2. Zentrale Kraftsysteme

2. Zentrale Kraftsysteme Definition: Ein Kraftsystem, bei dem sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden, wird als zentrales Kraftsystem bezeichnet. Die Kräfte dürfen entlang ihrer Wirkungslinie in den gemeinsamen Angriffspunkt verschoben werden. F 4 F 3 F 3 F 1 F 2 F 2 F 4 F 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-1

2. Zentrale Kraftsysteme Beispiel: Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-2

2. Zentrale Kraftsysteme 2.1 Zentrale Kraftsysteme in der Ebene 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-3

Addition zweier Kräfte: Die resultierende Kraft hat die gleiche Wirkung wie die beiden Einzelkräfte. F 2 F Die Addition erfolgt nach der Parallelogrammregel: F 1 F = F 1 + F 2 Aneinanderfügen der Kraftpfeile führt zum gleichen Ergebnis. F F 2 F 2 F 1 F F 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-4

Kraftvektoren: Pfeile, für die eine Addition nach der Parallelogrammregel definiert ist, erfüllen die Rechengesetze für Vektoren. Kräfte sind Vektoren, die entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden dürfen. Sie werden daher als linienflüchtige Vektoren bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-5

Lageplan: Im Lageplan werden die Kräfte so eingezeichnet, wie sie am Körper angreifen: Kräfteplan: Im Kräfteplan werden die Kräfte zum Kräftepolygon zusammengesetzt: F 2 F F F 2 F 1 F 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-6

Beispiel: Öse Lageplan: Gegeben: F 1 = 250 N, α 1 = 30 F 2 = 375 N, α 2 = 45 F 1 Gesucht: α 1 Resultierende Kraft F, α α F α 2 F 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-7

Kräfteplan: Kosinussatz: F 1 F 2 =F 1 2 +F 2 2 2 F 1 F 2 cos(α 1 +α 2 ) α 1 α 2 α 1 Sinussatz: β α F F 2 sin(90 α 1 +α) = sin(α 1+α 2 ) F 2 F β=90 α 1 +α cos(α 1 α)= F 2 F sin(α 1+α 2 ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-8

Zahlenwerte: F 2 =250 2 N 2 +375 2 N 2 2 250 N 375 N cos(75 )=154600 N 2 F=393,2 N cos(30 α)= 375 393,2 sin(75 )=0,9212 30 α=22,90 α=30 22,90 =7,100 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-9

Zerlegung von Kräften: Eine Kraft kann eindeutig in ihre Komponenten entlang von zwei vorgegebenen Wirkungslinien zerlegt werden. F 2 F 1 F Kartesische Komponenten: y F = F x + F y F y F F x =F cos(α)=f sin(β) F y =F sin(α)=f cos(β) β F = F x 2 +F y 2, tan(α)= F y F x α F x x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-10

Addition in Komponenten: Die Kräfte werden in ihre Komponenten zerlegt. Die Komponenten werden nach dem Kräfteplan addiert. Für die Beträge der Komponenten gilt: F 2 F 2x F 2y y F 1y F 1x F 1 x F x =F 1 x +F 2 x, F y =F 1 y +F 2 y F 2x F 2y Dabei werden Komponenten in Koordinatenrichtung positiv und Komponenten entgegen der Koordinatenrichtung negativ gezählt. F 1x F 1y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-11

Einheitsvektoren: Ein Einheitsvektor e ist ein Vektor der Länge eins. Jeder Vektor F lässt sich schreiben als Produkt seines Betrags mit einem Einheitsvektor, der seine Richtung angibt: F =F e e F In einem kartesischen Koordinatensystem gilt: F = F x + F y =F x e x +F y e y Oft wird dafür die Matrix- Schreibweise verwendet: [ F ]= [ F x F y ] e y y e x x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-12

Beispiel: Öse Gegeben: F 1 = 250 N, α 1 = 30 F 1 F 2 = 375 N, α 2 = 45 α 1 Gesucht: Resultierende Kraft F, α α F α 2 F 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-13

Zerlegung der Kräfte in ihre Komponenten: y F 1 x =F 1 sin(α 1 ) F 1 y =F 1 cos(α 1 ) F 1y α 1 F 1 F 2 x =F 2 sin(α 2 ) F 2 y = F 2 cos(α 2 ) F 1x F 2x x F 2y α 2 Resultierende Kraft: F 1 x = 250 N sin(30 ) = 125,0 N F 2 x = 375 N sin(45 ) = 265,2 N F x = 390,2 N F 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-14

F 1 y = 250 N cos(30 ) = 216,5 N F 2 y = 375 N cos(45 ) = 265,2 N F y = 48,7 N Betrag und Richtung: y F x F = 390,2 2 +48,7 2 N=393,2 N F y α F x tan(α)= F y = 48,7 = 0,1248 α= 7,114 F x 390,2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-15

