Baudynamik und Zustandsanalyse

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1 Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [ geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [ veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 25 Glockenschwingungen und ihre Wirkungen 25.1 Glocken als mathematisches Pendel Eine Glocke ist ein hohler, meist konkav gewölbter Klangkörper, der entweder von innen mit einem frei beweglichen Klöppel (Läuten) oder von außen mit einem Hammer (Schlagen) zu Eigenschwingungen angeregt wird. Der Glockenklang setzt sich aus überwiegend nichtharmonischen Teilschwingungen zusammen (vgl. hierzu Absatz f.) Das handwerkliche Ziel des Glockengießens besteht darin, im unteren Bereich (erster bis fünfter Teilton) möglichst harmonische Frequenzen zu erreichen. Bild : Glocken mit Klöppel und Glockenstuhl (HTW Dresden) In diesem Kapitel wollen wir uns jedoch nicht mit den Klangerscheinungen von Glocken beschäftigen, sondern mit den beim Glockenläuten entstehenden Kräften, die vom Glockenstuhl aufgenommen und weitergeleitet werden. Die Glocke selbst stellt ein physikalisches Pendel dar, in dem sich ein zweites Pendel, der Klöppel, befindet, dessen Einfluss man aber meistens vernachlässigt (siehe hierzu Abschnitt 25.3). Ein Pendel ist ein um eine Achse frei drehbar gelagerter Starrkörper. Lenkt man diesen aus seiner statischen Gleichgewichtslage um einen bestimmten Winkel φ 0 aus und lässt ihn dann los,

2 2 baudyn_25_glocken.nb entstehen infolge der einwirkenden Schwerkraft periodische Bewegungen φ(t). Bei Vorhandensein von Reibungskräften schwingt das Pendel in seine ursprüngliche statische Gleichgewichtslage zurück (Auspendeln). y x L 0 - Auslenkwinkel 0 L - Pendellänge m - Pendelmasse G - Eigengewicht x 0 m m F t, g 0 F n, g G Bild : Mathematisches Pendel Ausgangspunkt für die Untersuchung von Pendelschwingungen ist in der Regel nicht das physikalische sondern das mathematische Pendel, auch Fadenpendel genannt (Bild ). Darunter versteht man ein Pendel, bei dem die Masse des Pendelstabes vernachlässigt und die des Pendelkörpers als Punktmasse idealisiert werden. Im Bild sind die am Massepunkt m wirkenden Kräfte infolge der Erdbeschleunigung g = ms -2 (Eichzone Berlin-Potsdam) dargestellt. Die Gewichtskraft G = m g kann in eine Kraft F t, g tangential zur Bahnkurve und in eine Komponente F n, g senkrecht dazu zerlegt werden: Normalkraft F n,g = m g Cos[φ] und Tangentialkraft F t,g = m g Sin[φ] Lenken wir die Pendelmasse, wie im Bild gezeigt, um ein Maß x 0 aus, dann treibt die Tangentialkraft F t, g das Pendel in die Ruhelage zurück. Sie ruft dabei ein Drehmoment hervor, dem das Massenträgheitsmoment (siehe Absatz ) entgegen wirkt, wodurch es zum zeitabhängigen Pendelschwingen φ(t) kommt. Die Normalkraftkomponente F n, g findet ihren unmittelbaren Widerstand im dehnstarren Pendelstab. Dieser Eigengewichtskraftkomponente überlagert ist die Zentripetalkraft F n des auf einer Kreisbahn bewegten Massepunktes (siehe Absatz ). Sie ist die Ursache der Zentralbewegung. Folglich wirkt die Zentripetalkraft in Richtung des Drehpunktes. Ihr entgegen, also vom Rotationszentrum weggerichtet, ist die Zentrifugalkraft, die man auch Fliehkraft nennt. Sie ist gemäß dem Prinzip von d ALEMBERT (siehe Absatz ) eine Trägheitskraft, oder anders ausgedrückt, der Widerstand gegenüber dem Zwang der steten Richtungsänderung Dem angreifenden Moment M t wirkt das Rotationsträgheitsmoment M Trägheit der Einzelmasse m entgegen (vgl. hierzu Abschnitt 5.2). Mit dem Massenträgheitsmoment J der rotierenden Punktmasse, der Winkelgeschwindigkeit ω und dem Bahnradius L gilt:

