genutzt werden kann, um eindeutig Differentialgleichungen und Randbedingungen fu r statische Problemstellungen an Sta ben und Balken herzuleiten.

47 Kapite 3 Das Prinzip der virtueen erru ckungen 3.1 Eineitung In diesem Kapite bescha ftigen wir uns ausfu hrich mit der Hereitung und Anwendung von Rechenverfahren, die auf dem Prinzip der virtueen erru ckungen beruhen. Die Anwendungen sind dabei ungeheuer viefa tig und fu r den in der Berechnungspraxis ta tigen Ingenieur von sehr großer Bedeutung. Fokussieren woen wir uns hier zuna chst auf die Ermittung von Kraftgro ßen sowie von Einfussinien fu r Kraftgro ßen statisch bestimmter Systeme. Zudem werden wir erarbeiten, wie das Prinzip der virtueen erru ckungen genutzt werden kann, um eindeutig Differentiageichungen und Randbedingungen fu r statische Probemsteungen an Sta ben und Baken herzueiten. 3. 3..1 irtuee erru ckungen und virtuee Arbeiten irtuee erru ckungen Ausgangspunkt der Betrachtungen sei der in Abb. 3.1 gezeigtem exemparische Baken, der beispiesweise unter einer beiebig aber stetig verteiten Streckenast q(x) stehe. Der Baken der La nge sei am inken Ende zweiwertig und am rechten Ende einwertig geagert. Die q(x) x w(x) dw(x) Abb. 3.1: Geichgewichtskonfiguration w(x) eines Bakens und zua ssige virtuee erru ckungen δw(x). sich unter der gegebenen Beastung einsteende Durchbiegung im Geichgewichtszustand

48 Das Prinzip der virtueen erru ckungen sei mit w(x) bezeichnet. Zusa tzich dazu woen wir eine infinitesimae ariation δw aus der Geichgewichtsage betrachten, die ebenfas in Abb. 3.1 gezeigt ist. Diese ariation δw woen wir im Weiteren as virtuee erru ckung bezeichnen. An virtuee erru ckungen werden die fogenden Anforderungen gestet. irtuee erru ckungen......werden as infinitesima kein angenommen....sind gedacht und existieren nicht rea....mu ssen mit den gegebenen geometrischen Randbedingungen im Einkang stehen. Am in Abb. 3.1 gezeigten Beispie bedeutet der etzte Punkt, dass die virtueen erru ckungen δw in den beiden Aufagerpunkten zwingend verschwinden mu ssen, d.h. δw(x = ) = und δw(x = ) =. An dem in Abb. 3. gezeigten Kragbaken wird dies weiter iustriert. Der Baken stehe q(x) x n(x) FH EA, EI F z Abb. 3.: Kragbaken unter Beastung. unter den beiden Streckenasten q(x) und n(x) und sei zusa tzich dazu an seinem freien Ende durch die beiden Einzekra fte FH und F beansprucht. Die geometrischen Randbedingungen auten in diesem Fae: w(x = ) =, w (x = ) =, u(x = ) =. (3.1) Zusa tzich sind am freien Kragarmende die fogenden dynamischen Randbedingungen vorgegeben: Q(x = ) = F, N (x = ) = FH, M (x = ) =. (3.) Jede infinitesimae ariation / virtuee erru ckung δu und δw, die die gegebenen geometrischen Randbedingungen (3.1) erfu t, ist demnach zua ssig. Beispiesweise ko nnten am konkreten Beispie Ansa tze der Form δu(x) = C1 x+c x +... und δw(x) = D1 x +D x3 +... in Frage kommen, die offenbar ae gegebenen geometrischen Randbedingungen erfu en. 3.. irtuee Arbeiten An dieser Stee woen wir den Begriff der virtueen Arbeiten pra gen: Eine gegebene Struktur, die sich in einem Geichgewichtszustand befindet, wird virtue ausgeenkt. Dabei a ndern sich die inneren und a ußeren Kra fte und Spannugen nicht, und sie eisten entang der virtueen erru ckungen virtuee Arbeiten. Hierbei wird unterschieden zwischen

irtuee erru ckungen und virtuee Arbeiten 49 den virtueen inneren Arbeiten δwi und den virtueen a ußeren Arbeiten δwa. Im Fae einer an einem Festko rper angreifenden Einzekraft F und einer am Kraftangriffspunkt aufgepra gten virtueen erschiebung δu wu rde die virtuee a ußere Arbeit δwa = F δu auten, bzw. in vektorieer Schreibweise δwa = F δu. Starrer Baken Ein einfaches Beispie wird in Abb. 3.3 gezeigt. Gegeben sei eine Wippe, die durch die drei Einzeasten F (Abstand a vom Aufagerpunkt), FS (Abstand as ) und FT (Abstand at ) beastet werde. Die Wippe sei idea starr, so dass sich aufgrund der Beastungen keinerei erformungen ergeben und somit die virtuee innere Arbeit δwi zu nu wird. Jedoch eisten die Kra fte F, FS und FT virtuee a ußere Arbeiten, die sich aus der virtueen erru ckungen ihrer Angriffspunkte ergeben. F starr dj dj dw a FT FS dws dwt as at Abb. 3.3: Kinematik der Wippe. Sei nun die virtuee erdrehung δϕ aufgebracht worden. Aufgrund dieser virtueen erdrehung ereiden die Kraftangriffspunkte die virtueen erru ckungen δw, δws und δwt. Die geeistete virtuee Arbeit δw reduziert sich dann auf die virtuee a ußere Arbeit δwa und autet: δw = δwa = F δw FS δws FT δwt. (3.3) Die negativen orzeichen bei den Anteien aus FS und FT ru hren daher, dass diese beiden Kra fte entgegen ihrer Wirkungsrichtung verschoben werden. Die Kinematik, d.h. die Zusammenha nge zwischen der virtueen erdrehung δϕ und den virtueen erschiebungen δw, δws und δwt, ergibt sich aus eementaren geometrischen Betrachtungen unter Beachtung der Erfordernis, dass die virtueen erschiebungen sa mtich infinitesima kein sein. Man kann an Abb. 3.3 unmittebar Fogendes abesen: δw = δϕa, δws = δϕas, δwt = δϕat. (3.4) Die geeistete virtuee Arbeit δw = δwa ergibt sich dann as: δw = δwa = (F a FS as FT at ) δϕ. (3.5) Euer-Bernoui-Baken Nach diesem recht eementaren Beispie woen wir erneut den Kragbaken der Abb. 3. betrachten. Gesucht werden auch hier die geeisteten virtueen Arbeiten, wobei hier neben

