Mathematik Zusammenfassung JII. # Ableiten Definition Eine Ableitung zeigt die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle x an. Hier sind die Funktion und ihre Ableitung dargestellt. Möchte ich nun beispielsweise die Tangentensteigung an der Stelle haben. So kann ich bei dem Graphen der Ableitung um nach rechts gehen und dort den y-wert ablesen. Dieser ist 2. Folglich wäre auch die Tangentensteigung gleich 2. Ableitungsregeln Die Ableitung lässt sich ebenso durch eine Funktion darstellen. Um diese zu bekommen kann man von der Ausgangsfunktion nach bestimmten Regeln vorgehen. Potenzregel Beim Ableiten wird die Hochzahl der Variable davor geschrieben. Anschließend wird die Hochzahl um eins verringert: 2 Produktregel Beim ableiten von zwei Funktionen die mit einander multipliziert werden, muss man nach einer fixen Regel vorgehen. 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 Kettenregel Wenn zwei Funktionen verkettet sind geht s auch nach einer bestimmten Regel: sin 2 cos 2 2 Summenregel Zwei Summanden werden getrennt voneinander abgeleitet. Wenn zwei Funktionen addiert werden, wird jede allein abgeleitet: 2 4 Quotientenregel Beim ableiten von zwei Funktionen die durcheinander dividiert werden, geht es auch nach einer fixen Regel. Sonstige Regeln sin cos 2 Seite
Integrieren Definition Das Integrieren ist die Umkehrung vom Ableiten. Sie gibt die Fläche an zwischen dem oberen und dem unteren Integranden. Auch die Integrationsfunktion lässt sich zeichnerisch darstellen. Der Flächeninhalt der Ausgangsfunktion zwischen und beträgt also.5. Mathematisch ließe sich das so darstellen: Integrationsregeln Potenzregel Beim Integrieren wird die Hochzahl der Variable um eins erhöht. Anschließend wird die Hochzahl davor geschrieben: Produktregel Für Produkte kennen wir keine Regel Kettenregel Wenn zwei Funktionen verkettet sind geht s auch nach einer bestimmten Regel: cos 2 sin 2 2 Summenregel Zwei Summanden werden getrennt voneinander integriert. Wenn zwei Funktionen addiert werden, wird jede allein integriert: 2 Quotientenregel Für Quotienten kennen wir keine Regel Sonstige Regeln cos sin 2. ln Seite 2
Lagebeziehungen Ebene Gerade Ebene und Gerade können generell in drei verschiedenen möglichen Lagen zueinander stehen. Sie können sich entweder Schneiden und es entsteht ein Schnittpunkt. Die Gerade kann parallel zur Ebene sein und somit keinen Schnittpunkt zur Ebene haben, oder die Gerade liegt in der Ebene und hat unendlich Schnittpunkte mit ihr. Um zu herauszufinden, wie die beiden liegen gibt es verschiedene Möglichkeiten, je nachdem in welcher Form die Ebene gegeben ist. Nehmen wir uns also unsere Gerade in der einzig möglichen Form : und dazu ein Beispiel : 2. Ebene in Parameterform Die Ebene sieht also folgendermaßen aus: : und als Beispiel nehmen wir 2 hier unsere Ebene : 2 2 Nun setzen wir Ebene und Gerade gleich und lösen das Ganze im Endeffekt zu einer Matrix auf, die wir dann lösen können (mit Hilfe des GTR!) 2 2 2 2 2 2 2 2 Damit ergäbe sich dann für die Matrix: Lösen wir diese Matrix auf erkennen wir in der letzten Zeile (rot markiert) einen logischen Widerspruch. Daher hat die Matrix keine Lösung und damit sind Ebene und Gerade parallel! Seite
Ebene in Koordinatenform Gehen wir einmal von der gleichen Gerade aus, dann hat unsere Ebene allerdings jetzt das Format : und als Beispiel nehmen wir : 2 4 Unsere Gerade teilen wir nun in drei Faktoren auf. Einen für x einen für x 2 und einen für x. : 2 2 : 2 4 2 2 4 9 4 5 Da wir für t ein einzelnes Ergebnis erhalten haben wir einen Schnittpunkt von Gerade und Ebene (käme nun ein logischer Wiederspruch statt raus wären die Gerade parallel zur Ebene (bspw.: 2 7) käme eine logische Beziehung ohne t raus wäre die Gerade in der Ebene (bspw.: 2 2)) Um den Schnittpunkt zu erhalten müssen wir nun t noch einmal in die Geradengleichung einsetzen: 4 : 2 2 2 Die Gerade schneidet die Ebene also im Punkt 4 2! Ebene in Normalenform Die letzte Möglichkeit für die Ebene wäre, dass sie in Normalenform angegeben wird. Sie wäre also 7 nach dem Schema : und unser Beispiel ist : 2 Hier setzen wir nun einfach für den Vektor unsere Geradengleichung ein und formen das Ganze nach t um: 7 7 : 2 2 2 6 6 6 Wir erhalten also nach allen Umformungen eine wahre Aussage ohne t. Die Gerade liegt in der Ebene! Seite 4
