GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN

KAPITEL 17 GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN Am Afag der Wahrscheilichkeitsrechug stad der Wusch, gewisse experimetelle Fakte zu modelliere, die ma vage als empirische Gesetze des Zufalls bezeichete ud die sich i eier erstauliche Kostaz der Häufigkeite vo Ereigisse maifestierte, we ma ur eie geüged grosse Azahl vo Wiederholuge eies Experimets zuliess. So hat ma bereits vor sehr lager Zeit bemerkt, dass sich bei eier grosse Zahl vo Wiederholuge des Werfes eier perfekte Müze die Häufigkeit des Auftretes vo Zahl tatsächlich um de Wert 1 2 stabilisiert, de ma vo daher versucht war, als die Wahrscheilichkeit für das Auftrete vo Zahl azuspreche. J. Beroulli (Ars Cojectadi, 1713) war der erste, der ei Modell für dieses Phäome etworfe hat. Er hat eie Kovergezbegriff eigeführt, welcher dem der Kovergez i der Wahrscheilichkeit eg verwadt ist, ud er hat gezeigt, dass die Häufigkeit des Auftretes vo Zahl i diesem Modell tatsächlich gege 1 2 kovergiert. Die Argumete Beroullis ware kombiatorischer Art ud sehr kompliziert. Sie wurde vo Tchebychev erheblich vereifacht ud zwar dak der Ugleichug, die seie Name trägt ud die er bei diesem Alass eigeführt hat. Die vo J. Beroulli utersuchte Problemstellug wurde i der Folge beträchtlich ausgeweitet ud führte zu de verschiedeste Versioe vo Aussage, die ma uter dem Begriff Gesetze der grosse Zahle zusammefasst. Es sei u (X )( 1) eie Folge vo reelle ud zetrierte Zufallsvariable. Gesucht sid hireichede Bediguge dafür, dass die Folge der Zufallsvariable ( 1 ) X k ( 1) gemäss eiem der i Kapitel 16 behadelte Kovergezbegriffe gege 0 kovergiert. Dabei sid ur die Kovergez i der Wahrscheilichkeit ud die fast-sichere Kovergez systematisch utersucht worde. Etspreched ist die Rede vo dem schwache ud dem starke Gesetz der grosse Zahle. Defiitio. Die Folge (X )( 1) geügt dem schwache Gesetz der grosse Zahle, we die Folge mit dem allgemeie Glied 1 X k i

270 KAPITEL 17: GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN der Wahrscheilichkeit gege 0 kovergiert. Die Folge (X )( 1) geügt dem starke Gesetz der grosse Zahle, we die Folge mit dem allgemeie Glied 1 X k fast-sicher gege 0 kovergiert. 1. Das schwache Gesetz der grosse Zahle. Es gibt mehrere hireichede Bediguge, die sicherstelle, dass eie Folge (X )( 1) vo Zufallsvariable dem schwache Gesetz der grosse Zahle geügt. Wir gebe hier eiige dieser Aussage a, wobei stets die Notatio (1.1) S = X k, Y = S ( 1) verwedet wird. Theorem 1.1 (Schwaches Gesetz der grosse Zahle i L 2 für paarweise ichtkorrelierte Zufallsvariable). Es sei (X )( 1) eie Folge vo Zufallsvariable aus L 2, die zetriert ud paarweise ichtkorreliert sid. Für jedes 1 sei Var X = σ 2 < +. We(1/ 2 ) σ2 k für gege 0 kovergiert, so kovergiert Y i L 2 gege 0, ud damit gilt auch Y 0 i der Wahrscheilichkeit. Beweis. DadieX paarweise ichtkorreliert sid, gilt für jedes 1 E[Y 2 ]=VarY = 1 2 Var S = 1 2 σk 2 ud somit E[Y 2 ] 0für,d.h.Y 0iL 2.DieKovergezvoY gege 0 i der Wahrscheilichkeit ist u eie umittelbare Kosequez der Ugleichug vo Bieaymé-Tchebychev. Bemerkuge. Die Aussage vo Theorem 1.1 gilt atürlich isbesodere da, we die Zufallsvariable X als Gesamtheit uabhägig sid oder ur paarweise uabhägig sid. Awedug 1.2. Es sei (X )( 1) eie Folge vo Zufallsvariable aus L 2, die paarweise ichtkorreliert sid. Für jedes 1 sei E[X ]=µ ; die Folge mit dem allgemeie Glied 1 µ k kovergiere für gege µ ud (1/ 2 ) σ2 k kovergiere gege 0. Da kovergiert die Folge ( 1 X k) i L 2 gege µ, ud damit gilt Kovergez auch i der Wahrscheilichkeit. Beweis. Wir wede Theorem 1.1 auf die Folge (X µ )( 1) vo zetrierte Zufallsvariable a ud erhalte aus 1 (X k µ k )= 1 X k 1 µ k 0

