Walmdachfläche Stand: 15.11.2017 Jahrgangsstufen FOS/BOS 10 Fach/Fächer Übergreifende Bildungs- und Erziehungsziele Mathematik Alltagskompetenz und Lebensökonomie, Bildung für Nachhaltige Entwicklung und Ökonomische Verbraucherbildung Zeitrahmen Benötigtes Material Zugelassener Taschenrechner, Merkhilfe Mathematik, Lexikon Kompetenzerwartungen Lehrplan Mathematik FOS/BOS 10 LB 5 Die Schülerinnen und Schüler berechnen Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck. Dazu nutzen sie die Innenwinkelsumme im Dreieck und bei rechtwinkligen Dreiecken zusätzlich sowohl den Satz des Pythagoras als auch den Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels. Lehrplan Mathematik FOS/BOS 10 LB 6 Die Schülerinnen und Schüler berechnen den Umfang und die Maßzahl des Flächeninhalts zweidimensionaler geometrischer Figuren: Rechteck, Parallelogramm, Dreieck, Trapez, Kreis, Kreissektor. Sie ermitteln außerdem die Länge von Kreisbögen. Seite 1 von 7
Aufgabe Zwischen Jakob und seinem Onkel fand folgender Chat statt: Hallo Jakob, kannst du die Dachfläche von unserem Haus berechnen? Wir wollen es neu eindecken lassen und die Kosten abschätzen können. So, 16:45 Klar, ich bin doch jetzt auf der BOS. Schick mir einfach die Maße. So, 16:46 Aus dem damals sehr strengen Bebauungsplan weiß ich, dass die Traufhöhe 7,70m und die Dachneigung für alle Dachflächen 52 betragen muss. Die Grundfläche des Hauses ist 12,80m x 6,90m groß, wobei das Dach überall 14cm übersteht. So, 17:15 Wie sieht das Dach denn aus. So, 17:16 Es ist ein Walmdach. Ich mach schnell ein Foto, bis gleich. So, 17:17 OK So, 17:17 Abbildung 1: Walmdach So, 17:31 Die Berechnung sieht schwieriger aus, als ich dachte. Ich nehme es mal mit in die Schule. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. So, 17:33 Es wäre super, wenn ihr mir den Rechenweg so genau wie möglich aufschreiben und als Foto oder pdf senden könntet, damit ich es auch verstehe. Vielen Dank erst mal, dein Alex :) So, 17:35 Seite 2 von 7
Hinweise zum Unterricht Die Lösungsvorschläge unter den Hinweisen zum Unterricht erfolgen stichpunktartig. Diese sind nicht als vollständige, alternativlose Lösungserwartung zu sehen. Auch von einer strengen mathematischen Fachnotation wird hier abgesehen. empfohlene Arbeitsform: Gruppenarbeit Um die Begriffe Bebauungsplan, Walmdach und Traufhöhe klären zu können, sollte ein Lexikon zur Verfügung stehen. Ist dies nicht der Fall, so können die Begriffe in der Informationsphase im Lehrer-Schüler-Gespräch besprochen oder die Definitionen vor der Unterrichtsstunde zusammengestellt und ausgelegt werden. Es handelt sich bei der Aufgabe um eine Lernsituation, deren Bearbeitung in den Phasen des handlungsorientierten Unterrichts durchgeführt werden sollte. Das Handlungsprodukt ist das Blatt mit der ausführlichen Berechnung. Die Tabelle gibt eine Übersicht über die Zuordnung der Handlungskompetenzen zu den einzelnen Phasen des handlungsorientierten Unterrichts. Seite 3 von 7
Lernsituation: Walmdachfläche Orientieren Informieren Planen Durchführen Kontrollieren/ Präsentieren Bewerten Die Schülerinnen und Schüler lesen den Chat und besprechen, was genau berechnet werden muss und welches Handlungsprodukt erarbeitet werden soll. Die Schülerinnen und Schüler informieren sich mit Hilfe von Lexika über die unbekannten Fachbegriffe und mit der mathematischen Merkhilfe und ihren Unterlagen aus dem Unterricht, welche Vorgehensweise zur Berechnung der unbekannten Größen geeignet ist. Die Schülerinnen und Schüler erstellen Skizzen und entscheiden wie sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Dachfläche am besten nachvollziehbar berechnen können. Die Schülerinnen und Schüler schreiben den Lösungsweg, der Ihnen am sinnvollsten erscheint, ausführlich auf. Die einzelnen Gruppen stellen ihre Ergebnisse vor. Die anderen Schülerinnen und Schüler überprüfen