FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK y Mrcel Lue
EINFÜHRUNG... DIE OPERATIONS-STUFEN... OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION... BEZEICHNUNGEN... VORZEICHENREGEL... RECHENOPERATION. STUFE... MULTIPLIKATION:... Bezeichuge... Vorzeicheregel... 4 BINOMISCHE FORMELN:... 4 DIVISION:... 4 Bezeichuge... 4 Vorzeicheregel... 5 Divisio eier Summe durch eie Summe: Prtildivisio... 5 RECHENOPERATION. STUFE... 5 POTENZIEREN... 5 Bezeichuge... 5 Vorzeicheregel... 6 Addiere ud sutrhiere vo Poteze... 6 Multipliziere vo Poteze... 6 Dividiere vo Poteze... 7 Poteziere vo Poteze:... 7 Poteziere vo Biome... 8 RADIZIEREN... 8 Bezeichuge... 8 Wurzel ls Poteze drstelle... 9 Addiere ud sutrhiere vo Wurzel... 9 Rdiziere vo Produkte... 9 Rdiziere vo Brüche... 9 Etfere der Wurzel us dem Neer... 9 Rdiziere vo Poteze... 10 Multipliziere ud dividiere vo ugleichmige Wurzel... 10 Rdiziere vo Wurzel Doppelwurzel... 10 LOGARITHMIEREN... 10 Bezeichuge / Defiitio... 10 Logrithmegesetze... 11 Üergg vo eiem Logrithmesystem zu eiem dere... 1 IMAGINÄRE ZAHLEN... 1 FOLGEN UND REIHEN... 1 SUMME DER ARITHMETISCHEN REIHE:... 1 ARITHMETISCHE INTERPOLATION... 14 GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN... 14 ZINSESZINSRECHNUNGEN... 14 TS-Zürich Seite 1 0.0.0 / ML
Eiführug Die Teilgeiete der Mthemtik: Mthemtik Arithmetik Lehre vo de Zhle Geometrie Lehre vo de Rumgrösse Alger ud Fuktioslehre Lehre vo de Gleichuge Plimetrie Lehre vo de eee Fläche Trigoometrie Dreieckserechuge Stereometrie Lehre vo de Körper Die Opertios-Stufe Opertio 1. Stufe: Opertio. Stufe: Additio Sutrktio Multipliktio Divisio Opertio. Stufe: Poteziere Rdiziere Logrithmiere Opertioe 1. Stufe: Additio ud Sutrktio Bezeichuge Summde c Summewert Summe TS-Zürich Seite 0.0.0 / ML
Miued Sutrhed c Wert der Differez Ergeis Differez Vorzeicheregel Recheopertio. Stufe Multipliktio: Bezeichuge Summde Fktore 4* Summe Produkt TS-Zürich Seite 0.0.0 / ML
Vorzeicheregel * * * * Biomische Formel: 1. iomische Formel:. iomische Formel:. iomische Formel: Divisio: Bezeichuge Zähler od. Divided : c Quotiet Divisor TS-Zürich Seite 4 0.0.0 / ML
Vorzeicheregel Die Vorzeiche vo Zähler ud Neer köe demzufolge vertuscht werde. Divisio eier Summe durch eie Summe: Prtildivisio 6x x x x 4x; x ; x 6x *x 7 6x 4xx 7 9x 1x 8 x 8 10x 5; x 5x 7 8x 5 : x 7 x 8x 8x 5 8x 10 x 5 10x 5 0 4x 5 Recheopertio. Stufe Poteziere Bezeichuge Bsis Expoet Potezwert Potez TS-Zürich Seite 5 0.0.0 / ML
Vorzeicheregel Eie Potez ist POSITIV, we: Die Bsis positiv ist =; 4 =81 Oder mit egtiver Bsis, we der Expoet eie grde Zhl ist - = ; - 4 =81 Eie Potez ist NEGATIV, we: Die Bsis egtiv ist ud der Expoet eie ugerde Zhl ist - -1 = - -1 ;- 5 = -4 Addiere ud sutrhiere vo Poteze Es köe ur Poteze mit gleiche Expoete UND gleiche Bse ddiert oder sutrhiert werde. Es werde ur die Beizhle ddiert/sutrhiert 5 - +7 - + = - +8 Multipliziere vo Poteze Poteze köe multipliziert werde, we: Die Bse gleich sid ODER, die Expoete gleich sid Gleiche Bse: m * m Gleiche Expoete: * TS-Zürich Seite 6 0.0.0 / ML
