Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk C++ /Sclb Progrmmerug ud Eführug ds Kozept der objektoreterte Aweduge zu wsseschftlche Reches SS
Ihlt Folge Rehe Verfhre zur Kovergez Bestmmug Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Folge Defto: Ee Folge st ee Abbldug der türlche Zhle de reelle Zhle. M sgt uch, ee geordete Lste vo Zhle. N R :, k mt (,,3,...)detfzert werde ud wrd mt ( ) bezechet N Bemerkug: Aufgbe deses Abschttes st es de verschedeste Egeschfte vo Folge zu beschrebe ud für de wchtgste hrechede ud otwedge Krtere zugebe. Zel st es de ezele Egeschfte Bespele erkee ud mthemtsch beschrebe. Bespele: ) =/, b) b =/, c) c = De Folge ( )=,,,,... lefert kotuerlch mmer kleer werdede Folgegleder 4 8 Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 3
Folge Bespele: De Folge (b )=,,,,,... lefert kotuerlch mmer cht kleer werdede Folgegleder De Folge (c )=,,3,4,... lefert kotuerlch mmer größer werdede Folgegleder Defto: Ee Folge ( ) heßt mooto flled, we für lle glt: + Ee Folge ( ) heßt streg mooto flled, we für lle glt: + Ee Folge ( ) heßt mooto steged, we für lle glt: + Ee Folge ( ) heßt streg mooto steged, we für lle glt: + Zur Beschrebug veler weterer Egeschfte wrd der Begrff der Telfolge beötgt: Defto: S Se (b ) ee streg mooto stegede Folge vo N N. De Folge ( b ) st ee Auswhl vo Folgegleder vo ( ) ud wrd ls Telfolge vo ( ) bezechet Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 4
Folge Bespel: De Folge ( )=/ st cht ur mooto flled soder sogr streg mooto flled. Se fällt llerdgs emls s egtve. Defto: Ee Folge ( ) heßt ch ute beschräkt, flls glt: x R mt x für lle N Ee Folge ( ) heßt ch obe beschräkt, flls glt: x R mt x für lle N Ee Folge heßt beschräkt we se ch ute ud obe beschräkt st Bespel: De Folge us dem obge Bespel st cht ur ch ute beschräkt soder überhupt beschräkt. Bespel: De Folge ( )=s( π ) lefert htereder de Werte (,,-,,...) Dese Werte wederhole sch lle mmer weder. Dese Folge st perodsch mt der Perode 4. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Folge Defto: Ee Folge ( ) heßt perodsch we glt: k N mt Ds k heßt Perode vo ( ) k für lle N Defto: Ee Folge ( ) heßt koverget gege de reelle Zhl, we glt: N mt - für lle Bezechug: lm Ee Folge heßt dverget, we se cht kovergert Bespel: kovergert gege. Se belebg ber fest vorgegebe Gesucht st e ( ) mt - für lle ( ) Mt ( ) - ( ) Dmt st für jedes e ( ) gefude ud kovergert gege Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 6
Folge Bespel: De Folge ( ) = kovergert cht, se dvergert lso. Ageomme doch, d gäbe es e mt kovergert gege. Es st ( ) ber ubeschräkt ud dmt wächst de Etferug zu b eem gewsse Idex k streg mooto ud k deswege cht belebg kle se. Bespele: - (-,, -,, -,,...) De Folge ( ) = kovergert gege 3 4 6 ber uf etws soderbre Wese. E Tel der Folge ähert sch vo obe der, der dere Tel llerdgs vo ute De Folge ( ) = - 4 (3, 6,, 7,, 8,...) kovergert cht Bede Folge hbe ber de gleche Egeschft dss e Tel der Folge mmer oberhlb der dere mmer uterhlb eer Greze legt. Defto: Ee Folge ( ) heßt um lterered, we es Telfolge (b ) ud (c ) gbt mt: N glt :b c Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 7
Folge Bespel: - Betrchte wr u de Folge ( )= - 3 4 6 7 De Folgegleder lute :,, -,, -,, -, 3 4 6 7 8 Betrchte wr de bede Telfolge 4 6 3 7, -, -, -,... ud,,,,... 3 7 4 6 8 so kovergere bede Telfolge!De ee gege -de dere gege. Trotzdem st dese Folge dverget, wel cht koverget. Wäre se koverget, z.b.gege (be -st de Argumetto log), glt (ch Defto) Egl we groß u - - N mt heßt ber uch erst recht für. - - -- -,... - für lle gewählt wrd, es glt für ugerdes : - - - Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk : 8