1. DAS SCHWACHE GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 271 das gewüschte Resultat für die L 2 -Kovergez, also auch für die Kovergez i der Wahrscheilichkeit. Das folgede Korollar betrifft die Situatio vo idetisch verteilte Zufallsvariable ud ist ebefalls ei Korollar vo Theorem 1.1. Theorem 1.3 (Schwaches Gesetz der grosse Zahle i L 2 für paarweise ichtkorrelierte Zufallsvariable mit idetischer Verteilug.). Es sei (X ) ( 1) eie Folge vo zetrierte Zufallsvariable aus L 2, die idetisch verteilt ud paarweise ichtkorreliert sid. Da gilt Y 0 i L 2,also Y 0 i der Wahrscheilichkeit. Beweis. Für jedes 1istVarX = σ 2 = σ 2 < +. Also gilt 1 2 σ 2 k = σ2 0 ud die Behauptug folgt aus Theorem 1.1. Bemerkug 1. Die Aussage vo Theorem 1.3 gilt atürlich isbesodere da, we die Zufallsvariable X als Gesamtheit uabhägig oder ur paarweise uabhägig sid. Bemerkug 2. Die Folge mit dem allgemeie Glied E[Y 2 ] kovergiert mooto absteiged gege 0, de es gilt E[Y 2 ]=σ2 / 0. Awedug 1.4. Es sei (X )( 1) eie Folge vo Zufallsvariable aus L 2, die idetisch verteilt ud paarweise ichtkorreliert sid; dabei sei µ der gemeisame Erwartugswert der X. Da kovergiert 1 X k gege µ i L 2, also auch i der Wahrscheilichkeit. Beweis. Ma wedet Theorem 1.3 auf die Folge (X µ) ( 1) vo zetrierte Zufallsvariable a ud erhält 1 (X k µ) = 1 X k µ 0 i L 2, also auch i der Wahrscheilichkeit. Awedug 1.5. Es sei (X )( 1) eie Folge vo uabhägige, idetisch verteilte Zufallsvariable mit der Verteilug pε 1 + qε 0, wobei 0 p 1, p+ q =1. Da kovergiert 1 X k gege p i L 2,also auch i der Wahrscheilichkeit. Dies ist das klassische Beispiel des Müzwurfs vo Beroulli. Wie wir gesehe habe, ist der Beweis des schwache Gesetzes der grosse Zahle (Theoreme 1.1 ud 1.3) besoders eifach für Zufallsvariable aus der

