Istitut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökoometrie ud Statistik Kapitel XI - Korrelatiosrechug Deskriptive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Seska Carlo Siebeschuh
Aufgabe der Korrelatiosrechug Da es bei quatitative Merkmale icht immer sivoll ist, mittels liearer Regressio eie Zusammehag zwische beide Merkmale zu bereche, erscheit es ützlich, eie Methode zu etwickel, mit dere Hilfe ma Hiweise erhalte ka, ob die Awedug der lieare Regressio berechtigt ist. Ziel der Korrelatiosrechug Messug der Güte eies uterstellte lieare Zusammehags Dazu vergleiche wir die Variaz der Tredwerte mit der Variaz der y-werte. ŷ i = ˆmx i + ˆb Kapitel XI - Korrelatiosrechug 2
Aufgabe der Korrelatiosrechug Da es bei quatitative Merkmale icht immer sivoll ist, mittels liearer Regressio eie Zusammehag zwische beide Merkmale zu bereche, erscheit es ützlich, eie Methode zu etwickel, mit dere Hilfe ma Hiweise erhalte ka, ob die Awedug der lieare Regressio berechtigt ist. Ziel der Korrelatiosrechug Messug der Güte eies uterstellte lieare Zusammehags Dazu vergleiche wir die Variaz der Tredwerte mit der Variaz der y-werte. ŷ i = ˆmx i + ˆb Kapitel XI - Korrelatiosrechug 2
Aufgabe der Korrelatiosrechug Da es bei quatitative Merkmale icht immer sivoll ist, mittels liearer Regressio eie Zusammehag zwische beide Merkmale zu bereche, erscheit es ützlich, eie Methode zu etwickel, mit dere Hilfe ma Hiweise erhalte ka, ob die Awedug der lieare Regressio berechtigt ist. Ziel der Korrelatiosrechug Messug der Güte eies uterstellte lieare Zusammehags Dazu vergleiche wir die Variaz der Tredwerte mit der Variaz der y-werte. ŷ i = ˆmx i + ˆb Kapitel XI - Korrelatiosrechug 2
Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß stellt das Verhältis aus der Variaz der ŷ-werte ud der Variaz der y-werte dar. Variaz der Tredwerte ŷ: s 2 ŷ = Var( ˆmx i + ˆb) = ˆm 2 s 2 x Variaz der y-werte s 2 y. Somit ist das Bestimmtheitsmaß defiiert als ˆm 2 s 2 x s 2 y Kapitel XI - Korrelatiosrechug 3
Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß stellt das Verhältis aus der Variaz der ŷ-werte ud der Variaz der y-werte dar. Variaz der Tredwerte ŷ: s 2 ŷ = Var( ˆmx i + ˆb) = ˆm 2 s 2 x Variaz der y-werte s 2 y. Somit ist das Bestimmtheitsmaß defiiert als ˆm 2 s 2 x s 2 y Kapitel XI - Korrelatiosrechug 3
Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß stellt das Verhältis aus der Variaz der ŷ-werte ud der Variaz der y-werte dar. Variaz der Tredwerte ŷ: s 2 ŷ = Var( ˆmx i + ˆb) = ˆm 2 s 2 x Variaz der y-werte s 2 y. Somit ist das Bestimmtheitsmaß defiiert als ˆm 2 s 2 x s 2 y Kapitel XI - Korrelatiosrechug 3
Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß stellt das Verhältis aus der Variaz der ŷ-werte ud der Variaz der y-werte dar. Variaz der Tredwerte ŷ: s 2 ŷ = Var( ˆmx i + ˆb) = ˆm 2 s 2 x Variaz der y-werte s 2 y. Somit ist das Bestimmtheitsmaß defiiert als ˆm 2 s 2 x s 2 y Kapitel XI - Korrelatiosrechug 3
