Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [http://www.wolfram.com] geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [http://www.htw-dresden.de] veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 8 Einmassenschwinger - Harmonische Krafterregung, nichtlineare Schwingungen 8. Ein klassisches Beispiel für nichtlineare Effekte ist das Vorhandensein einer nichtlinearen Feder, bei der die Rückstellkraft unproportional zum Federweg ist. Für den Fall einer symmetrischen Nichtlinearität, das heißt gleiche Wirkungen bei Zug und Druck, kann man die bekannte DUFFINGgleichung als Beschreibung der nichtlinearen Schwingungen eines Einmassenschwingers unter harmonischer Erregung nutzen (vgl. dazu Absatz 7.4). Der deutsche Elektroingenieur und Mathematiker Georg DUFFING (86-944) veröffentlichte seine Untersuchungen zu diesem Gleichungstyp im Jahre 98 []: x''[t] + ω b x'[t] + ω κ x[t] + k 3 ω κ 3 x[t] 3 = F Sin[ω err t + φ] k m. 8. Für die Phasenverschiebung φ = π wird aus der Sinuserregung eine Cosinuserregung: F Sin ω err t + π F Cos[t ω err ] 8.3 In der Gleichung (8.) besitzt die Feder eine kubische Arbeitslinie. Es gilt: F feder Expand k κ x + κ 3 k 3 k x 3 F feder x k κ + x 3 k 3 κ 3 8.4 Die DUFFINGgleichung ist von einer Vielzahl an Wissenschaftlern auf dem Gebiet der nichtlinearen Dynamik intensiv analysiert worden. Die Faktoren κ und κ 3 können die Werte { -, 0, + } annehmen. Für κ = 0 dient die Beziehung von DUFFING zum Beispiel zur Berechnung eines elektrischen Schwingkreises mit nichtlinearer Induktivität. Mit κ < 0 und k 3 > 0 wiederum sind die Knickschwingungen eines elastischen Stabes unter Druckkräften beschreibar. Das aufbereitete Animationsprogramm erlaubt es, verschiedene Formen der Federkennlinie darzustellen. Für das festgehaltene Bild wurden die Parameter k = 0,, k3 = 0,53, κ = - und κ3 = ausgewählt.
baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb k k3 κ κ3.5 Nichtlineare Federkennlinie Federkraft in [N] 0. 0.4 0.6 0.8..4 Weg in [m] 8.5 Mit Hilfe der zentralen Differenzen (6.8) der Differenzenmethode wandeln wir Gleichung (8.) in eine Differenzengleichung um: ω κ x n + k 3 (x ω κ 3 x 3 n+ - x n-) n + ω b k Δt + (x n+ - x n + x n- ) Δt m F Sin[φ + ω err n Δt] x -+n - x n + x +n Δt + x n κ ω + k 3 x 3 n κ 3 ω + (-x -+n + x +n) ω b k Δt F Sin[φ + n Δt ω err] m 8.6 Nach der Multiplikation mit Δt und der Substitution von T, T, T3 und T4 folgt die endgültige Form:
baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb 3 T = ( + ω b Δt); T = - + ω Δt κ ; T3 = ( - ω b Δt); T4 = k 3 m Δt κ 3 ; Solve x n+ T + x n T + x n- T3 + x 3 n T4 == Δt m F Sin[ω err n Δt + φ], x n+ x +n F Δt Sin[φ + n Δt ω err ] - m x -+n + m x n - Δt k 3 x n 3 κ 3 - m Δt x n κ ω + m Δt x -+n ω b (m ( + Δt ω b )) 8.7 Die Richtigkeit der oben vorgenommenen Umwandlung wird mittels Rückwärtsrechnung und eines visuellen Vergleiches mit der Gleichung (8.5) bestätigt: Expand x n+ T + x n T + x n- T3 + x 3 n T4 Δt /. T -> ( + ω b Δt), T -> - + ω Δt κ, T3 -> ( - ω b Δt), T4 -> k 3 m Δt κ 3 /. m -> k ω x -+n Δt - x n Δt + x +n Δt + x n κ ω + k 3 x 3 n κ 3 ω - x -+n ω b + x +n ω b k Δt Δt 8.8 Zur Lösung der Differenzengleichungen bedienen wir uns der im Kapitel 7 vorgestellten rekursiven Methode, die in einer gedanklichen Analogie zum Bildungsprinzip der fraktalen Geometrie steht. 