5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen Wachstumsprozess, so ist die Wachstumsgeschwindigkeit von Interesse oder auch die relative Wachstumsrate. Ist f eine Steuerfunktion, so ist die Frage bedeutend, welcher Steuerprozentsatz auf einen kleinen Zuverdienst zu zahlen ist. Für ein Unternehmen ist interessant, wie sich die (relative) Nachfrage nach einem Produkt bei (relativ) kleinen Preisänderungen ändert. Wichtig ist auch die Bestimmung von Extremwerten ökonomischer Größen, etwa die Minimierung von Kosten oder die Maximierung von Gewinnen. Bei der Beantwortung dieser Fragen ist die Differenzialrechnung nützlich.
Alle Funktionen in diesem Kapitel sind stets von der Form f : D R wobei D R der Definitionsbereich ist. Also gibt es für jedes x D einen Funktionswert f(x). Beispiel 5. Angenommen, die Kostenfunktion eines Unternehmens für die Produktion von x Stücken eines Gutes sei gegeben durch K(x) = 20 x + 00. Nun ist das Unternehmen daran interessiert, wie sich die Kosten bei kleiner Änderung der Produktionsmenge verändern. Eine standardisierte Information ist hierbei zum Beispiel, wie sich K(x) ändert, wenn man x um eine Einheit erhöht. Die Änderung ist dann K(x + ) K(x). Es sollte klar sein, dass eine solche Änderung von der Ausgangszahl x abhängt. Etwa ist K(0) K(00) = 20( 0 00) 0, 998, K(00) K(000) = 20( 00 000) 0, 36. 2
Zieht man auch andere Änderungen von x in Betracht, so ist es sinnvoll, die relative Änderung der Kosten im Verhältnis zur Änderung von x zu berechnen. Das ist der Quotient K(x + h) K(x) (x + h) x = K(x + h) K(x) h (etwa für die Werte h =, 0., 0.0) und gibt die durchschnittliche Kostenänderung pro zusätzlicher Mengeneinheit an. In der folgenden Tabelle sind diese relativen Änderungen für einige Werte von x und h angegeben. K(x+) K(x) K(x+0,) K(x) 0, K(x+0,0) K(x) 0,0 x 0 3,087 3,54 3,6 00 0,998 0, 0, 000 0,36 0,36 0,36 Man sieht, dass sich für kleine Werte von x die Änderung von x stärker auf die relative Änderung der Kosten auswirkt als für große 3
Werte. Das kann man auch am Graphen sehen, denn die Funktionswerte unterscheiden sich in der Nähe von x = 0 stärker voneinander als etwa bei x = 00 oder x = 000. 800 700 600 500 400 300 200 00 0 200 400 600 800 000 200 x Man sieht, dass die obige Situation durch die Steigung des Graphen erklärt wird. 4
5. Differenziation Bevor wir eine formale Definition der Ableitung einer Funktion angeben, soll zunächst beschrieben werden, wie man die Steigung einer (krummlinigen) Funktion in einem Punkt festlegen und bestimmen kann. Steigung einer Funktion in einem Punkt. Ist f : R R eine Gerade, so ist die Steigung des zugehörigen Graphen an jeder Stelle gleich und lässt sich durch ein Steigungsdreieck ermitteln. Die Steigung ist definiert als Höhe durch Breite eines Steigungsdreiecks, also f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ). (x 0 + h) x 0 h 5