3 baudyn_25_glocken.nb 3 Winkelgeschwindigkeit ω = t φ[t] Winkelbeschleunigung α = t,t φ[t] Massenträgheitsmoment der Punktmasse J = m L 2 Angreifendes Drehmoment M t = F t,g L Widerstehendes Drehmoment der Punktmasse M Trägheit = J α = m L 2 t,t φ[t] Die Gleichgewichtsbedingung M 0 liefert uns die nichtlineare Differenzialgleichung des mathematischen Pendels, wobei bemerkenswert ist, dass die Masse m eliminiert werden kann: M t + M Trägheit = 0 F t,g L + m L 2 t,t φ[t] = 0 m g Sin[φ] L + m L 2 t,t φ[t] = Für die Bahngeschwindigkeit v, die Normalbeschleunigung a n, die Tangentialbeschleunigung a t, die Tangentialkraft F t sowie die Zentrifugalkraft F n des bewegten Massepunktes gelten die nachfolgend ausgewiesenen Beziehungen (vgl. hierzu Abschnitt 5.2): v = L ω, a n = L ω 2, a t = t v, F t = m L t,t φ[t], F n = m L ( t φ[t]) Die Gesamtlösung der Pendeldifferenzialgleichung (25.1.6) erfolgt im Absatz numerisch. Wenn die Basisdaten eines realen physikalischen Pendels, z. B. einer Glocke zur Verfügung stehen, bestimmt man zuerst die idealisierte mathematische Pendellänge L mathe (vgl. hierzu Absatz f.). Hierfür benötigen wir die Masse m [kg], das Massenträgheitsmoment J [kg m²] und den Abstand s [m] des Massenschwerpunktes zum Drehpunkt: In[8]:= {J vorh = 240, m = 600, s vorh = 0.55}; L mathe Jvorh Out[8]= L mathe m s vorh In der Regel fehlen uns aber exakte Angaben zum Massenträgheitsmoment und zur Schwerpunktlage. Für Glocken des mitteleuropäischen Raumes ist jedoch eine Abschätzung nach DIN 4178 [55] möglich. Dafür benötigt man aber wenigstens die Klöppelanschlagzahl A, die uns die Bestimmung der Anregungskreisfrequenz Ω erlaubt. In der Norm finden wir dann Angaben zur Masse verschiedenster Glocken und zum sogenannten Glockenformbeiwert c. Eine weitere wichtige Bezugsgröße stellt der Näherungsfaktor Z = 1 + φ 02 der Schwingungsdauer T = Z 2π (L/g) eines mathematischen Pendels 16 dar [27], der für Öffnungswinkel φ 0 70 ausreichend genaue Werte liefert. Bei Glocken entspricht φ 0 dem Läutewinkel. Anmerkung: Die Maßeinheiten aller ausgewiesenen Parameter basieren auf den drei Grunddimensionen [kg], [m] und [s].

4 4 baudyn_25_glocken.nb In[8]:= {m = 600, A = 65, c =.76, φ 0 = 65 Degree}; Z = 1 + φ02 // N, g = ; 16 Ω Glocke = A π 120 TGlocke // N, TGlocke = // N, L mathe = 60 A Z 2 π 2 g, s = c L mathe, J = m s2 c ; Out[11]= Berechneter Korrekturfaktor Z: Anregungskreisfrequenz Ω Glocke in [s -1 ]: Anregungsfrequenz f Glocke in [Hz]: Schwingungsdauer T Glocke in [s]: Fiktive Pendellänge L mathe in [m] Geschätzter Schwerpunktabstand s in [m]: Geschätztes Massenträgheitsmoment J in [kg m²]: Im nächsten Schritt erfolgt die Bereitstellung der Zeitfunktion des Auslenkwinkels φ(t) für die gegebenen Randbedingungen. Solange eine reibungsfreie Lagerung angenommen und auch der Luftwiderstand vernachlässigt wird, erhält man unendlich lange periodische Pendelvorgänge. Anmerkung: Im Weiteren verzichten wir bei L mathe auf den Index mathe. In[12]:= L = , φ 0 = 65 Degree, ω 0 = 0, TUE = π L / g, maxn = 800, Δt = TUE maxn ; In[13]:= phi = NDSolve g L Sin[φ[t]] + L 2 φ [t] 0, φ[0] φ 0, φ [0] ω 0, φ[t], t, 10-10, TUE, StartingStepSize Automatic, PrecisionGoal Automatic Out[13]= φ[t] InterpolatingFunction Domain: , 7.69 Output: scalar [t] Out[17]= Eigengewicht des Pendels G = m g in [N]: Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: 65. Berechnete maximale Winkelgeschwindigkeit ω(t) in [ rad ]: s Im Bild werden die Zeitverläufe des Auslenkwinkels, der Winkelgeschwindigkeit und der Winkelbeschleunigung dargestellt. Des Weiteren sind auch die Bahngeschwindigkeit und die Normalbeschleunigung der idealisierten Pendelmasse ausgewiesen.

5 baudyn_25_glocken.nb 5 Out[18]= Out[19]= Bild : Auslenkwinkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Bahngeschwindigkeit und Normalbeschleunigungdes idealisierten mathematischen Pendels Den Abschluss der nachfolgenden Darstellungen zu den verschiedenen an einem mathematischen Pendel wirkenden Kräfte bilden zwei Grafiken, die die resultierenden Horizontal- und Vertikalkräfte in der Pendelaufhängung zum Gegenstand haben. Diese Verläufe werden mit den Ergebnissen aus [26] verifiziert, die auf der Basis der elliptischen Integrale ermittelt worden waren.

