Trigonometrie Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1
Verschiedene Winkel DEFINITION v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 2 / 1
Verschiedene Winkel Vermessungsaufgaben v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 3 / 1
Wh. Umfang eines Kreises Definition (Kreiszahl π) Die Zahl π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Also: Daraus folgt nun: π = Umfang (u) Durchmesser (d) = u 2r Satz (Umfang eines Kreises) Sei d R der Durchmesser und r R der Radius eines Kreises dann berechnet sich der Umfang u R wie folgt: GeoGebra (Wiederholung Umfang Kreis Datei) u = d π = 2rπ
Bogenmaß Betrachtet man nun den Einheitskreis mit dem Radius r = 1 so ergibt sich der folgende Umfang: u = 2π v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 5 / 1
Bogenmaß Definition (Bogenmaß, Radiant) Ein Winkel in rad (Radiant) oder im Bogenmaß ist die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis. Praktische Erarbeitung am Modell v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 6 / 1
Bogenmaß Bis jetzt haben wir Winkel immer in Grad angegeben. Man kann den Winkel jedoch auch über ein Kreisstück angeben. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 7 / 1
Bogenmaß Wir verwenden hierzu wieder den Einheitskreis. Will man beispielsweise den Winkel von 45 im Einheitskreis darstellen sieht dies so aus: v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 8 / 1
Bogenmaß Wie kann man das Bogenmaß jetzt berechnen? Wir wissen bereits, dass der Umfang des Einheitskreises 2π ist. Wir benötigen jetzt einen Teil des Umfangs, der dem Kreisabschnitt bei einem Winkel von 45 entspricht. Dazu stellen wir uns zuerst die Frage, wie groß der Kreisabschnitt bei nur 1 wäre. Die Antwort: 2π 360 Wenn wir jetzt wissen möchten, wie groß der Winkel im Bogenmaß bei 45 ist, dann müssen wir nur noch diesen Wert mal 45 rechnen: 2π 45 45 45 = 2π = 360 360 180 π = π 4 Somit haben wir den Winkel 45 in das Bogenmaß umgerechnet! v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 9 / 1
Bogenmaß Diese Vorgangsweise funktioniert für jeden beliebigen Winkel α. Wollen wir also α in einen Winkel α R in Rad umrechnen, so überlegen wir uns wieder das Bogenmaß von 1, welches durch 2π 360 gegeben ist. Diesen Wert multiplizieren wir mit dem Winkel α und kommen somit auf folgende Formel: α R = 2π 360 α = α 360 2π = α 180 π v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 10 / 1
Bogenmaß Wir fassen also zusammen: Wollen wir einen Winkel α in Grad in einen Winkel α R in Rad umrechnen, verwenden wir folgende Formel: α R = α 360 2π = α 180 π v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 11 / 1
Bogenmaß Daraus folgt nun sofort die Umrechnung von Rad in Grad: α R = α 180 π 180α R = απ 180 π α R = α α = 180 π α R v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 12 / 1
Übung Wir wissen: α R = α 180 180π und α = π α R. 1 Transferieren Sie die folgenden Winkel von Grad in Rad: 0, 45, 90, 180, 225, 270, 315, 360 2 Transferieren Sie die folgenden Winkel von Rad in Grad: π 6 rad, 3π 4 rad, 5π 2 rad, 3π rad v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 13 / 1
Graph der Sinus und Kosinus Funktion Warum die Graphen so aussehen wie sie aussehen erarbeiten wir mit GeoGebra! GeoGebra (Sinus, Cosinus, Tangens am Einheitskreis) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 14 / 1
Graph der Sinus und Kosinus Funktion Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion sehen also wie folgt aus: Sinus Nullstellen: N s = (0 + n π 0) für alle n Z Kosinus Nullstellen: N c = ( π 2 + n π 0) für alle n Z v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 15 / 1
Graph der Sinus und Kosinus Funktion Satz (Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen) Für alle x R gilt: und sin(x + 2π) = sin(x) cos(x + 2π) = cos(x) Bemerkung: Man sagt auch Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit Periodenlänge 2π. GeoGebra (Periodizität Sinus Cosinus Datei ) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 16 / 1
Graph der Sinus und Kosinus Funktion Zusammenhang sin und cos Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion um π 2 nach links, so deckt sie sich mit der Cosinusfunktion. Es gilt also: cos(x) = sin(x + π 2 ) GeoGebra (Zusammenhang sin cos) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 17 / 1
Graph der Sinus und Kosinus Funktion Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion D = R W = [ 1; 1] Nullstellen: Sinus: N s = (0 + n π 0) für alle n Z Cosinus: N c = ( π 2 + n π 0) für alle n Z Schnittpunkt mit y-achse Sinus: P s = (0 0) Cosinus: P c = (0 1) Monotonie Sinus: streng monoton steigend in ( π 2 + 2nπ; π 2 + 2nπ), für n Z streng monoton fallend in ( π 2 + 2nπ; 3π 2 + 2nπ), für n Z Cosinus: streng monoton steigend in ( π + 2nπ; 2nπ), für n Z streng monoton fallend in (2nπ; π + 2nπ), für n Z v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 18 / 1