Bestimmtheitsmaß Dies ka ma umforme: ˆm 2 s 2 x s 2 y ( = s2 x sy 2 x i y i x ) i y 2 i x i 2 ( x i ) 2 ( = s2 x sy 2 x i y i 1 x ) i y 2 i x i 2 1 ( x i 2) = s2 x s 2 y = s2 x sy 2 ( 1 = s2 x sy 2 x i y i x i x 2 y i y i x i + x i y i i 2 x i x i + ( x i ) 2 ( x i y i x y i ȳ ) x 2 i + x ȳ x i 2 2 x x i + x 2 ) (x 2 ( ) 2 i x)(y i ȳ) 1 (x = 1 1 i x) 2 sx 2 sy 2 (x i x)(y i ȳ). 2 Der Ausdruck i der Klammer stellt die Kovariaz dar (später). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 4
Bestimmtheitsmaß Dies ka ma umforme: ˆm 2 s 2 x s 2 y ( = s2 x sy 2 x i y i x ) i y 2 i x i 2 ( x i ) 2 ( = s2 x sy 2 x i y i 1 x ) i y 2 i x i 2 1 ( x i 2) = s2 x s 2 y = s2 x sy 2 ( 1 = s2 x sy 2 x i y i x i x 2 y i y i x i + x i y i i 2 x i x i + ( x i ) 2 ( x i y i x y i ȳ ) x 2 i + x ȳ x i 2 2 x x i + x 2 ) (x 2 ( ) 2 i x)(y i ȳ) 1 (x = 1 1 i x) 2 sx 2 sy 2 (x i x)(y i ȳ). 2 Der Ausdruck i der Klammer stellt die Kovariaz dar (später). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 4
Bestimmtheitsmaß Dies ka ma umforme: ˆm 2 s 2 x s 2 y ( = s2 x sy 2 x i y i x ) i y 2 i x i 2 ( x i ) 2 ( = s2 x sy 2 x i y i 1 x ) i y 2 i x i 2 1 ( x i 2) = s2 x s 2 y = s2 x sy 2 ( 1 = s2 x sy 2 x i y i x i x 2 y i y i x i + x i y i i 2 x i x i + ( x i ) 2 ( x i y i x y i ȳ ) x 2 i + x ȳ x i 2 2 x x i + x 2 ) (x 2 ( ) 2 i x)(y i ȳ) 1 (x = 1 1 i x) 2 sx 2 sy 2 (x i x)(y i ȳ). 2 Der Ausdruck i der Klammer stellt die Kovariaz dar (später). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 4
Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß beschreibt de Ateil a der Variaz der y-werte, der sich bei liearer Regressio aus der Variaz der x-werte begrüde lässt, also de Teil der Variaz, de ma auch erhalte würde, we der lieare Zusammehag exakt eigehalte würde, die Störgröße also alle gleich 0 wäre. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 5
Kovariaz De Klammerausdruck aus dem Bestimmtheitsmaß et ma die Kovariaz der beide Merkmale: Cov(x, y) = 1 (x i x)(y i ȳ) Aalog zur Variaz lässt sich dieser Ausdruck umforme: Cov(x, y) = 1 (x i y i xy i x i ȳ + xȳ) = 1 x i y i 1 x( y i ) ( 1 x i )ȳ + xȳ = 1 x i y i xȳ xȳ + xȳ = 1 x i y i xȳ. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 6
Kovariaz De Klammerausdruck aus dem Bestimmtheitsmaß et ma die Kovariaz der beide Merkmale: Cov(x, y) = 1 (x i x)(y i ȳ) Aalog zur Variaz lässt sich dieser Ausdruck umforme: Cov(x, y) = 1 (x i y i xy i x i ȳ + xȳ) = 1 x i y i 1 x( y i ) ( 1 x i )ȳ + xȳ = 1 x i y i xȳ xȳ + xȳ = 1 x i y i xȳ. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 6
Kovariaz Es werde das Leergewicht ud das maximale Zuladugsgewicht bei PKWs betrachtet. Die Summe dieser beide bildet das zulässige Gesamtgewicht. i = 1 2 3 4 5 6 7 Leergewicht x i 873 967 932 1345 1138 996 1782 Zuladugsgewicht y i 481 518 495 647 584 489 691 zul. Gesamtgewicht z i = x i + y i 1354 1485 1427 1992 1722 1485 2473 i = 8 9 10 Leergewicht x i 2020 1420 1382 12855 Zuladugsgewicht y i 360 648 585 5498 zul. Gesamtgewicht z i = x i + y i 2380 2068 1967 18353 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 7