Ebene Ebene Zwei Ebenen können ebenfalls drei mögliche Lagebeziehungen zueinander haben. Auch sie können sich entweder schneiden, sodass eine Schnittgerade entsteht, sie können parallel zueinander sein, sodass keine Schnittgerade entsteht oder sie liegen ineinander (sind gleich), sodass sie unendlich viele Schnittgeraden/Schnittpunkte haben! Der Fall, dass die zwei Ebenen gleich sind, wird in unserem Buch allerdings nicht behandelt fragt mich nicht warum. Wie wir wiederum die Lage zweier Ebenen zueinander bestimmen hängt davon ab, in welchen Formen die beiden Ebenen gegeben sind. Eventuell muss man auch von einer in die andere Form umformen das also nicht vergessen! Zwei Parametergleichungen Haben wir also zwei Ebenen in der Parameterform. : und :. Wir nehmen uns auch wieder zwei Beispiele hierzu. Einmal : und : 2. Haben wir zwei Parametergleichungen werden die Ebenen einfach wieder schlicht gleichgesetzt. Das Ergebnis formen wir nun soweit um, dass wir eine Matrix erhalten, die wir wiederum auflösen können. 2 2 2 2 Unsere Matrix, die wir erhalten ist diesmal also ein wenig größer. Sie fasst drei Zeilen bei vier Variablen. Daran kann man erkennen, dass man sie wohl nicht auflösen kann, ohne eine Variable eben variabel zu lassen. Daher kommen unendlich viele Lösungen heraus, die alle auf einer Geraden liegen. 2 2 Unser GTR gibt hierfür als Lösung folgende Matrix aus, die wir wieder als Gleichungen interpretieren können: Seite 5
,5,5,5,5,5,5 Wir lösen nun die letzte Gleichung (die mit ) nach auf! Wir nehmen diese Gleichung, da in ihr und vorkommen und wir damit zwei Variablen einer Ebene (der Ebene E) haben:,5 Diese Gleichung setzen wir nun in die Ebenengleichung von E ein: :,5,5, : Wir haben nun also eine Schnittgerade der beiden Ebenen! Zwei Koordinatengleichungen Haben wir zwei Ebenen als Koordinatengleichungen haben sie die Form : und :. Und in unserem Beispiel nehmen wir: : 2 4 und : 5 5 4 Diese beiden Gleichungen packen wir nun sofort in eine Matrix, eine mit drei Variablen und zwei Gleichungen: 2 5 5 4 4 Auch diese Matrix können wir wieder auflösen und es kommt zu folgendem Ergebnis: 2 Schauen wir uns die letzte Zeile an erkennen wir dort den logischen Widerspruch in der rot markierten Zeile. Die Matrix hat also keine Lösung und die Ebenen sind daher parallel. Eine Koordinatengleichung und eine Parametergleichung Haben wir eine Parametergleichung in der Form : und eine Koordinatengleichung in der Form : können wir auch die gegenseitige Lage untersuchen. Dazu nehmen wir uns auch wieder zwei Beispiele. Für die Parameterform nehmen wir : und für die Koordinatenform : 2 4. Um das Ganze nun zu lösen teilen wir unsere Parameterform in drei Gleichungen auf, die wir dann in der Koordinatenform für, und einsetzen. : : 2 4 Seite 6
