Herleitung der LG 2. Art Ausgangspunkt: 3N Koordinaten mit R Zwangsbedingungen: Anzahl Freiheitsgrade LG 1. Art (N2 mit Zwangskräften): Ziel: Wähle verallgemeinerte Koordinaten, so, dass die Zwangsbedingungen automatisch erfüllt sind; forme die LG 1. Art mittels der Variablen-Transformation x = x(q,t) so um, dass sie nur von und t abhängen. Vorschau auf das Endergebnis der Umformung: "LG 2. Art" "Euler-Lagrange-Gl." Lagrange-Funktion: Bemerkungen: LG2 = "Weltformel der Mechanik"! Lagrange-Gl. 2.ter Art sind f = 3N - R Differentialgleichungen 2. Ordnung für 3N - R Koordinaten, mit Anfangsbedingungen L(q,q,t) ist nicht eindeutig: verschiedene Wahl v. q möglich L(q,q,t) ist nicht messbar, aber sehr nützliche theoretische Größe! Vorzüge der Lagrange-Gl. 2. Art: (i) f = 3N - R Gleichungen für statt 3N + R Gleichungen für bei Lagrange-Gl. 1 (ii) L ist ein Skalar, und somit viel leichter zu bestimmen als Bewegungsgleichungen (= Vektor-Gleichungen) (iii) L hat oft eine sehr einfache Form (iv) Erhaltungsgrößen lassen sich leicht von L ablesen
Zusammenfassung: Herleitung der LG 2. Art Schritt 1: Einführung von Verallgemeinerten Koordinaten so, dass alle Zwangsbedingungen "automatisch" erfüllt sind: Schritt 2: Finde "erlaubte Hyperfläche": erlaubte Verrückung (die ZB nicht verletzt): Schritt 3: Projektion der Bwgl. auf erlaubte Hyperfläche Schritt 4: Eliminierung der Projektion der Beschleunigung auf Hyperflächen, Schritt 5: Ergebnisse sammeln: Ausgangspunkt: LG 1. Art für N Teilchen in 3D Zwangsbedingungen: Zwangskräfte: LG1: Gleichungen für die Komponenten :
Beispiel: Perle auf rotierender Stange Zwangsbedingung sei: Potenzial sei: ZB: Richtung der Zwangskraft wird bestimmt durch: (siehe Zwischenrechnung auf S. 41a) LG1 (40.5): Zwischenrechnungen
Schritt 1: Einführung von Verallgemeinerten Koordinaten Leitidee von LG2: (für Situationen, wo man nicht an der genauen Form der Zwangskraft interessiert ist) Wähle f "verallgmeinerte" oder "generalisierte" Koordinaten, mit so, dass alle Zwangsbedingungen "automatisch" erfüllt sind: für beliebige Kurznotation: Beispiel: ZB: automatisch erfüllt Schritt 2: Finde "erlaubte Hyperfläche" (Schnittmenge aller durch ZB festgelegten Hyperflächen) Kettenregel (1) gilt für alle und für alle!! Def.: "Virtuelle Verrückung": Komponenten = Vektor parallel zu allen HF, also eine Koordinatenänderung, die keine der ZB verletzt! Die virt. Verrückungen, bilden Basis für "erlaubte HF" am Punkt x: Beispiel: = erlaubte Hyperfläche = "Tangentenraum" = Unterraum von erlaubte HF = -Achse (ändert sich mit t!)
Beispiel in 3D: magnetische Scheibe auf rotierender Platte Zylinderkoordinaten: ZB: Verallg.Koordinaten: Virtuelle Verrückungen: HF: aufgespannt durch = Platte! Schritt 3: Projektion der Bwgl. auf erlaubte Hyperfläche "d'alembertsches Prinzip": Zwangsbedingungen sind somit komplett eliminiert!! Def.: Verallg. Kraft: Kettenregel für konservative Kräfte: Beispiel: [unterschiedliche funktionale Abhängigkeiten!! Trotzdem wird i. d. Regel dasselbe Symbol U benutzt]
Schritt 4: Eliminierung d. Projektion d. Beschleunigung auf Hyperflächen, Schritt 4a: Komponentenweise: Beispiel: Schritt 4: Eliminierung d. Projektion d. Beschleunigung auf Hyperflächen, Schritt 4b: Kinetische Energie T sei durch ausgedrückt: Kettenregel Damit ist die Projektion von auf die virtuelle Verrückung nun ausgedrück durch Ableitungen von T; also haben wir eliminiert.
Beispiel: Damit haben wir linke Seite von (36.4) reproduziert! Schritt 5: Kombiniere Ergebnisse von Schritten 3 und 4: Schritt 4 Schritt 3 Hieraus folgt der Satz: Für geschwindigkeitsunabhängige Potentiale, mit gilt: Definiere "Lagrange-Funktion": Lagrange-Gl. 2. Art:
Erhaltungsgrößen: Def.: "verallgemeinerter Impuls" : Def.: Falls für ein bestimmtes nicht von abhängt, sondern nur von d.h. ist eine "zyklische Koordinate". Satz: Für eine zyklische Koordinate ist der verallg. Impuls erhalten. Beweis: Beispiel: 2D harm. Oszillator: ist zyklisch: Drehimpuls = erhalten