Graph der Sinus und Kosinus Funktion Parameter der Sinus- und Cosinusfunktionen Seien f (x) = a sin(bx + c) + d und g(x) = a cos(bx + c) + d zwei Sinus- und Cosinusfunktionen. Die Parameter a, b, c und d beeinflussen das Aussehen dieser Funktionen: Veränderung von a bewirkt eine Streckung/Stauchung in Richtung der y-achse um den Faktor a. Veränderung von b bewirkt eine Streckung/Stauchung in Richtung der x-achse um den Faktor 1 b. Veränderung von c bewirkt eine Verschiebung entlang der x-achse um den Faktor c b. Veränderung von d bewirkt eine Verschiebung entlang der y-achse um d. GeoGebra (parametersincos) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 19 / 1
Steigungswinkel einer Geraden Definition (Drehrichtung rechts, im Uhrzeigersinn, oder auch im mathematisch negativen Drehsinn ) Es sei eine Kreisfläche gegeben, die sich um ihren Mittelpunkt dreht und in Richtung der Drehachse betrachtet wird. Beschreiben nun Punkte der Fläche bei der Drehung eine erst nach oben, dann nach rechts verlaufende Linie, so ist die Drehrichtung rechts, im Uhrzeigersinn, oder auch im mathematisch negativen Drehsinn. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 20 / 1
Steigungswinkel einer Geraden Definition ( Drehrichtung links, im Gegenuhrzeigersinn, oder auch im mathematisch positiven Drehsinn ) Es sei eine Kreisfläche gegeben, die sich um ihren Mittelpunkt dreht und in Richtung der Drehachse betrachtet wird. Beschreiben nun Punkte der Fläche bei der Drehung eine erst nach oben, dann nach links verlaufende Linie, so ist die Drehrichtung links, im Gegenuhrzeigersinn, oder auch im mathematisch positiven Drehsinn. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 21 / 1
Definition (Steigungswinkel einer Geraden) Der Steigungswinkel einer Geraden ist derjenige im mathematisch positiven Sinn gemessene Winkel α, den die Gerade mit der positiven x-achse einschließt. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 22 / 1
Gegeben sei eine Funktion f (x) = kx + d: Wie am eingezeichneten Steigungsdreieck schon zu sehen ist, hängt der Winkel von der Steigung ab. In diesem rechtwinkligen Dreieck kennen wir zwei Katheten, und somit kommt der Tangens zum Einsatz. Sofern die Gerade keine Senkrechte ist (dann ist k nicht definiert), gilt nämlich: GeoGebra (Steigungswinkel berechnen) tan(α) = Gegenkathete Ankathete = k 1 = k. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 23 / 1
Eigenschaften des Steigungswinkels Man kann den Steigungswinkel an jeder Stelle der Funktion ablesen, indem man eine Parallele zur x-achse zeichnet und den Winkel zwischen der Funktion und dieser Parallele betrachtet. Der Steigungswinkel ist unabhängig von d Der Steigungswinkel hängt von k ab. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 24 / 1
Das führt uns zu folgendem Satz: Satz (Berechnung des Steigungswinkels für α < 90 ) Sei α der Steigungswinkel einer Geraden (Graph der Funktion f (x) = kx + d) mit α < 90 dann gilt k = tan(α) und α = arctan(k). Bemerkung: Bei α < 90 ist die Steigung k Positiv! Beispiel: Gegeben sei f (x) = 2 3x 1. Gesucht ist nun der Steigungswinkel des Graphen der Funktion. Wegen dem Satz wissen folgt nun tan(α) = 2 3 α = arctan( 2 3 ) 33, 7 v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 25 / 1
Was machen wir aber wenn die Steigung k der Funktion f (x) = kx + d negativ wird? GeoGebra (Steigungswinkel berechnen) v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 26 / 1
Gegeben sei der Graph der Funktion f (x) = 1 x + 1. Gesucht ist ihr Steigungswinkel. 2 Wenn wir wie gewohnt vorgehen, erhalten wir mit dem Taschenrechner arctan( 1 2 ) 26, 6. Der negative Winkel ist dabei so zu deuten, dass der Winkel im mathematisch negativen Sinn (also im Uhrzeigersinn) überstrichen wird. So sieht es aus: Den Steigungswinkel erhalten wir, indem wir den gestreckten Winkel (180 ) addieren: tan(α ) = 1 2 α = arctan( 1 ) 26, 6 2 α = α + 180 = 153, 4 v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 27 / 1
Dies führt uns zu folgendem finalen Satz: Satz (Steigungswinkel berechnen) Gegeben sei eine Funktion f (x) = kx + d. Den Steigungswinkel α des Graphen von f berechnet man nun wie folgt. Ist k 0 so gilt ist k < 0 so gilt α = arctan(k) α = arctan(k) + 180. Bemerkung: Die Berechnung von α ist unabhängig von d. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 28 / 1
Beispiel 1 Gegeben seien die beiden Punkte A = ( 4 1) und B = (1, 5 4) der Funktion f. Finden Sie die Geradengleichung. 2 Gegeben seien die beiden Punkte C = (0, 5 2) und D = (8, 2) der Funktion g. Finden Sie die Geradengleichung. 3 Berechnen Sie die Steigungswinkel α von f und β von g. 4 Geben Sie den Schnittwinkel der beiden Geraden an. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 29 / 1