8.9 Die Punktmasse des Einmassenschwingers habe die allgemeinen Anfangsbedingungen x 0 0 und v 0 0. Zum Zeitpunkt t 0 = 0 beginnt die harmonische Kraft F(t) zu wirken. Der erste Zeitschritt t = Δt ist so klein gegenüber eins, dass sowohl eine Feder- als auch eine Dämpfungskraftänderung noch nicht geweckt worden sind. Allein die Trägheitskraft und eine eventuell über die Anfangsverschiebung x 0 bereits eingeprägte Federkraft müssen gemäß NEWTONs drittem Gesetz (Absatz 5.0) in Ansatz gebracht werden. 8.0 Unter Nutzung der Beziehung (5.5) für den Kraftstoß, finden wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit x ( t ) : t t 0 =0 (F[t] - F feder [x 0 ]) dt = m x ' - m x 0 ' t k 3 3 Solve F Sin[φ + ω err t] - k κ x 0 + κ 3 x 0 t 0 =0 k dt == m x ' - m x 0 ', x ' x m ω err F Cos[φ] - F Cos[φ + t ω err ] - k t x 0 κ ω err - k 3 t x 0 3 κ 3 ω err + m ω err x 0 8. Da die Schwinggeschwindigkeit bekanntermaßen der ersten Ableitung des Schwingweges entspricht, heuristisch also x ' dx gesetzt werden kann, gelingt es eine Beziehung für x zu finden: dt
4 baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb x Δt Solve dx x 0 0 m ω err F Cos[φ] - F Cos[φ + t ω err ] - k t x 0 κ ω err - k 3 t x 0 3 κ 3 ω err + m ω err x 0 dt, x x m ω err F Sin[φ] - F Sin[φ + Δt ω err ] + F Δt Cos[φ] ω err + m x 0 ω err - Δt k x 0 κ ω err - Δt k 3 x 3 0 κ 3 ω err + m Δt ω err x 0 8. Das obige Ergebnis ist auch als Lösung des physikalischen Falles einer ungleichmäßig beschleunigten Bewegung eines Massepunktes interpretierbar. Hierfür benötigt man die Analyse folgender Differenzialgleichung: DSolve F Sin[φ + ω err t] - k κ x0 + κ 3 k 3 k x0 3 m x''[t], x[0] x0, x'[0] v0, x[t], t x[t] m ω err F Sin[φ] - F Cos[t ω err ] Sin[φ] - F Cos[φ] Sin[t ω err ] + F t Cos[φ] ω err + m t v0 ω err + m x0 ω err - t x0 k κ ω err - t x0 3 k 3 κ 3 ω err 8.3 Wie leicht zu erkennen ist, sind die Ergebnisse der Absätze 8. und 8. für Δt = t identisch: TrigExpand m ω err F Sin[φ] - F Sin[φ + Δt ω err ] + F Δt Cos[φ] ω err + m x 0 ω err - Δt k x 0 κ ω err - Δt k 3 x 3 0 κ 3 ω err + m Δt ω err x 0 /. Δt t == TrigExpand True m ω err F Sin[φ] - F Cos[t ω err ] Sin[φ] - F Cos[φ] Sin[t ω err ] + F t Cos[φ] ω err + m t v0 ω err + m x0 ω err t x0 k κ ω err - t x0 3 k 3 κ 3 ω err /. {t t, x0 x 0, v0 -> x 0 } - 8.4 Nun können wir mit den Startwerten x 0, x 0 v 0 und x alle weiteren Funktionswerte x n rekursiv berechnen. Im Sinne der fraktalen Geometrie stellt die Ermittlung des Startwertes x gemäß Absatz 8. den Initiator, die Beziehung (8.6) wiederum den Generator dar. 8.5 Es folgt ein Berechnungsbeispiel für die Bestimmung des Schwingweges eines nichtlinearen Einmassenschwingers (DUFFINGgleichung) auf der Basis der im Absatz 8.6 ausgewiesenen rekursiven Gleichung für den Fall einer harmonischen Krafterregung. Neben der Weg-Zeit-Funktion werden der Verlauf der Schwinggeschwindigkeit sowie derer beider Verknüpfung in der Phasenebene ausgewiesen. Den Abschluss bildet zwecks einer anschaulichen Interpretation der Ergebnisse die Amplituden-Frequenzganganalyse der Schwingweg-Zeitfunktion.
baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb 5 EINGABEGRÖSZEN: Masse m [kg] Eigenkreisfrequenz ω s - Erregerkreisfrequenz ω err s - Amplitude der Errgerkraft F[N] Phasenverschiebung der Erregerkraft φ[-] Abklingkonstante ω b s - Steifigkeitskennwert κ [-] Steifigkeitskennwert κ 3 [-] Steifigkeitskennwert k 3 [N / m] Startzeitpunkt t 0 [s] Zeitschrittweite Δt [s] Stützstellenanzahl maxn (außschließlich Startpunkt) Startwert, Anfangsauslenkung x 0 [m] Startwert, Anfangsgeschwindigkeit v 0 [m / s] Anzahl der FOURIERkoeffizienten imaxi In[4]:= m =, ω = 0.4474, ω err = 0.9, F = 0.4, φ = π, ω b =, κ = -, κ 3 =, k 3 = 3, t 0 = 0, Δt = 867349, maxn = 7000, x 0 = 0, v 0 = 0, imaxi = 40 ; Out[6]= Eigenkreisfrequenz ω [s - ]: 0.4474 Eigenfrequenz f [Hz]: 7763 Federkonstante k [N/m]: 0. Erregerkreisfrequenz ω err [s - ]: 0.9 Erregerfrequenz f err [Hz]: 30394 Amplitude der Erregerkraft F[N]: 0.4 Phasenverschiebung der Erregerkraft φ[-]:.5708 Frequenzverhältnis η= ω err : ω 0.44853 Abklingkonstante ω b [s - ]: Dämpfungsgrad β= ω b ω : 4473 Gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω D = ω - ω b : 0.446767 Gedämpfte Eigenfrequenz f D [Hz]: 705 Steifigkeitskennwert κ [-]: - Steifigkeitskennwert κ 3 [-]: Steifigkeitskennwert k 3 [N/m]: 3 Startwert, Anfangsauslenkung x 0 [m]: 0 Startwert, Anfangsgeschwindigkeit v 0 [m/s]: 0 Zeitschrittweite Δt[s]: 86735 Anzahl der Stützstellen maxn (ohne Startpunkt '0'): 7000 Endzeitpunkt t nmax in [s]: 578.74
6 baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb Out[]//TableForm= Stützpkt. Zeitpkt.[s] Schwingweg [m] Geschwindigkeit [m/s] 0 0. 0 0 86735 036695 33068 0.65347 0546037 659757 3 0.480 758 98895 4 0.330694 8 0.38 5 0.43367 340704 0.64767 6 0.49604 490557 0.97797 7 7874 667755 0.3093 8 0.66388 87397 0.6405 9 0.74406 0.046 0.9764 0 0.86735 0.36454 0.3358 SCHWINGWEG.5 Out[4]= x [m] - - -.5 0 00 00 300 400 500
baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb 7 SCHWINGGESCHWINDIGKEIT Out[6]= v [m/s] - 0 00 00 300 400 500 Start Ende - PHASENEBENE -.5 - -.5 x [m] v [m/s] Versteckte Zelle zur Darstellung der Phasenkurve als POINCARÉ-Abbildung.
