z. Ist D C die Menge aller z C, für welche die Reihe P a nz n konvergiert, so definiert die Potenzreihe eine Funktion von D nach C mittels z 7! P a nz n. Lemma 4.56 Konvergiert eine Potenzreihe P a nz n für ein z 0 C, so konvergiert sie für alle z C mit z < z 0 absolut.

4. Potenzreihen 67? Divergenz??? absolute Konvergenz R 0???? (a) Konvergenzradius in C?? Divergenz absolute Konvergenz Divergenz R 0 +R (b) Konvergenzradius in R Abbildung 4.5: Konvergenz einer Potenzreihe Beweis: Für z C mit z < z 0 und n N gilt: a n z n = z z 0 n a n z n 0 =: q n a n z n 0 (4.5) Da die Reihe P a nz0 n konvergiert, gilt a n z0 n! 0, alsoinsbesondere a n z0 n appler für ein R>0 und alle n N. Aus(4.5) folgtdamit a n z n applerq n mit 0 <q< (wegen z < z 0 ). Somit ist die geometrische Reihe R P qn eine konvergente Majorante von P a nz n und die Behauptung folgt mit dem Vergleichskriterium (Satz 4.43). Satz 4.57 Sei P a nz n eine Potenzreihe und =limsup n! wobei wir hier /0 := und / := 0 setzen. p n an sowie R :=, (i) Die Reihe P a nz n konvergiert absolut für alle z <Rund (ii) divergiert für alle z >R. Den Wert R nennt man den Konvergenzradius der Potenzreihe P a nz n. Beweis: Wir setzen c n := a n z n und wenden das Wurzelkriterium auf die Reihe P c n an. Es gilt: lim sup n! p p n n cn = z lim sup an = z n! R. Damit folgt die Aussage nach dem Wurzelkriterium (Satz 4.50). Nach Satz 4.57 konvergiert eine Potenzreihe P a nz n absolut innerhalb ihres Konvergenzradius, also für alle z in der offenen Kreisscheibe: U R (0) = {z C : z <R}.

68 Folgen und Reihen Außerhalb der Kreissscheibe divergiert die Reihe (vgl. Bild 4.5). Auf dem Rand {z C : z = R} ist das Konvergenzverhalten mitunter nicht ganz so einfach. Die Reihe kann dort für alle z konvergieren, für alle z divergieren oder für einige z konvergieren und für andere divergieren. Bemerkung 4.58 Eine Potenzreihe konvergiert immer für z =0.Dorthatsieden Wert a 0. Beispiel 4.59 (i) Für die Reihe P nn z n gilt =limsup n! n =. AlsogiltR =0. (ii) Für die Potenzreihe P zn (die wir bereits als geometrische Reihe kennengelernt haben, siehe Beispiel 4.39) haben wir =limsup n! n p =und R =.NachBeispiel4.39 divergiert die Reihe für z =. (iii) Die Reihe P zn /n hat =limsup p n n! /n =(dass der Grenzwert tatsächlich gleich ist, kann man elementar zeigen, siehe Seite 8) unddamit R =.SiekonvergiertnachdemVergleichskriterium4.43 für alle z mit z =, da dann z n /n = /n ist und die Reihe P n= /n nach Beispiel 4.45 konvergiert. (iv) Die Reihe P zn /n! konvergiert nach unseren Rechnungen am Anfang des Abschnitts für jedes z C absolut. Es folgt somit R = in diesem Fall. C 4.3 Das Leibnizkriterium Satz 4.60 (Leibniz-Kriterium) Sei (a n ) n eine Nullfolge mit a 0 a a 0. Dann konvergiert die alternierende Reihe P ( )n a n. Beweis: Für die Teilsummen s n = P n ( )k a k gilt: und s n =(a 0 a ) +(a a 3 ) + +(a n a n ) + a {z } {z } {z } {z} n 0 0 0 0 0. (4.6) s n+ = s n a n+ + a n+ = s n (a n+ a n+ ) apple s n. {z } (4.7) 0 Nach (4.7) ist (s n ) n monoton fallend. Da (s n ) n nach (4.6) nach unten beschränkt ist, existiert s =lim n! s n (Satz 4.9). Nach Korollar 4.4 haben wir auch a n+! 0, sodassnachdengrenzwertregelnaussatz4.7 gilt: lim s n+ = lim (s n a n+ )= lim s n lim a n+ = s 0=s. n! n! n! n! Aus s n! s und s n+! s folgt s n! s: zu">0 finden wir N mit s n s <" für alle n N und analog N mit s n+ s < " für alle n N ;füralle n max{n, N +} gilt dann s n s <". konvergiert. Dies folgt unmit- C Beispiel 4.6 Die alternierende harmonische Reihe P n= ( )n n telbar aus dem Leibniz-Kriterium.

