Formelsammlung der Matrizenrechnung von Christian Voigt und Jürgen Adamy Technische Universität Darmstadt Oldenbourg Verlag München Wien
Notation 1 1 Grundlagen 7 1.1 Grundlagen der Matrizenrechnung 7 1.1.1 Definition einer Matrix 7 1.1.2 Relationen 7 1.1.3 Nullmatrix 8 1.1.4 Einheitsmatrix 8 1.1.5 Standardmatrix 8 1.1.6 Nichtnegative Matrix 8 1.1.7 Transponierte Matrix 8 1.2 Matnxoperatoren 9 1.2.1 Matrixaddition 9 1.2.2 Matrixmultiplikation 9 1.2.3 Skalarmultiplikation 10 1.2.4 Potenz 11 1.2.5 Kronecker-Produkt 11 1.2.6 Kronecker-Summe 12 1.2.7 Elementweise Multiplikation 13 1.3 Vektoren 13 1.3.1 Skalarprodukt 13 1.3.2 Dyadisches Produkt 14 1.3.3 Kreuzprodukt 14 1.3.4 Spatprodukt 15 1.3.5 Verallgemeinertes Kreuzprodukt 15 1.4 Definitionen 16 1.4.1 Spur 16 1.4.2 Bild 17 1.4.3 Kern 17 1.4.4 Kofaktor 17 1.4.5 Adjungierte Matrix 17 1.4.6 Untermatrix 18 1.4.7 Vec-Operator 18 1.4.8 Diagonale 19 1.4.9 Diagonaloperator 19
VIII 2 Determinanten 21 2.1 Definition der Determinante 21 2.1.1 Unterdeterminanten 21 2.1.2 Minor 21 2.1.3 Formale Determinante 21 2.2 Berechnung 22 2.2.1 2 x 2-Matrizen 22 2.2.2 3 x 3-Matrizen - Regel von Sarrus 22 2.2.3 n x n-matrizen - Laplace'scher Entwicklungssatz 23 2.2.4 Rechenregeln 23 2.3 Hadamard-Ungleichung 24 3 Lösen linearer Gleichungssysteme 25 3.1 Gleichungssysteme mit Matrizen 25 3.1.1 Lineares Gleichungssystem (LGS) 25 3.1.2 Lineare Unabhängigkeit 25 3.1.3 Rang 26 3.1.4 Regularität 26 3.1.5 Singularität 26 3.2 Lösbarkeit 26 3.2.1 Eindeutige Lösbarkeit 27 3.2.2 Überbestimmtes Gleichungssystem 27 3.2.3 Unterbestimmtes Gleichungssystem 27 3.2.4 Homogene und inhomogene Lösung 27 3.3 Die inverse Matrix 27 3.3.1 Definition 27 3.3.2 Lösen eines LGS mit der inversen Matrix 28 3.3.3 Berechnung 28 3.3.4 Rechenregeln 28 3.4 Pseudoinverse 29 3.4.1 Definition 29 3.4.2 Lösen eines LGS mit der Pseudoinversen 29 3.4.3 Berechnung 29 3.4.4 Rechenregeln 30 3.5 Cramer'sche Regel 30 3.6 Gayß'scher Algorithmus 30 3.6.1 Elementare Zeilenumformungen 31 3.6.2 Pivotelement 31 3.6.3 Stufenformen 31 3.6.4 Gauß'sches Eliminationsverfahren 32 3.6.5 Bestimmung des Ranges einer Matrix 33 3.6.6 Lösen eines LGS 33 3.6.7 3.6.8 3.7 3.7.1 3.7.2 3.7.3 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.7 4.7.1 4.7.2 4.7.3 4.7.4 4.7.5 4.7.6 4.8 4.8.1 4.8.2 4.9 4.9.1 4.10 4.11 4.11.1 4.11.2 4.11.3 4.12 4.12.1 4.12.2 4.12.3 Bestim Gauß-I Lösung LR-Zei Choles QR-Ze Eigem Eigenv Snektri