5 Das Prinzip der virtueen errückungen der virtueen äußeren Arbeit δw a auch die virtuee innere Arbeit δw i hinzukommt. Mit den kinematischen Randbedingungen (3.1) ist es zwingend notwendig, dass die virtueen erschiebungen δu und δw die Bedingungen δu(x = ) =, δw(x = ) = und δw (x = ) = erfüen. Wenden wir uns zunächst der virtueen äußeren Arbeit δw a zu. Die beiden Einzeasten F H und F eisten virtuee Arbeiten entang der ihnen zugeordneten virtueen erschiebungen δu(x = ) bzw. δw(x = ). Die Streckenast q(x) ist stetig über x verteit, daher ist sie, mutipiziert mit der virtueen errückung δw(x), über die gesamtre Stabänge zu integrieren. Geiches git auch für die Streckenast n(x). Man erhät aso: δw a = q(x)δwdx + n(x)δudx + F δw(x = ) + F H δu(x = ). (3.6) Die virtuee innere Arbeit δw i ässt sich aus der virtueen erzerrungsenergiedichte δu berechnen: δw i = δu d = σ ij δε ij d = σ xx δε xx dadx. (3.7) Mit dem bereits bekannten kinematischen Zusammenhang zwischen der Dehnung ε xx und den beiden erschiebungen u und w A ε xx = du dx z d w dx (3.8) kann ein äquivaenter Ausdruck für die virtuee Dehnung δε xx angegeben werden: δε xx = dδu dx z d δw dx. (3.9) Somit erhät man dann für die virtuee innere Arbeit δw i : ( ) dδu δw i = σ xx dx z d δw dadx. (3.1) dx A Mit den Schnittgrößendefinitionen N = A σ xxda und M = A σ xxzda erhät man nach Integration über die Querschnittsfäche A: δw i = ( N dδu ) dx M d δw dx. (3.11) dx Man beachte dabei, dass an dieser Stee noch keinerei Aussagen über das Werkstoffverhaten getroffen wurden und die bisang diskutierten Zusammenhänge für beiebiges Materiaverhaten gütig sind. Gehorcht der betrachtete Werkstoff dem Hookeschen Gesetz, dann ergibt sich mit den bereits bekannten Zusammenhängen (.47) und (.5): δw i = EA du dx dδu d w dx + EI dx d δw dx. (3.1) dx dx Der Ausdruck (3.6) für die virtuee äußere Arbeit δw a beibt hiervon unberührt und ist von der Form des Materiagesetzes unabhängig.

Das Prinzip der virtueen errückungen 51 eragemeinerung für das Kontinuum Gegeben sei nun ein beiebiger Festkörper mit dem oumen. Der Rand S des Kontinuums sei aufgeteit in die beiden Randbereiche S u und S t, wobei auf dem Randbereich S u erschiebungen vorgegeben seien (d.h. der erschiebungsvektor u ist auf S u mit dem ektor u festgeegt), während auf dem Randbereich S t der Spannungsvektor t mit t vorgegeben sei. Die Menge aus S u und S t ergibt dann den gesamten Randbereich S, die Schnittmenge aus S u und S t ist nu. Es fogt aus den obigen Festegungen, dass auf dem Randbereich S u die virtueen errückungen δu zu nu werden müssen, da ja die virtueen errückungen im Einkang mit den gegebenen Randbedingungen sein müssen und fogich auf S u keinerei ariationen δu zuässig sind. Nehmen wir dazu noch an, dass der betrachtete Festkörper furch die oumenkräfte f sowie durch m Einzekräfte F i beansprucht werde, dann kann die virtuee äußere Arbeit δw a angeschrieben werden as: m δw a = fδud + t δuds + F i δu i. (3.13) S t Die virtuee erzerrungsenergiedichte δu ässt sich ermitten as δu = δεij i=1 σ ij d(δε ij ). (3.14) Man beachte, dass die obige Integration über die virtueen erzerrungen δε ij zu erfogen hat. Da sämtiche Spannungskomponenten während der virtueen errückungen unverändert beiben und damit auch keine Funktionen von δε ij sind ergibt sich sofort: δu = σ ij δε ij. (3.15) Dieser Ausdruck ist dabei vokommen unabhängig von der Art des zugrundeiegenden Materiagesetzes. Die virtuee erzerrungsenergie bzw. die virtuee innere Arbeit δw i ergibt sich dann durch Integration von δu über das oumen des Festkörpers: δw i = δu d = σ ij δε ij d. (3.16) 3.3 Das Prinzip der virtueen errückungen Das Prinzip der virtueen errückungen ässt sich verba wie fogt formuieren: Ein Körper ist genau dann im Geichgewicht, wenn bei einer beiebigen zuässigen virtueen errückung aus der Geichgewichtsage heraus die virtuee innere Arbeit geich der virtueen äußeren Arbeit ist. As formemäßiger Zusammenhang ässt sich dies wie fogt ausdrücken: δw i = δw a. (3.17) Wir woen zur Iustration noch einma das Beispie der starren Wippe der Abb. 3.3 betrachten. Die virtuee Arbeit δw, die hier ja nur aus der virtueen äußeren Arbeit δw a besteht, muss demnach zu nu werden. Man erhät aso: δw = δw a = (F a F S a S F T a T ) δϕ =. (3.18)