4.4 Rechnen mit konvergenten Reihen 69 4.4 Rechnen mit konvergenten Reihen Aus den Rechenregeln für konvergente Folgen (Satz 4.7) ergibt sich unmittelbar der folgende Satz: Vorlesung vom:.05.05 Video zur Vorlesung: Satz 4.6 (Rechenregeln für konvergente Reihen) Konvergente Reihen darf man gliedweise addieren, subtrahieren und mit einer Konstanten multiplizieren, d.h. sind P a n und P b n beide konvergent, so gilt: X X X (a n ± b n )= a n ± X ( a n )= für alle C. Definition 4.63 Sei P a n eine Reihe und : N! N eine bijektive Abbildung. Dann nennen wir die Reihe P a (n) eine Umordnung von P a n. Beispiel 4.64 Wir betrachten die nach dem Leibnizkriterium Beispiel 4.6 konvergente alternierende harmonische Reihe + 3 Eine Umordnung der Reihe ist dann + 3 + 5 + 7 X 4 + 5 a n 4 + 9 + b n +... (4.8) 6 +... (4.9) 6 (es folgt auf zwei positive Glieder jeweils ein negatives Glied). Sei s der Grenzwert der Reihe (4.8). Dann gilt s = + 3 4 + 5 {z } <0 6 + 7 {z } <0 + < + 3 = 5 6. Sei andererseits s 0 n die nte Teilsumme der Reihe (4.9). Wir haben + 3 + 5 + 7 4 {z } >0 + 9 + 6 {z } >0 +... und, da für alle k die Ungleichung 4k 3 + 4k k > 0 gilt, folgt s 0 3 <s 0 6 <s 0 9 <...Diesbedeutetaber lim sup s 0 n >s 0 3 = 5 n! 6. (4.0) Wegen (4.0) kanndiereihe(4.9) alsoaufkeinenfallgegendengrenzwerts der Reihe (4.8) konvergieren. C

70 Folgen und Reihen Satz P 4.65 (Absolute Konvergenz impliziert unbedingte Konvergenz) Ist a n eine Reihe komplexer Zahlen, die absolut konvergiert, so konvergiert auch jede Umordnung von P a n, und alle Umordnungen konvergieren gegen den gleichen Grenzwert. Beweis: Sei P a n absolut konvergent gegen s,alsos = P a n.sei P eine beliebige Umordnung. Wir setzen mx mx s m = a k und s 0 m := a (k). a (n) Sei " > 0 beliebig. Wir finden aufgrund der absoluten Konvergenz der Reihe P a n ein N N, sodass mx a k <"für alle m n N (4.) k=n gilt. Da : N! N surjektiv ist, finden wir N 0 N,sodass: {0,,,...,N} { (0), (), (),..., (N 0 )}. (4.) Für M N 0 betrachten wir die Differenz der Teilsummen: s 0 M s M = MX a (k) M X a k = MX (a (k) a k ) =(a (0) a 0 )+(a () a )+ +(a (M) a M ). Wegen (4.) (undm N 0 ) treten die Zahlen a 0,...,a N sowohl in der Summe s 0 M als auch in der Summe s M auf und heben sich damit auf. Daher gilt s 0 M s M = N+ a N+ + N+ a N+ +...+ M a M mit j {, 0, }. (4.3) Damit folgt: s 0 M s M apple MX k=n+ a k (4.) < ". Daraus ergibt sich P (a (n) a n )=0.Wegen P a n = s und den Rechenregeln für konvergente Reihen (Satz 4.6) folgtdaher X X a (n) = X X (a (n) a n )+a n = (a (n) a n )+ a n =0+s = s. Dies wollten wir zeigen. Es gilt darüberhinaus der große Umordnungssatz, dessen Beweis wir hier uns aber sparen: Satz 4.66 (Großer Umordnungssatz (Riemann)) Sei P a n eine Reihe reeller Zahlen, die konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Sei ferner apple apple apple +. Dann existiert eine Umordnung P a (n) mit Teilsummen s 0 n, so dass lim inf n! s0 n = und lim sup s 0 n =. n!