Kovariaz Es werde das Leergewicht ud das maximale Zuladugsgewicht bei PKWs betrachtet. Die Summe dieser beide bildet das zulässige Gesamtgewicht. i = 1 2 3 4 5 6 7 Leergewicht x i 873 967 932 1345 1138 996 1782 Zuladugsgewicht y i 481 518 495 647 584 489 691 zul. Gesamtgewicht z i = x i + y i 1354 1485 1427 1992 1722 1485 2473 i = 8 9 10 Leergewicht x i 2020 1420 1382 12855 Zuladugsgewicht y i 360 648 585 5498 zul. Gesamtgewicht z i = x i + y i 2380 2068 1967 18353 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 7
Kovariaz Beispiel 11.1 Arithmetisches Mittel für Eizelwerte ud zulässiges Gesamtgewicht: i = 1 2 3 4 5 6 x i 873 967 932 1345 1138 996 y i 481 518 495 647 584 489 xi 2 762129 935089 868624 1809025 1295044 992016 yi 2 231361 268324 245025 418609 341056 239121 x i + y i 1354 1485 1427 1992 1722 1485 (x i + y i) 2 1833316 2205225 2036329 3968064 2965284 2205225 i = 7 8 9 10 x i 1782 2020 1420 1382 12855 y i 691 360 648 585 5498 xi 2 3175524 4080400 2016400 1909924 17844175 yi 2 477481 129600 419904 342225 3112706 x i + y i 2473 2380 2068 1967 18353 (x i + y i) 2 6115729 5664400 4276624 3869089 35139285 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 8
Kovariaz Beispiel 11.1 Arithmetisches Mittel für Eizelwerte ud zulässiges Gesamtgewicht: i = 1 2 3 4 5 6 x i 873 967 932 1345 1138 996 y i 481 518 495 647 584 489 xi 2 762129 935089 868624 1809025 1295044 992016 yi 2 231361 268324 245025 418609 341056 239121 x i + y i 1354 1485 1427 1992 1722 1485 (x i + y i) 2 1833316 2205225 2036329 3968064 2965284 2205225 i = 7 8 9 10 x i 1782 2020 1420 1382 12855 y i 691 360 648 585 5498 xi 2 3175524 4080400 2016400 1909924 17844175 yi 2 477481 129600 419904 342225 3112706 x i + y i 2473 2380 2068 1967 18353 (x i + y i) 2 6115729 5664400 4276624 3869089 35139285 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 8
Kovariaz Beispiel 11.1 Arithmetisches Mittel für Eizelwerte ud zulässiges Gesamtgewicht: i = 1 2 3 4 5 6 x i 873 967 932 1345 1138 996 y i 481 518 495 647 584 489 xi 2 762129 935089 868624 1809025 1295044 992016 yi 2 231361 268324 245025 418609 341056 239121 x i + y i 1354 1485 1427 1992 1722 1485 (x i + y i) 2 1833316 2205225 2036329 3968064 2965284 2205225 i = 7 8 9 10 x i 1782 2020 1420 1382 12855 y i 691 360 648 585 5498 xi 2 3175524 4080400 2016400 1909924 17844175 yi 2 477481 129600 419904 342225 3112706 x i + y i 2473 2380 2068 1967 18353 (x i + y i) 2 6115729 5664400 4276624 3869089 35139285 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 8
Kovariaz Beispiel 11.1 Aus der Tabelle ermittel wir: s 2 x = 131907.25; s 2 y = 8990.56; Cov(x, y) = 2352.3 ud s 2 x+y = 145602.41, also s 2 x+y = s 2 x + s 2 y + 2Cov(x, y). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 9
Kovariaz Variaz der Summe s 2 x+y = 1 (x i + y i ( x + ȳ)) 2 (x i x + y i ȳ) 2 (x i x) 2 + 1 (y i ȳ) 2 + 2 1 = 1 = 1 = s 2 x + s 2 y + 2Cov(x, y). (x i x)(y i ȳ) Bei der Variaz der Summe geht also wesetlich die Beziehug zwische de Merkmale ei, wie sie sich aus der Kovariaz ergibt. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 10
Kovariaz Variaz der Summe s 2 x+y = 1 (x i + y i ( x + ȳ)) 2 (x i x + y i ȳ) 2 (x i x) 2 + 1 (y i ȳ) 2 + 2 1 = 1 = 1 = s 2 x + s 2 y + 2Cov(x, y). (x i x)(y i ȳ) Bei der Variaz der Summe geht also wesetlich die Beziehug zwische de Merkmale ei, wie sie sich aus der Kovariaz ergibt. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 10