2 4 2 4 2 2 Diese erhaltene Gleichung formen wir jetzt entweder nach oder nach um. Da wir hier eine logische Aussage inklusive p und q bekommen haben, schneiden sich die Ebenen! 2 2 Und das setzen wir jetzt für in unsere Parameterform ein: : 2 2 Das lösen wir nun noch ein wenig auf und wir erhalten am Ende die Schnittgerade: 2 2 : Abstände Der Abstand ist die kleinste Entfernung zweier Objekte (bei uns: Punkt, Gerade, Ebene) Punkt von einer Ebene Über Lotgerade (komplizierter dauert länger). Bestimmen einer Geraden die durch den zu betrachtenden Punkt und geht und orthogonal zur Ebene ist. Für diese Gerade (auch Lotgerade) brauchen wir wie immer zwei Vektoren. Einen Stützvektor und einen Richtungsvektor der in diesem Fall der Normalenvektor der Ebene sein muss. Für unser Beispiel nehmen wir einen Punkt 2 und drei Ebenen (für die drei verschiedenen Formen). In Parameterform :, in Koordinatenform : und in Normalenform :. Für unsere Gerade holen wir uns zunächst den Normalenvektor zu den Ebenen. Aus der Normalenform können wir ihn einfach ablesen. Er ist. Bei der Koordinatenform geht es ähnlich Seite 7
einfach. Wir schauen uns die Zahlen vor (das wäre ein ), () und () an und schreiben diese untereinander in einen Vektor. Es ergibt sich wieder. Komplizierter wird es bei der Parameterform. Hier müssen wir einen Vektor finden, der Orthogonal zu beiden Spannvektoren ist. Es gilt also und. Multiplizieren wir das Ganze nach dem Skalarprodukt aus erhalten wir und. Daraus können wir uns eine Matrix basteln Und wenn wir die wiederum auflösen können wir sagen, ebenso wie ist. können wir frei wählen ich wähle, dann erhalten wir als Normalenvektor wieder. Unseren Stützvektor erhalten wir indem wir den Ortsvektor des Punktes nehmen, dessen Abstand wir wollen. Aus 2 wird also 2. Nun, da wir Stütz- und Richtungsvektor haben stellen wir die Gleichung unserer Lotgeraden auf: : 2 2. Bestimmen des Schnittpunktes der Lotgerade mit der Ebene Wie das passiert haben wir ja oben schon erklärt. Wir werden hier nur zu % einen Schnittpunkt erhalten. In diesem Fall sag ich euch einfach das Ergebnis. Es ist der Punkt undzwar wieder für alle drei Formen!. Bestimmen des Betrags des Verbindungsvektors Hierzu nehmen wir uns unsere Punkte und. Machen uns daraus einen Vektor und bestimmen den Betrag: Der Punkt P hat den Abstand von der Ebene E! 2 Seite 8
Die Hesse sche Normalenform Mit der Hesse schen Normalenform zu arbeiten ist eigentlich recht simpel und daher ist die Methode auch der vorhergenannten zu bevorzugen. Ich hab sie nur noch mal dran gebracht, weil man ja bekanntermaßen nie weiß was dann kommt! Unter der Hesse schen Normalenform versteht man im Prinzip nichts anderes als die Normalenform, mit dem Unterschied, dass wir statt dem normalen Normalenvektor, den Einheitsvektor des Normalenvektores nehmen. Allgemein hat die Hesse sche Normalenform die Gleichung Haben wir also eine Normalengleichung wie diese hier 9 Müssen wir nun den Normalenvektor zum Einheitsvektor machen und dies geschieht über diese allgemeine Formel: : 9 9 9 9 9 Damit haben wir als Hesse sche Normalenform : 9 Aus den anderen Formen kommt man zur Hesse schen Normalenform nur über Umwandlungen! Abstandsberechnung mittels der Hesse schen Normalnform Ebene in Normalenform Ist die Ebene in der Hesse schen Normalenform und wir haben einen Punkt P, so können wir den Ortsvektor des Punktes einfach in die Ebenengleichung einsetzen, das ganze Auflösen und wir erhalten den Abstand: 5 2 4 9 5 4 2,,,,9, 2,7 4,9,9 Der Punkt P hat den Abstand von der Ebene E Seite 9
Ebene in Koordinatenform Auch hierfür gibt es eine einfache Formel, die aus einer Abwandlung der H. Normalenform stammt: Haben wir also eine Ebene in der Koordinatenform und einen Punkt so setzen wir beide in diese Gleichung ein! Ich mach das wieder an einem Beispiel. Diese Skizze ist zwar bunt zeigt aber alle nötigen Einsetzungen auf einen Blick (vermutlich eher etwas für die auswendig Lerner) : 4 4 5 9 6 5 4 9 6 4 5 5 4 25 5 Der Abstand der Punktes P von der Ebene E beträgt Längeneinheiten! Punkt von einer Gerade Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g lässt sich allgemein über drei verschiedene Varianten zu bestimmen. Einmal über die Extremwertbindung, wobei ich eine Funktion aufstelle die den