Addition mehrerer Kräfte: Zeichnerische Lösung: Lageplan F 3 F 2 F Kräfteplan F 3 F 4 (F 2 ) F (F 3 ) F 4 F 2 F 1 F 1 Die Reihenfolge der Addition ist beliebig. Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-16

Rechnerische Lösung Zerlegung der Einzelkräfte in x- und y-komponenten (skalare) Addition der einzelnen Komponenten (vektorielle) Addition der Gesamtkomponenten F x = F y = n n F n x F n y } F =F x e x +F y e y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-17

Beispiel: Öse Gegeben: F 1 = 600 N, α 1 = 45 F 2 = 800 N, α 2 = 60 F 3 = 450 N, α 3 = 75 Gesucht: Betrag F und Richtung α der resultierenden Kraft F 2 F 3 α 3 y α 2 F 1 α 1 x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-18

2.1 Zentrale Kraftsystem in der Ebene Lösung: F 1 x = F 1 cos(α 1 ) = 600 N cos(45 ) = 424,3 N F 2 x = F 2 sin(α 2 ) = 800 N sin(60 ) = 692,8 N F 3 x = F 3 sin(α 3 ) = 450 N sin(75 ) = 434,7 N F x = 703,2 N F 1 y = F 1 sin(α 1 ) = 600 N sin(45 ) = 424,3 N F 2 y = F 2 cos(α 2 ) = 800 N cos(60 ) = 400,0 N F 3 y = F 3 cos(α 3 ) = 450 N cos(75 ) = 116,5 N F y = 707,8 N Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-19

2.1 Zentrale Kraftsysteme F = F x 2 +F y 2 = 703,2 2 +707,8 2 N=997,7 N tan(α)= F y = 707,8 = 1,006 α= 45,18 +180 =134,8 F x 703,2 F y F y α F x x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-20

Gleichgewichtsbedingung: Ein zentrales Kraftsystem ist im Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller Kräfte null ist. Lageplan: Kräfteplan: F 4 F 4 F 5 F = 0 : F 3 F 2 F 5 F 1 F 3 F x =0 F y =0 F 1 F 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-21

Beispiel: Eine Kugel liegt auf einer glatten schiefen Ebene und wird von einer glatten Wand gehalten. Gegeben: Gewicht G = 100 N Winkel α = 20 Gesucht: Kräfte zwischen Kugel und Wänden α G Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-22

Schritt 1: Freischneiden der Kugel Die Wände werden entfernt. Die Kräfte, die die Wände auf die Kugel ausüben, werden als unbekannte Kräfte eingetragen. N 1 G α α N 2 Die Die Kraft, Kraft, die die eine eine glatte glatte Wand Wand auf auf einen einen Körper Körper ausübt, ausübt, ist ist senkrecht senkrecht zur zur Wand. Wand. Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-23

Schritt 2: Gleichgewichtsbedingung Die unbekannten Kräfte werden so bestimmt, dass die Gleichgewichtsbedingung erfüllt ist. Mit Kräfteplan: α N 2 G=N 2 cos(α) N 2 = G cos(α) G N 1 G =tan(α) N 1=G tan(α) N 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-24

In Komponenten: N 1 F y =0 : G +N 2 cos(α)=0 N 2 = G cos(α) y G α F x =0 : N 1 N 2 sin (α)=0 N 1 =G tan (α) x Zahlenwerte: N 2 N 2 = 100 N cos(20 ) = 100 N 0,9397 =106,4 N N 1 =100 N tan(20 )=100 N 0,3640=36,4 N Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-25

Wechselwirkungsgesetz: Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und haben die gleiche Wirkungslinie. Beispiel: Zwei glatte Kugeln N 3 G G N 1 G N 2 N 3 G N 4 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-26

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Kräfte im Raum: z F z β F F x α F y x y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-27

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Mit dem Einheitsvektor [ e ]=[sin(β) cos(α) sin(β)sin(α) cos(β) ] Addition: F x = n F y = n F z = n F nx F ny F nz gilt: F =F e Gleichgewichtsbedingungen: F x =0 F y =0 F z =0 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-28

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Definition der Wirkungslinie durch zwei Punkte im Raum: cos(β)= z B z A L AB z z B sin(β)= ( x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 L AB sin(α)= y B y A ( x B x A ) 2 + (y B y a ) 2 z A y A A y B y e AB β B cos(α)= x B x A ( x B x A ) 2 + (y B y a ) 2 x A α x B x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-29

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum L AB = ( x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 [ e AB ]=[sin(β)cos(α) sin(β)sin(α) ]= 1 [ L AB cos(β) x B x A ] y B y A z B z A Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-30