Kovariaz Kovariaz bei Verteiluge mit absolute bzw. relative Häufigkeite h(a, b) bzw. p(a, b) für a M 1, b M 2 : Cov(x, y) = 1 (a x)(b ȳ)h(a, b) a M 1 b M 2 = (a x)(b ȳ)p(a, b). b M 2 a M 1 Etspreched gilt: Cov(x, y) = 1 a b h(a, b) xȳ a M 1 b M 2 = a b p(a, b) xȳ. b M 2 a M 1 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 11
Kovariaz Kovariaz bei Verteiluge mit absolute bzw. relative Häufigkeite h(a, b) bzw. p(a, b) für a M 1, b M 2 : Cov(x, y) = 1 (a x)(b ȳ)h(a, b) a M 1 b M 2 = (a x)(b ȳ)p(a, b). b M 2 a M 1 Etspreched gilt: Cov(x, y) = 1 a b h(a, b) xȳ a M 1 b M 2 = a b p(a, b) xȳ. b M 2 a M 1 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 11
Kovariaz Sid die beide Merkmale uabhägig, so gilt ach Defiitio: p(a, b) = p(a) p(b) für a M 1, b M 2. Damit ergibt sich i diesem Fall Cov(x, y) = a M 1 ( = b M 2 (a x)(b ȳ)p(a, b) b M 2 ) a M 1 (a x)p(a) (b ȳ)p(b). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 12
Kovariaz Sid die beide Merkmale uabhägig, so gilt ach Defiitio: p(a, b) = p(a) p(b) für a M 1, b M 2. Damit ergibt sich i diesem Fall Cov(x, y) = a M 1 ( = b M 2 (a x)(b ȳ)p(a, b) b M 2 ) a M 1 (a x)p(a) (b ȳ)p(b). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 12
Kovariaz Für de Klammerausdruck gilt: (a x)p(a) = a p(a) xp(a) a M 1 a M 1 a M 1 = x x p(a) = x x = 0. a M 1 Damit gilt für uabhägige Merkmale Cov(x, y) = 0. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 13
Kovariaz Für de Klammerausdruck gilt: (a x)p(a) = a p(a) xp(a) a M 1 a M 1 a M 1 = x x p(a) = x x = 0. a M 1 Damit gilt für uabhägige Merkmale Cov(x, y) = 0. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 13
Kovariaz Beispiel 11.2 Bei der Messug vo Körpergröße ud -gewicht vo 10 Persoe ergab sich folgede Urliste: (186,85), (155,70), (165,70), (186,75), (160,75), (155,50), (165,60), (175,60), (175,70), (160,65). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 14
Kovariaz Die Kovariaz ka mit Hilfe vo folgedem Arbeitsschema berechet werde: i = 1 2 3 4 5 x i 186 155 165 186 160 y i 85 70 70 75 75 x iy i 15810 10850 11550 13950 12000 i = 6 7 8 9 10 x i 155 165 175 175 160 1682 y i 50 60 60 70 65 680 x iy i 7750 9900 10500 12250 10400 114960 Damit erhält ma: Cov(x, y) = 0.1 114960 0.01 1682 680 = 58.4. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 15
Kovariaz Die Kovariaz ka mit Hilfe vo folgedem Arbeitsschema berechet werde: i = 1 2 3 4 5 x i 186 155 165 186 160 y i 85 70 70 75 75 x iy i 15810 10850 11550 13950 12000 i = 6 7 8 9 10 x i 155 165 175 175 160 1682 y i 50 60 60 70 65 680 x iy i 7750 9900 10500 12250 10400 114960 Damit erhält ma: Cov(x, y) = 0.1 114960 0.01 1682 680 = 58.4. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 15
Korrelatioskoeffiziet Der (Bravais-Pearso-)Korrelatioskoeffiziet etspricht der Kovariaz zweier Merkmale über eier statistische Masse dividiert durch das Produkt der beide Stadardabweichuge : r = Cov(x, y) s x s y Er ist also ei Maß für de lieare Zusammehag zweier Merkmale. Das Bestimmtheitsmaß ist wege r 2 = ˆm2 s 2 x s 2 y das Quadrat des Korrelatioskoeffiziete. = (Cov(x, y))2. sx 2 sy 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 16