6 6 baudyn_25_glocken.nb Out[34]= Bild a: Vergleich von Zentrifugalkraft F n und Tangentialkraft F t des idealisierten mathematischen Pendels Out[35]= Bild b: Vergleich von Zentrifugalkraft F n, Eigengewichtsnormalkraft F n, g = m g cos(φ) und der Summe beider Kräfte am idealisierten mathematischen Pendel

7 baudyn_25_glocken.nb 7 Out[36]= Bild c: Verlauf der Summe von Zentrifugalkraft F n und Eigengewichtsnormalkraft F n, g aus Bild b in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel φ in [Altgrad] Out[37]= Bild d: Vertikaler und horizontaler Kraftverlauf im Lagerpunkt (Aufhängung) des idealisierten mathematischen Pendels

8 8 baudyn_25_glocken.nb Out[38]= Bild e: Auf das Eigengewicht bezogene Verhältniswerte der vertikalen und horizontalen Kräfte des Bildes d in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel φ in [Altgrad] Die im Bild d ausgewiesen Kurven der infolge einer bestimmten Anfangsauslenkung φ 0 auftretenden horizontalen bzw. vertikalen Pendellagerkräfte zeigen eine vollkommene Übereinstimmung mit den Ergebnissen von [26, S.27]. In dieser Arbeit ist aber eine Kraftzerlegung vorgenommen worden, die indirekt eine Querkraftübertragung im Pendelstab erlaubt. Von einem Fadenpendel können jedoch weder Quer- noch Druckkräfte übertragen werden. Die Fadenkraft (Normalkraft) rekrutiert sich allein aus der Zentrifugalkraft F n und der Kosinuskomponente des Eigengewichtes G. Dieser Vorgehensweise sind wir in den obigen Ableitungen gefolgt. Würde an dem Pendelstab im Zustand der statischen Ruhelage ein Dehnungsmessstreifen (DMS) aufgebracht werden, erhielten wir folgenden Verlauf der zeitlichen Veränderung der gemessenen Normalkraft: Out[40]= In [27] wird für das mathematische Pendel eine bemerkenswerte Überlegung angestellt. Startet man die Pendelbewegung aus der statischen Ruhelage mit einer Anfangswinkelgeschwindigkeit, die eine maximale Pendelauslenkung von φ max 180 bewirkt, dann wird bei einem Winkel von φ 132 die Fadenkraft negativ. Ein Fadenpendel könnte also in der Realität nicht weiter als bis zu diesem Winkel ausgelenkt werden. Mit den obigen Berechnungsalgorithmen ist dieser Effekt relativ einfach

9 baudyn_25_glocken.nb 9 nachweisbar Dazu bestimmen wir uns zunächst gemäß Absatz die maßgebende Startgeschwindigkeit. Mit dieser werden dann in einem zweiten Rechengang für φ 0 = 0 und ω 0 = ω max einige der uns aus Absatz bereits bekannten Diagramme entwickelt: In[41]:= L = , g = , φ 0 = Degree, ω 0 = 0, TUE = 12 2 π L / g, maxn = 800, Δt = TUE maxn ; Out[46]= Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: Berechnete maximale Winkelgeschwindigkeit ω(t) in [ rad ]: s Out[47]= In[48]:= L = , m = 600, g = , φ 0 = 0 Degree, ω 0 = , TUE = 6 2 π L / g, maxn = 800, Δt = TUE maxn ; phi = NDSolve g L Sin[φ[t]] + L 2 φ [t] 0, φ[0] φ 0, φ [0] ω 0, φ[t], t, 10-10, TUE, StartingStepSize Automatic, PrecisionGoal Automatic ; Out[53]= Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: Berechnete maximale Winkelgeschwindigkeit ω(t) in [ rad ]: s

10 10 baudyn_25_glocken.nb Out[54]= Out[66]=

11 baudyn_25_glocken.nb 11 Out[67]= Anfang Ende Der obige Ausschnitt aus dem Diagramm Summe von Zentrifugalkraft F n und Eigengewichtsnormalkraft F n, g in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel φ in [Altgrad] bestätigt den Wechsel des Vorzeichens der Pendelkraft bei φ 132. Anmerkung: Diese Grafik ist mit der Built-In-Funktion Manipulate des Programmsystems MATHEMATICA erstellt worden. Somit ist eine anschauliche interaktive Variation des Parameters φ(t) für beliebige Zeitfenster innerhalb dieser Darstellung möglich.

12 12 baudyn_25_glocken.nb 25.2 Glocken als physikalisches Pendel Um die Pendelbewegungen und die daraus resultierenden Kräfte einer Glocke wirklichkeitsnah erfassen zu können, müssen wir diese als ein physikalisches Pendel ansehen. Dieses unterscheidet sich vom mathematischen Pendel darin, dass jetzt nicht eine Punktmasse sondern ein starrer Körper der Masse m drehbar um eine Achse gelagert ist. Es gilt formal dieselbe Pendeldifferenzialgleichung (25.1.6). Doch statt des Trägheitsmomentes einer Punktmasse muss nun das Massenträgheitsmoment des jeweiligen Körpers, z. B. das einer Glocke eingeführt werden (vgl. hierzu auch Absatz ). Der Schwerpunktabstand des Starrkörpers zum Drehpunkt wird mit s bezeichnet. g m s Sin[φ] + J φ [t] = Vergleicht man die Parameter der Differenzialgleichung (25.1.6) des mathematischen Pendels mit denen des physikalischen Pendels DGL (25.2.1), erkennt man, dass zwischen beiden eine einfache analoge Beziehung auf Basis ihrer Pendellängen besteht (siehe Absatz ). Das mit einem physikalischen Pendel vergleichbare idealisierte mathematische Pendel hat eine Pendellänge von L mathe = J m s : g Sin[φ[t]] + L mathe φ [t] = 0 g Sin[φ[t]] + J m s φ [t] = Zwecks einer besseren Verständlichkeit der Gesamtproblematik betrachten wir als Beispiel das im Bild dargestellte physikalische Pendel. Der vorliegende schmale Balken habe über seine Länge eine konstante Biegesteifigkeit und Massebelegung μ. Er ist nur der Erdbeschleunigung g ausgesetzt. Gesucht werden die Schnittgrößen N(x), Q(x) und M(x) zum Zeitpunkt einer schlagartigen Entfernung der vertikalen Aufhängung im linken Lagerpunkt a. Trennen der Verbindung - siehe Bild = 90 + L - Länge des physikalischen Pendels a h b x G = g L MTrägheit - Rotationsträgheitsmoment Bild : Horizontal gelagerter schmaler Balken gemäß [28] Die Gleichgewichtsbedingung M 0 liefert die Winkelbeschleunigung φ '' (t) zum Zeitpunkt t