Abstand der Geraden zu P in Abhängigkeit von t angibt und mir von dieser Funktion das Minimum bestimmen lasse. Dann geht es über die Orthogonalitätsbindung (der Verbindungsvektor von P und g muss orthogonal zum Richtungsvektor von g sein!) oder über eine Hilfsebene. Für die gerade genannten Methoden werde ich das alles anhand eines Beispieles ausprobieren. Nämlich über die Gerade g und den Punkt P: 4 : 2 2 6 7 Extremwertbindung Bei der Extremwertbindung nehme ich meinen Punkt und einen variablen Punkt auf der Geraden g, ich nenne ihn. Nun bilde ich einen Vektor zwischen den beiden Punkten, den Vektor : 4 4 4 2 2 7 2 2 7 5 2 6 6 2 6 Und von diesem Vektor bestimmen wir jetzt den Betrag 4 5 2 2 6 6 25 4 2 4 6 24 56 4 29 Seite
Und von diesem gerade erhaltenen Term bestimmen wir jetzt das Minimum! Dazu können wir alles was ab der Wurzel kommt für auf dem GTR eintragen (wir müssen nur alle t durch x ersetzen!). Dann können wir uns das Schaubild zeichnen lassen und das Minimum bestimmen. Der x-wert des Minimums sagt aus bei welchem t (der Geraden) der Punkt der Geraden liegt, der am nächsten an dem Punkt P liegt. Der y-wert des Minimums ist der Abstand. In diesem Fall ergibt sich:,6 5,8. Der Punkt hat also einen Abstand von 5,8! Orthogonalitätsbindung Wie schon bei der Extremwertbindung nehme ich mir meinen Punkte und einen variablen Punkt auf der Geraden g ( ). Nun bilde ich einen Vektor zwischen den beiden Punkten, den Vektor : 4 4 4 2 2 7 2 2 7 5 2 6 6 2 6 Von diesem Vektor nehmen wir allerdings nun aber nicht den Betrag, wir sagen er soll orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein. Damit muss über das Skalarprodukt gelten. Ausgeschrieben erhalten wir dann in unserem Fall: 4 4 5 2 2 4 4 2 5 2 6 2 6 2 6 6 6 4 2 6 56 2 56 2 2 56 Dieses erhaltene t können wir nun in unsere Geradengleichung einsetzen und wir erhalten den Lotfußpunkt. 2 2 4 7 56 2 2 6 4 2 56 Nun haben wir unsere beiden Punkte und wir können wieder unseren Vektor bilden und dessen Betrag bestimmen: 7 2 7 7 2 7 4 2 4 7 5 56 2 4 56 2 2 56 Und von diesem Vektor bestimmen wir nun den Betrag: 7 5 4 2 2 56 5,8 Der Punkt hat also den Abstand 5,8 Längeneinheiten. Seite
Hilfsebene Bei der Methode der Hilfsebene nimmt man sich eine Ebene die zum einen zur Gerade g orthogonal sein soll, und in der der Punkt P liegen soll. Eine solche Ebene ist schnell gefunden. Ich kann als Stützvektor einfach den Ortsvektor des Punktes P nehmen und als Normalenvektor nehme ich den Richtungsvektor der Geraden. In unserem Beispiel wäre also eine Ebene: 4 : 2 2 6 4 : 7 2 6 7 Fertig ist die Ebene! Nun müssen wir den Schnittpunkt unser Geraden g mit der gerade erhaltenen Ebene E berechnen. Damit erhalten wir den Lotfußpunkt. Wie das Ganze funktioniert ist ja oben schon beschrieben ich bleibe hier beim Ergebnis: 5 2. Nun haben wir wieder zwei Punkte den Lotfußpunkt und den Punkt dessen Abstand wir haben wollen und wir durchlaufen wieder das gleiche Prozedere. Verbindungsvektor bestimmen und Betrag ausrechnen. Dass mach ich nicht nochmal, ist ja eh das gleiche! Ebenso auch das Ergebnis! Gerade von einer zu ihr windschiefen/parallelen Gerade Orthogonalitätsbedingung Der Verbindungsvektor zwischen den beiden Geraden muss, wenn der kürzeste Weg gesucht ist zu beiden Geraden (also zu beiden Richtungsvektoren) orthogonal sein. Zunächst nehmen wir aber wieder zwei Geraden als Beispiele: 4 7 : 2 2 und : 2 2 6 5 Aus diesen beiden Geradengleichungen machen wir nun zwei Variable Punkte, einen auf der Geraden g in Abhängigkeit von t und einen auf der Geraden h in Abhängigkeit von s: 4 2 2 6 7 2 2 5 Und zwischen diesen beiden Punkten bilden wir nun einen Vektor. Den Vektor : 4 7 2 4 7 2 2 2 2 2 2 6 5 2 6 5 Und da dieser Vektor nun orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren sein soll müssen folgende Bedingungen gelten: und. Seite 2