Korrelatioskoeffiziet Der (Bravais-Pearso-)Korrelatioskoeffiziet etspricht der Kovariaz zweier Merkmale über eier statistische Masse dividiert durch das Produkt der beide Stadardabweichuge : r = Cov(x, y) s x s y Er ist also ei Maß für de lieare Zusammehag zweier Merkmale. Das Bestimmtheitsmaß ist wege r 2 = ˆm2 s 2 x s 2 y das Quadrat des Korrelatioskoeffiziete. = (Cov(x, y))2. sx 2 sy 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 16
Korrelatioskoeffiziet Der (Bravais-Pearso-)Korrelatioskoeffiziet etspricht der Kovariaz zweier Merkmale über eier statistische Masse dividiert durch das Produkt der beide Stadardabweichuge : r = Cov(x, y) s x s y Er ist also ei Maß für de lieare Zusammehag zweier Merkmale. Das Bestimmtheitsmaß ist wege r 2 = ˆm2 s 2 x s 2 y das Quadrat des Korrelatioskoeffiziete. = (Cov(x, y))2. sx 2 sy 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 16
Korrelatioskoeffiziet Beispiel 11.3 Mit de Stadardabweichuge s x = 11.09 ud s y = 9.27 erhält ma de Korrelatioskoeffiziete zu Beispiel 11.2 r = 58.4 11.09 9.27 = 0.568. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 17
Korrelatioskoeffiziet Bemerkug: Für de Korrelatioskoeffiziete gilt r = ˆm s x s y, Damit erhält ma folgede Beziehuge: (a) Liege alle Beobachtugswerte auf eier steigede Gerade, da ist r > 0 ud r 2 = 1, also r = 1. (b) Liege alle Beobachtugswerte auf eier fallede Gerade, da ist r < 0 ud r 2 = 1, also r = 1. Es gilt für r: 1 r 1. wobei ˆm der Astieg der Regressiosgerade ist. Ist also r < 0, so ist der Astieg der Regressiosgerade egativ, bei r > 0 ist er positiv. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 18
Korrelatioskoeffiziet Bemerkug: Für de Korrelatioskoeffiziete gilt r = ˆm s x s y, Damit erhält ma folgede Beziehuge: (a) Liege alle Beobachtugswerte auf eier steigede Gerade, da ist r > 0 ud r 2 = 1, also r = 1. (b) Liege alle Beobachtugswerte auf eier fallede Gerade, da ist r < 0 ud r 2 = 1, also r = 1. Es gilt für r: 1 r 1. wobei ˆm der Astieg der Regressiosgerade ist. Ist also r < 0, so ist der Astieg der Regressiosgerade egativ, bei r > 0 ist er positiv. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 18
Korrelatioskoeffiziet Bemerkug: Für de Korrelatioskoeffiziete gilt r = ˆm s x s y, Damit erhält ma folgede Beziehuge: (a) Liege alle Beobachtugswerte auf eier steigede Gerade, da ist r > 0 ud r 2 = 1, also r = 1. (b) Liege alle Beobachtugswerte auf eier fallede Gerade, da ist r < 0 ud r 2 = 1, also r = 1. Es gilt für r: 1 r 1. wobei ˆm der Astieg der Regressiosgerade ist. Ist also r < 0, so ist der Astieg der Regressiosgerade egativ, bei r > 0 ist er positiv. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 18
Korrelatioskoeffiziet Bemerkug: Für de Korrelatioskoeffiziete gilt r = ˆm s x s y, Damit erhält ma folgede Beziehuge: (a) Liege alle Beobachtugswerte auf eier steigede Gerade, da ist r > 0 ud r 2 = 1, also r = 1. (b) Liege alle Beobachtugswerte auf eier fallede Gerade, da ist r < 0 ud r 2 = 1, also r = 1. Es gilt für r: 1 r 1. wobei ˆm der Astieg der Regressiosgerade ist. Ist also r < 0, so ist der Astieg der Regressiosgerade egativ, bei r > 0 ist er positiv. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 18