Folge Trotz der Dvergez deser Folge möchte m de besodere Egeschfte deser Grezwerte uszeche Defto: Ee Folge ( ) bestzt ee Häufugspukt, we es ee Telfolge vo ( ) gbt de gege kovergert. De Folge us dem letzte t Bespel ht dmt Häufugspukte. Jede perodsche Folge bestzt sovel Häufugspukte wr hre mmle Perode lutet. Dmt st folgedes gemet: Ee perodsche Folge der Perode k, bestzt ber uch de Perode k oder 3k usw.. De kleste derrtge Perode gbt de mxmle Azhl der Häufugspukte. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 9
Folge Stz : Jede kovergete Folge st beschräkt. Bewes: st koverget N mt - für lle ( ) k N mt Se lso m M(,...,, - für lle k Dmt sd de Afgsfolgegleder ) ud m,..., Mx(,...,, vo edlcher Azhl. Für ee edlche Azhl vo Zhle st es möglch e Mmum ud e Mxmum zugebe! m - m k ud ds für lle k k ) d glt : Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Folge Stz : (ohe Bewes) Ee mootoe Folge st etweder ubeschräkt oder koverget Bemerkug: Aus dem Bewes vo Stz ergbt sch, dss de Ubeschräkthet ee Egeschft jeder Restfolge (b ee Idex) st. Jeder Folgefg, egl we vele Gleder, st beschräkt! Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Folge Defto: Ee Folge de gege kovergert heßt Nullfolge. Stz 3: Ee Folge ( ) kovergert gege ( -) st Nullfolge Ee belebge Lerkombto edlch veler Nullfolge st ee Nullfolge Stz 4: (Recheregel für kovergete Folge) ) lm lm b) c) d) e) lm lm lm lm ud lm b ud lm b ud lm b ud lm b b lm( b lm( b b b lm( b ud b ) b ) lm(b /b ) /b ) b für lle b Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Folge Ds Problem be der Kovergezdefto st, dss de Kovergez eer Folge ur gezegt werde k we der Grezwert uch bekt st. Stz : (Cuchy-Kovergezkrterum) ( ) kovergert N mt - für lle,m m Bemerkug: Stz erlubt de Kovergez eer Folge zu zege ohe de Grezwert zu kee. Bespel: ²- Gegebe de Folge, gesucht der Grezwert ² -3 ²- ² ² ² -3 ² -3 ² -3 ² -3 ² -3 ² ² 3 ² ² ² Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 3
Folge Bespel: e Gegebe de Folge (-), gesucht der Grezwert 4 Dese Folge kovergert wege dem ltererede Fktor (-) Versuche wr lso zu zege ds der Rest ee Nullfolge st e 4 4 4 e e e 4 e e we d ur gege Bespel: (Fbocc-Folge) De Fbocc st ee klsssche rekursv deferte Folge. Nch Festsetzug der erste bede Folgegleder zu ud ( = ud =) ergebe sch lle wetere zur Summe der jewels bede vorherge Gleder, lso - - für lle Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 4
Folge Bespel: (Fbocc-Folge) De Zhle de sch us desem Bldugsgesetz ergebe sd,,,, 3,, 8, 3,, 34,,... Dese Folge st b = streg mooto steged ud ubeschräkt, kovergert lso cht. Betrchtet wr de Quotetefolge der Fbocc-Zhle, lso b es ergebe sch de Zhle (b ) : ; ;,;,6 ;,6;... Des st ee Folge de, we se kovergert, bwechseld vo obe ud ute sch dem Grezwert b ähert (lterered). De verse Quotetefolgec =/b = / + kovergert we d uch lterered gege ee Grezwert c=/b. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Folge Bespel: (Fbocc-Folge) Iteresst desem Zusmmehg st de Drstellug der Quotetefolgegleder b ls Kettebruch 3 b 3 b 7 3 D B h d G h l d B ü De Berechug des Grezwertes st gewss cht trvl ud west Bezüge zur Mtrzerechug uf: Betrchte wr de symmetrsche Mtrx 3 ud llgeme us de erste 3 Folgegleder gebldet Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 6 - g
Folge Bespel: (Fbocc-Folge) Es st u so ds der Grezwert der Quotetefolge sch us de Egewerte der Mtrzepoteze ( gege uedlch) ergbt De Grezwerte b ud c ergebe sch zu De Grezwerte b ud c ergebe sch zu M Hlf d b d G lä h j d F l l d d Fb F l - 4 b ud dmt c b Mt Hlfe deser bede Grezwerte lässt sch jedes Folgegled der Fbocc-Folge drekt usreche - - - - - c b - (-c) b Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 7
