11.04.2006
Inhalt
Inhalt Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile Ruhelagen.
Inhalt Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile Ruhelagen. Idee: Potential V (x) = x 4 /4 x 2 /2
Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile Ruhelagen. Idee: Potential V (x) = x 4 /4 x 2 /2 2 Potential V(x) = x 4 /4 x 2 /2 für die Duffing Gleichung 1.5 1 V(x) 0.5 0 0.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 x
Inhalt 2. Newton sches Axiom: F = m a
2. Newton sches Axiom: F = m a Der Gradient von V bestimmt die Kraft.
2. Newton sches Axiom: F = m a Der Gradient von V bestimmt die Kraft. Potentialsystem: x = V = x x 3
Inhalt Zusätzlich betrachten wir Reibung z.b. durch Luft:
Zusätzlich betrachten wir Reibung z.b. durch Luft: x + δx x + x 3 = 0.
Inhalt Periodische Bewegung des Aufbaus:
Inhalt Periodische Bewegung des Aufbaus: x + δx x + x 3 = γ cos(ωt).
Inhalt Periodische Bewegung des Aufbaus: x + δx x + x 3 = γ cos(ωt).
Vereinfachungen:
Vereinfachungen: lineare Reibung
Vereinfachungen: lineare Reibung Modellierung der Magnetfelder
Vereinfachungen: lineare Reibung Modellierung der Magnetfelder eine Raumdimension
Krümmung im Ursprung des Stabs als Maß für die Auslenkung x(t).
Krümmung im Ursprung des Stabs als Maß für die Auslenkung x(t). Für γ nahe bei 0: periodische Bewegungen um einen der Magnete.
Krümmung im Ursprung des Stabs als Maß für die Auslenkung x(t). Für γ nahe bei 0: periodische Bewegungen um einen der Magnete. Für große γ: anscheinend chaotische Oszillationen
Beispiel für einen chaotischen Parameterwert
Beispiel für einen chaotischen Parameterwert (a) Beobachtungen (b) Simulation der Modellgleichung siehe [Guckenheimer, Holmes]
Zunächst: γ = 0, δ > 0.
Zunächst: γ = 0, δ > 0. Neuer Parameter β für den linearen Steifheitsterm.
Zunächst: γ = 0, δ > 0. Neuer Parameter β für den linearen Steifheitsterm. Umschreiben in ein System erster Ordnung: u = x, v = x u = v v = βu u 3 δv.
Ruhelagen:
Ruhelagen: (0, 0) für β < 0, d.h. schwache Magnete
Ruhelagen: (0, 0) für β < 0, d.h. schwache Magnete ( β 2, 0), (0, 0), (β 2, 0) für β > 0, d.h. starke Magnete
v Inhalt Trajektorien für γ = 0, δ = 0.25 und β = 0.5 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 u
v Inhalt Trajektorien für γ = 0, δ = 0.25 und β = 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 u
Zum Vergleich der Fall ohne Reibung: δ = 0 :
Zum Vergleich der Fall ohne Reibung: δ = 0 : Mit H(u, v) := v 2 2 β u2 2 + u4 4 gilt: u = v H = v v = u H = βu u 3
Zum Vergleich der Fall ohne Reibung: δ = 0 : Mit H(u, v) := v 2 2 β u2 2 + u4 4 gilt: u = v H = v v = u H = βu u 3 Das System ist also Hamilton sch.
1.5 Phasenportrait für γ, δ = 0 und β = 0.5 2.5 1 0.5 2 x 0 1.5 0.5 1 1 0.5 1.5 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 x
1.5 Phasenportrait für γ, δ = 0 und β = 1 1 1 0.8 0.5 0.6 x 0 0.4 0.5 0.2 1 0 0.2 1.5 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 x
Wirkung der Reibung:
Wirkung der Reibung: Das Geschwindigkeitsfeld wird nach innen gedreht.
v Inhalt Trajektorien für γ = 0, δ = 0.25 und β = 0.5 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 u
v Inhalt Trajektorien für γ = 0, δ = 0.25 und β = 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 u
β = 1, θ = t
β = 1, θ = t Wir erhalten ein autonomes System: u = v v = u u 3 δv + γcos(ωθ) θ = 1 für (u, v, θ) R 2 S 1.
Hyperebene im Phasenraum: S = {(u, v, θ) R 2 S 1 θ = 0}.
Hyperebene im Phasenraum: S = {(u, v, θ) R 2 S 1 θ = 0}. Poincaré Abbildung: P γ : S S
Hyperebene im Phasenraum: S = {(u, v, θ) R 2 S 1 θ = 0}. Poincaré Abbildung: P γ : S S P 0 = Zeit- 2π ω Abbildung
Erklärungsansatz für das komplexes Verhalten: invariante Mannigfaltigkeiten des hyperbolischen Fixpunkts p nahe (0, 0).
Erklärungsansatz für das komplexes Verhalten: invariante Mannigfaltigkeiten des hyperbolischen Fixpunkts p nahe (0, 0). W s (p) = {(u, v) d(p n γ (u, v), p) 0 für n } W u (p) = {(u, v) d(p n γ (u, v), p) 0 für n }
siehe dazu Abbildung in [Guckenheimer, Holmes]
Sei B der Abschluß einer offenen Menge in S mit der Eigenschaft P n γ (B) B für n > 0.
Sei B der Abschluß einer offenen Menge in S mit der Eigenschaft Pγ n (B) B für n > 0. Weiter sei A γ = Pγ n (B). n=0
Divergenz der Duffing-Gleichung: u (v) + v (u u 3 δv + γcos(ωθ)) + θ (1) = δ
Divergenz der Duffing-Gleichung: u (v) + v (u u 3 δv + γcos(ωθ)) + θ (1) = δ Der Fluss und damit P γ kontrahieren also Volumen.
Divergenz der Duffing-Gleichung: u (v) + v (u u 3 δv + γcos(ωθ)) + θ (1) = δ Der Fluss und damit P γ kontrahieren also Volumen. A γ ist also eine Nullmenge im R 2.
siehe dazu Abbildung in [Guckenheimer, Holmes]
Vermutung: A γ = W u (p)
Vermutung: A γ = W u (p) Annahme: γ hinreichend klein.
Vermutung: A γ = W u (p) Annahme: γ hinreichend klein. Poincaré-Bendixson: alle Orbits für Punkte x B W s (p) streben gegen eine der asymptotischen Ruhelagen
Vermutung: A γ = W u (p) Annahme: γ hinreichend klein. Poincaré-Bendixson: alle Orbits für Punkte x B W s (p) streben gegen eine der asymptotischen Ruhelagen A γ enthält also die Ruhelagen.
Idee: Verbinde x W s (p) mit y B durch eine Kurve.
Idee: Verbinde x W s (p) mit y B durch eine Kurve. x strebt gegen p und y gegen eine der stabilen Ruhelagen.
Idee: Verbinde x W s (p) mit y B durch eine Kurve. x strebt gegen p und y gegen eine der stabilen Ruhelagen. Aus dem Satz über Graphen-Transformation folgt das
Idee: Verbinde x W s (p) mit y B durch eine Kurve. x strebt gegen p und y gegen eine der stabilen Ruhelagen. Aus dem Satz über Graphen-Transformation folgt das alle Punkte der Kurve gegen Punkte aus W u (p) konvergieren.
Für große γ ist die Aussage noch nicht bewiesen.
Literatur Inhalt John Guckenheimer, Philip Holmes, Nonlinear Oscillation, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer Verlag