Dividiere vo Poteze Poteze köe dividiert werde, we: Die Bse gleich sid ODER, die Expoete gleich sid. Gleiche Bse: m m Gleiche Expoete: Soderfälle ei der Divisio vo Poteze: 1 1 weil 0 1 Poteziere vo Poteze: Eie Potez wird poteziert, idem m die Expoete multipliziert ud die Bsis mit diesem Produkt poteziert. m m* deshl köe uch die Expoete vertuscht werde: m m m TS-Zürich Seite 7 0.0.0 / ML
Poteziere vo Biome 1 ± 0 1 1 ± 1 1 1 ± 1 1 ± 1 4 6 4 1 ± 4 1 5 10 10 5 1 ± 5 etc. etc. Regel zum Orde der Poteze: 5 4 4 5 Vorzeicheregel: Beispiel: + : + + + + + +... - : + - + - + - +... + : 1 1 + + + Rdiziere Bezeichuge Wurzelexpoet x Rdikt TS-Zürich Seite 8 0.0.0 / ML
Weil Rdiziere eie Umkehrug des Potezieres ist gilt: Wurzel ls Poteze drstelle m m Addiere ud sutrhiere vo Wurzel Es köe ur Wurzel mit gleichem Expoet UND Rdikt ddiert/sutrhiert werde. Es werde ur die Beizhle sutrhiert/ddiert Beispiel: 8 8 8 8 8 4 Rdiziere vo Produkte * Rdiziere vo Brüche Etfere der Wurzel us dem Neer 7 * 7 * 7 x x* x 7 x 7* 7 7 7 x x * x TS-Zürich Seite 9 0.0.0 / ML
Rdiziere vo Poteze x x oder mit Hilfe des Potezieres: m 1 m m M k lso de Wurzel- ud Bsisexpoet mit der gleiche Zhl multipliziere oder dividiere: x mx m Multipliziere ud dividiere vo ugleichmige Wurzel 7 6 1 * * * 6 4 6 7 6 6 6 5 * 5 5 * 5 5 *5 5 5 5 5 6 5 1 1 * * 6 1 6 144 8 6 18 Rdiziere vo Wurzel Doppelwurzel m m Logrithmiere Bezeichuge / Defiitio Logrithmus Numerus x log Bsis Der Logrithmus vo zur Bsis ist x. TS-Zürich Seite 10 0.0.0 / ML
Um ei der Gleichug x die Vrile x zu estimme, eötigt m die oe erwähte Logrithmus-Gleichug. Ist <0, so git es keie reelle Zhl für x. x=log 0 git es icht! Weil x =0 keie Lösug ht. Spezielle Logrithme: Zeherlogrithme: Bsis 10 log 10 -> lg Biäre Logrithme: Bsis log -> l Ntürliche Logrithme: Bsis e log e -> l Logrithmegesetze Produkt: log u * v log u log v Bruch: log u v log u log v Potez: log * log deshl uch: v u u log * log v Beispiel: Der Logrithmus des Produktes 4,56*1,84*0,065= lg4,56*1,84*0,065 lg 4,56*lg1,84*lg 0,065 0,659 0,648" 1,47 0,51 Numerus zu 0,51 ist 0.06 TS-Zürich Seite 11 0.0.0 / ML
Üergg vo eiem Logrithmesystem zu eiem dere Vom llgemeie zum Zeherlogrithmus: lg log lg Vom türliche zum Zeherlogrithmus: lg x l x lge Imgiäre Zhle i 1 i i 1 1 Die zwei Lösuge für die Gleichug x =-4 sid lso: x 4* i x 1 i ; x i Es gilt uch: 4 * 9 i 4 * i 9 i 4*9 6 * i * i i TS-Zürich Seite 1 0.0.0 / ML
Folge ud Reihe Eie Folge ist eie ch eiem estimmte Gesetz ufeiderfolgede Azhl vo Zhle. z. Bsp: 4 8 1 16 0 4.... We die eizele Glieder eier Folge ddiert werde, so erhält m eie rithmetische Reihe. z. Bsp: 4 + 8 + 1 + 16 + 0 + 4.... Allgemei gelte folgede Bezeichuge: Ds erste Glied Afgsglied: 1 Ds zweite Glied: Ds llgemeie Glied k-te Glied: Ds letzte Glied: Die kostte Differez: k d Demzufolge: Ds vierte Glied: 4 = 1 +d Ds k-te Glied: Ds letzte Glied: k = 1 +k-1*d = 1 +-1*d Jedes Glied eier rithmetische Folge ist gleich dem rithmetische Mittel seier zwei echrte Glieder. Summe der Arithmetische Reihe: S oder 1 S 1 1d TS-Zürich Seite 1 0.0.0 / ML
Arithmetische Iterpoltio Um zwische zwei Zhle ud, m weitere Zhle eizuschiee, sodss eie rithmetische Folge etsteht, so gilt folgede Formel zur Berechug der Differez: d i m 1 = Afgsglied = Edglied m = Azhl der eigeschoee Glieder d i = Differez der etstdee rithmetische Folge Geometrische Folge ud Reihe Seite 86-91 Ziseszisrechuge Seite 9 TS-Zürich Seite 14 0.0.0 / ML