Korrelatioskoeffiziet Bezeichuge Gilt r > 0, so heiße die Merkmale positiv korreliert, r = 0, so heiße die Merkmale ukorreliert, r < 0, so heiße die Merkmale egativ korreliert. Wichtig: Sid zwei Merkmale uabhägig, so sid sie also auch ukorreliert, aber die Umkehrug gilt icht. Ukorrelierte Merkmale köe abhägig sei. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 19
Korrelatioskoeffiziet Bezeichuge Gilt r > 0, so heiße die Merkmale positiv korreliert, r = 0, so heiße die Merkmale ukorreliert, r < 0, so heiße die Merkmale egativ korreliert. Wichtig: Sid zwei Merkmale uabhägig, so sid sie also auch ukorreliert, aber die Umkehrug gilt icht. Ukorrelierte Merkmale köe abhägig sei. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 19
Korrelatioskoeffiziet Bezeichuge Gilt r > 0, so heiße die Merkmale positiv korreliert, r = 0, so heiße die Merkmale ukorreliert, r < 0, so heiße die Merkmale egativ korreliert. Wichtig: Sid zwei Merkmale uabhägig, so sid sie also auch ukorreliert, aber die Umkehrug gilt icht. Ukorrelierte Merkmale köe abhägig sei. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 19
Korrelatioskoeffiziet Bezeichuge Gilt r > 0, so heiße die Merkmale positiv korreliert, r = 0, so heiße die Merkmale ukorreliert, r < 0, so heiße die Merkmale egativ korreliert. Wichtig: Sid zwei Merkmale uabhägig, so sid sie also auch ukorreliert, aber die Umkehrug gilt icht. Ukorrelierte Merkmale köe abhägig sei. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 19
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Bei Ragmerkmale hat die Differez zweier Merkmalswerte keie Aussagekraft. Damit ist auch der Korrelatioskoeffiziet, we er gebildet werde ka (etwa aus skalierte Werte), ohe direkte Bedeutug. Die atürliche Reihefolge lässt sich deoch ausutze. Dazu ordet ma die Merkmalswerte der statistische Reihe i ihrer atürliche Reihefolge ud ersetzt de Merkmalswert durch die etsprechede Ragziffer. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 20
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Bei Ragmerkmale hat die Differez zweier Merkmalswerte keie Aussagekraft. Damit ist auch der Korrelatioskoeffiziet, we er gebildet werde ka (etwa aus skalierte Werte), ohe direkte Bedeutug. Die atürliche Reihefolge lässt sich deoch ausutze. Dazu ordet ma die Merkmalswerte der statistische Reihe i ihrer atürliche Reihefolge ud ersetzt de Merkmalswert durch die etsprechede Ragziffer. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 20
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.4 Seie als Prüfugsergebisse vo 6 Kadidate befriediged, ugeüged, sehr gut, gut, ausreiched, sehr gut bis gut erzielt worde, so erhält ma die geordete Reihe sehr gut, sehr gut bis gut, gut, befriediged, ausreiched, ugeüged. Die Ragziffer laute da: 1 für sehr gut 2 für sehr gut bis gut 3 für gut 4 für befriediged 5 für ausreiched 6 für ugeüged Kapitel XI - Korrelatiosrechug 21