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Beispiel: z C S C B O S B h c x a A b y S A Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-31

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Im Punkt O sind drei Seile befestigt, an denen die Kräfte S A, S B und S C angreifen. Gegeben: S A = 400 N, S B = 500 N, S C = 300 N a = 40 cm, b = 30 cm, c = 60 cm, h = 70 cm Gesucht: Komponenten Sx, S y und S z der resultierenden Kraft S Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-32

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Geometrie: tan(α)= a b = 4 3 z C tan(β)= a c = 4 6 = 2 3 O γ β h B tan(γ)= a 2 +b 2 h = 50 70 = 5 7 x α a A b c y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-33

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum cos(α)= 1 1+tan 2 (α) = 1 1+( a/b = 1 ) 2 1+(4/3) = 3 2 5 =0,6 sin(α)=cos(α) tan(α)= 3 5 4 3 = 4 5 =0,8 cos(β)= cos( γ)= 1 1+(2/3) 2 =0,8321, sin(β)= 2 3 0,8321=0,5547 1 1+(5/7) 2 =0,8137, sin(γ)= 5 7 0,8137=0,5812 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-34

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Komponenten der Kräfte: S Ax =S A cos(α) S Ay =S A sin(α) S Az =0 S Bx = S B cos(β) S By =S B sin(β) S Bz =0 z O γ S C β S Cx =S C sin(γ)cos(α) S Cy =S C sin(γ)sin(α) S Cz =S C cos(γ) x α S A S B y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-35

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Resultierende Kraft: S C sin(γ)=300 N 0,5812=174,4 N S Cz =S C cos(γ)=300 N 0,8137=244,1 N S Ax = 400 N 0,6 = 240,0 N S Bx = 500 N 0,8321 = 416,1 N S Cx = 174,4 N 0,6 = 104,6 N S x = 71,5 N S Ay = 400 N 0,8 = 320,0 N S By = 500 N 0,5547 = 277,4 N S Cy = 174,4 N 0,8 = 139,5 N S y = 736,9 N Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-36

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Beispiel: Eine Last hängt an drei Seilen, die an einem Haken befestigt sind. Die Wirkungslinie der Gewichtskraft geht durch den Haken. A z H C y Gegeben: Koordinaten der Punkte: G B x A= (0, 0, 0 ) m, B= (2, 0,0) m C =(1,2, 0 ) m, H =(1,1, 4 ) m Gesucht: Gewicht G = 10 kn Seilkräfte Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-37

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Richtungen der Seilkräfte: Ein Ein Seil Seil überträgt überträgt nur nur Zugkräfte. Zugkräfte. Die Die Wirkungslinie stimmt stimmt mit mit der der Seilrichtung überein. überein. [ e AH ]= 1 L AH [ x H x A ] y H y A z H z A = 1 18 [ 1 1 4] = 1 [ 1 1 3 2 4] [ e BH ]= 1 L BH [ x H x B ] y H y = 1 [ 1 ] B 1 3 2, [ e CH ]= 1 [ L z H z B 4 CH x H x C ] y H y = 1 [ 0 ] C 1 17 z H z C 4 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-38

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Kraftvektoren: H [ S A ]= [ S Ax S Ay S Az ] =S A [ e AH ]= S A 3 2 [ 1 1 [ S B ]= [ S Bx S By S Bz] =S B [ e BH ]= S B 4] [ 1 ] 1 3 2 4 z A S A G S C S B B y C x [ S C ]= [ S Cx S Cy S Cz] =S C [ e CH ]= S C [ 0 1 17 1] 4 ], [ G ]=G [ 0 0 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-39

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Gleichgewichtsbedingungen: F x =0 : 1 3 2 S 1 A 3 2 S B = 0 (1) F y =0 : 1 3 2 S 1 A + 3 2 S 1 B 17 S C = 0 (2) F z =0 : 4 3 2 S 4 A + 3 2 S 4 B + 17 S C G = 0 (3) Lösung des Gleichungssystems: Aus Gleichung (1) folgt: S B =S A Addition der ersten beiden Gleichungen liefert: 2 3 2 S A 1 17 S C=0 S C = 2 17 3 2 S A Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-40

2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Einsetzen in Gleichung (3) ergibt: ( 2 4 3 2 + 4 17 2 17 3 2 ) S A=G 16 3 2 S A=G S A =3 2 16 G Für die anderen beiden Seilkräfte folgt daraus: S B =S A =3 2 16 G, S C= 2 17 3 2 Zahlenwerte: 3 2 16 G= 17 8 G S A =2,65 kn, S B =2,65 kn, S C =5,15 kn Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.2-41