272 KAPITEL 17: GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN Klasse L 2.Tatsächlich ka ma sich vo dieser Hypothese befreie ud lediglich dere Zugehörigkeit zu L 1 voraussetze, we ma zusätzlich och aimmt, dass sie paarweise uabhägig ud idetisch verteilt sid. Der Beweis des schwache Gesetzes der grosse Zahle ist i diesem Fall schwieriger ud verwedet die Techike des Stutzes ud Zetrieres, was wir jetzt darstelle werde. Theorem 1.6 (Schwaches Gesetz der grosse Zahle i L 1 für paarweise uabhägige, idetisch verteilte Zufallsvariable). Es sei (X )( 1) eie Folge vo zetrierte Zufallsvariable aus L 1, die paarweise uabhägig ud idetisch verteilt sid. Mit de Bezeichuge (1.1) gilt da Y 0 i L 1, also auch Y 0 i der Wahrscheilichkeit. Beweis. Würde die X zu L 2 gehöre, so folgte die Behauptug aus Theorem 1.3, de aus Y 0 im quadratische Mittel folgt die Kovergez auch i L 1. Die Beweisidee besteht dari, sich mit Hilfe der Techike des Stutzes ud Zetrieres auf de Fall vo L 2 zurückzuziehe. Das folgede techische Lemma wird dabei helfe. Lemma 1.7. Zu jedem ε > 0 gibt es eie Borel-messbare ud beschräkte Fuktio f auf R derart, dass f X 1 (wie X 1 ) zetriert ist ud X 1 f X 1 1 <ε gilt. Dabei hägt f ur vo der Verteilug vo X 1 ab. Beweis des Lemmas. a) Sei also ε > 0 vorgegebe; da X 1 zu L 1 gehört, ka ma ei hireiched grosses c>0wähle, damit für die Fuktio { x, für x c; g(x) =xi [ c,+c] = 0, sost; folgede Gleichug gilt: X 1 g X 1 1 = x dµ(x) <ε. { x >c} b) Die Fuktio g leistet icht otwedigerweise das Gewüschte, da g X 1 icht zetriert sei muss. Um die Zetrierug zu erreiche, geht ma über zu der Fuktio f(x) =g(x) m, wobei m = E[g X 1 ], also f(x) =xi [ c,+c] (x) xdµ(x). [ c,+c] c) Für hireiched grosses c erfüllt f die Aforderuge, de u ist f X 1 ach Kostruktio zetriert ud X 1 f X 1 1 <εka ma

1. DAS SCHWACHE GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 273 folgedermasse erreiche. Ma wählt c so gross, dass X 1 g X 1 1 <ε gilt, was ach a) möglich ist. Da X 1 zetriert ist, gilt m = E[X 1 ] m = E[X 1 ] E[g X 1 ] X 1 g X 1 1 <ε ud somit schliesslich X 1 f X 1 1 X 1 g X 1 1 + m < 2ε. Nu köe wir de Beweis vo Theorem 1.6 agehe. Es sei X = f X, S = X 1 + + X ud Y = S /. Die Zufallsvariable X sid zetriert, paarweise uabhägig ud idetisch verteilt. Als beschräkte Variable gehöre sie zu L 2. Somit folgt aus Theorem 1.3 Y 0iL 2 ud somit auch i L 1. Adererseits gilt Y Y 1 1 X k X k 1. Aber für k =1,..., hägt der Ausdruck X k X k 1 ur vo der gemeisame Verteilug der X ab; alle diese Glieder sid also gleich ud es folgt Schliesslich gilt Y Y 1 X 1 X 1 1 <ε. Y 1 Y Y 1 + Y 1, so dass Y 1 < 2ε für hireiched grosses gilt. Die Folge mit dem allgemeie Glied Y 1 = E [ Y ] kovergiert also für gege 0. Bemerkug 1. Die Aussage vo Theorem 1.6 gilt atürlich auch da, we die Zufallsvariable X uabhägig sid. Bemerkug 2. I dem Fall, dass die Variable X uabhägig sid, kovergiert die Folge mit dem allgemeie Glied E [ Y ] = Y 1 mooto absteiged gege 0. Diese Bemerkug ka ma folgedermasse eisehe. Wege ist Y 1 = 1 Y X 1 E[Y 1 Y ]= 1 Y 1 1 E[X Y ]. Adererseits ist E[X 1 Y ]= = E[X Y ], da die Zufallsvariable X 1,..., X uabhägig ud idetisch verteilt sid. Somit hat ma Y = E[Y Y ]= 1 ( E[X1 Y ]+ + E[X Y ] ) = E[X Y ],