13 baudyn_25_glocken.nb 13 = 0 mit den Anfangsbedingungen φ 0 = - 90 und ω 0 = 0. Dafür werden das Massenträgheitsmoment J (vgl. hierzu Absatz ) sowie das angreifende Drehmoment M t benötigt (siehe Absatz ): J = m L m L 2 2, M Trägheit = J φ''[t], M t = μ L L g -1 Cos[90 Degree + φ[t]] ; 2 Reduce[{M t + M Trägheit 0, m L μ}, φ [t]] (m 0 && L 0) (μ 0 && m 0) (Sin[φ[t]] 0 && m 0 && L 0 && μ 0) μ 0 && L m μ && m 0 && φ [t] - 3 g μ Sin[φ[t]] 2 m (m 0 && L 0 && Sin[φ[t]] 0 && g 0 && μ 0) φ [t] - 3 g μ Sin[φ[t]] 2 m /. t 0, φ[t] -90 Degree, μ m L φ [0] 3 g 2 L Die Schnittkräfte ergeben sich gemäß Bild Für den Teilschnitt der Länge x müssen, wenn der Balken in der horizontalen Ausgangslage liegt, nachfolgende Kräfte und Momente in Ansatz gebracht werden. Anmerkung: Es sei darauf hingewiesen, dass die tangentiale Trägheitskraft dem STEINERschen Anteil im Massenträgheitsmoment zuordenbar ist. x x_ ² 12 (t) - Eigenträgheitsmoment x ( ) (t) x L- x_ 2 - tangentiale Trägheitskraft L - Länge des physikalischen Pendels N(x, t) - Normalkraft H (t) F n - Zentrifugalkraft M(x, t) - Biegemoment Drehpunkt b (t) Q(x, t) - Querkraft H, V - Lagerreaktionen in b bei fiktiver Drehung (t) gx gx cos ( (t)) V Bild : Linker Teilschnitt des Balkens vom Bild nach Lösen des Lagerpunktes a Anteil Eigengewicht ΔG: g x μ Anteil Zentrifugalkraft ΔF n: L - x 2 x μ (φ ) 2 Anteil Tangentialkraft ΔF t: L - x 2 x μ φ Anteil Eigenträgheitsmoment ΔM Trägheit : 1 12 x3 μ φ Im Sonderfall φ 0 = - 90 und ω 0 = 0 beträgt die Beschleunigung gemäß Absatz φ (0) = 3g/(2L). Die Normalkräfte bleiben vorerst null. Mittels der Bedingungsgleichungen V 0 und M 0

14 14 baudyn_25_glocken.nb erhalten wir die gesuchten Zustandsfunktionen der Querkräfte und Biegemomente (siehe hierzu u. a. auch [58, Kapitel 21]). Die Querkraft-Zustandslinie zeigt, dass im Augenblick des Abtrennens des Lagerpunktes a bei dem vorliegenden Fall statt der ursprünglich halben Eigenlast G = ( μ L) 2 nur noch ein Viertel der Eigenlast im Lager b vorhanden ist. m = 600; s = 0.55; L = 2 s;; μ = m L ; g = ; quer = Factor Solve Eliminate -ΔF t + ΔG + Q 0, φ moment = Factor Solve Eliminate M - ΔM Trägheit ΔG x - ΔFt x 3 g 2 L, φ, Q, 2 0, φ 3 g 2 L, φ, M {{Q x ( x)}}, M x 2 ( x) Test von Q(x) mittels xm(x): x ( x) Gesamtgewicht G in [N]: Teilgewicht [N] = G Wir betrachten jetzt den gesamten Bewegungsvorgang des physikalischen Pendels vom Bild und führen eine Vergleichsanalyse zu dem mathematischen Pendel der Absätze ff. durch. Anmerkung: Man aktiviere nur die INPUTzellen zu den Absätzen bis sowie zur Graphikdarstellung! m = 600; s = 0.55; L = 2 s; J = m L m L 2 2 ; μ = m L ; g = ; Massenträgheitsmoment J in [kgm 2 ]: 242. Physikalische Pendellänge L physikalisch in [m]: 1.1 Mathematische Pendellänge L mathe in [m] : physphi = NDSolve g m s -1 Cos[90 Degree + φ[t]] + J φ [t] 0, φ[0] φ 0, φ [0] ω 0, φ[t], t, 10-10, TUE, StartingStepSize Automatic, PrecisionGoal Automatic ;

