Ferienkurs Quantenmechanik

Ferienkurs Quantenmechanik Drehimpulse und Schördingergleichung in 3D 4.0.0 Mathias Kammerlocher Inhaltsverzeichnis Wichtige Kommutatoren Drehimpuls. Drehungen..................................... Drehimpulsalgebra............................... 3.3 Drehimpuls als Diff.-Operator......................... 4 3 Schrödingergleichung im Zentralpotential 5 4 Spin 6 4. Spinalgebra................................... 6 5 Kopplung von Drehimpulsen 8 5. Kopplung zweier Spins............................. 9

DREHIMPULS Wichtige Kommutatoren [a, cd] = c[a, d] + [a, c]d [a, c + d] = [a, c] + [a, d] [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0 ˆx = x ˆp x = i x [x, ˆp x ] = i [f(x, ˆp x ] = i x f(x Drehimpuls Der Drehimpuls ist ein Operator ˆL = ˆ x ˆ p = yp z zp y zp x xp z xp y yp x dem Korresponendzprinzip p x = i x usw. eingesetzt werden muss. wobei für den Impuls nach. Drehungen Der Drehimpuls ist der Erzeuger von Drehungen. Damit ist gemeint, dass der Operator ( ˆD(θ, n = exp i θ n L eine Drehung mit dem Winkel θ um die Drehachse n bewirkt. Dies sieht man, wenn man die Drehmatrix für infinitesimale Drehungen entwickelt. Für die Transformation gilt: ψ = D(θ, n ψ ψ(x = x ψ = x D + Dψ = Dx Dψ = ψ (x A = DAD ψ A ψ = ψ A ψ Beispiel: ˆD(θ, ez lm = exp( i θl z = exp( imφ jm An der Entwicklung für infinitesimale Drehungen erkennt man: A ( i δθ L na( + i δθ L n = A + i δθ[a, n L] Eine Observable ist also invariant unter Drehungen um n, falls [A, n L] = 0 Eine Obsverable ist invariant bei Drehung um eine beliebige Achse, falls [A, L] = 0

. Drehimpulsalgebra DREHIMPULS. Drehimpulsalgebra Die Operatoren L x, L y und L z kommutieren nicht miteinander stattdessen gilt: [L i, L j ] = i ɛ ijk L k [L i, x j ] = i ɛ ijk x k [L i, p j ] = i ɛ ijk p k L x, L y und L z können daher nicht gleichzeitig scharft gemessen werden. Es gilt jedoch: [L z, L ] = 0 Somit gibt es gemeinsame Eigenfunktionen f von L und L z. Diese Vertauschungsrelationen von L x, L y, L z, L bezeichnet man allgemein als Drehimpulsalgebra. Sie gilt somit auch für den Spin und den Gesamtdrehimpuls, wenn Spin und Bahndrehimpuls zueinander koppeln. Aus dieser Algebra lassen sichen alle wichtige Eigenschaften von Drehimpulsen herleiten. Dazu definieren wir Auf- und Absteigeoperaoren: mit folgenden Eigenschaften: (i [L z, L ± ] = i L y ± L ± = ± L ± (ii [L +, L ] = i[l x, L y ] = L z (iii [L, L ± ] = 0 J ± = L x ± il y (iv L + L = L x + L y i[l x, L y ] = L x + L y + L z und deshalb (v L = L + L L z + L z = L L + + L z + L z Es seien nun l, m die gemeinsamen Eigenzustände von L und L z wobei Aus (i und (iii folgt: L l, m = l(l + l, m, l 0 L z l, m = m l, m L z L ± l, m = (L ± L z ± L ± l, m = (m ± L ± l, m L L ± l, m = L ± L l, m = l(l + L ± l, m Der Auf/Absteigeoperator verändert also lediglich die Eigenwerte von L z um ±, während die Eigenwerte von L unverändert bleiben. Weitere Eigenschaften lassen sich aus dem Skalarprodukt gewinnen: l, m L x + L y l, m = l, m L L z l, m = (l(l + m 0 l(l + m 3