70 60 x0=2, h=2 x=5,h =4 50 40 f(x+h )-f(x) 30 20 0 h h f(x0+h)-f(x0) 0 2 4 6 8 0 2 x Hierbei spielt es offensichtlich keine Rolle, wo das Dreieck eingezeichnet wird und wie weit die beiden Stellen x 0 und x 0 + h auseinanderliegen. Sie ist also unabhängig von x 0 und h. Ist f(x) = cx + d, so ist f(x 0+h) f(x 0 ) h = ch h = c. 2. Ist nun f : D R eine Funktion mit einem krummlinigen Graphen, so lassen sich immer noch Steigungsdreiecke zu gegebenen Stellen x 0 und x 0 +h zeichnen; die daraus resultierende 6
Größe f(x 0 + h) f(x 0 ) (5.) h hängt nun aber im allgemeinen sowohl von x 0 als auch von h ab (siehe Beispiel 5.). Sie gibt die (relative) Veränderung der Funktionswerte im Verhältnis zu den x-werten an. Außerdem lässt sie sich als durchschnittliche Steigung von f auf dem Abschnitt [x 0, x 0 +h] auffassen. Das ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 0 + h, f(x 0 + h)) geht. In diesem Zusammenhang heißen diese Geraden auch Sekanten. Man benutzt nun diese Steigungsdreiecke für einen Grenzprozess: wählt man h immer kleiner, so rückt der Punkt x 0 + h immer näher an x 0, das Steigungsdreieck wird immer kleiner und die Größe (5.) liefert die Steigung auf einem sehr kleinen Abschnitt in der Nähe von x 0. Falls dieser Grenzprozess einen Grenzwert hat, etwa h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 7 = a,
so nennt man a die Ableitung von f an der Stelle x 0. Als Grenzwert der Sekanten erhält man dann gerade die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 0. Deren Steigung ist a. 8
Differenzenquotient, Differenzialquotient, Ableitung Sei D ein offenes Intervall, f : D R eine Funktion und x 0 D. ein Differenzenquoti-. Für h R\{0} heißt f(x 0+h) f(x 0 ) h ent von f. 2. Die Funktion f heißt an der Stelle x 0 differenzierbar, falls der Grenzwert h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h In diesem Fall wird die Notation f (x 0 ) := h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h existiert. benutzt. Der Grenzwert f (x 0 ) heißt Ableitung von f an der Stelle x 0. 9
Ist f an jeder Stelle x D differenzierbar, dann heißt f differenzierbar auf D, und die Funktion f : D R heißt Ableitung von f. Beachte, dass das Symbol h 0 für den beidseitigen Grenzwert steht. Man muss also sowohl positive als auch negative Werte für h betrachten! Die Größe h wird in der Literatur oft als x geschrieben. Sie steht für eine (kleine) Änderung der Argumente x. Für die zugehörige Änderung der Funktionswerte f(x + h) f(x) wird dann f geschrieben. 0
Bemerkung: Oft werden statt der Bezeichnungen x 0 und x 0 +h für die zwei Stellen auch x 0 und x gewählt. Setzt man h := x x 0, also x = x 0 + h, so lautet dann der Differenzenquotient f(x) f(x 0 ) x x 0 und die Ableitung, falls sie existiert, ist der Grenzwert f(x) f(x 0 ). x x 0 x x 0
Für kleine Werte von h (oder für x nahe bei x 0 ) ist der Differenzenquotient eine Annäherung an die Ableitung: f (x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) h = f(x) f(x 0) x x 0. Geometrisch bedeutet diese Approximation, dass die Funktion in der Nähe von x 0 durch die Tangente an der Stelle x 0 angenähert wird. Denn f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) und der Ausdruck auf der rechten Seite ist die Gleichung der Geraden mit Steigung f (x 0 ) durch den Punkt (x 0, f(x 0 )). 2