5 Das Prinzip der virtueen errückungen Diese Geichung hat zwei mögiche Lösungen. Zum einen wäre δϕ = eine korrekte und zuässige Lösung. Es ist jedoch ohne Weiteres einsichtig, dass dies eine triviae Lösung darstet, da δϕ = bedeuten würde, dass die Wippe nicht ausgeenkt wird und die virtueen errückungen verschwinden. Eine zieführende Lösung findet man daher, indem man den Kammerausdruck in (3.18) zu nu setzt, aso: F a F S a S F T a T =. (3.19) Man kann sich eicht davon überzeugen, dass dieser Ausdruck genau dem Momentengeichgewicht um den Lagerpunkt der Wippe darstet. Dies bedeutet, dass das Prinzip der virtueen errückungen stets auf eine Geichgewichtsaussage führt. 3.4 Anwendungen Das Prinzip der virtueen errückungen hat eine ganze Reihe wichtiger Anwendungen, auf die wir im weiteren erauf dieses Buches noch eingehen werden. Zwei ganz grundegende Anwendungen woen wir nachfogend ansprechen, nämich die Ermittung von Aufagerreaktionen und Schnittgrößen einerseits, und die Ermittung von Einfussinien andererseits, beides an statisch bestimmten Systemen. 3.4.1 Bestimmung von Aufagerreaktionen und Schnittgrößen Eine erste nütziche Anwendung des Prinzips der virtueen errückungen betrifft die Ermittung von Aufagerreaktionen und Schnittgrößen an Stab- und Bakensystemen. Zur Eräuterung betrachten wir den in Abb. 3.4, inks oben, gezeigten Baken auf zwei Stützen, der unter der Geichstreckenast q, der Einzeast P und dem Einzemoment M stehe. Der Baken habe die Länge, und die Einzekraft P greife genau in Bakenmitte an. Es soen die Aufagerreaktion im Aufager B sowie das Biegemoment an der Stee x = / ermittet werden. Um aso die Aufagerkraft im Aufage B mittes des Prinzips der virtueen errückungen zu ermitten, wird das Aufager freigeschnitten und die Aufagerkraft B damit freigesetzt (Abb. 3.4, rechts oben). Dadurch wird der vorher statisch bestimmt geagerte Baken kinematisch verschiebich, und wir egen fest, dass sich der Baken um das Aufager A um den Winke δϕ verdreht. Da es sich hierbei um eine reine Starrkörperrotation handet (d.h. der Baken sebst wird nicht verformt, sondern durchäuft eine reine virtuee Rotation δϕ), ergibt sich daraus das in Abb. 3.4, rechts oben, gezeigte erschiebungsbid. Damit treten in diesem Fae auch keinerei inneren virtueen Arbeiten δw i auf, sondern es sind nur die virtueen Arbeiten δw a der äußeren Kräfte und des Momentes zu berücksichtigen, die entang der jeweiigen virtueen erschiebungen bzw. Rotationen geeistet werden. Sowoh die Kraft P as auch die Resutierende der Streckenast q, die sich auf q beäuft, werden um das Maß δw p = δϕ verschoben. Die Aufagerkraft B hingegen wird um das Maß δw B = δϕ ausgeenkt. Das Moment M eistet eine virtuee Arbeit entang der erdrehung δϕ, wobei hier die geeistete virtuee Arbeit mit einem negativen orzeichen in die Arbeitsbianz einzugehen hat, da das Moment entgegen seines Drehsinns verdreht wird. Es ergibt sich aso: δw = δw a = M δϕ + (P + q ) δϕ Bδϕ =. (3.)

Anwendungen 53 P M P + q M q B x dj dwp / dwb B / P q M q dwp dwq dj dj M M /4 / dwq /4 / Abb. 3.4: Baken auf zwei Stu tzen unter Streckenast q, Einzekraft P und Einzemoment M (inks), Kinematik zur Ermittung der Aufagerkraft B (rechts oben), Kinematik zur Ermittung des Schnittmoments M an der Stee x = / (rechts unten). Dies kann umgeformt werden wie fogt: δw = δwa = M + (P + q ) B δϕ =. (3.1) Um die triviae Lo sung δϕ zu vermeiden wird auch hier der Kammerausdruck zu nu gesetzt, was man einfach nach der Aufagerkraft B umformen kann: M P q + +. (3.) Man kann sich eicht davon u berzeugen, dass dies genau der Aufagerkraft entspricht, die man aus einer Geichgewichtsbetrachtung mittes Momenten- und Kra ftegeichgewicht erhaten wu rde. Ganz a hnich wird bei der Ermittung des Schnittmoments M an der Stee x = vorgegangen. Zu diesem Zweck setzen wir das Biegemoment M durch Einfu hren eines Geenks an dieser Stee frei und betrachten die sich damit einsteende virtuee erschiebungsfigur. Die beiden so entstandenenen Bakensegmente der La nge verdrehen sich beide um den identischen virtueen Winke δϕ, so dass sowoh das a ußere Moment M as auch die beiden freigesetzten Biegemomente M virtuee Arbeiten entang dieser erdrehungen eisten. Die Einzekraft P hingegen wird um das Maß δp = δϕ verschoben, wa hrend die beiden Resutierenden der Streckenast mit dem Betrag q auf dem inken und dem rechten Bakensegment entang der virtueen erschiebung δwq = 4 δϕ virtuee Arbeiten eisten. Es fogt: B= δw = δwa = M δϕ M δϕ + q δϕ + P δϕ =. 4 (3.3)