.3 Drehimpuls als Diff.-Operator DREHIMPULS Es gibt also ein Maximum und Minium für m. Sei Max(m =: j und Min(m : j l, j = 0 L L + l, j = 0 (L L z L z l, j = 0 (l(l + j j l, j = 0 l = j Ebenso folgt, dass j = l. Außerdem ergibt sich l, l aus l, l durch ein ganzahliges anwenden des Absteigeoperators. Somit ist l eine ganze Zahl. Zusammenfassend konnten wir aus der Drehimpulsalgebra folgende Eigenschaften herleiten. Es gibt gemeinsame Eigenfunktionen von L z und L mit: L l, m = l(l + l, m, l = 0,,, 3,... L z l, m = m l, m, m = l, l +,..., l.3 Drehimpuls als Diff.-Operator Für den Drehimpuls gilt: ˆL = ˆ x ˆ p = yp z zp y zp x xp z xp y yp x Es ist bei Rotationsinvarianten Problemen einfacher den Drehimpuls und die Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten umzuschreiben. Dabei gilt: = e r r + e θ r θ + e ϕ rsin(θ ϕ = r r(r r + }{{} r sin(θ θ (sin(θ θ + r sin (θ ϕ = r+ r r Der Drehimpuls in Kugelkoordinaten sieht dann folgendermaßen aus: L = sin(θ θ (sin(θ θ + sin (θ L z = i ϕ Eigenfunktion des Drehimpulses in Kugelkoordinaten sind die Kugelflächenfunktion Y lm (θ, ϕ = θϕ lm 4

3 SCHRÖDINGERGLEICHUNG IM ZENTRALPOTENTIAL Wie bereits im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde, erfüllen die Kugelflächenfunktion die Differentialgleichungen. L Y lm = l(l + Y lm ( L z Y lm = my lm ( Außerdem erfüllen die Kugelflächenfunktionen folgende Eigenschaften: (i lm l m = Y lm (θ, ϕy lm(θ, ϕdω = δ ll δ mm (ii Y l, m = ( m Y lm (iii P Y lm (θ, ϕ = Y lm (π θ, π + ϕ = ( l Y lm (θ, ϕ 3 Schrödingergleichung im Zentralpotential Wir studieren nun die dreidimensionale Bewegung im Zentralfeld, in dem die potentielle Energie nur vom Abstand r = x abhängt. Der Hamilton Operator lautet: H = p m + V (r Der Impuls lässt sich in Kugelkoordinaten durch den Drehimpuls ausdrücken. p = = r r(r r + L }{{} r =p r Wenn wir dies in die zeitunabhängige Schrödingergleichung einsetzten erhalten wir: ] [ m r r(r r + L mr + V (r ψ(r, θ, ϕ = Eψ(r, θ, ϕ H ist rotationsinvariant weil V=V(r [H, L] = [H, L ] = 0 Es gibt also gemeinsame Eigenfunktion H und L, L z. Da wir die Eigenfunktionen von L bereits kennen, machen wir als Lösung den Seperationsansatz: ψ(r, θ, ϕ = R(rY lm (θ, ϕ ] m r r(r r + l(l + + V (r R(r = ER(r mr [ Die Schrödingergleichung hängt jetzt nur noch von r ab, da wir den Winkelanteil mit Kentniss der Kugelflächenfunktionen bereits abseperieren konnten. Um Sie auf die Form der eindimensionalen Schrödingergleichung zu bringen, substituieren wir R(r = u(r r und r r(r rr(r = r r u(r 5

4 SPIN Damit reduziert sich die SG zu: [ d m dr + l(l + mr ] + V (r u(r = Eu(r Damit ist das Problem des Zentrapotentials zurückgeführt auf eine eindimensionale Schrödingergleichung mit dem effektiven Potential: 4 Spin V eff = l(l + mr + V (r Ein geladenes Teilchen mit einem Drehimpuls bestitzt ein magnetisches Moment. Nach dem Lamor- Theorem gilt dafür: µ = γ L Wobei γ = e m e das gyromagnetische Verhältnis für ein Elektron ist. Der Hamilton Operator für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld lautet: H = µ B Dieser Wecheselwirkungsterm erklärt die Zeemann- Aufspaltung bei Atomen. Beim Stern- Gerlach- Experiment wurde zusätzlich entdeckt, dass es einen inneren Drehimpuls (= Spin geben muss. Für den Spin ist jedoch beim magnetischen Moment ein g-faktor zu beachten, der in der QED nachgewiesen wird. µ = γ( L + g S }{{} 4. Spinalgebra Der Spinoperator lautet S = (S x, S y, S z. Dabei sind S x, S y und S z Observablen für die Spinnmessung in x,y,z-rtg, bzw. in n-rtg. S n. Aufgrund der Tatsache, dass der Spin ein Drehimpuls ist, erfüllen seine Komponenten die gleichen algebraischen Eigenschaften. [S x, S y ] = i S z [S y, S z ] = i S x [S z, S x ] = i S y [S, S i ] = 0 S ± = S x ± is y 6