15 baudyn_25_glocken.nb 15 Eigengewicht des physikalischen Pendels G = m g in [N]: Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: Bei der Ermittlung der Schnittkräfte muss beachtet werden, dass die Eigengewichtsresultierende

16 16 baudyn_25_glocken.nb ihre Richtung nicht ändert. Die Schnitt- und Stützgrößen lassen sich mittels der bekannten drei Gleichgewichtsbedingungen N 0, Q 0 und M 0 berechnen (vgl. Bild bzw. Absatz ). Im Anschluss an die Darstellung der Zustandslinien werden die Zeitverläufe der Schnittgrößen im Lagerpunkt b ausgewiesen. ΔG = μ g x, ΔF n = μ x L - x 2 ( t φ[t])2, ΔF t = μ x L - x 2 t,t φ[t], ΔM Trägheit = μ x x2 t,t φ[t] ; 12 Solve[Normalkraft[t] - ΔG Sin [90 Degree + φ[t]] - ΔF n 0, Normalkraft[t]], Solve[-ΔF t + ΔG Cos [90 Degree + φ[t]] + Querkraft[t] 0, Querkraft[t]], Solve Moment[t] - ΔM Trägheit ΔG Cos [90 Degree + φ[t]] x - x ΔFt 0, Moment[t] 2 Normalkraft[t] g x μ Cos[φ[t]] + 2 L x μ φ [t] 2 - x 2 μ φ [t] 2, Querkraft[t] g x μ Sin[φ[t]] + 2 L x μ φ [t] - x 2 μ φ [t], Moment[t] g x2 μ Sin[φ[t]] + 3 L x 2 μ φ [t] - x 3 μ φ [t] Versteckte Zelle mit Zeitschnittdarstellungen der obigen Grafiken zwecks Testung der Ergebnisse In diesem Absatz analysieren wir sowohl den Verlauf der resultierenden Pendelnormalkraft als auch der Horizontal- und Vertikalkraft im Lagerpunkt b bei x = L.

17 baudyn_25_glocken.nb Wir kommen nochmals auf den Formbeiwert c des Absatz zurück, der in der DIN 4178 [55] eine wichtige Komponente bei der Ermittlung der dynamischen Ersatzkräfte für Glockentürme ist. Bestimmen man in den beiden oberen Darstellungen die Verhältniswerte der Maximalwerte vom mathematischen Modell zum physikalischen Modell, erhalten man im Mittel einen Abminderungsfaktor, der in der Größenordnung des im Absatz verwendeten Wertes c 0,76 liegt Es wird jetzt ein physikalisches Pendel mit beidseitiger Masseverteilung untersucht (Bild ). Um Glocken mit Jochen näherungsweise analysieren zu können, ist eine getrennte Eingabe

18 18 baudyn_25_glocken.nb der Basisparameter beider Pendelteile zweckmäßig. Wir nehmen wieder eine gleichmäßige, jedoch links und rechts unterschiedliche Masseverteilung an. Wirkungsrichtung von g M Q 1 2 M 2 N 1 N 2 Q 1 L1 L2 x1 L1- x1 L 2 - x 2 s 1 s 2 x 2 Bild : Verallgemeinertes physikalisches Pendel Im folgenden Anwendungsbeispiel werden die Parameter aus dem Absatz für die linke Seite des Pendels beibehalten. Die rechte Seite fungiere als Gegengewicht. Der Vergleich der beiden physikalischen Pendel miteinander zeigt bei dem Auslenkwinkel fast keine sichtbaren Abweichungen. Bei der Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung werden diese aufgrund der Frequenzbewertung zwar zunehmend deutlicher, bleiben aber geringfügig. Hingegen zeigen die Darstellungen der Lagerkräfte markantere Differenzen, wobei zwischen den horizontalen und den vertikalen Lagerkräften erwartungsgemäß gegenläufige Tendenzen zu verzeichnen sind. m 1 = 600, L 1 = 1.1, m 2 = 150, L 2 = L 1 m 2 m 1, μ 1 = m1 L 1, μ 2 = m2 Länge L 2 der Pendelmasse m 2 in [m]: Gesamtschwerpunktabstand s gesamt in [m]: Massenträgheitsmoment J 1 in [kgm 2 ]: 242. Massenträgheitsmoment J 2 in [kgm 2 ]: Massenträgheitsmoment J gesamt in [kgm 2 ]: Mathematische Pendellänge L mathe in [m]: L 2, g = ; φ[t] InterpolatingFunction Domain: , 7.69 Output: scalar [t] Gesamtgewicht des physikalischen Pendels G = (m 1 +m 2 ) g in [N]: Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: 65.