54 Das Prinzip der virtueen erru ckungen Man erha t hieraus dann das gesuchte Biegemoment M an der Stee x = : M = M q P + +. 8 4 (3.4) Auch hier mo ge sich die Leserschaft davon u berzeugen, dass man dieses Ergebnis auch mittes eementarer Geichgewichtsbetrachtungen erhaten wu rde. Durch das Freisetzen der gesuchten Aufager- oder Schnittreaktion eines statisch bestimmten Systems bei erwendung des Prinzips der virtueen erru ckungen wird das System verschiebich, und die Form der erschiebungsfigur ist eindeutig festgeegt. Diese eindeutige erschiebungsfigur, die sich zwangsa ufig einstet, nennen wir zwangsa ufige kinematische Kette. As ein weiteres einfaches Beispie werde der in Abb. 3.5 gezeigte Faschenzug betrachtet, an dem ein Gewicht mit der Gewichtskraft G befestig ist. Gesucht wird die notwendige Kraft F am inken Seiende, um das System im Geichgewicht zu haten. Um diese Aufgabe r F F dwf dwf F dwg dwf r1 G G G Abb. 3.5: Faschenzug (inks), virtuee erschiebungen (mitte), Kinematik (rechts). mit Hife des Prinzips der virtueen erru ckungen zu o sen, wird das System um die virtuee erru ckung δwf ausgeenkt (Abb. 3.5, Mitte). Anhand der Kinematik, wie in Abb. 3.5, rechts, gezeigt, erkennt man, dass die Gewichtskraft G die virtuee erru ckung δwg ereidet, die hab so groß wie δwf ist. Die Bianz der virtueen Arbeiten autet dann an diesem Beispie: δwf =. (3.5) δw = δwa = F δwf G Hieraus erha t man umgehend: G F =. (3.6) 3.4. Einfussinien fu r Kraftgro ßen statisch bestimmter Systeme Unter einer Einfussinie fu r eine Kraftgro ße versteht man die graphische Darsteung der betrachteten Kraftgro ße (beispiesweise einer Aufagerreaktion oder einer Schnittgro ße) unter einer sich bewegenden Last (einer sog. roenden Last). Zur Einfu hrung betrachten

Anwendungen 55 wir den in Abb. 3.6, oben, gegebenen Baken auf zwei Stu tzen, der unter einer roenden Einheitsast F = 1 steht. Gesucht werde hier die Einfussinie fu r die Aufagerkraft im Lager B (abgeku rzt as EL B bezeichnet). Sie ist in Abb. 3.6 unten dargestet. Diese F=1...... B EL B )+( 1 Abb. 3.6: Baken auf zwei Stu tzen unter roender Last sowie die Einfussinie fu r die Aufagerkraft B. Einfussinie kann eementar durch boße Betrachtung des gegebenen Systems aufgestet werden. Es ist anschauich kar, dass die Aufagerkraft B zu nu wird, wenn die roende Last genau u ber Aufager A steht, was den Nudurchgang an dieser Stee erka rt. Steht die roende Last hingegen genau u ber Aufager B, so wird die Einheitsast F = 1 vosta ndig vom Aufager B aufgenommen, so dass die Einfussinie am Aufager B den Wert 1 annimmt. Zwischen den beiden Aufagern vera uft die Einfussinie inear, wie man sich z.b. auch durch das Berechnen verschiedener weiterer Werte der Einfussinie fu r verschiedene Laststeungen karmachen kann. Es ist eine agemein gu tige Rege, dass die Einfussinien fu r Kraftgro ßen an statisch bestimmten Systemen stets aus inearen Linienzu gen bestehen. Die agemeine orgehensweise bei der Ermittung von Einfussinien fu r Kraftgro ßen an statisch bestimmten Systemen wird nachfogend kurz dargestet. Durch das Lo sen der entsprechenden Bindung, um die gesuchte Kraftgro ße freizusetzen, wird das betrachtete System einfach verschiebich. Die sich einsteende kinematische Kette ist zwangsa ufig und eindeutig bestimmt. Es git dann, dass die Einfussinie genau der sich einsteenden zwangsa ufigen kinematischen Kette entspricht. Den Nachweis hierfu r erbringen wir noch an spa terer Stee. Zu beachten ist hierbei noch, dass das vormas statisch bestimmte System durch das Lo sen der zur gesuchten Kraftgro ße geho rigen Bindung verschiebich wird. Somit entstehen durch die Ausenkungen keinerei inneren Schnittgro ßen und damit auch keine Deformationen der Systembestandteie sebst. iemehr sind sa mtiche erschiebungen Starrko rperverschiebungen und -rotationen, so dass sich Einfussinien fu r Kraftgro ßen an statisch bestimmten Systemen immer aus gradinigen Stabzu gen zusammensetzen. Um nun die gesuchte Einfussinie zu ermitten o sen wir diejenige Bindung, die energetisch mit der gesuchten Kraftgro ße im Zusammenhang steht und tragen die damit freigesetzte Kraftgro ße an das System an. Hiernach ermitten wir die zwangsa ufige kinematische Kette des Systems, und zwar derart, dass die zu der gesuchten Kraftgro ße geho rige Weggro ße genau den Wert -1 annimmt bzw. die gesuchte Kraftgro ße eine negative Arbeit entang der Einheitsweggro ße eistet. Die gesuchte Einfussinie fu r die betrachtete Kraftgro ße entspricht dann der so ermitteten zwangsa ufigen kinematischen Kette. Dies ist der sog. Satz