4. Spinalgebra 4 SPIN S s, m = s(s + s, m, s = S z s, m = m s, m, m =, (3 (4 S ± s, m = s(s + m(m ± s, m ± (5 Für den Spin von Elektronen gilt s = daher gibt es lediglich zwei Eigenzustände von S z und S, die als Spin up und Spin down bezeichnet werden und in einer zweidimensionalen Basis dargestellt werden können., = = ( 0, = = ( 0 Allgemeine Spin Zustände sind daher: χ = a + b. Die Normierung χ χ = verlangt, dass a + b =. Aus den Eigenschaften (3,(4 und (5 lässt sich die Darstellung der Spinoperatoren in der Basis der Zusände und gewinnen. ( 0 S + = 0 0 ( 0 0 S = 0 mit den Paulimatrizen: ( 0 σ x = 0 S = σ ( 0 i σ y = i 0 ( 0 σ z = 0 Diese Matrizen erfüllen folgende Eigenschaften: σ i = (Einheitsmatrix [σ x, σ y ] = iσ z σ i σ j = δ ij + iɛ ijk σ k Spσ i = 0 Eigenwerte sind Eigenzustände des Spins in e z - Rtg sind und ( ( ( 0 σ z = σ 0 0 z ( 0 = Wir suchen nun die Eigenzustände des Spins in einer bel. Raumrichtung n. Also Eigenvektoren des Operators S n: σ n n, + = n, + σ n n, = n, 7

5 KOPPLUNG VON DREHIMPULSEN Für n = ( sinθ cosϕ, sin θ sin ϕ, cos θ in Kugelkoordinaten gilt: S n = ( n z n x in y = ( cosθ sinθe iϕ n x + in y n z sinθe iϕ cosθ n, ± sind die Eigenvektoren dieses Operators. Durch lösen des Eigenwertproblems folgt: ( ( cos θ φ n, + = e i sin θ φ n, = sin θ e i φ e+i cos θ φ e+i Nützlich bei einigen Aufgaben ist außerdem die Darstellung der Eigenzustände von σ x und σ y in der Basis σ z -Basis: x, ± = ( ± y, ± = ( ± i 5 Kopplung von Drehimpulsen In vielen Fällen ist es wichtig den Gesamtdrehimpuls J = L + S einzuführen oder im Fall von zwei Elektronen mit zugehörigem Spin S und S den Gesamtspin S = S + S zu betrachten. Generell gelten für den Gesamtdrehimpuls die üblichen Vertauschungsrelationen: J = J + J [J x, J y ] = i J z [J, J z ] = 0 Für den Gesamtdrehimpuls gelten also alle für Drehimpulse hergeleiteten Eigenschaften. Generell lassen sich aus den Eigenzuständen von J und J die Produktzustände bilden: ungekoppelte Basis: j m, j m = j m j m Eigenzustände J, J z, J, J z (alle kommutieren mitenander Eigenwerte j (j +, m, j (j +, m Diese Zustände sind natürlich auch Eigenfunktion von J z = J z + J z jedoch nicht von J, da [J, J iz ] 0. Man geht daher in die Basis der gekoppelten Zustände, welche sich aus den ungekoppelten Produktzuständen mittels Clebsh Gordan Koeffizienten entwickeln lassen. Diese werden jedoch nicht weiter betrachtet. Gekoppelte Basis: j j, jm Eigenzustände J, J, J, J z (alle kommutieren mitenander Eigenwerte j (j +, j (j +, j(j +, m j kann jetzt die Werte j j j j + j annehmen. 8

5. Kopplung zweier Spins 5 KOPPLUNG VON DREHIMPULSEN 5. Kopplung zweier Spins j + m = j, j +,..., j Tripplett (symmetrisch: { s =, m =, 0, T riplett s = 0, m = 0 Singlett s =, m = = Daraus erhält man die weiteren Triplett Zustände durch Anwenden des Absteigeoperators S = S + S. Woran wir auch gleich sehen, wie wir Operatoren auf gekoppelte Zustände anwenden. S wirkt nur auf den ersten Zustand und S nur auf den zweiten Zustand: S = S + S = ( + Der normierte Zustand ist damit: s =, m = 0 = ( + Zusammenfassend, = S = T riplett, 0 = ( +, = Singlett (antisymmetrisch: S = 0 { 0, 0 = ( 9