anhand ihrer eigenen Ergebnisse, ob die Berechnungen richtig sind und sowohl nachvollziehbar als auch übersichtlich aufgeschrieben wurden. Die Schülerinnen und Schüler bewerten die verschiedenen Arbeitsergebnisse und reflektieren die Vorgehensweise. Sie entscheiden, welcher der Wege der übersichtlichste und nachvollziehbarste ist und welchen Lösungsweg sie an den Onkel von Jakob schicken würden. Wenn die Schülerinnen und Schüler die Arbeitsweise eines handlungsorientierten Unterrichts noch nicht kennen, ist es sinnvoll, zuvor die verschiedenen Phasen zu besprechen und/oder kleinschrittige Handlungsaufträge vorzugeben, z. B.: Seite 4 von 7
Handlungsaufträge: Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS Erstellen Sie im Team übersichtlich und nachvollziehbar für den Onkel von Jakob den Rechenweg zur Berechnung der Maßzahl des Flächeninhaltes des Walmdaches. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: Lesen Sie den Chat und überlegen Sie sich, welches Ziel Sie erreichen sollen. Informieren Sie sich mithilfe Ihrer Unterrichtseinträge, der mathematischen Merkhilfe und des Lexikons über die verwendeten Fachbegriffe und die für die Berechnung notwendigen Formeln. Planen Sie unter Verwendung von Skizzen, welcher der für Sie sinnvollste Lösungsweg ist. Schreiben Sie Ihren gewählten Lösungsweg so genau, übersichtlich und nachvollziehbar wie möglich auf. Stellen Sie im Anschluss an die Gruppenarbeit das Ergebnis Ihrer Gruppe den anderen Schülerinnen und Schülern vor. Während die Gruppenergebnisse vorgestellt werden, sollen sich die zuhörenden Mitschülerinnen und Mitschüler Notizen zu den Vorträgen machen, um im Anschluss sinnvoll darüber diskutieren zu können, welcher Rechenweg am übersichtlichsten und am besten nachvollziehbar dargestellt wurde. Der beste Weg kann im Anschluss für alle Schüler der Klasse kopiert werden. Seite 5 von 7
Lösungsvorschlag: Gegebene Maße Grundfläche Haus: 12,80m x 6,90m Traufhöhe: 7,70m Dachneigung (allseitig): 52 Dachüberstand auf allen vier Seiten: 14cm = 0,14m Abbildung 2: Skizze Walmdach Gesucht ist die Maßzahl des Flächeninhalts der Gesamtfläche des Daches Dafür werden benötigt: Firstlänge und Sparrenlänge (die Sparrenlänge ist hier die Höhe eines Trapezes bzw. die Höhe eines Dreiecks) Berechnung der Firstlänge: 6,90 + 2 0,14 = 7,18 12,80 + 2 0,14 = 13,08 13,08 7,18 = 5,90 [m] Berechnung der Sparrenlänge: 7,18 : 2 = 3,59 3,59 ª 5,83 [m] cos(52 ) Berechnung der Maßzahl des Flächeninhaltes der Dreiecksfläche (Walmfläche): Berechnung der Maßzahl des Flächeninhaltes der Trapezfläche: 7,18 5,83 2 13,08 + 5,90 2 = 20,9297 5,83 = 55,3267 Gesamtes Dach: 2 20,9297 + 2 55,3267 = 152,5128 Die Maßzahl des Flächeninhaltes der gesamten Dachfläche beträgt ca. 153 Da für eine Dacheindeckung auch First- und Gratziegel gekauft werden müssen, könnte es sein, dass einzelne Schüler die Länge aller Grate (Schenkel der Walmfläche) berechnen und die Länge des Dachfirstes hinzuaddieren. Berechnung der Gratlänge eines Grates: 3,59 2 + 5,83 2 ª 6,85 Addition der Gratlängen und der Firstlänge: 4 6,85 + 5,90 = 33,30 [lfm] Seite 6 von 7
Anregung zum weiteren Lernen Es könnten zusätzlich Preise von Ziegeln bzw. der Arbeitspreis für die Dacheindeckung pro Quadratmeter angegeben und somit die Gesamtkosten berechnet werden. Man könnte auch folgenden Aufgabentext verwenden: Im Internet wird für die Berechnung der Maßzahl des Flächeninhaltes der Dachfläche eines Walmdaches angegeben, dass bei einer Dachneigung von 60 die Grundfläche mit dem Faktor 2,0 multipliziert und dass bei einer Dachneigung von 35 die Grundfläche mit dem Faktor 1,2207 multipliziert werden müssen. Ergeben sich durch dieses Vorgehen realistische Näherungswerte für die Flächeninhalte der Walmdächer? Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Walmdach, eigenes Foto, Svenja Bauers, 01.07.2017 Seite 7 von 7