Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen Von Dr. phil. Dr. h. c. mult. Lothar Collatz em. o. Professor an der Universität Hamburg 7., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 190 Figuren, 82 Aufgaben und Lösungen und zahlreichen Beispielen B. G.Teubner Stuttgart 1990

Inhalt Einteilung der Differentialgleichungen 1. Bezeichnungen 13 2. Physikalisehe Beispiele für Differentialgleichungen 14 I Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 1 Richtungsfeld und einfachste integrierbare Typen 3. Lösungskurven im Richtungsfeld 16 4. Trennung der Veränderlichen 17 5. Ähnlichkeitsdifferentialgleichung 20 6. Einfache, auf die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung zurückführbare Fälle 21 2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung 7. Homogene und inhomogene Gleichung, triviale Lösung 22 8. Lösung der homogenen Gleichung 23 9. Lösung der inhomogenen Gleichung 23 3 Bernoullische Differentialgleichung 10. Zurückführung auf eine lineare Differentialgleichung 25 11. Die Riccatische Differentialgleichung 26 4 Der integrierende Faktor 12. Exakte Differentialgleichung 27 13. Der integrierende Faktor 28 5 Vorbereitungen zur Existenz- und Eindeutigkeitsfrage 14. Ein- und mehrdeutige Richtungsfelder 29 15. Nichteindeutigkeit der Lösung 30 16. Die Lipschitz-Bedingung, schärfere und schwächere Form 31 17. Das Verfahren der schrittweisen Näherungen 32 6 Der allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssatz 18. Der Existenzsatz 34 19. Der Eindeutigkeitsbeweis 38 20. System von Differentialgleichungen und eine Differentialgleichung w-ter Ordnung 39 21. Einige Grundbegriffe der Funktionalanalysis 41 22. Banachscher Fixpunktsatz und der Existenzsatz bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 47 7 Singuläre Linienelemente 23. Reguläre und singuläre Linienelemente. Definitionen und Beispiele 49 24. Isolierte singuläre Punkte 52 25. Zur Theorie der isolierten singulären Punkte 54 26. Die Clairautsche und d'alembertsche Differentialgleichung 56

8 Inhalt 8 Schwingungen 27. Schwingungen bei einem Freiheitsgrad, Phasenkurven 58 28. Beispiele von Schwingungen und Phasenkurven 60 29. Periodische Schwingungen autonomer ungedämpfter Systeme mit einem Freiheitsgrad 65 9 Vermischte Aufgaben und Lösungen 30. Aufgaben 68 31. Lösungen 72 II Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung 1 Einige Typen nichtlinearer Differentialgleichungen 1. Die abhängige Veränderliche y kommt nicht explizit vor 73 2. Die Gleichung?/" =f(y) und das Energieintegral 74 3. Die allgemeine Differentialgleichung, in der x nicht explizit auftritt 75 V' 4. Die Differentialgleichung enthält nur die Verhältnisse - 77 2 Grundlegende Sätze über lineare Differentialgleichungen 5. Bezeichnungen 77 6. Der Überlagerungssatz 78 7. Reduktion der Ordnung einer linearen Differentialgleichung 79 3 Fundamentalsysteme einer linearen Differentialgleichung 8. Lineare Abhängigkeit von Funktionen 80 9. Die Wronskische Determinante für lineare * Unabhängigkeit von Funktionen 82 10. Allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung 84 4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 11. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung 86 12. Mehrfache Nullstellen der charakteristischen Gleichung 89 13. Stabilitätskriterium ' 92 14. Die Gleichung für erzwungene Schwingungen 93 15. Lösung der homogenen Schwingungsgleichung 94 5 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 16. Das Verfahren der Variation der Konstanten 96 17. Die Faustregel" 98 18. Einführung einer komplexen Differentialgleichung 99 19. Der Resonanzfall 101 6 Die Eulersche Differentialgleichung 20. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung 101 21. Beispiele..... e 103 7 Systeme linearer Differentialgleichungen 22. Beispiel: Schwingungen eines Kraftfahrzeugs (Kopplungsarten)... 104 23. Fundamentalsystem von Lösungen 107 24. Lösung des inhomogenen Systems mit Hilfe der Variation der Konstanten 109

Inhalt 9 25. Matrix A konstant, charakterische Zahlen der Matrix 109 26. Die drei Hauptklassen in der Theorie der quadratischen Matrizen... 110 27. Anwendung auf die Schwingungslehre 112 28. Beispiel eines physikalischen Systems mit nicht normalisierbarer Matrix 113 29. Transformation normaler und normalisierbarer Matrizen auf Diagonalgestalt 114 8 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten 30. Technische Beispiele für Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten 119 31. Periodische Lösungen des homogenen Systems 120 32. Stabilität 121 33. Periodische Lösungen beim inhomogenen System 123 34. Beispiel für die Stabilitätstheorie 124 9 Laplace-Transformation 35. Definition der Laplace-Transformation 125 36. Differentiation und Integration der Originalelemente 128 37. Laplace-Transformation bei Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen 130 38. Abklingvorgänge und periodische Lösungen 132 39. Faltungssatz und Integralgleichungen 1. Art 136 40. Umkehrtransformation und Tabelle 138 III Rand-, insbesondere Eigenwertaufgaben 1. Anfangs wertaufgaben und Randwertaufgaben 141 1 Beispiele linearer Randwertaufgaben 2. Ein Träger. Mehrere Felder der Differentialgleichung 142 3. Die Anzahl der Lösungen bei linearen Randwertaufgaben 144 2 Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben 4. Differentialgleichung der Kettenlinie 145 5. Die Differentialgleichung y" = y 2 148 6. Abzählbar unendlich viele Lösungen der Randwertaufgabe bei y" = -y 3 151 3 Die Alternative bei linearen Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen 7. Halbhomogene und vollhomogene Randwertaufgaben 152 8. Die allgemeine Alternative 153 4 Lösung von Randwertaufgaben mit Hilfe der Greenschen Funktion 9. Einfachste Beispiele Greenscher Funktionen 154 10. Die Greensche Funktion als Einflußfunktion 157 11. Allgemeine Definition der Greenschen Funktion 158 12. Die Lösungsformel für die Randwertaufgabe 160 5 Beispiele von Eigenwertaufgaben 13. Die vollhomogene Randwertaufgabe 162 14. Die nichtlineare Randwertaufgabe 164