56 Das Prinzip der virtueen erru ckungen von Land 1. Dieser so anhand der Abb. 3.7 motiviert werden. Gegeben sei ein Baken auf F=1 S x x F=1 MS dw(x) dj Abb. 3.7: Zum Satz von Land. zwei Stu tzen unter einer roenden Einheitsast F = 1, und gesucht werde das Schnittmoment MS an der Stee x. Hierzu wird an dieser Stee ein Geenk eingefu hrt, und das gesuchte Schnittmoment wird dadurch beidseits freigesetzt. An der Stee des Geenks wird nun der Winke δϕ angetragen, so dass sich unter der roenden Last die erschiebung δw einstet. Die geeisteten virtueen Arbeiten δwa auten dann: δwa = MS δϕ + F δw =. (3.7) Da es sich bei der Kraft F um eine Einheitsast handet, erha t man: MS δϕ + δw =. (3.8) Setzt man nun die Winkeverdrehung mit dem Wert δϕ = 1 fest, dann ergibt sich: MS + δw =, (3.9) MS = δw. (3.3) bzw. Somit zeigt sich, dass die Einfussinie fu r eine Kraftgro ße an einem statisch bestimmten System gerade geich der Biegeinie / zwangsa ufigen kinematischen Kette infoge der energetisch zugeordneten Einheitsverformung ist. 3.5 Rechenregen zum Umgang mit dem ariationsoperator δ In den bisherigen Ausfu hrungen wurde der ariations-operator δ, der oft auch einfach as δ Operator bezeichnet wird, recht ha ufig verwendet. Dieser dru ckt, wie bereits erwa hnt, eine sehr keine A nderung bzw. die sog. ariation einer bestimmten Gro ße, z.b. einer erschiebung u, aus, wobei die variierte Gro ße durchaus von einer oder mehreren ariaben 1 nach Robert Land, 1857-1899, deutscher Bauingenieur

Rechenregen zum Umgang mit dem ariationsoperator δ 57 abhängen kann. Dies bezeichnet man as die sog. erste ariation δu, wenn man z.b. bei einem statischen System eine virtuee erschiebung δu aufbringt. Dies ist vergeichbar mit der Differentiarechnung, wenn man im Fae der Größe dx von einer Änderung bezügich x spricht und damit einen infinitesima keinen Zuwachs von x ausdrücken wi. Für den ariationsoperator / Differentiaoperator δ, der ja die Änderung einer abhängigen Größe (z.b. u) beschreibt, assen sich daher Rechenregen aufsteen, die denen der Differentiarechnung sehr ähnich sind, die im weiteren erauf dieses Buches noch häufig zum Einsatz kommen werden und die wir bereits an dieser Stee im orgriff auf Kapite 5 kurz ansprechen woen. Tiefergehende Detais können aus der reichhatig verfügbaren Literatur, insbesondere zur ariationsrechnung, entnommen werden, auf eine detaiierte Hereitung wird an dieser Stee verzichtet. Es seien die Funktionen f 1, f, f 3,..., f n abhängige Größen, z.b. von der erschiebung u. 1.) Die Reihenfoge von ariation und Differentiation ist vertauschbar: δ ( u) = (δu). (3.31) ( ) T Hier ist der sog. Naba-Operator bzw. der Gradient: =,, x y z..) Die Reihenfoge von Integration und ariation ist vertauschbar: [ ] δ ud = δud. (3.3) 3.) Die erste ariation der Summe mehrerer Funktionen f 1, f, f 3,..., f n kann anaog zur Summenrege der Differentiarechnung gebidet werden: δ [f 1 ± f ± f 3 ±... ± f n ] = δf 1 ± δf ± δf 3 ±... ± δf n. (3.33) 4.) Die erste ariation eines Produkts zweier Funktionen f 1, f ässt sich ähnich der Produktrege der Differentiarechnung biden: δ [f 1 f ] = f δf 1 + f 1 δf. (3.34) 5.) Die erste ariation eines Quotienten zweier Funktionen f 1, f kann man ähnich der Quotientenrege der Differentiarechnung biden: [ ] f1 δ = δf 1 f 1δf. (3.35) f f 6.) Die erste ariation einer mit einer Potenz behafteten Funktion f 1 kann ähnich der Kettenrege der Differentiarechnung ausgeführt werden: f δ [f n 1 ] = nf n 1 1 δf 1. (3.36) 7.) Ist die Funktion f eine Funktion mehrerer abhängiger ariaben (beispiesweise der erschiebungen u, v, w), dann kann die totae ariation δf aus der Summe der partieen ariationen zusammengesetzt werden: δf (u, v, w) = δ u f + δ v f + δ w f. (3.37) Dabei sind die Operatoren δ u, δ v, δ w die partieen ariationen nach u, v, w.

58 Das Prinzip der virtueen errückungen 3.6 Das Prinzip der virtueen errückungen: Formuierung für das Kontinuum 3.6.1 Formuierung des Prinzips Es so nun ein Randwertprobem der dreidimensionaen Eastostatik betrachtet werden. Wir verwenden in diesem Abschnitt die Indexschreibweise sowie die Einsteinsche Summenkonvention. Das betrachtete Kontinuum befinde sich im Geichgewichtszustand und wird durch die Oberfächenbeastung t i und die oumenasten f i beaufschagt, weche wiederum für das Spannungsfed σ ij im Inneren der Körpers verantwortich sind. Wir enken den Körper nun infinitesima aus seiner Geichgewichtsage aus und bringen damit die virtueen errückungen δu i auf, die wiederum die virtueen erzerrungen δε ij hervorrufen. Die virtueen erschiebungen und erzerrungen haben den fogenden Anforderungen zu genügen: Die virtueen erschiebungen δu i und die virtueen erzerrungen δε ij sind gedacht und demnach nicht wirkich vorhanden, sie sind virtue. Dies wird durch das δ Symbo zum Ausdruck gebracht. Die virtueen erschiebungen δu i und die virtueen erzerrungen δε ij seien infinitesima kein. Die virtueen erschiebungen δu i und die virtueen erzerrungen δε ij müssen mögich sein und können daher nicht beiebig gewäht werden. Sie müssen die geometrischen Randbedingungen des betrachteten Systems erfüen. Das Prinzip der virtueen errückungen kann nun so hergeeitet werden, indem im agemeinen Arbeitssatz (.13) bzw. (.15) die Kraftgrößen σ (1) ij, f (1) i, t (1) i durch die wirkichen Kraftgrößen σ ij, f i, t i ersetzt und die kinematischen Größen u () i, ε () ij durch die virtueen kinematischen Größen δu i, δε ij substituiert werden. Dabei ist zu beachten, dass auf denjenigen Randbereichen S u, auf denen erschiebungen vorgeschrieben sind, keine virtueen erschiebungen δu i angesetzt werden dürfen. Das Prinzip der virtueen errückungen autet dann aso: σ ij δε ij d = f i δu i d + t i δu i ds, S t (3.38) bzw. bei erwendung des Bezugssystems x, y, z: (σ xx δε xx + σ yy δε yy + σ zz δε zz + τ yz δγ yz + τ xz δγ xz + τ xy δγ xy ) d = (f x δu + f y δv + f z δw) d + (t x δu + t y δv + t z δw) ds. S t (3.39) Hierin kann wieder nach den inneren virtueen Arbeiten δw i und den äußeren virtueen Arbeiten δw a unterschieden werden: δw i = σ ij δε ij d, δw a = f i δu i d + t i δu i ds. S t (3.4)