274 KAPITEL 17: GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN ud damit folgt E[Y 1 Y ]= 1 Y 1 1 Y = Y sowie Y E [ ] Y 1 Y. Nimmt ma u vo beide Seite de Erwartugswert, so folgt E [ Y ] E [ Y 1 ]. 2. Das starke Gesetz der grosse Zahle. Wir begie diese Abschitt mit eier Versio des starke Gesetzes der grosse Zahle für Zufallsvariable aus L 2. (Eie Beweis fidet ma i dem Buch vo Fourgeaud- Fuchs (op. cit.).) Theorem 2.1 (Starkes Gesetz der grosse Zahle für Zufallsvariable aus L 2 ). Es sei (X )( 1) eie Folge vo zetrierte ud uabhägige Zufallsvariable aus L 2.Für 1 sei Var X = σ 2 < + ud, wie vorher, (2.1) S = X k, Y = S ( 1). We die Reihe 1 σ2 /2 kovergiert, so gilt Y 0 fast-sicher. Theorem 2.2 (Rajchma). Es sei (X ) ( 1) eie Folge vo zetrierte ud uabhägige Zufallsvariable aus L 2. Für 1 sei Var X = σ 2 ; weiter werde die Bezeichuge wie obe i (2.1) verwedet. Ist sup σ 2 < +, sogilt a) Y 0 fast-sicher; b) Y 0 i L 2. Beweis. a) Es sei σ 2 =sup σ 2 < + ; da gilt σ 2 1 damit Y 0 fast-sicher gemäss Theorem 2.1. b) Es gilt E[Y 2]=VarY = 1 L 2 gemäss Theorem 1.1. 2 2 σ2 1 1 2 < ud σ 2 k σ2 0 ud daher Y 0i Bemerkug 1. Rajchma hat die etsprechede Aussage auch für de Fall gezeigt, bei dem uabhägig durch paarweise ichtkorreliert ersetzt wird. Bemerkug 2. Ma ka also i der Aussage des Satzes vo Beroulli die Kovergez i der Wahrscheilichkeit durch die fast-sichere Kovergez ersetze (E. Borel).

2. DAS STARKE GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 275 Theorem 2.3 (Starkes Gesetz der grosse Zahle für Zufallsvariable aus L 1 (Kolmogorov)). Es sei (X ) ( 1) eie Folge vo zetrierte, uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable aus L 1. Mit de Bezeichuge wie obe i (2.1) gilt da Y 0 fast-sicher. Beweis (L. Pratelli, uveröffetlicht). f.s. a) Gemäss Theorem 4.2 aus Kapitel 16 ist die Aussage Y 0äquivalet zu der Feststellug { für jedes ε>0 gilt P sup k m b) Folgedes Lemma wird beötigt: Lemma 2.4. } Y k >ε 0 Für jedes m 1 ud jedes ε>0 gilt { } ε P Y k >ε Y m 1, sup k m (m ). d.h. aus Y m 0 i L 1 folgt Y m 0 fast-sicher. c) Die Behauptug des Theorems folgt u aus a) ud b) ud Theorem 1.6 (schwaches Gesetz der grosse Zahle i L 1 ). Beweis des Lemmas. Ma beweist die folgede, zum Lemma äquivalete Aussage: Für jedes Paar (m, ) vo gaze Zahle mit 1 m ud jedes ε>0 gilt { ε P sup m k } Y k >ε Y m 1. Wir betrachte die Mege T =sup{k :1 k, Y k >ε} (mit der Kovetio sup = ) ud setze A = {sup m k Y k >ε}. Daist A = {T m} = m k {T = k} ud ε P(A) =ε m k P{T = k}. Nach Defiitio der T gilt aber für jedes k mit m k die Abschätzug εp{t = k} Y k dp = Y k dp+ ( Y k ) dp {T =k} {T =k, Y k >0} = B + C. {T =k, Y k <0} Wir werde B ud C getret bereche. Zuächst ist B = 1 k k j=1 {T =k, Y k >0} X j dp.