Beispiel 5.2. Lineare Funktion: Eine Funktion der Form f : R R, f(x) = c x + d ist eine lineare Funktion. Der Funktionsgraph ist die Gerade {(x, c x + d) x R} mit Steigung c. Sei nun x 0 R, dann ist für alle h R \ {0} der Differenzenquotient gegeben durch c(x 0 + h) + d (cx 0 + d) = ch h h = c. Der Differenzenquotient hängt weder von x 0 noch von h ab. Insbesondere ist f (x 0 ) = c für alle x 0 R. Die Funktion hat überall die gleiche Steigung. Die Ableitung f : R R ist somit die konstante Funktion f (x) = c für alle x R. 3
2. f(x) = x 3 : Mithilfe des binomischen Lehrsatzes erhält man für den Differenzenquotienten an der Stelle x f(x + h) f(x) h = (x + h)3 x 3 h = x3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 x 3 h = h(3x2 + 3xh + h 2 ) h = 3x 2 + 3xh + h 2 Damit ist der Grenzwert h 0 f(x + h) f(x) h Ähnlich lässt sich zeigen: = 3x 2 = f (x). f(x) = x n, dann ist f (x) = nx n. 4
3. f(x) = x : Die Betragsfunktion f : R R mit f(x) = x ist an der Stelle x 0 = 0 nicht differenzierbar. 5 4 3 2 4 2 2 4 x Offensichtlich lässt sich an der Stelle x 0 = 0 keine eindeutige Tangente einzeichnen. Die Steigung springt hier abrupt von auf. Genauer gesagt: Steigungsdreiecke, die links von x 0 = 0 liegen, liefern alle die Steigung, die, die rechts liegen, die Steigung. Daher existiert der beidseitige Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle x 0 = 0 nicht und die Funktion 5
ist dort nicht differenzierbar. Etwas genauer: h 0 0 + h 0 h h = h 0 h = h 0 weil h = h für h < 0 gilt. Entsprechend gilt h h =, h 0 0 + h 0 h weil h = h für h > 0 gilt. h = h 0 h = h 0 h h =, 6
Hat eine Funktion eine Sprungstelle an der Stelle x 0, so hat sie dort sicherlich keine Tangente. Genauer: Ist die Funktion f : D R in x 0 D differenzierbar, dann ist f auch stetig im Punkt x 0. Aber nicht jede stetige Funktion ist auch differenzierbar, wie die Betragsfunktion in Beispiel 5.2.3 zeigt. 7
Beispiel 5.3 (Ableitung einiger Grundfunktionen) Die Definitionsbereiche der unten stehenden Funktionen haben wir bereits in Kapitel 2 untersucht. f(x) c x n x α (α R) e x f (x) 0 n x n α x α e x f(x) a x (a > 0) ln( x ) log a ( x ) (a > 0, a ) f (x) ln(a) a x x x ln(a) f(x) sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) f (x) cos(x) sin(x) cos 2 (x) sin 2 (x) Speziell ist für f(x) = x = x die Ableitung f (x) = x 2 = x 2 und allgemein f(x) = x = n x n, dann f (x) = nx n = n x n+. 8
Mit den obigen Grundfunktionen und folgenden Rechenregeln lassen sich leicht die Ableitungen vieler Funktionen berechnen. Seien f, g : D R in einem Punkt x D differenzierbar. Dann sind auch die Funktionen f + g, f g : D R in x differenzierbar, und es gilt: Summenregel: (f + g) (x) = f (x) + g (x), Produktregel: (fg) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Als Spezialfall der Produktregel ergibt sich (λ f) (x) = λ f (x) für jede differenzierbare Funktion f und jede Zahl λ R. 9