19 baudyn_25_glocken.nb 19 Bild : Vergleich zwischen dem Pendel gemäß Absatz (rot) und dem nach Absatz (blau) 25.3 Glocken als physikalisches Doppelpendel In diesem Abschnitt untersuchen wir ein Doppelpendel gemäß Bild Eine solche aus zwei ebenen mathematischen Pendeln zusammengesetzte Struktur [27] wird durch die Winkel φ 1 und φ 2 hinreichend beschreiben. Laut dem Abschnitt 2.6 zur Analytischen Mechanik stellt sie ein konservatives System mit holonom-skleronomen Zwangsbedingungen dar. Zur Aufstellung der mathematischen Beziehungen bieten sich folglich die Gleichungen zweiter Art nach Joseph Louis de LAGRANGE ( ) an. Hierbei werden die beiden Auslenkwinkel als generalisierte Koordinaten betrachtet. Mit der LAGRANGEschen Funktion LAG = T - U kinetische Energie - potentielle Energie (Potenzial) gilt: d dt ( φ i'[t] LAG) - φi[t] LAG 0 für i = {1, 2}

20 20 baudyn_25_glocken.nb y R x 1 P(x,y ) 3 3 L 2 g L1 2 m (x,y ) m (x,y ) Bild : Beispiel eines mathematischen Doppelpendels In der Ebene existieren, streng gesehen, vier holonom-skleronomezwangsbedingungen. Für die Anzahl der Freiheitsgrade f des Doppelpendels findet man schließlich f = = 2. z 1 = z 2 = konstant, x y L1 2 = 0, (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2 - L2 2 = Die geometrischen Transformationsbeziehungen lauten: {x 1 = L 1 Sin[φ 1[t]], y 1 = -L 1 Cos[φ 1[t]], x 2 = R Sin[φ 1[t]] + L 2 Sin[φ 2[t]], y 2 = -R Cos[φ 1[t]] - L 2 Cos[φ 2[t]]} Mit der kinetischen Energie T und dem Potenzial U erhalten wir schließlich: T = 1 2 m1 ( t x1[t])2 + ( t y 1[t]) m2 ( t x2[t])2 + ( t y 2[t]) 2, U = (m 1 g y 1[t] + m 2 g y 2[t]) 1 2 m 1 x 1 [t] 2 + y 1 [t] m 2 x 2 [t] 2 + y 2 [t] 2, g m 1 y 1 [t] + g m 2 y 2 [t] T = T /. {x 1 '[t] -> t (L 1 Sin[φ 1[t]]), y 1 '[t] -> t (-L 1 Cos[φ 1[t]]), x 2 '[t] -> t (R Sin[φ 1[t]] + L 2 Sin[φ 2[t]]), y 2 '[t] -> t (-R Cos[φ 1[t]] - L 2 Cos[φ 2[t]])}; U = U /. {y 1[t] -> -L 1 Cos[φ 1[t]], y 2[t] -> -R Cos[φ 1[t]] - L 2 Cos[φ 2[t]]}; LAG = (T - U); {FullSimplify[ t ( φ1 '[t] LAG) - φ1 [t] LAG 0 ], FullSimplify[ t ( φ2 '[t] LAG) - φ2 [t] LAG 0 ]}

21 baudyn_25_glocken.nb 21 g Sin[φ 1 [t]] L 1 m 1 + L 12 m 1 φ 1 [t] + R m 2 g Sin[φ 1 [t]] + R φ 1 [t] + L 2 Sin[φ 1 [t] - φ 2 [t]] φ 2 [t] 2 + Cos[φ 1 [t] - φ 2 [t]] φ 2 [t] 0, L 2 m 2 g Sin[φ 2 [t]] - R Sin[φ 1 [t] - φ 2 [t]] φ 1 [t] 2 + R Cos[φ 1 [t] - φ 2 [t]] φ 1 [t] + L 2 φ 2 [t] 0 {FullSimplify[ t ( φ1 '[t] LAG) - φ1 [t] LAG 0 ] /. m 2 0, FullSimplify[ t ( φ2 '[t] LAG) - φ2 [t] LAG 0 ] /. m 2 0} g Sin[φ 1 [t]] L 1 m 1 + L 1 2 m 1 φ 1 [t] 0, True Auf Basis der obigen Ableitungen lässt sich die für Glockenschwingungen bekannte Tatsache bestätigen, dass auf den Einfluss der Klöppel in der Regel verzichtet werden kann, solange das Masseverhältnis von Klöppel zu Glocke klein gegenüber eins ist. Setzen wir m 2 m Klöppel = 0, erhalten wir einzig und allein die bekannte Differenzialgleichung (25.1.6) des mathematischen Pendels FOURIERreihenanalyse der Lagerkräfte des mathematischen Pendels Wir kehren nochmals zu den Zeitfunktionen der resultierenden horizontalen und vertikalen Lagerkräfte des mathematischen Pendels vom Absatz zurück und approximieren diese als FOURIERreihen, wobei wir als eine Art Nebenprodukt die Frequenzanalyse der beiden Zeitfunktionen erhalten (vgl. hierzu auch Abschnitt 2.4). Der Ausgangspunkt für die Abschätzung des erforderlichen Zeifensters für die FOURIERanalyse sind die Klöppelanschlagzahl A des Absatzes sowie die gewählte Zeitdauer des Absatzes A = 65; TUE = ` ; Basisfrequenz 1 4 A 120 in [Hz]: Vorhandenes Zeitfenster TUE in [s]: Erforderliches Zeitfenster T in [s]: "Gewähltes Zeitfenster in [s]: "; T = 7.407; "Gewählte Anzahl an FOURIERkoeffizienten : "; imax = 25; Maximale auswertbare Frequenz in [Hz]:

