1 Lineare Abbildungen Definition 1 Sei K ein Körper und V und W K-Vektoräume. Eine Abbildung f : V W heisst linear oder Homomoprhismus, wenn gilt: fv 1 + v 2 = fv 1 + fv 2 v 1, v 2 V fλv = λfv λ K, v V Mit HomV, W bezeichnen wir die Menge aller linearen Abbildungen V W. Beispiele 1 a Sei A = a i,j Mm n, K. Setze x 1 a 11... a 1m l A : K n K m, x =... x n a n1... a nm x 1. x n = A x. l A ist eine lineare Abbildung. Wir werden später zeigen, dass jede lineare Abbildung K n K m von dieser Form ist, d.h. für jedes f HomK n, K m gibt es genau ein A Mm n, K mit f = l A. b Für a, b R mit a < b sei C 0 [a, b] die Menge aller stetigen Funktionen [a, b] R und C 1 [a, b] die Menge aller stetig diffenzierbaren Funktionen [a, b] R. Die Teilmengen C 0 [a, b], C 1 [a, b] sind Untervektorräume von Abb [a, b], R. Der Differenzialoperator d dx : C1 [a, b] C 0 [a, b], ϕ dϕ dx = ϕ ist linear, denn es gilt ja ϕ 1 + ϕ 2 = ϕ 1 + ϕ 2 und λϕ = λϕ für alle ϕ, ϕ 1, ϕ 2 C 1 [a, b] und λ R. c Das Integral b : a C0 [a, b] R, ϕ b ϕxdx ist linear. 1 a
d Keine lineare Abbildungen sind z.b.: x 2x + y + 1 f : R 2 R 2, y 3x + 4y + 5 g : R 2 R 2, x y sinx e y Denn nach Beispiel 1 ist jede lineare Abbildung R 2 R 2 von der Form x ax + by R 2 R 2, y cx + dy für geeignete a, b, c, d R. Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume und sei f : V W linear. Wir fixieren Basen v = v 1...v n und w = w 1...w n von V und W. Für jedes j {1,...,n} gibt es eindeutig bestimmte a 1j, a 2j,...,a mj K so dass fv j = a 1j w 1 +... + a mj w n a 11... a 1n heisst Darstellungsmatrix von f Die Matrix Mw vf =.. a m1... a mn bezüglich v und w. Für j = 1,..., n gilt also: Die j-te Spalte von Mwf v besteht aus den Koordinaten von fv j bzgl. der Basis w 1...w n. Beispiel 1 Sei R[x] n die Menge der Polynome mit Koeffizienten in R vom Grad n, d.h. R[x] n = {fx = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 a 0,...,a n R}. R[x] n ist ein n + 1 dimensionaler Unterraum von Abb R, R. Z.B. ist das n + 1 Tupel der Monome x 0 = 1, x 1, x 2,...,x n eine Basis von R[x] n. Die Abbildung D n = d dx : R[x] n R[x] n 1, Px P x ist linear. Wir wollen die Darstellungsmatrix von D 3 bzgl. der Basen v: = 1, x 1, x 2, x 3 und w: = 1, x 1, x 2 bestimmen. Da D 3 1 = 0 = 0 1 + 0 x + 0 x 2, D 3 x = 1 = 1 1 + 0 x + 0 x 2, D 3 x 2 = 2x 1 = 0x 0 + 2x 1 + 0x 2, D 3 x 3 = 3x 2 = 0x 0 + 0x 1 + 3x 2 2
folgt Mw v D 3 = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3. Satz 2 Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume mit fest gewählten Basen v = v 1,...,v n und w = w 1,...,w m. Die Abbildung 1 HomV, W Mm n, K, f M v wf ist bijektiv. Beweis. 1. Injektivität: Seien f, g : V W linear mit a 11... a 1n Mw v f =.. = Mw v g. a m1... a mn Folglich gilt fv j = m a ij w i = gv j j {1,..., n} Sei v V. Wir wollen zeigen fv = gv. Da v 1,...,v n eine Basis von V ist, gibt es eindeutig bestimmte λ 1,...,λ n K mit v = λ 1 v 1 +... + λ n v n. f = g Injektivität. 2. Surjektivität: Sei A = fv = fλ 1 v 1 +... + λ n v n = λ 1 fv 1 +... + λ n fv n = λ 1 gv 1 +... + λ n gv n = gλ 1 v 1 +... + λ n v n = gv a 11... a 1n.. a m1... a mn Gesucht: f HomV, W mit Mw v f = A. Mm n, K Definiere zunächst fv j := a 1j w 1 +... + a mj w m j {1,..., n} 3