Ist zusätzlich g(x) 0 für alle x D, dann ist die Funktion f g : D R in x differenzierbar mit Quotientenregel: ( ) f (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g g(x) 2 Etwas komplizierter ist die folgende Regel: Seien f : D R und g : E R Funktionen mit f(d) E, d.h. f(x) E für alle x D). Sei f in x D differenzierbar, und sei g in f(x) E differenzierbar. Dann ist auch g f an der Stelle x differenzierbar und es gilt Kettenregel: (g f) (x) = g (f(x)) f (x). 20
Beispiel 5.4. Für f(x) = 3x 5 0x 4 + 2x 3 7x 2 + 2 ist f (x) = 5x 4 40x 3 + 6x 2 4x. 2. Sei f(x) = 3x2 2x +. Dann ist 7x 5 f (x) = (6x 2)(7x 5) 7(3x2 2x + ) (7x 5) 2 = 2x2 30x + 3 (7x 5) 2 2
3. Für S(x) = sin 2 (x) können wir schreiben S = g f mit f(x) = sin(x) und g(x) = x 2. Daher ist S (x) = 2 sin(x) cos(x) Allgemein ist für eine Funktion f(x) = g(x) n f (x) = ng(x) n g (x). 4. Für f(x) = e (ax2 +bx+c) 2 ist mit der Kettenregel f (x) = e (ax2 +bx+c) 2 2 (ax 2 + bx + c) (2ax + b) 22
Als letzte Differenziationsregel betrachten wir Ableitung der Umkehrfunktion: Sei f : D R eine injektive stetige Abbildung, und sei f : f(d) R die Umkehrfunktion von f. Ist f in einem Punkt x D differenzierbar mit f (x) 0, dann ist f im Punkt y = f(x) differenzierbar, und es gilt (f ) (y) = f (f (y)) = f (x). 23
Beispiel 5.5 Sei f(x) = e x. Die Funktion ist injektiv. Die Umkehrfunktion ist gegeben durch g(y) = f (y) = ln(y). Nach Beispiel 5.3 ist f (x) = e x und daher f (x) 0 für alle x R. Die obige Rechenregel liefert g (y) = f (g(y)) = e ln(y) = y, wie es auch schon in Beipiel 5.3 angegeben ist. Es gilt sogar g ( y ) = y. 24
Man kann den Differenziationsprozess unter Umständen auch auf die Ableitung anwenden. Ableitungen höherer Ordnung: Sei f : D R eine differenzierbare Funktion. Ist die Ableitung f : D R ihrerseits in jedem Punkt x D differenzierbar, dann heißt f (x) = (f ) (x) die zweite Ableitung von f im Punkt x und die Funktion f : D R heißt zweite Ableitung von f. Allgemein heißt eine Funktion f : D R n-mal differenzierbar, n N, wenn die (n )-te Ableitung differenzierbar ist. Die n-te Ableitung wird auch mit f (n) : D R bezeichnet. Insbesondere wird f (0) = f gesetzt und es ist f () = f und f (2) = f. 25
Die Funktion f heißt oft differenzierbar, wenn alle Ableitungen f (n), n N, existieren. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung wird im nächsten Abschnitt erklärt. Beispiel 5.6 Mithilfe von Beispiel 5.3 und den üblichen Rechenregeln lassen sich folgende Ableitungen berechnen.. f(x) = ln(x): f (x) = x, f (x) = x 2, f (3) (x) = 2 x 3 = 2x 3, f (4) (x) = 6 x 4,... f (n) (x) = ( ) n (n )! x n 26
2. f(x) = x 5 2x 3 + x 2 0: f (x) = 5x 4 6x 2 + 2x, f (x) = 20x 3 2x + 2, f (3) (x) = 60x 2 2, f (4) (x) = 20x, f (5) (x) = 20, f (6) (x) = 0 = f (n) (x), für n 6 3. f(x) = 3e x : f (x) = 3e x, f (x) = 3e x,..., f (n) (x) = 3e x. Polynome, rationale Funktionen, die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich unendlich oft differenzierbar. 27