22 22 baudyn_25_glocken.nb

23 baudyn_25_glocken.nb Die den obigen Kurvenverläufen zugrunde liegende Glockenfrequenz betrug f Glocke 0,54 Hz (siehe Absatz ). Die diskreten Amplituden-Frequenzgänge bestätigen die allgemein bekannte Tatsache, dass die horizontalen Lagerkräfte von den FOURIERkoeffizienten geprägt werden, die im Bereich des ersten, dritten, fünften, usw. Vielfachen der Glockenfrequenz liegen. In unserem Fall sind dies f n=1,3,5 {0.54 Hz, 1.62 Hz, 2.70 Hz}. Bei den vertikalen Kräften dominieren hingegen die Koeffizienten der geradzahligen Vielfachen der Glockenfrequenz In Mitteleuropa liegen die Glockenfrequenzen in der Regel im Bereich f Glocke Hz. Die Läutewinkel φ 0 befinden sich in Deutschland gewöhnlich zwischen 70 und 80. Bei Auslenkungen im Bereich φ dominiert bei den horizontalen Kräften der harmonische Kraftanteil, der zur dritten Vielfachen der Glockenfrequenz gehört, also zum Erregerfrequenzbereich f n= Hz. Da nachweislich Glockentürme existieren, die Eigenwerte in diesem Frequenzbereich besitzen (siehe u. a. [71] - [73]), können bei diesen infolge von Resonanzeffekten dynamische Beanspruchungen auftreten, die zu einer erhöhten Schädigung der Bausubstanz beitragen (vgl. hierzu Tabelle c) Erregung eines fiktiven Glockenturmes In Anlehnung an [74] untersuchen wir einen fiktiven Glockenturm, der den obigen horizontalen Glockenkräften ausgesetzt werden soll. Um sowohl die Schwingungsantworten eines linearen als auch eines nichtlinearen Einmassenschwingers einschließlich der instationären Einschwingvorgänge infolge einer beliebigen Krafterregung untersuchen zu können, nutzen wir die in den Abschnitten 7 und 8 entwickelte rekursive Lösungsmethode. Dazu benötigen wir einen diskretisierten Horizontalkraftverlauf H(t) mit frei wählbarer Dauer. Außerdem wollen wir jetzt mit einer Anfangswinkelgeschwindigkeit ω 0 starten, die der maximalen Winkelgeschwindigkeit ω max = 3,95053 rad/s entsprechen muss, um denselben Läutewinkel wie im Absatz zu erzeugen. {m = 600, L = , φ 0 = 0, ω 0 = 3.951, TUE = 25, maxn = 5000, g = };

24 24 baudyn_25_glocken.nb phi = NDSolve g L Sin[φ[t]] + L 2 φ [t] 0, φ[0] φ 0, φ [0] ω 0, φ[t], t, 10-10, TUE, StartingStepSize Automatic, PrecisionGoal Automatic φ[t] InterpolatingFunction Domain: , 25. Output: scalar [t] Eigengewicht des Pendels G = m g in [N]: Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: 25 Gewählte Zeitschrittweite Δt in [s]: Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: Berechnete maximale Winkelgeschwindigkeit ω(t) in [ rad ]: s Berechnete maximale Horizontalkraft maxh in [N]: Horizontalkraft H 1 in [N] des ersten Teilzeitschrittes t n=1 : Als nächster Schritt erfolgt die Diskretisierung der Kraftfunktion:

25 baudyn_25_glocken.nb In [74] wurde als idealisierter Glockenturm ein klassischer Kragarm gewählt, dessen Hohlquerschnitt ein Quadrat mit den äußeren Seitenlängen b = 5,50 m ist und der eine konstante Wanddicke von d = 0,75 m besitzt. Die Massendichte beträgt ρ = 2000 kg/m³, der Elastizitätsmodul des Mauerwerks EM = 8000 MN/m². Im Weiteren werden für alle Dimensionen konsequent [N], [m] und [s] verwendet. Dann erhalten wir für die Massebelegung μ, das axiale Flächenmoment 2. Grades IM yy IM zz IM und die Biegesteifigkeit B = EM IM die Werte: γ = 2000, Fläche = , EM = ; Massebelegung μ in [kg/m]: Flächenmoment 2.Grades IM in [m 4 ]: Biegesteifigkeit B in [Nm²]: Wir idealisieren diesen Kragbalken, der eine Länge von L = 38m (Turmhöhe) hat, als Einmassenschwinger (siehe Kapitel 11). Seine Biegelinie w(x,t) beschreiben wir gemäß Absatz mittel dem Produktansatz w(x) q(t). Als Bezugspunkt wird das auf eins normierte freie Kragarmende gewählt. Dann gilt w(x=l,t) q(t). Nach der Ermittlung der generalisierten Masse m G und der generalisierten Federsteifigkeit k G erhält man für die erste Biegeeigenform w(x) schließlich die zugehörige Biegeeigenfrequenz f 1. L = 38, alpha = , w[x] = 0.5 Cosh alpha L x - Cos alpha L x Sinh alpha L x - Sin alpha L x ;