Um fv für einen beliebigen Vektor v V zu definieren, stellen wir v als Linearkombionation der v 1,...,v n dar: v = λ 1 v 1 +... + λ n v n. Dabei sind λ 1,...,λ n K eindeutig bestimmt. Wir setzen: fv: = λ 1 fv 1 +... + λ n fv n Man überprüft leicht, dass die so definierte Abbildung f : V W linear ist und Mwf v = A gilt. Beispiel 2 Sei V = K n, W = K m und seien e = e 1,...,e n, e = e 1,..., e m die Standardbasen von K n und K m, d.h. 1 0 0 0 1 0 e =,,..., 0. 0. 0. 0 0 1 Man rechnet leicht nach, dass die beiden Abbildungen HomK n, K m Mm n, K, f M e e f Mm n, K HomK n, K m, A l A zueinander invers sind. Insbesondere ist die zweite Abbildung A l A bijektiv. Bemerkung 3 Da die Spalten der Darstellungsmatrix die Koordinaten der Bilder fv 1,...,fv n bzgl. der gegebenen Basis von W sind, lässt sich die Injektivität der Abbildung 1 wie folgt interpretieren: Eine lineare Abbildung f : V W ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren fv 1,...,fv n festgelegt. Die Surjektivität von 1 bedeutet: Zu jeder Wahl von n Vektoren w 1,...,w n W gibt es eine lineare Abbildung f : V W mit fv 1 = w 1,...,fv n = w n. Zusammenfassend erhalten wir: Sei V ein endlich-dimensionaler und W ein beliebiger K-Vektorraum. Sei v 1,...,v n eine Basis von V und seien w 1,...,w n beliebige Vektoren in W. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung f : V W mit fv i = w i für i = 1,..., n. 4
Der nächste Satz besagt vereinfacht ausgedrückt, dass die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen dem Produkt der Darstellungsmatrizen entspricht. Satz 4 Seien U, V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume mit Basen u = u 1,...,u n, v = v 1,...,v m und w = w 1,..., w l und seien f : U V und g : V W lineare Abbildungen. Dann ist g f : U W linear und es gilt: M u wg f = M v wgm u v f. Beweis. Sei M u v f = b jk, M v w g = a ij und M u w g f = c ik, d.h. es gilt: fu k = m b jk v j, gv j = l a ij w i, und Es folgt: g fu k = gfu k = l m a ij b jk w i = l c ik w i. m l b jk a ij w i = m m b jk gv j = g b jk v j = gfu k = l c ik w i und damit m a ijb jk = c ik für alle i = 1,..., l und k = 1,...,n. Satz 5 Dimensionsformel für lineare Abbildungen Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen. Ist V endlich-dimensional, so gilt: dimv = dim Kernf + Rangf. Beweis. Sei r: = dim Kern f n: = dim V, und sei v 1,...,v r eine Basis von Kern f, die wir zu einer Basis v 1,...,v n von V ergänzen. Sei v = λ 1 v 1 +... + λ n v n V. Wegen fv = λ 1 fv 1 +... + λ n fv n = λ r+1 fv r+1 +... + λ n fv n 5
ist fv r+1,...,fv n ein Erzeugendensystem von Bild f. Die Vektoren fv r+1,...,fv n sind überdies linear unabhängig, denn aus λ r+1 fv r+1 +... + λ n fv n = 0 folgt fλ r+1 v r+1 +... + λ n v n = 0, also λ r+1 v r+1 +... + λ n v n Kern f und damit λ 1 v 1 +... + λ r v r = λ r+1 v r+1 +... + λ n v n für gewisse λ 1,..., λ r K. Da v 1,...,v n eine Basis ist, folgt λ 1 =... = λ r = λ r+1 =... = λ n = 0. Also ist fv r+1,...,fv n eine Basis von Bild f und es folgt Rangf = n r = dimv dim Kern f Folgerung 1 Seien V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume mit dimv = dimw und sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent: i f ist injektiv. ii f ist surjektiv. iii f ist surjektiv. Beweis. f ist injektiv Kern f = 0 dim Kernf = 0 5 Rangf = dimv = dimw Bildf = W f ist surjektiv. Folgerung 2 Seien f : U V und g : V W lineare Abbildungen zwischen K-Vektorräumen. Ist V endlich-dimensional, so gilt Rangg f minrangf,rangg. Beweis. Wir müssen zeigen, dass gilt: Rangg f Rangf, Rangg f Rangg. Da Bildg f Bildg gilt zunächst Rangg f Rangg. Wenden wir die Dimensionsformel auf die Einschränkung g Bildf von g auf den Unterraum Bildf von V an also auf die lineare Abbildung Bildf W, v 6
gv, so erhalten wir wegen Bildg Bildf = gfv = Bildg f andererseits Rangg f = Rangg Bildf = dimbildf dimkerng Bildf dimbildf = Rangf. HomV, W als Vektorraum Sei K ein Körper und V und W K-Vektoräume. Für f, g HomV, W und λ K definieren wir so verifiziert man leicht dass die Abbildungen 2 3 f + g : V W, v f + gv: = fv + gv, λf : V W, v λfv: = λfv wieder linear sind. Die Menge aller linearen Abbildungen von V in W bezeichnen wir mit Hom K V, W. Sie wird durch die in 2 definierte Addition und skalare Multiplikation selbst wieder zu einem K-Vektorraum. 7