Es folgt nun noch ein Nachtrag zum Thema Grenzwerte von Funktionen. Wir hatten Beispiele von Funktionen gesehen, bei denen die üblichen Grenzwertregeln nicht weiterhelfen, etwa bei Quotienten von Funktionen, wo Zähler und Nenner für x x 0 beide gegen Null (oder beide gegen unendlich) konvergieren. Mithilfe der Differentiation ist es nun möglich, weitere Grenzwertregeln aufzustellen, mit denen sich etwa bestimmen lassen. x 0 ln(x 2 ) x x 3 oder e x 28
Regeln von de L Hospital: Seien D = (a, b)\{x 0 } mit a < x 0 < b und f, g : D R differenzierbare Funktion, sowie g (x) 0 auf D. Außerdem gelte f(x) = g(x) = 0 (5.2) x x 0 x x0 oder Dann gilt: f(x) = ± und g(x) = ±. (5.3) x x 0 x x0 Ist x x0 f (x) g (x) = α R, so ist x x 0 f(x) g(x) = α. (5.4) f(x) Die gleichen Aussagen gelten auch für Grenzwerte der Form x x0 g(x), f(x) x x0 g(x) und x ± f(x) g(x). 29
Man beachte, dass die Implikation (5.4) auch beinhaltet, dass im f (x) f(x) Falle der Konvergenz von der Grenzwert x x0 g (x) x x 0 g(x) überhaupt existiert. Es ist ganz wichtig, dass die Voraussetzungen (5.2) oder (5.3) erfüllt sind. Andernfalls liefert die Implikation (5.4) ein falsches Ergebnis. Das wird in Beispiel 5.7.8 illustriert. Wenn (5.2) und (5.3) beide nicht gelten, lässt sich der Grenzwert sowieso direkt bestimmen. Beispiel 5.7 0. 0 Seien f(x) = e x, g(x) = x und x 0 = 0. Dann ist (5.2) erfüllt und wegen ist mit (5.4): x 0 e x x 0 x f (x) g (x) = x 0 =. 30 e x =
2. Seien f(x) = x3 und g(x) = e x. Dann ist (5.3) für x erfüllt und iterative Anwendung der Regel von de L Hospital liefert: x 3 e x = f(x) g(x) = = f (x) g (x) = = f (3) (x) g (3) (x) = f (x) g (x) = 6x e x 6 e x = 0. 3x 2 e x 3. Seien f(x) = ex + 2 und g(x) = e 2x 2. Dann ist (5.3) für x erfüllt und daher e x + 2 e 2x 2 = e x = 2e2x 2e x = 0. 3
4. 0 Es soll ln(x)x bestimmt werden. Dies ist zwar kein x 0 Quotient, aber durch Umformen erhält man ln(x) x = x 0 x 0 = x 0 ln(x) x = x x 2 = x 0 ( x) = 0. 32
5. Seien f(x) = + a x und g(x) = x. Dann ist ( + x) a x = f(x) g(x) = e ln(f(x)) g(x) = e ln(+a x ) x. Nun ist der Exponent für x vom Typ 0 und daher ist wie in 3. ( ln + a ) ( ) ln + a x x = = x a x 2 + a x x 2 x = a + a x = a. Also ist ( + a ) x = e a. x 33
6. 0 Seien f(x) = x + und g(x) = 2 ln(x). Dann gilt 2 (x + ) ln(x) = f(x) g(x) = e ln(f(x)) g(x) = e ln(x+) 2 ln(x). Der Exponent ist für x vom Typ. Somit ist Also ist 2 ln(x + ) ln(x) = 2 x+ x (x + ) ln(x) 2 = e 2. = 2 x x + = 2. 34
7. 0 0 Für f(x) = x 3 x und g(x) = ln(x) gilt ( ) x3 x ln(x) = f(x) g(x) = x 0 x 0 x 0 e ln(f(x)) g(x) = e ln( x3 x ) ln(x) = e x 0 x 0 2 ln(x)+x ln(3) ln(x). Der Exponent ist für x 0 vom Typ, also x 0 2 ln(x) + x ln(3) ln(x) = x 0 = x 0 2x + ln(3) ( x ) 2 + x ln(3) = 2. ( Damit ist ) x3 x ln(x) = e. x 0 35
8. Abschließend noch ein Beispiel, das die Notwendigkeit der Voraussetzung (5.2) oder (5.3) zeigt. Betrachte f(x) = e 2x 2 und g(x) = e x + 2. Es soll x f(x) g(x) bestimmt werden. Allein die Regel (5.4) würde wegen f (x) x g (x) = 2e 2x x e = x x 2ex = 0 (5.5) den Grenzwert 0 für (5.5) liefern. Das ist aber falsch, denn wegen x ex = 0 ist f(x) = 2 und g(x) = 2, x x folglich erhalten wir den korrekten Grenzwert f(x) x g(x) =. Offensichtlich sind weder (5.2) noch (5.3) erfüllt, deshalb darf man (5.4) nicht anwenden. 36