Biegung

2. Biegung Wie die Normalkraft resultiert auch das Biegemoment aus einer Normalspannung. Das Koordinatensystem des Balkens wird so gewählt, dass die Flächenschwerpunkte der Querschnitte auf der x-achse liegen. Im Folgenden wird die Normalspannung für den Fall der ebenen Biegung ermittelt. Die ebene Biegung wird meist etwas ungenau als gerade Biegung bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-1

2. Biegung Ebene Biegung liegt vor, wenn der Querschnitt symmetrisch bezüglich der xz-ebene ist, q F wenn die am Balken angreifenden Kräfte in der xz-ebene liegen, S x wenn die am Balken angreifenden Momente um die y-achse drehen. y M z Die verformte Balkenachse liegt in der xz-ebene. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-2

2. Biegung 2.1 Spannungsermittlung 2.2 Zulässige Spannung 2.3 Kerbwirkung Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-3

2.1 Spannungsermittlung Betrachtet wird der Fall, dass die Normalkraft null ist. Aus der Statik folgt: Die resultierende Normalkraft der gesuchten Spannung muss null sein: A Das resultierende Moment der gesuchten Spannung um die y-achse muss gleich dem Biegemoment sein: A σ( x,y, z)da=0 z σ(x, y, z)da=m y (x) y da y S z z σda Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-4

2.1 Spannungsermittlung Kinematik: Die beiden Bedingungen für die Resultierenden reichen nicht aus, um den Verlauf der Spannung über den Querschnitt zu ermitteln. Zusätzlich wird angenommen, dass sich der Balken so verformt, dass ebene Querschnitte eben bleiben und sich um die y-achse drehen. Diese Annahme wird nach Jakob I. Bernoulli (1655 1705) als Bernoulli-Hypothese bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-5

2.1 Spannungsermittlung Mit der Bernoulli-Hypothese gilt für die Verschiebung u in x- Richtung: ϕ x z x w x z z u z u( x, z) =tan(ϕ(x )) ϕ( x) u( x,z)=ϕ( x) z z Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-6

2.1 Spannungsermittlung Daraus folgt für die Dehnung: ϵ(x, z)= u x = d ϕ dx z Mit dem Hookeschen Gesetz gilt für die Spannung: σ( x, z)=e ϵ( x, z)=e d ϕ dx z Die Spannung infolge der Biegung wird als Biegespannung bezeichnet. Der Winkel ϕ heißt Biegewinkel. Die Ableitung dϕ/dx gibt die Krümmung der Biegelinie an. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-7

2.1 Spannungsermittlung Ermittlung der Biegespannung: Mit der Beziehung für die Biegespannung berechnet sich das resultierende Biegemoment zu M y (x)= A Mit dem Flächenträgheitsmoment folgt: z σ( x, z)da=e d ϕ dx A M y (x)=e I y d ϕ dx z 2 da I y = A z 2 da Das Produkt EI y wird als Biegesteifigkeit bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-8

2.1 Spannungsermittlung Für die Krümmung folgt: d ϕ dx = M y ( x) E I y Damit gilt für die Biegespannung: σ( x, z)= M y (x ) I y z Die Biegespannung kann aus dem Biegemoment und dem Flächenträgheitsmoment berechnet werden. Sie hängt linear vom Faserabstand z ab. Entlang der y-achse ist die Biegespannung null. Die y-achse stimmt mit der Nulllinie überein. Ein positives Biegemoment M y führt auf der Seite mit positiven Werten von z zu einer Zugspannung. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-9

2.1 Spannungsermittlung Die x-achse wird auch als neutrale Faser bezeichnet. Flächenträgheitsmoment: Das Flächenträgheitsmoment ist eine geometrische Größe des Querschnitts. Es beschreibt den Einfluss der Querschnittsgeometrie auf die Biegesteifigkeit. Für viele Querschnittsformen sind die Flächenträgheitsmomente tabelliert. Die Flächenträgheitsmomente von genormten Profilen können den entsprechenden Normen entnommen werden. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-10

2.1 Spannungsermittlung Widerstandsmoment: Die betragsmäßig größte Biegespannung tritt in den Punkten auf, die den größten Abstand z max von der Nulllinie haben: σ(x) max = M y (x) z I max y Mit dem Widerstandsmoment gilt: W y = I y z max σ(x) max = M y (x) W y Für Normprofile sind die Widerstandsmomente in den Normen angegeben. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-11