276 KAPITEL 17: GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN Da u aber die X uabhägig ud idetisch verteilt sid, habe alle Itegrale auf der rechte Seite de gleiche Wert. Die rechte Seite ist also auch gleich dem arithmetische Mittel vo k Zahle, die ihrerseits alle gleich dem Wert des Itegrals {T =k, Y k >0} X 1 dp sid. Sie ist da aber auch gleich dem arithmetische Mittel vo m ( k) Zahle mit ebe diesem Wert. Folglich ka ma B = 1 m X 1 dp= Y m dp m j=1 {T =k, Y k >0} {T =k, Y k >0} schreibe. Gaz etspreched geht ma für C vor ud erhält C = ( Y m ) dp. {T =k, Y k <0} Zusammefassed erhält ma εp{t = k} B + C = ud durch Summatio über k εp(a) m k {T =k} {T =k} Y m dp, Y m dp E[ Y m ]= Y m 1. Korollar 2.5. Es sei (X )( 1) eie Folge vo uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable aus L 1.Dagilt Y = 1 f.s. X k E[X 1 ]. Dieses Korollar hat eie Umkehrug; cf. Aufgabe 3. 3. Die Lemmata vo Borel-Catelli Lemma 3.1 (Borel-Catelli). Es sei (A )( 1) eie Folge vo Ereigisse, ud es bezeiche A de Limes lim sup A. a) Ist 1 P(A ) < +, soistp(a ) = 0, d.h. mit Wahrscheilichkeit 1 trete ur edlich viele der Ereigisse A ei. b) Seie u die Ereigisse A paarweise uabhägig. Ist 1 P(A )=+, soistp(a )=1, d.h. mit Wahrscheilichkeit 1 trete uedlich viele der Ereigisse A ei. Beweis. a) Es ist A = 1 k A k, also gilt für jedes 1 P(A ) P( P(A k ). A k ) k k Nu ist der rechte Ausdruck der Rest der Ordug eier kovergete Reihe, er muss also für gege 0 gehe. Daher gilt P(A )=0.

3. DIE LEMMATA VON BOREL-CANTELLI 277 b) Wir setze S = I A1 + + I A. Da gilt ach Voraussetzug E[S ]= E[I Ak ]= P(A k ) +. Da die A paarweise uabhägig sid, hat ma aber auch Var S = Var I Ak E[IA 2 k ]= E[I Ak ]=E[S ]. Setzt ma u T = S /E[S ], so erhält ma E[(T 1) 2 ]=VarT = Var S (E[S ]) 2 1 E[S ], ud dies kovergiert für gege 0. Damit wurde T 1 0iL 2 gezeigt, dies, ebeso wie T 1, gilt da auch i der Wahrscheilichkeit. Ma ka somit aus der Folge (T ) eie Teilfolge (T k ) herausziehe, für die T k 1 fast-sicher für k gilt. Da die Voraussetzug 1 P(A )= + zu E[S k ] für k äquivalet ist, folgt S k für k fastsicher, ud diese Aussage ist schliesslich äquivalet zu P(A )=1. Bemerkug. Die Umkehrug der Aussage a) gilt icht. Um dies eizusehe, ehme ma de Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P) mit Ω = [0, 1], mit der Borel-σ-Algebra vo [0, 1] als A ud dem Lebesgue-Mass auf [0, 1] als P. Betrachtet ma u die Folge vo Ereigisse (A =[0, 1/]) ( 1), so ist diese Folge mooto-absteiged, also A = A = {0} ud P(A )=0.Esistaber 1 P(A )= 1 1 =+. 1 Die Voraussetzug der Uabhägigkeit i b) ist also wesetlich. Awedug. Wir betrachte eie uabhägige Folge vo Müzwürfe, wobei die Wahrscheilichkeit des Auftretes vo Zahl i eiem Wurf gleich p (0 <p<1) sei. Nu sei A ei Wort der Läge l 1, d.h. eie Folge vo l Symbole, vo dee jedes etweder Zahl oder Kopf bedeutet. Weiter bezeiche A 1 das Ereigis, dass das Wort A i de erste l Würfe realisiert wird, A 2 das Ereigis, dass A i de folgede l Würfe realisiert wird,etc.dieereigissea 1, A 2,... sid uabhägig ud für jedes 1 gilt P(A )=P(A 1 ) > 0, somit ist 1 P(A )=+. Aus Teil b) des Lemmas folgt u, dass mit Wahrscheilichkeit 1 das Wort A uedlich oft im Verlauf des Spiels auftritt. Ei aaloges Argumet zeigt, dass ei Affe, der zufällig auf eier Schreibmaschie tippt, mit Wahrscheilichkeit 1 jede