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.4 Seie als Prüfugsergebisse vo 6 Kadidate befriediged, ugeüged, sehr gut, gut, ausreiched, sehr gut bis gut erzielt worde, so erhält ma die geordete Reihe sehr gut, sehr gut bis gut, gut, befriediged, ausreiched, ugeüged. Die Ragziffer laute da: 1 für sehr gut 2 für sehr gut bis gut 3 für gut 4 für befriediged 5 für ausreiched 6 für ugeüged Kapitel XI - Korrelatiosrechug 21
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.4 Seie als Prüfugsergebisse vo 6 Kadidate befriediged, ugeüged, sehr gut, gut, ausreiched, sehr gut bis gut erzielt worde, so erhält ma die geordete Reihe sehr gut, sehr gut bis gut, gut, befriediged, ausreiched, ugeüged. Die Ragziffer laute da: 1 für sehr gut 2 für sehr gut bis gut 3 für gut 4 für befriediged 5 für ausreiched 6 für ugeüged Kapitel XI - Korrelatiosrechug 21
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Zusammefassug: Die Merkmalspaare gehe damit bei eiem zweidimesioale Merkmal (gebildet aus Ragmerkmale) i Ragzifferpaare über. Aus de Ragzifferpaare ka da der Korrelatioskoeffiziet bestimmt ud damit festgestellt werde, ob eie Beziehug zwische de Ragfolge der statistische Eiheite bzgl. der beide Merkmale besteht. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 22
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.5 Die sechs obe ageführte Kadidate habe (i derselbe Reihefolge wie i der geordete Urliste) i eiem weitere Fach die Bewertuge gut, gut, sehr gut bis gut, befriediged, befriediged, ausreiched }{{}}{{}}{{}}{{} 2;3 1 4;5 6 erhalte. Damit erhalte sie hier die Ragziffer 1 2.5, 2.5, 1, 4.5, 4.5, 6. 1 Sid zwei oder mehr Merkmalswerte gleich, so ordet ma ihe das arithmetische Mittel der zur Verfügug stehede Ragziffer zu. Beispiel: Liege x 3 = x 7 auf de Plätze 3 ud 4, so ist r 3 = r 7 = 3.5. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 23
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.5 Die sechs obe ageführte Kadidate habe (i derselbe Reihefolge wie i der geordete Urliste) i eiem weitere Fach die Bewertuge gut, gut, sehr gut bis gut, befriediged, befriediged, ausreiched }{{}}{{}}{{}}{{} 2;3 1 4;5 6 erhalte. Damit erhalte sie hier die Ragziffer 1 2.5, 2.5, 1, 4.5, 4.5, 6. 1 Sid zwei oder mehr Merkmalswerte gleich, so ordet ma ihe das arithmetische Mittel der zur Verfügug stehede Ragziffer zu. Beispiel: Liege x 3 = x 7 auf de Plätze 3 ud 4, so ist r 3 = r 7 = 3.5. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 23
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.5 Ragzifferpaare sid also (1, 2.5) (2, 2.5) (3, 1) (4, 4.5) (5, 4.5) (6, 6). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 24
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Allgemei Seie die Merkmalspaare ud (x 1, y 1 ),..., (x, y ) (r 1, s 1 ),..., (r, s ) die zugehörige Ragzifferpaare, so erhält ma als Korrelatioskoeffiziete r S = 1 1 (r i r)(s i s). (r i r) 2 1 (s i s) 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 25
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Allgemei Seie die Merkmalspaare ud (x 1, y 1 ),..., (x, y ) (r 1, s 1 ),..., (r, s ) die zugehörige Ragzifferpaare, so erhält ma als Korrelatioskoeffiziete r S = 1 1 (r i r)(s i s). (r i r) 2 1 (s i s) 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 25