10 Inhalt 15. Partielle Differentialgleichungen 165 16. Der Bernoulli-Ansatz für Eigenschwingungen 167 6 Eigenwertaufgaben und Orthonormalsysteme 17. Selbstadjungierte und volldefinite Eigenwertaufgaben 170 18. Orthogonalität der Eigenfunktionen 172 19. Orthonormalsystem ' '. 173 20. Approximation im Mittel 178 21. Zum Entwicklungssatz 179 22. Der Quotienteneirischließungssatz 181 7 Beziehungen zur Variationsrechnung 23. Einfache Beispiele 184 24. Die Eulersche Gleichung der Variationsrechnung im einfachsten Falle 186 25. Freie Randwertaufgaben und Variationsrechnung 188 8 Verzweigungsprobleme 26. Verzweigungsaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung 190 27. Nichtlineare Eigenwertaufgaben und Verzweigungsprobleme 191 28. Beispiel: Verzweigungsdiagramm bei einer Urysohnschen Integralgleichung 191 9 Vermischte Aufgaben und Lösungen zu Kapitel II und III 29. Aufgaben 193 30. Lösungen 195 IV Spezielle Differentialgleichungen 1 Kugelfunktionen 1. Lösung der Potentialgleichung 201 2. Die erzeugende Funktion 204 3. Kugelfunktionen zweiter Art 206 4. Eine andere explizite Darstellung der Legendreschen Polynome... 207 5. Orthogonalität 208 2 Zylinderfunktionen 6. Partielle Schwingungsdifferentialgleichung einer Membran 209 7. Bernoulli-Ansatz für die Membranschwingungen 210 8. Die erzeugende Funktion 211 9. Folgerungen mit Hilfe der erzeugenden Funktion 212 10. Integraldarstellung 215 11. Beispiel aus der Astronomie: Die Keplersche Gleichung 216 12. Bessel-Funktionen zweiter Art 217 13. Allgemeinere Differentialgleichungen 217 14. Schwingungsformen der Kreismembran 220 3 Reihenentwicklung, hypergeometrische Funktion 15. Reihenansatz, determinierende Gleichung 221 16. Wurzeln der determinierenden Gleichung 222 17. Beispiel: Hypergeometrische Gleichung 224 18. Störungsrechnung und singuläre Stellen 226 19. Beispiel zur Technik der Reihenentwicklung 228

V Exkurs in die partiellen Differentialgleichungen Inhalt 11 1 Allgemeine Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und eine nichtlineare Gleichung 1. Einfache lineare partielle Differentialgleichungen 230 2. Wellengleichung und Potentialgleichung 232 3. Überschlagen einer Welle bei einer nichtlinearen Differentialgleichung 234 2 Anfangs- und Randwertaufgaben 4. Die 3 Grundtypen einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung 238 5. Einfluß- und Fortsetzungsgebiet 241 6. Lösung der Randwertaufgabe für den Kreisbereich 242 7. Beispiel: Temperaturverteilung 245 3 Randmaximumsatz und Monotonie 8. Randmaximumsatz der Potentialtheorie in der Ebene und im dreidimensionalen Raum 248 9. Stetige Abhängigkeit der Lösung der Randwertaufgabe von den Daten 249 10. Monotoniesätze, Optimierung und Approximation 251 11. Numerisches Beispiel: Torsionsproblem 253 4 Sachgemäßheit und freie Randwertaufgaben 12. Sachgemäße und unsachgemäße Aufgaben 254 13. Weitere inkorrekt gestellte Aufgaben 256 14. Beispiele freier Randwertaufgaben 257 5 Beziehungen zur Variationsrechnung und Methode der finiten Elemente 15. Variationsproblem für die 1. Randwertaufgabe der Potentialtheorie 259 16. Ritzsches Verfahren 260 17. Methode der finiten Elemente 262 18. Beispiel 264 6 Laplace- und Fourier-Transformation bei partiellen Differentialgleichungen 19. Eine parabolische Gleichung (Wärmeleitungsgleichung) 265 20. Laplace-Transformation bei der Wellengleichung 266 21. Reziprozitätsformeln der Fouriertransformation 267 22. Fourier-Transformation bei der Wärmeleitungsgleichung 271 VI Anhang Einige Näherungsmethoden und weitere Übungsaufgaben 1 Einige Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Vorbemerkungen und einige grobe Näherungsverfahren 272 2. Angenäherte numerische Integration nach Runge und Kutta 273 3. Verfahren der zentralen Differenzen 274 4. Differenzenverfahren 277

12 Inhalt 5. Mehrstellenverfahren 278 6. Ritzsches Verfahren 280 2 Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen 7. Vermischte Aufgaben zu Kapitel I. 281 8. Lösungen 283 9. Vermischte Aufgaben zu Kapitel II und III 286 10. Lösungen 289 11. Vermischte Aufgaben zu Kapitel IV und V 298 12. Lösungen 302 3 Einige biographische Daten 13. Lebenszeiten einiger Mathematiker 309 Einige Lehrbücher über Differentialgleichungen und weiterführende Bücher 311 Sachverzeichnis 313