278 KAPITEL 17: GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN Text beliebiger edlicher Läge im Verlauf vo uedlich viele Aschläge eimal schreibt. 1 Das Lemma vo Borel-Catelli hat folgede Kosequez. Theorem 3.2 ((0, 1)-Gesetz vo E. Borel). Es sei (A )( 1) eie Folge vo paarweise uabhägige Ereigisse ud A bezeiche das Ereigis lim sup A. Da ka P(A ) ur die Werte 0 oder 1 aehme, ud zwar je achdem, ob die Reihe mit dem allgemeie Glied P(A ) kovergiert oder divergiert. Dieses Theorem ist ei erstes Beispiel für das berühmte (0, 1)-Gesetz vo Kolmogorov, welches besagt, dass gewisse termiale Ereigisse ur mit Wahrscheilichkeit 0 oder 1 auftrete köe. Als Awedug dieses Theorems werde wir u zeige, dass für eie Folge (X )( 1) vo uabhägige Zufallsvariable, für welche die Folge (Y )( 1) mit Y = 1 X k fast-sicher gege eie Limes Y kovergiert, dieser Limes fast-sicher kostat sei muss. Um dies zu sehe, stelle wir zuächst fest, dass das System (X 1,...,X k )für jedes k 1 uabhägig vo Y = lim (X 1 + + X )/ = lim (X k+1 + + X k+ )/ ist, ud somit auch Y k uabhägig vo Y.Für jedes reelle x ist also das Ereigis {Y k x} uabhägig vo dem Ereigis {Y x}. (DasEreigis{Y x} ist ei typisches termiales Ereigis.) Somit gilt P({Y k x} {Y x}) =P{Y k x}p{y x} für jedes reelle x. Lässt ma u k gege uedlich gehe, so folgt daraus P{Y x} =(P{Y x}) 2 ; da ka aber für jedes x ur P{Y x} =0 oder 1 gelte. Da die Abbildug x P{Y x} eie Verteilugsfuktio ist, muss sie otwedigerweise eie Stufe der Höhe 1 sei. Also ist Y = kostat. ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 1. Es sei (X )( 1) eie Folge vo uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable aus L 2.Dabeiseim = E[X 1 ] ud σ 2 =VarX 1. Für jedes 2 werde die folgede Zufallsvariable defiiert: Y = 1 X k, Z = 1 1 (X k Y ) 2. 1 Borel (Émile). Le hasard. Paris, Librairie Félix Alca, 1938.

ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 279 a) Ma bereche E[Z ]. b) Ma zeige Z f.s. σ 2 für. 2. Es solle u die Voraussetzuge vo Theorem 1.6 gelte, wobei die Zufallsvariable X als Gesamtheit uabhägig, ud icht etwa ur paarweise uabhägig seie. Ma zeige auf direktem Weg, ud zwar uter Verwedug p vo charakteristische Fuktioe, dass Y 0 gilt. 3. Es sei (X )( 1) eie Folge vo uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable. Dabei gelte Y =(1/) f.s. X k Y. Ma beweise die folgede Aussage: a) P{ X } < + ; 1 b) die X sid itegrierbar; c) Y ist fast-sicher kostat. 4. Es sei (X )( 1) eie Folge vo Zufallsvariable ud S = X 1 + + X. Ma zeige, dass aus S / L Y da S / p 0 folgt, d.h. die Folge (X )( 1) geügt dem schwache Gesetz der grosse Zahle. 5. Das Modell des Müzwurfs vo Beroulli ka dazu verwedet werde, um eie bemerkeswerte Beweis des Approximatiossatzes vo Weierstrass zu liefer. Dieser Satz sagt aus, dass eie auf eiem beschräkte Itervall stetige Fuktio dort vo Polyome gleichmässig approximiert werde ka. Dieser Beweis stammt vo Berstei. Es sei (X )( 1) eie Folge vo uabhägige ud mittels pε 1 + qε 0 (0 p 1, p+ q = 1) idetisch verteilte Zufallsvariable. Ma setzt wieder Y =(1/) p X k ; der Satz vo Beroulli besagt Y p. Seiu h : [0, 1] R eie stetige ud somit beschräkte Fuktio. Wir zeige E[h Y ] h(p) ( ), wobei dies gleichmässig für p [0, 1] gilt. Beweis. Bezeichet µ die Verteilug vo Y, so gilt für jedes δ>0 A = E[h Y h(p)] E[ h Y h(p) ]=A + B, wobei h(x) h(p) dµ(x) ud B = h(x) h(p) dµ(x). { x p δ} { x p >δ} Als stetige Fuktio auf [0, 1] ist h sogar gleichmässig stetig. Zu jedem ε>0 gibt es also ei δ(ε) > 0derart,dass x p δ die Abschätzug h(x) h(p) <εimpliziert. Damit ist A<ε. Halte wir u ε, ud damit auch δ fest. Es sei M eie obere Schrake für h auf [0, 1]. Da gilt B 2M { x p >δ} dµ(x) =2MP{ Y p >δ},

280 KAPITEL 17: GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN ud dies wird gemäss der Ugleichug vo Bieaymé-Tchebychev majorisiert durch 2M Var Y /δ 2 2M pq/(δ 2 ) 2M/(δ 2 ). Die rechte Seite ist aber vo p uabhägig ud strebt für gege 0. Dies gilt also auch für B, ud zwar gleichmässig i p. Folglich kovergiert E[h Y ]für gleichmässig i p gege h(p). Wege Y = S / ud L(S )=B(, p) gilt aber E[h Y ]= ( ) h(k/) p k (1 p) k, k k=0 ud dieser Ausdruck kovergiert gleichmässig für p [0, 1] gege h(p). Dies ist gerade die Aussage des Satzes vo Weierstrass, wobei die Polyome sogar och explizit agegebe werde. Ma et sie auch Berstei-Polyome. 6. Wir betrachte u die Kugel B (0,R)imR ( 1) mit Mittelpukt 0 ud Radius R 0. Ihr Volume ist V (R) =π /2 R /Γ(1 + /2) (cf. Aufgabe 12, Kap. 14). Wir projiziere dieses Volume auf eie der Achse, etwa die x-achse; ma erhält eie Masseverteilug auf R, die eie Dichte g (x, R) besitzt. Mittels geeigeter Normierug wird daraus eie Wahrscheilichkeitsdichte f (x, R) =g (x, R)/V (R). Wählt ma u R =, so stellt ma erstaulicherweise fest, dass die Folge der Wahrscheilichkeitsdichte f (x, )für puktweise gege die Dichte der Normalverteilug N (0, 1) kovergiert. Aders gesagt, für jedes reelle x gilt f (x, ) 1 2π e x2 /2 ( ). 7. Es sei (u )( 1) eie Folge vo reelle Zahle mit 0 <u 1 für jedes 1. Weiter sei (X )( 1) eie Folge vo uabhägige Zufallsvariable, wobei X für jedes 1 die Verteilug u ε 1/u +(1 u )ε 0 hat. Da gilt: 1) Für jedes 1istE[X ]=1. p 2) X 0 geau da, we u 0. f.s. 3) X 0 geau da, we u < +. 1 Ma beachte: für eie Folge (u )( 1) mit der Eigeschaft, dass die Reihe mit dem allgemeie Glied u kovergiert, folgt X 1 + + X f.s. 0aus dem Resultat 3) ud dem Satz vo Césaro, obwohl ma E[X ]=1für alle 1hat.

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