2.1 Spannungsermittlung Beispiel: T-Profil Gegeben: Rundkantiger hochstegiger T-Stahl T 80 DIN 1024 A b B e Biegemoment: My = 2500 Nm Gesucht: Wert und Ort der betragsmäßig größten Normalspannung y h C z Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-12

2.1 Spannungsermittlung Der Norm können folgende Daten entnommen werden: Abmessungen: h = b = 80 mm, e = 2,22 cm Flächenträgheitsmoment: Iy = 73,7 cm 4 Widerstandsmoment: Wy =12,8 cm 3 Ergebnisse: Die betragsmäßig größte Spannung berechnet sich zu σ max = 2500 103 Nmm =195,3 MPa 12,8 10 3 3 mm Sie tritt als Zugspannung im Punkt C auf. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-13

2.1 Spannungsermittlung Beispiel: Rechteckquerschnitt Mit da=b dz folgt für das Flächenträgheitsmoment: b I y = A =b[ z3 z 2 da= h /2 3 ] h /2 h /2 h /2 z 2 b dz =b( h3 24 + h3 24 ) = 1 12 b h3 y da z dz h Mit z max =h/2 gilt für das Widerstandsmoment: W y = I y = b h3 z max 12 2 h = b h2 6 Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-14

2.2 Zulässige Spannung Duktile Werkstoffe: Die Streckgrenze wird zuerst in der äußersten Randfaser des Balkens erreicht. Bei einer weiteren Zunahme des Biegemoments wächst die Spannung im plastischen Bereich weniger stark an als bei einem proportionalen Zusammenhang. Dafür steigt die Spannung im noch elastischen inneren Bereich stärker an. Dieser Effekt wird als Stützwirkung bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-15

2.2 Zulässige Spannung Plastischer Bereich Elastischer Bereich R e x, σ z Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-16

2.2 Zulässige Spannung Für die Auslegung wird die 0,2 %-Biegedehngrenze verwendet: σ b 0,2 = M y 0,2 >R W e y Dabei ist M y0,2 das Biegemoment, bei dem die größte auftretende plastische Dehnung nicht größer als 0,2 % ist. Das Verhältnis n 0,2 = σ b 0,2 R e wird als Dehngrenzenverhältnis oder Stützziffer bezeichnet. Das Dehngrenzenverhältnis hängt von der Querschnittsform und von der Streckgrenze ab. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-17

2.2 Zulässige Spannung Für die Sicherheit gegen Fließen und die zulässige Spannung gilt: S F = n R 0,2 e σ, σ zul = n R 0,2 e max S F Anhaltswerte für die Sicherheit liegen zwischen 1,2 und 2,0. Spröde Werkstoffe: Fließen tritt nicht auf. Das Versagen erfolgt durch Bruch. Infolge von nichtlinearem Verhalten vor dem Bruch sowie unterschiedlichem Verhalten bei Zug und bei Druck ist das Biegemoment M yb beim Bruch größer als bei einer linearen Spannungsverteilung. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-18

2.2 Zulässige Spannung Für die Auslegung wird die Biegefestigkeit verwendet. σ bb = M yb W y >R m Für die Sicherheit gegen Bruch und die zulässige Spannung gilt: S B = σ bb σ max, σ zul = σ bb S B Anhaltswerte für die Sicherheit liegen zwischen 4,0 und 9,0. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-19

2.3 Kerbwirkung Formzahl: Die Auswirkung einer Kerbe wird wie beim Stab durch eine Formzahl beschrieben: α kb = σ bk σ bn Dabei ist σ bk die größte in der Kerbe auftretende Spannung und σ bn die Biegenennspannung. Die Biegenennspannung wird mit dem Widerstandsmoment des gekerbten Querschnitts berechnet: σ bn = M y W yn Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-20

2.3 Kerbwirkung Beispiel: M B r t t b M Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-21

2.3 Kerbwirkung Sicherheit und zulässige Spannung: Gegen Fließen: S F = n 0,2 R e α kb σ bn, σ zul = n 0,2 R e α kb S F Gegen Bruch: S B = σ bb α kb σ bn, σ zul = σ bb α kb S B Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.2-22