4.4 Rechnen mit konvergenten Reihen 7 Beweis: Siehe etwa [Rud76]. Satz 4.67 (Cauchy-Produkt von Reihen) Seien P a n und P b n zwei Reihen komplexer Zahlen mit folgenden Eigenschaften: (i) P a n = A C und P a n konvergiert absolut. (ii) P b n = B C. Definieren wir dann die Reihe P c n mittels nx c n = a k b n k,,,,... (4.4) so gilt P c n = AB. Mit anderen Worten: Das Cauchy-Produkt (4.4) zweier konvergenter Reihen konvergiert gegen den richtigen Wert, wenn mindestens eine der beiden Reihen absolut konvergiert. Beweis: Wir setzen: nx A n := a k, B n := Es gilt dann: nx b k, C n := nx c k, n := B n B. C n = c 0 + c + + c n = a 0 b 0 +(a 0 b + a b 0 )+ +(a 0 b n + a b n + + a n b 0 ) = a 0 (b 0 + b + + b n )+a (b 0 + + b n )+ + a n b 0 = a 0 B n + a B n + + a n B 0 = a 0 (B + n )+a (B + n )+ + a n (B + 0 ) =(a 0 + + a n )B + a 0 n + a n +...a n 0 =: n = A n B + a 0 n + a n +...a n {z 0 } (4.5) = A n B + n. (4.6) Wir wollen zeigen, dass C n! AB gilt. Da A n B! AB, genügteszubeweisen,dass n! 0 gilt. Sei dazu ">0vorgegeben. Da P a n absolut konvergiert, existiert = P a n. Da n! 0 finden wir ein N N, sodass n <"für alle n N ist. Für n N haben wir daher: n = a 0 n + + a n N N + a n (N ) N + + a n 0 apple a 0 n + + a n {z} N N + a {z} n (N ) N + + a n 0 <" <" apple " + a n (N ) N + + a n 0 (4.7) Da n! 0, gibtesinsbesondereeinr>0, sodass n appler für alle n N. Aus (4.7) ergibtsichdaher: nx n apple " + R a k. (4.8) k=n (N ) Da die Teilsummen von P a n nach Satz 4.40 eine Cauchy-Folge bilden, gilt P n k=n (N ) a k <"falls nur n groß genug ist. Die rechte Seite von (4.8) wird also beliebig klein, und wir erhalten damit n! 0 wie gewünscht.

7 Folgen und Reihen 4.5 Die Exponentialfunktion Definition 4.68 (Exponentialfunktion) Die Exponentialfunktion exp: C! C ist definiert durch exp z := X z n n!. (4.9) Die Exponentialfunktion ist ein Beispiel für eine Potenzreihe. Als erstes beweisen wir das bekannte Additionstheorem für die Expoentialfunktion, indem wir unsere Kennnisse über Potenzreihen, insbesondere über das Cauchy-Produkt, anwenden. Lemma 4.69 Für die in Definition 4.68 definierte Exponentialfunktion exp: C! C gilt: exp(z + w) =expz exp w für alle z,w C. Beweis: Wir wissen bereits, dass die Potenzreihe P zn /n! für alle z C absolut konvergiert (siehe Abschnitt 4.). Mit a n = z n /n! konvergiert P a n also absolut. Da auch die Reihe P b n mit b n = w n /n! konvergiert haben wir nach Satz 4.67:!! X z n X w n exp z exp w = n! n! = = = = X nx X n! z k k! nx w n k (n k)! n! k!(n k)! zk w n k (nach Satz 4.67) X n! (z + w)n (nach Satz 3.7) X (z + w) n n! =exp(z + w). Wir leiten jetzt einige weitere wichtige Eigenschaften der Funktion her: Satz 4.70 Die Exponentialfunktion exp: C! C besitzt folgende Eigenschaften: (i) exp(z + w) =exp(z) exp(w) für alle z,w C. (ii) exp z 6= 0für alle z C und exp x>0 für alle x R. (iii) exp ist streng monoton steigend auf R. (iv) Für jedes n N gilt: lim x! x n exp x =0( exp wächst schneller als jede Potenz von x ). Da wir einen Grenzwert der Form lim noch nicht erklärt hatten: x! Für jedes ">0 gibt es ein!>0, so dass x n / exp x <"für alle x>!.

4.5 Die Exponentialfunktion 73 Beweis: (i) Siehe Lemma 4.69. (ii) Für jedes z C gilt nach (i) exp(z) exp( z) =exp(z z) = exp(0) =. DaC ein Körper ist, folgt daraus bereits exp z 6= 0für alle z C (siehe Satz 3.). Für x R mit x>0 ist x n /n! > 0 für alle n N, sodassinderreihe(4.9) nur positive Summanden stehen. Daher folgt exp x>0. Für x<0 haben wir exp x = exp( x) > 0. (iii) Falls 0 <x <x folgt exp x < exp x direkt aus der Definition der Exponentialfunktion (wegen x n <x n für alle n N). Für x <x < 0 ist x > x > 0, alsoexp( x ) < exp( x ) und damit exp x < exp x,was exp x < exp x impliziert. Letztendlich haben wir für x < 0 <x noch exp x < exp 0 = < exp x.dieszeigtdiebehauptetemonotonie. (iv) Nach Definition der Exponentialfunktion ist exp x x n+ (n+)! für x>0, also x n (n + )! x! apple! 0. exp x x