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Falls kei Merkmalswert doppelt auftritt ud damit die Ragziffer jeweils die Werte 1,..., durchlaufe, lässt sich r S umforme zu 6 (r i s i ) 2 r S = 1 ( 2. 1) r S heißt Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 26
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Aalog zum Korrelatioskoeffiziete gilt: Ragfolge bei beide Merkmale r S gegeläufig 1 ukorreliert 0 idetisch +1 Etspreched wird ma Zwischewerte iterpretiere: r S 1 gegeläufiger Tred i de Merkmale, r S 0 kei Tred erkebar, r S 1 gleichlaufeder Tred. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 27
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Aalog zum Korrelatioskoeffiziete gilt: Ragfolge bei beide Merkmale r S gegeläufig 1 ukorreliert 0 idetisch +1 Etspreched wird ma Zwischewerte iterpretiere: r S 1 gegeläufiger Tred i de Merkmale, r S 0 kei Tred erkebar, r S 1 gleichlaufeder Tred. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 27
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Ragziffer bei quatitative Merkmale Dies ist da sivoll, we zwar ei Tred zwische de Werte, aber kei fuktioaler Zusammehag vermutet wird ud daher isbesodere eie lieare Regressio icht agebracht ist. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 28
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.6 8 Studete der Statistik-Vorlesug wurde befragt, wieviele Stude sie für die Nacharbeitug der Vorlesug im Durchschitt wöchetlich aufgewadt habe ud welche Puktzahle sie i der Klausur erreichte: Studet 1 2 3 4 5 6 7 8 Stude 0 1.5 3 3 4 4.5 5 2 Pukte 25 15 30 35 50 45 55 30 Daraus ergebe sich die Ragzifferpaare (r i, s i ): (1,2), (2,1), (3,3.5), (4.5,3.5), (4.5,5), (6,7), (7,6), (8,8) Kapitel XI - Korrelatiosrechug 29
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.6 8 Studete der Statistik-Vorlesug wurde befragt, wieviele Stude sie für die Nacharbeitug der Vorlesug im Durchschitt wöchetlich aufgewadt habe ud welche Puktzahle sie i der Klausur erreichte: Studet 1 2 3 4 5 6 7 8 Stude 0 1.5 3 3 4 4.5 5 2 Pukte 25 15 30 35 50 45 55 30 Daraus ergebe sich die Ragzifferpaare (r i, s i ): (1,2), (2,1), (3,3.5), (4.5,3.5), (4.5,5), (6,7), (7,6), (8,8) Kapitel XI - Korrelatiosrechug 29
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.6 Nach der erste Formel für r S ergibt sich r S = Cov(r,s) s 2 r ss 2 = 200.75 8 20.25 5.1875 5.1875 = 4.84375 5.1875 = 0.934 Die zweite Formel darf hier wege besteheder Biduge icht verwedet werde ud liefert ei abweichedes Ergebis r S = 1 6 8 63 (12 + 1 2 + 0.5 2 + 1 2 + 0.5 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 ) = 1 6 8 63 5.5 = 0.935. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 30
Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.6 Nach der erste Formel für r S ergibt sich r S = Cov(r,s) s 2 r ss 2 = 200.75 8 20.25 5.1875 5.1875 = 4.84375 5.1875 = 0.934 Die zweite Formel darf hier wege besteheder Biduge icht verwedet werde ud liefert ei abweichedes Ergebis r S = 1 6 8 63 (12 + 1 2 + 0.5 2 + 1 2 + 0.5 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 ) = 1 6 8 63 5.5 = 0.935. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 30