26 26 baudyn_25_glocken.nb 1 4 der Gesamtmasse des Turmes in [kg]: Generalisierte Massse m G in [kg]: Kehrwert von m G in [kg -1 ]: Generalisierte Federsteifigkeit k G in [N/m]: Statische Biegesteifigkeit k stat = 3 B L 3 in [N/m]: Verformung w[x=l] in [m] der normierten Eigenform: Grundfrequenz f 1 in [Hz]: Ausgangspunkt der Berechnungen im Zeitbereich ist die Differentialgleichung (7.4). Sie entspricht übrigens der ersten Gleichung im Absatz 17.6, die im Ergebnis der Modalanalyse eines Kragarms unter bewegten Einzellasten entstanden war. Die unten ausgewiesene formale Berechnung der generalisierten Kraft gemäß Absatz bestätigt die Richtigkeit der weiteren Vorgehensweise. Nach (7.4) : ω 2 1 q[t] + 2 ω b1 q [t] + q [t] H[t] m G Nach 17.6 : ω 1 2 q 1[t] + 2 ω b q 1 [t] + q 1 [t] Q 1[t] p[x, t] = H[t] DiracDelta[x L]; Q 1[t] 1 m G 0 L p[x, t] w[x] x Q 1 [t] H[t] Die in Kapiteln 7 und 8 entwickelten Algorithmen müssen nun so modifiziert werden, dass wir die dort vorhandenen Krafterregungen durch H n ersetzen. Bei dieser Gelegenheit weisen wir für Vergleichszwecke die maxh zugeordnete quasistatische Verschiebung w stat (x = L) = maxh in [m] k G aus. Zur Bestimmung der ersten Zeitschrittverschiebung folgen wir den Überlegungen der Absätze

27 baudyn_25_glocken.nb bzw Für die Ermittlung von q 1 wird angenommen, dass die Horizontalkraft im ersten Teilzeitschritt linear anwachse. Da der Turm sich zum Zeitpunkt t = 0 in absoluter Ruhe befinde, interpretieren wir das physikalische Startmodell als eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung eines Massepunktes. Als Lösung der entsprechenden Differenzialgleichung erhält man: Hor[t] = H1 Δt t; erg01 = DSolve[{Hor[t] m G q''[t], q[0] 0, q'[0] 0}, q[t], t], w 1 = erg01[[1, 1, 2]] /. t Δt, erg02 = Solve 0 Δt Hor[t] t mg v1, v1, v 1 = erg02[[1, 1, 2]] q[t] t 3, , v , EINGABEGRÖSZEN (linearer Einmassenschwinger ) Dämpfungsgrad β Startzeitpunkt t 0[s] Endzeitpunkt t nmax [s] Anzahl der FOURIERkoeffizienten imaxi {β =.015, t 0 = 0, t nmax = TUE, imaxi = 60}; Eigenkreisfrequenz ω 1 [s -1 ]: Eigenfrequenz f 1 [Hz]: Abklingkonstante ω b1 [s -1 ]: Gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω D1 = ω 12 - ω 2 b1 : Gedämpfte Eigenfrequenz f D1 [Hz]: Zeitschrittweite Δt[s]: Statische Verschiebung w stat[m] infolge maxh: Stützpkt. Zeitpkt.[s] Schwingweg [m] Geschwindigkeit [m/s]

28 28 baudyn_25_glocken.nb

29 baudyn_25_glocken.nb 29 Anzahl FOURIERkoeffizienten : 60 Gewünschter Zeitaussschnitt [s]: 25 Maximal auswertbare Frequenz [Hz]: 2.4 Zugehörige Periodendauer T min in [s]: Anzahl der Stützstellen: 5000

30 30 baudyn_25_glocken.nb Zwecks Überprüfung der Größenordnung der obigen Ergebnisse berechnen wir die quasistatische horizontale Glockenersatzlast und deren Lastwirkungsprozess gemäß DIN 4178 [55]: c = 1, β h 1 =.8, β h 3 =.5, β h 5 =.05, A = 65, ω 01 = 2 π f 1 ;

31 baudyn_25_glocken.nb Gegenüber dem linearen Beispiel des Absatzes werden jetzt die Parameter der Federsteifigkeit zu einer nichtlinearen Kennlinie (siehe Absatz 8.3) verändert: k 3 F feder = k G κ 1 w[x = L] + κ 3 w[x = L] 3 k G κ 1 = 1, κ 3 = -1, k 3 = ; Für die Berechnung des nichtlinearen Einmassenschwingers übernehmen wir sowohl die Anfangsbedingungen als auch die Eingabegrößen des linearen Falles vom Absatz

32 32 baudyn_25_glocken.nb Stützpkt. Zeitpkt.[s] Schwingweg [m] Geschwindigkeit [m/s]

33 baudyn_25_glocken.nb Zum Abschluss vergleichen wir die Schwingwege sowie die Schwinggeschwindigkeiten der beiden Einmassenschwingermodelle. Erwartungsgemäß sind die Beanspruchungen im nichtlinearen Fall geringer, was einer stärkeren Aufspaltung des Frequenzspektrums geschuldet ist, wie man am unten angeführten diskreten Amplituden-Frequenzgangerkennen kann.

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