Das Prinzip der virtueen erru ckungen: Formuierung fu r das Kontinuum 59 Das Prinzip der virtueen erru ckungen autet dann, wie zuvor schon gezeigt: δwi = δwa. (3.41) Anhand der Hereitung sowoh des agemeinen Arbeitssatzes der Eastostatik as auch des Prinzips der virtueen erru ckungen zeigt sich, dass das Prinzip der virtueen erru ckungen nicht nur eine Foge der Geichgewichtsbedingungen ist, sondern hierzu sogar vokommen a quivaent ist. erbaisiert kann das Prinzip der virtueen erru ckungen fogendermaßen beschrieben werden: Ein deformierbarer Ko rper ist genau dann im Geichgewicht, wenn bei einer beiebigen zua ssigen virtueen erru ckung aus der Geichgewichtsage heraus die virtuee innere Arbeit geich der virtueen a ußeren Arbeit ist. Das Prinzip der virtueen erru ckungen ist somit eine u ber entsprechende virtuee Arbeiten formuierte Geichgewichtsaussage und git fu r ein beiebiges Stoffgesetz. Es hat, neben den bereits gezeigten einfachen Anwendungen, eine fundamentae Bedeutung fu r eine iezah von Anwendungen der agemeinen Strukturmechanik. Wir werden uns auf dieses Prinzip noch ha ufig beziehen. 3.6. Anwendung auf den Zugstab Das Prinzip der virtueen erru ckungen ist eine u ber virtuee Arbeiten formuierte Geichgewichtsaussage. Wir woen es nutzen, um fu r einen Zugstab die Geichgewichtsbedingungen und Randbedingungen herzueiten. Gegeben sei ein Stab mit der La nge und der konstanten Dehnsteifigkeit EA (s. Abb. 3.8). Der Stab stehe unter einer konstanten Linienast n(x) in Achsrichtung sowie einer Einzekraft F am freien Stabende. Wir betrachten n x F z Abb. 3.8: Stab unter Linienast n (x) und Einzekraft F. zuna chst ein aus dem Stab herausgeschnittenes infinitesimaes Schnitteement der La nge dx und biden hieran das statische Geichgewicht (Abb. 3.9). Wir erhaten: N n N+dN dx dx dx Abb. 3.9: Infinitesimaes Schnitteement des betrachteten Stabes.

6 Das Prinzip der virtueen errückungen N + dn dx N + ndx =, (3.4) dx bzw. dn dx = N = n. (3.43) Somit entspricht die erste Abeitung der im Stab wirkenden Normakraft N der negativen äußeren Streckenast n. Die Randbedingungen können aus der gegebenen Situation sofort gefogert werden. Einerseits verschwindet die Stabverschiebung u an der Einspannstee, andererseits ist die Normakraft N am freien Stabende geich der angreifenden Zugkraft F, aso: u(x = ) =, N(x = ) = F. (3.44) Dieser einfache Satz an Geichungen so nun mittes des Prinzips der virtueen errückungen hergeeitet werden. Die virtuee innere Arbeit δw i autet für den voriegenden Fa: δw i = σ xx δε xx d, (3.45) bzw. vereinfacht bei Wegassen der Indizes: δw i = σδεd. (3.46) Das oumenintegra kann aufgespaten werden in ein Fächenintegra und ein Integra bezügich der Stabängsachse x: δw i = σaδu dx = Nδu dx. (3.47) Anwendung der partieen Integration, um den Grad der Abeitung hinsichtich der virtueen erschiebung δu um eins zu vermindern, ergibt: δw i = Nδu Die virtuee äußere Arbeit ergibt sich im voriegenden Fae as: δw a = N δudx. (3.48) nδudx + F δu(x = ). (3.49) Das Prinzip der virtueen errückungen δw i = δw a ergibt dann den fogenden Ausdruck: Umformen iefert: Nδu N δudx nδudx F δu(x = ) =. (3.5) (N + n)δudx Nδu(x = ) + (N F ) δu(x = ) =. (3.51) Dieses Ergebnis erfordert eine eingehende Interpretation. Die Summe der in (3.51) auftauchenden einzenen Terme muss den Wert nu annehmen. Da jedoch in jedem dieser Terme ariationen der erschiebung u auftauchen, die beiebig sein können und zudem