IX 3.6.7 Bestimmung der Inversen (Gauß-Jordan-Algorithmus) 34 3.6.8»Gauß-Elimination mit Spaltenpivotsuche 34 3.7 Lösung von LGS mittels Zerlegungen 34 3.7.1 LR-Zerlegung 34 3.7.2 Cholesky-Zerlegung 35 3.7.3 QR-Zerlegung 35 4 Eigenwerte und Eigenvektoren 37 4.1 Eigenwertproblem 37 4.2 Spektrum 37 4.3 Spektralradius 37 4.4 Charakteristisches Polynom 38 4.5 Minimalpolynom 38 4.6 Vielfachheit 39 4.6.1 Algebraische Vielfachheit 39 4.6.2 Geometrische Vielfachheit 39 4.6.3 Eigenschaften 39 4.7 Berechnung 40 4.7.1 Matrizen n-ter Ordnung 40 4.7.2 Matrix 2. Ordnung 40 4.7.3 Matrix 3. Ordnung 40 4.7.4 Komplexe Matrizen 41 4.7.5 Rechenregeln 41 4.7.6 Iterative Berechnung des charakteristischen Polynoms 42 4.8 Hauptvektoren 42 4.8.1 Definition 42 4.8.2 Berechnung 42 4.9 Allgemeines Eigenwertproblem 43 4.9.1 Lösen des allgemeinen Eigenwertproblems 43 4.10 Rayleigh-Quotient 43 4.11 Cayley-Hamilton-Theorem 44 4.11.1 Definition 44 4.11.2 Folgerungen 44 4.11.3 Anwendung 45 4.12 Singulärwertzerlegung 45 4.12.1 Singulärwerte und Singulärvektoren 46 4.12.2 Berechnung 47 4.12.3 Rechenregeln 48
X Inhaltsverzeichni 5 Differentiation 49 5.1* Gradient 49 5.2 Hesse-Matrix 49 5.3 Jacobi-Matrix 49 5.4 Differentiale 50 5.5 Einfache Fälle 51 5.5.1 Ableitung von Produkten 52 5.5.2 Ableitung von Determinanten 53 5.5.3 Ableitung von Logarithmen 53 5.5.4 Ableitung von Spuren 54 5.5.5 Ableitung inverser Matrizen 55 5.6 Allgemeine Ableitung 55 5.6.1 Definition 55 5.6.2 Kettenregel 55 5.6.3 Ruhelagen 56 5.6.4 Richtung der größten und kleinsten Änderungsrate 56 6 Normen und Störungstheorie 57 6.1 Vektornormen 57 6.1.1 Vektornormaxiome 57 6.1.2 p-norm 57 6.1.3 Betragssummennorm 57 6.1.4 Euklidische Norm 58 6.1.5 Maximumnorm 58 6.1.6 Ungleichungen 58 6.1.7 Vektornormrelationen 58 6.2 Matrixnormen 59 6.2.1 Definition 59 6.2.2 Matrixnormaxiome 59 6.2.3 ' Zeilensummennorm 59 6.2.4 Spaltensummennorm 60 6.2.5 Spektralnorm 60 6.2.6 Frobeniusnorm 60 6.2.7 Ky-Fan-Norm 60 6.2.8 Matrix-Maximumnorm 60 6.2.9 Matrixnormrelationen 61 6.2.10 Logarithmische Matrixnorm 61 6.3 Störungstheorie 62 6.3.1 Fehler und Residuum 62 6.3.2 Kondition einer Matrix 63 6.3.3 Abschätzung der Auswirkungen 63 6.4 Eigenwertabschätzung 64 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.5 7.5.1 7.5.2 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 8 8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4 8.1.5 8.1.6 8.1.7 8.1.8 8.1.9 8.1.10 8.1.11 8.1.12 8.1.13 8.1.14 8.1.15 8.1.16 8.1.17 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 Kurve Transl Rotatii ImR 2 ImR 3 Verallj Homo] Matriz Kegels Quadri Quadn Quadr; Haupte Kurvei Kurver Klassif Bestim Kurvei Fläche: Spezie Quadn Ähnlich Symm< Schiefs Symm< Definit Dreiecl Diagor Diagor Skalan Orthog Idempc Nilpote Involut Zyklisc Permut Kommi Monon Kompli Multip] Konjug Koniua