Daraus folgt: 2 4 7 4 2 2 2 6 5 2 4 2 4 7 2 2 2 6 2 6 5 6 8 6 28 4 4 2 6 4 56 62 62 56 4 2 4 7 7 2 2 2 6 5 2 7 2 4 7 2 2 2 5 2 6 5 5 4 28 49 4 4 25 4 62 78 78 62 4 Und aus diesen beiden Bedingungen können wir uns wieder eine Matrix basteln: 62 56 78 62 4 4 Beim Auflösen dieser Matrix erhalten wir dann für t und s je einen Wert!,68,9 Diese Werte setzen wir dann in die dazugehörigen Geradengleichungen ein, sodass wir die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden erhalten und. 4,272 7, : 2,68 2,6 und : 2,9 2,2 6,48 5,5,272,6,48,,2,5 Aus diesen beiden Lotfußpunkten machen wir nun wie schon so oft einen Vektor und von diesem Vektor berechnen wir den Betrag und erhalten schlussendlich den Abstand!,,272,28,2,6,6,5,48,92,28,6,92, Die beiden Geraden g und h haben einen Abstand von,49 Längeneinheiten. Hilfsebene (nur bei windschiefen Geraden!) Bei der Hilfsebene nehme ich mir eine Ebene, in der die Gerade g liegt und die zur Geraden h parallel ist. Dazu nehme ich Stützvektor und Richtungsvektor von der Geraden g, und den zweiten Richtungsvektor nehme ich von der Geraden h. 4 7 : 2 2 und : 2 2 6 5 4 7 : 2 2 2 6 5 Seite
Diese Ebene müssen wir nun in die Hesse sche Normalenform bringen, sodass wir den Abstand zu einem Punkt spielend ausrechnen können. Dazu können wir den Stützvektor übernehmen müssen aber einen Vektor finden, der zu beiden anderen Vektoren orthogonal ist. Damit ergibt sich dann folgende Hesse sche Normalenform:,87 2,96,26 Hier setzen wir nun noch den Ortsvektor eines Punktes der Geraden h ein und wir erhalten den Abstand. Ich nehme einfach den Stützvektor der Geraden:,87 2,87 2 2,96,96,46,26 2,26 Die Geraden haben einen Abstand von,46 Längeneinheiten! Zeichnen einer Ebene Wenn wir eine Ebene zeichnen müssen werden die Spurpunkte entscheidend! Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. Diese zu bestimmen ist glücklicherweise relativ einfach. Haben wir Eine Ebene in Koordinatenform: : 4 2 2 und wir wollen die Spurpunkte auf der -Achse, so müssen wir nur und gleich null setzen: 4 2 2 4 2 Wir erhalten also den Spurpunkt. Ebenso verfahren wir mit den anderen Achsen, wir setzen immer die null, die wir momentan nicht betrachten: 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 6 6 Diese drei erhaltenen Spurpunkte tragen wir nun in ein Koordinatensystem ein, und verbinden sie über die Spurgeraden. Die Fläche zwischen den Spurgeraden wird dann schraffiert sie stellt die Ebene dar: Ebenfalls möglich wäre es, dass nur zwei Spurpunkte herauskommen. Dann müssen diese Punkte eingezeichnet werden und zusätzlich zwei Geraden in Richtung der Achsen. Das erkennt man auf der ersten Abbildung der nächsten Seite Die letzte Möglichkeit ist es, dass nur ein Spurpunkt zu finden ist. Falls dies der Fall ist wird dieser eingezeichnet und es werden die Parallelen Seite 4
zu den Achsen gezogen auf denen es keine Spurpunkte gibt. Man sieht dies auch auf der Abbildung hier rechts. hier: 4 2 hier: 4 2 Das war glaube ich bis jetzt die längste Zusammenfassung die ich je geschrieben habe, aber ich denke auch nur deshalb, weil ich alles einmal anhand eines Beispieles durchgerechnet habe. So viel Stoff ist es an sich eigentlich nicht, vor allem könnt ihr häufig Prioritäten setzen, ihr könnt euch von 2- möglichen Wegen den einfachsten heraussuchen! Man muss nicht alles können (vermute ich mal stark). Schaut euch halt vor allem das an, was Frau Oster uns per Mail geschrieben hat! Bei Fragen/Fehlern/Ergänzungen/eigenen Zusammenfassungen/ erreicht ihr mich über meine Mail-Adresse (fsure@web.de). Ansonsten wünsche ich euch einen schönen 4. Advent, frohe Weihnachten, entspannte Ferien, ein schönes neues Jahr und viel Erfolg bei der Mathe-Klausur am Montag! Gruß, Florian Seite 5