Das Prinzip der virtueen errückungen: Formuierung für das Kontinuum 61 vokommen unabhängig voneinander sind, kann (3.51) im Agemeinen nur dann erfüt werden, wenn jeder der dort auftretenden Terme zu nu wird. As erstes woen wir den Integraterm in (3.51) näher betrachten: (N + n) δudx =. (3.5) Die triviae Lösung δu = ist hier nicht weiter von Beang, so dass as einzige Mögichkeit, diese Geichung zu erfüen, das Nusetzen des Kammerterms im Integra in (3.5) verbeibt: N + n =. (3.53) Offenbar ist dies der bereits aus einer einfachen Geichgewichtsforderung abgeeitete Zusammenhang (3.43) zwischen der Normakraft N und der Streckenast n des Stabes. Der zweite Term in (3.51) beinhatet die Aussage, dass an der Stee x = entweder die Normakraft N verschwindet (was einem freien Stabende entspräche), oder dass die ariation δu verschwinden muss: entweder δu(x = ) = oder N(x = ) =. (3.54) erschwindet die ariation δu der erschiebung u, dann ist das geichbedeutend damit, dass die erschiebung u seber an dieser Stee einen festen vorgegebenen Wert u (x = ) = u (z.b. den Wert u = ) annehmen muss. Am gegebenen Beispie mit einer festen Einspannung bei x = iegt natürich dieser Fa vor, so dass man as erste Randbedingung erhät: u(x = ) = u =. (3.55) Dies entspricht der bereits eementar aus der Anschauung hergeeiteten ersten Randbedingung in (3.44). Bei einer vorgegebenen erschiebung u und einer damit verschwindenden ersten ariation δu = wird die Normakraft N an dieser Stee im Agemeinen nicht zu nu werden. iemehr wird die Normakraft an der Stee x = in diesem konkreten Fae die aus der gegebenen äußeren Beastung resutierende Aufagerkraft sein. Der dritte Ausdruck in (3.51) iefert anaog zu den vorherigen Betrachtungen die fogende Aussage: entweder δu(x = ) = oder N(x = ) F =. (3.56) Für das hier betrachtete Beispie kommt nur die zweite Aternative in Frage: N(x = ) = F. (3.57) Das ist identisch mit der bereits eementar aus der Anschauung hergeeiteten zweiten Randbedingung in (3.44). Insgesamt zeigt sich, dass das Prinzip der virtueen errückungen nicht nur die Geichgewichtsbedingungen eines betrachteten Systems iefert, sondern auch auf eindeutige Art und Weise auf ae potentie mögichen zugehörigen Randbedingungen führt. Diese sind für das hier betrachtete sehr einfache Beispie auch eindeutig aus der Anschauung bzw. aus eementaren Geichgewichtsbedingungen hereitbar, aerdings ist das Prinzip der virtueen errückungen bei einer iezah von kompexeren Aufgabensteungen von unschätzbarem Wert. Es führt stets auf Aussagen, die in den zugrundeiegenden Kraftgrößen formuiert sind.

6 Das Prinzip der virtueen errückungen 3.7 Das Einheits-erschiebungs-Theorem Ein Theorem, das sich direkt aus dem Prinzip der virtueen errückungen hereiten ässt, ist das sog. Einheits-erschiebungs-Theorem, das nachfogend kurz vorgestet wird. Betrachtet werde ein Festkörper, der ausschießich durch die Einzekraft F beaufschagt wird, die am Punkt P angreift. Das Prinzip der virtueen errückungen δw i = δw a autet dann: σ ij δε ij d = F δw P. (3.58) Hier kann man von der Tatsache Gebrauch machen, dass die virtuee errückung und damit auch die virtuee erschiebung δw P des Punktes P beiebig ist und man daher auch einfach einen Einheitsvektor e ansetzen kann. Man erhät: σ ij δε ij d = F. (3.59) Das Einheits-erschiebungs-Theorem kann damit aso eingesetzt werden, um an diskreten Punkten eines gegebenen Systems Einzekräfte und Einzemomente oder diskrete erschiebungen und erdrehungen an Last- und Momentenangriffspunkten zu bestimmen. Hierzu muss jedoch das erschiebungsfed in Form diskreter erschiebungen oder erdrehungen an denjenigen Punkten voriegen, an denen die Formänderungen bzw. Kraftgrößen bestimmt werden soen. Wir woen diese diskreten erschiebungen und erdrehungen agemein as die sog. generaisierten Freiheitsgrade q j bezeichnen, wobei j den Ort bezeichnet. Seien aso die virtueen Arbeiten δw i und δw a as Funktionen soch generaisierter Freiheitsgrade q j gegeben. Dann git für die virtuee innere Arbeit δw i : Anaog git dies für die virtuee äußere Arbeit: Da δw i = δw i (q 1, q,..., q n ) = W i q j δq j. (3.6) δw a = δw a (q 1, q,..., q n ) = W a q j δq j. (3.61) W a q j = F j (3.6) git (wobei F j diejenige Kraftgröße ist, die mit dem generaisierten Freiheitsgrad q j zusammenhängt), ergibt sich aus dem Prinzip der virtueen errückungen δw i = δw a : bzw. W i q j δq j = W a q j δq j = F j δq j, (3.63) W i q j = F j. (3.64) Leitet man aso die erzerrungsenergie / innere Arbeit W i partie nach dem generaisierten Freiheitsgrad q j ab, so erhät man die mit diesem Freiheitsgrad assoziierte Kraftgröße. Hierin können die q j sowoh erschiebungen as auch erdrehungen an der Stee j sein, und demnach kann die Größe F j sowoh eine Einzekraft as auch ein Einzemoment sein.