8 baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb FOURIERreihenanalyse : Anzahl FOURIERkoeffizienten: 40 Gewünschter Zeitaussschnitt [s]: 578.74 Maximal auswertbare Frequenz [Hz]: 0.496 Zugehörige Periodendauer T min in [s]: 4.3367 Anzahl der Stützstellen: 7000 Diskreter Amplituden-Frequenzgang 0.6 0.4 0.3 c i [m] 0. 0. 0 5 0.0 0.5 0.0 Frequenz [Hz].5 Ausgangsfunktion - rot, Approximation - blau - Schwingweg [m] - -.5 0 00 00 300 400 500 8.6 Um die Frage beantworten zu können, ob und wie sich die Frequenzverhältnisse innerhalb des Zeitsignals verändern, wurde der Anfangsbereich nochmals separat untersucht. Es zeigt sich, dass die bei den linearen, harmonisch erregten Systemen des Kapitels 7 zu beobachtende Erscheinung des eindeutig bestimmten Übergangs von einem instationären zu einem stationären Zustand in einem nichtlinearen System unscharf ist. "Anzahl FOURIERkoeffizienten : "; imaxi = 30; "Anzahl der Stützstellen: "; maxn = 500;
8.7 Die Beschreibung einiger spektakulärer Beispiele, die mit dem obigen Algorithmus untersucht worden sind, findet man in [5]. Diese Sonderfälle sind eng mit der Erforschung des Chaos verbunbaudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb 9 Veränderter Zeitaussschnitt [s]: 4.0 Maximal auswertbare Frequenz [Hz]: 0.496.5 Ausgangsfunktion - Schwingweg [m] - -.5 0 0 40 60 80 00 0 0.8 Diskreter Amplituden-Frequenzgang 0.6 0.4 c i [m] 0. 5 0.0 0.5 0.0 Frequenz [Hz].5 Ausgangsfunktion - rot, Approximation - blau - Schwingweg [m] - -.5 0 0 40 60 80 00 0
0 baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb den. Ausführliche Aussagen dazu sind u. a. in [], [53] und [54] zu finden. 8.8 Wir betrachten an dieser Stelle allein den letzten Anwendungsfall aus [5], der einen nichtlinearen Ausschwingungsvorgang beschreibt. Dieser basiert auf einer fest fixierten Anfangsauslenkung; die Anfangsgeschwindigkeit jedoch ist veränderlich. Die Analyse bestätigt die für nichtlineare dynamische Systeme typische Charakteristik einer außerordentlich hohen Sensibilität gegenüber bestimmten Anfangsbedingungen. So bewirken beispielsweise numerisch sehr kleine Abweichungen bei einer Anfangsgeschwindigkeit im Bereich zwischen v 0 = 0.956m/s und v 0 = 0.957m/s ein Stabilisieren der Ausschwingung entweder um den Auslenkungspunkt x = +m oder x = -m. m =, ω = 0.707, ω err = 0-0, F =, ϵ = 0, ω b = 084, κ = -, κ 3 =, k 3 =, t 0 = 0, Δt = 0., maxn = 4000, x 0 = ; Eigenkreisfrequenz ω [s - ]: 0.707 Eigenfrequenz f [Hz]: 0.53 Federkonstante k [N/m]: 0.499849 Erregerkreisfrequenz ω err [s - ]:. 0-0 Erregerfrequenz f err [Hz]:.5955 0 - Amplitude der Erregerkraft F[N]: 0. Phasenverschiebung der Erregerkraft φ[-]: φ Frequenzverhältnis η= ω err :.4443 0-0 ω Abklingkonstante ω b [s - ]: 084 Dämpfungsgrad β= ω b ω : 88 Gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω D = ω - ω b : 0.70695 Gedämpfte Eigenfrequenz f D [Hz]: 0.55 Steifigkeitskennwert κ [-]: - Steifigkeitskennwert κ 3 [-]: Steifigkeitskennwert k 3 [N/m]: Startwert, Anfangsauslenkung x 0 [m]: Zeitschrittweite Δt[s]: 0. Anzahl der Stützstellen maxn (ohne Startpunkt '0'): 4000 Endzeitpunkt t nmax in [s]: 400. x 0 = 0.9567;
tende 0 50 00 50 00 50 -.5 - -.5 x [m] SCHWINGWEG Start Ende -.5 - -.5 - x [m] v [m/s] PHASENEBENE baudyn_08_ma_kraft_harm_nl.nb