Folge () rthmetsche Folge ( ) geometrsche Folge (/) hrmosche Folge Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 8
Rehe Ee uedlche Rehe st chts deres ls ee Folge vo Zhle Defto: Se ( ) ee Folge. De durch s deferte Zhlefolge heßt uedlche Rehe. De Folge ( ) heßt Folge der Gleder der uedlche Rehe. Ist de Folge (s ) koverget gege s so schrebt m uch lm s s Ee uedlche Rehe heßt dverget we se cht kovergert. Bemerkug ud Bespel: Gegebe de uedlche Rehe s mt Für dese Art uedlcher Rehe (geometrsche Rehe) sd de Summe, lso de Grezwerte, bekt ud über Formel berechebr. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 9
Rehe Bemerkug ud Bespel: Es gelte de folgede Formel: - - - - m m m Für = st de Rehe dverget, für =- uch ber her bestzt de Rehe Häufugspukte ( ud ). Für > st de Rehe ebeflls dverget. m Bemerkug: Um de Kovergez eer Rehe festzustelle sd de erste Gleder eer Rehe völlg egl. Ee Rehe kovergert b k gdw se uch b kovergert Ee Rehe kovergert b k gdw. se uch b kovergert (uter der Bedgug dss de Rehegleder für de etsprechede Idzes uch defert sd) Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Rehe Für Rehe gbt es de uterschedlchste Kovergezkrtere Stz 6: (Cuchy) Ee uedlche Rehe (s ) st koverget N mt s - s m m für lle,m St Stz 7: Ist de uedlche Rehe (s ) koverget De Folge der Rehegleder ( ) st ee Nullfolge Bemerkug: Ds st weder ml e Bespel für e otwedges Krterum: Ist ämlch de Folge der Rehegleder kee Nullfolge k de uedlche Rehe cht kovergere! Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Rehe Bespele st koverget, de es glt ² ² für lle 3 - - - ² ² - (Stz : mooto ud beschräkt Kovergez) Behuptug E belebter Grezfll st de sogete hrmosche Rehe... 3 4 A A N ethält kee 9 ud Dese Rehe st dverget Schräkt m dese Rehe uf Zhle e de z.b kee 9 ethlte, d ergbt sch mt - - N ethält kee 9 A A 8 ; A 7 ; A 3 648 ; A 9-9 89 Jetzt hbe wr lles prt für A ethält lle derrtge Zhle zwsche ud 99 A - 89 89 9 8 8 8 - M A 9 A A - Kovergez ch Stz (beschräkt ud streg mooto steged) Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk -
Rehe Bslg hbe wr us be Kovergezussge über (s ) de Bespele mmer uch drekt uf dese Folge bezoge. Es gbt Krtere de Aussge über Kovergez der Folge (s ) us Egeschfte bzw. Berechuge über de Folge der Rehegleder ( ) gewe. Defto: Ist koverget d heßt bsolut koverget. Bemerkug: Absolute Kovergez st ee Verschärfug der Kovergez. Ds heßt us bsoluter Kovergez folgt Kovergez ber cht umgekehrt. Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 3
Rehe Stz 8: (Wurzelkrterum) Glt b eem Idex k (Quotetekrterum) Glt b eem Idex k k k d kovergert de Rehe bsolut d kovergert de Rehe bsolut Bespele: k k x wobe x belebg ber fest vorgegebe st. k! b dem Idex wo k x wrd bld blde de Rehegleder ee streg mooto fllede Folge Für lle Idzes k glt u x (k )! x x Kovergez ch Quotetekrterum x k k k! e x st für welche x koverget? Es glt e x e x x Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 4
Rehe Stz 9: (Cuchy-Produkt) See ud b bsolut kovergete Rehe. Setze D kovergert de Rehe bsolut ud es glt: c c b - c b - b Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
Verfhre zur Kovergez Bestmmug -te Zhl Test: Geometrsche Rehe P-Rehe Test Ncht-Negtve Zhl oder bsolut Altererede Sehe Se ächste Sete... (Eglsch) Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 6
Verfhre zur Kovergez Bestmmug Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk 7