Das Einheits-erschiebungs-Theorem 63 i Um die partiee Abeitung W bestimmen zu ko nnen betrachten wir den Zusammenhang qj mit der zugeho rigen erzerrungsenergiedichte U : Z Z Wi U = d. (3.65) U d = qj qj qj An einem inear-eastischen Stab ergibt sich mit U = 1 Eu demnach: U = Eu u. qj qj (3.66) Damit fogt aus (3.65): Z Z Z Wi U EAu = d = Eu u d = u dx = Fj. qj qj qj qj (3.67) Einen a hnichen Ausdruck kann man fu r den Euer-Bernoui-Baken anschreiben: Z EIyy w w dx = Fj. (3.68) qj Wir woen die orgehensweise am in Abb. 3.1 gegebenen Stabzweischag era utern, fu r den die beiden eingezeichneten erschiebungen u und w des Kraftangriffspunktes gesucht werden. Beide Sta be 1 und weisen die geiche Dehnsteifigkeit EA auf. Am Geenk zwif F EA w 45 1 EA u w w -D1 w u w u u u w u -D Abb. 3.1: Stabzweischag unter Einzekraft F (inks oben), verformte Struktur mit Knotenverschiebungen (rechts oben), Detais der erschiebungen (unten). schen den beiden Sta ben greift eine Einzekraft F an. Wir bringen am Knoten nun anstatt der reaen erschiebungen u und w die beiden virtueen erru ckungen δu und δw auf und betrachten die geeisteten virtueen Arbeiten: Z Z F δw = N1 δε1 dx + N δε dx, (3.69)

64 Das Prinzip der virtueen errückungen wobei N 1 und N sowie δε 1 und δε die Normakräfte bzw. die virtueen Dehnungen der Stäbe 1 und sind. Man beachte, dass die virtuee errückung δu in dieser Arbeitsbianz nicht auftaucht. Aus eementaren geometrischen Betrachtungen kann man für die Stabdehnungen fogendes ermitten (s. Abb. 3.1, unten): ε 1 = 1 = 1 1 ( u) + w. (3.7) Da wir von erschiebungen u und w sowie virtueen erschiebungen δu und δw ausgehen, die infinitesima kein sind, können wir vereinfachend annehmen, dass sich die Dehnung ε 1 im Wesentichen aus der erschiebung u ergibt, so dass git: Anaog erhaten wir für die Stabdehnung ε : Für die virtueen Dehnungen git dann: δε 1 = δu, ε 1 u. (3.71) ε u w. (3.7) δε = Die Arbeitsgeichung (3.69) geht dann über in: δu F δw = N 1 dx + δu δw. (3.73) δu δw N dx. (3.74) An dieser Stee kann man das Konstitutivgesetz des Stabes ins Spie bringen wie fogt: Damit erhät man für (3.74): N 1 = EAε 1 = EA u, F δw = EA u N = EAε = EA u w. (3.75) δu dx + EA u w bzw. nach Ausführen der Integrationen: F δw = EA EA uδu + (u w)δu 4 4 δu δw dx, (3.76) EA (u w)δw. (3.77) An dieser Stee wird Gebrauch von der Tatsache gemacht, dass die virtueen errückungen (hier δu und δw) beiebig sein dürfen, soange sie den gegebenen Randbedingungen genügen. Wir setzen aso zum Einen in (3.77) δu = 1 und δw = und erhaten: EA u + EA (u w) =. (3.78) 4 Andererseits verwenden wir (3.77) und setzen δu = und δw = 1, was auf die fogende Geichung führt: EA (w u) = F. (3.79) 4

Das Einheits-erschiebungs-Theorem 65 Mit (3.78) und (3.79) stehen somit zwei Geichungen bereit, um die gesuchten erschiebungen u und w des Kraftangriffspunktes zu ermitten. Man erha t: F F, w = 1+. (3.8) u= EA EA Die orgehensweise im Rahmen des Einheits-erschiebungs-Theorems sei desweiteren am Kragarm der Abb. 3.11 era utert, der durch eine Einzekraft an seinem Ende beastet wird. Am Kraftangriffspunkt ergibt sich die erschiebung w (x = ) = we, und wir woen die Biegeinie w(x) in Abha ngigkeit von we beschreiben und abschießend den Betrag von we ermitten. Hierin spiet aso die Durchbiegung we die Roe des generaisierten Freiheitsgrades q, wobei hier der Index j entfaen kann. Wir o sen das gegebene Probem, F x EI we Abb. 3.11: Kragarm unter Einzekraft F. indem wir die Biegeinie durch vierfache Integration des Konstitutivgesetzes EIw = q ermitten: EIw = q =, EIw = Q = C1, EIw = M = C1 x + C, 1 EIw = C 1 x + C x + C 3, 1 1 EIw = C 1 x3 + C x + C 3 x + C 4. 6 (3.81) Das Auswerten der beiden Randbedingungen w (x = ) = und w (x = ) = ergibt sofort C3 = C4. Auswerten der Randbedingung Q(x = ) = C1 = F ergibt C1 = F. Aus der verbeibenden Bedingung w (x = ) = we erhaten wir: 1 1 3 1 F + C = w e, (3.8) EI 6 was wir nach der verbeibenden Konstanten C aufo sen ko nnen: C = EIwe F +. 3 (3.83) Damit ko nnen wir die Biegeinie w(x) des Bakens in Abha ngigkeit von we darsteen as: 1 1 3 x EIwe F w (x) = Fx + +. (3.84) EI 6 3 Die zweite Abeitung autet dann: w (x) 1 = EI EIwe F F x + +. 3 (3.85)

66 Das Prinzip der virtueen errückungen Die partiee Abeitung von w nach q = w e ergibt: q w =. (3.86) Damit können (3.68) auswerten und erhaten nach einigen wenigen Umformungen: w e = F 3 3EI. (3.87) Die Schwierigkeit bei erwendung des Einheits-erschiebungs-Theorems für die Anayse von Stabwerken besteht i.a. darin, die auftretenden erschiebungs- und erzerrungsfeder durch die generaisierten Freiheitsgrade auszudrücken, was die Anwendung einigermaßen umständich machen kann. Wir werden daher dieses Theorem im weiteren erauf dieses Buches nicht weiter betrachten.