S R SCHEIDER Rerrgemet-, Tscheyscheffud AM/GM- Uglechuge Mthemtsches Prolemlöse Dr tl Grerg 7
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge Rerrgemet- ud Tscheyscheff- Uglechuge Es stellt sch herus, dss de Kets deser Uglechugssorte e vele Frgestelluge ud Proleme der Mthemt zum Vortel erwese Ee Rerrgemet-Uglechug (RU) etsteht, we ee Summe (oder uch e Produt) durch Umorde der Ftore de ezele Summde mxmlsert oder mmlsert wrd Bevor wr de egetlche Umordugsglechug zege, ewese wr dzu de wohl efchste Vrte eer RU für zwe streg mootoe Folge ( ) ud ( ) :,,,, Stz (E Soderfll der Rerrgemet-Uglechug) See < 2 < < ud < 2 < < zwe edlche Folge Ferer se,,, ee Permutto (Umordug) der Folge ( ) De Summe 2 st geu d S: j * () m größte, we j j { m : m } De Folge j ( ), ( ) heße d glechgeordet * (2) m leste, we j+ j { m : m } De Folge j ( ), ( ) heße d gegegeordet Bewes: () Wr etrchte dejege Permutto ( ) j,, der Folge (, j ) für welche de Summe S mxml st ud vergleche dese mt der m Summe Sm: j + m + m+ + j m+ m j Dher muss S S j m j j m+ 2 gelte ud ds ergt j j - 2 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge S S + ( + ) ( ) + ( ) m m m+ m m+ m m+ m m+ m+ m m m+ m+ ( )( ) m m+ m m+ m * Für jedes m { : } glt m m+ < m m+ m m+ Drus folgt, dss de Folge ( ) j mooto steged st ud mt ( j ) üerestmme muss (2) Wr etrchte jetzt dejege Permutto ( ), wofür de j j Summe S mml wrd ud erhlte völlg log S Sm ( m m+ )( ) Wege m < m folgt wederum m m+ + ud dher st ( ) ee mooto fllede Folge, welche mt der m m+ verterte Folge j > j üerestmme muss qed I der Tt gelte () ud (2) uch für ur mootoe Folge De geue ud geerlserte Formulrserug lefert jetzt der folgede Stz 2 (Rerrgemet- oder Umordugsglechug) See A ud B zwe Multmege mt der gleche Mächtget A B Für jede jetve 2 Aldug p : A B ezechet S p de Summe S p : p( ) A (2) De Aldug heßt glechgeordet, we für je zwe Elemete ud us A de Uglechug geu d glt, we p( ) p( ) st Es gt geu ee glechgeordete Aldug p +, s uf Vertuschug vo gleche Elemete der Multmege A ud B De Summe S p+ st mxml uter lle S p (22) De Aldug heßt gegegeordet, we für je zwe Elemete ud us A de Uglechug geu d glt, we p( ) p( ) st Es gt geu ee gegegeordete Aldug p, s Ee Mutmege st ee Mege, de ggf gleche Elemete ethält, zb {,,2,3,5,5,5} (vgl dzu uch de Begrff der Fmle) 2 Für de Ijeto st here cht de Glechhet der Elemete etscheded Velmehr drüct dese de Ttsche us, dss jedes Elemet vo jedem Elemet durch de Aldug geu eml erfsst wrd, worus uch ee Bjeto etsteht - 3 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge uf Vertuschug vo gleche Elemete der Multmege De Summe st mml uter lle S S p p A ud B Bewes: (2) Wr etrchte dzu ee glechgeordete Aldug p : A B ud setze : m{ : A} Dmt st p ( ) p ( ) A, womt wr wederum p( ): : m{ : B} setze öe Somt wrd de leste Zhl A uf de leste B geldet u lde wr de zwetleste Zhl A uf de zwetleste B, dem wr 2: m{ : A\{ }} ud p( 2): 2: m{ : B\{ }} setze Verfhre wr ch dem gleche Schem tertv s, so erhlte wr ee edeutge Aldug p p + s uf Vertuschug glecher Elemete Es glt ud Jetzt wähle wr p p+, A: < p ( ) > p ( ) (de strte Reltoe etstehe here us der Ahme, dss de Multmege A ud B mdestes zwe verschedee Elemete he) u defere wr ee Aldug p : A B mt p( ) p( ) {, } ud p ( ) p( ) p( ) p( ) Dmt glt < p ( ) < p ( ) u st S S p ( ) + p ( ) ( p ( ) + p ( )) p p ( p ( ) p ( )) + ( p ( ) p ( )) ( )( p ( ) p ( )) > ud drus folgt stets ud dmt st de Summe S eer cht S p > Sp glechgeordete Aldug p e mxml Dher es er ur ee mxmle Summe gt, folgt drus, dss dese de Summe der S p+ glechgeordete Aldug se muss, dh es glt S mx{ S } p p + (22) Wr ostruere ee gegegeordete Aldug p : A B dem wr u mt : m{ : A} ud p( ): : mx{ : B} tertv + A p + B + : m{ : \ { }} ( ): : mx{ : \ { }} p - 4 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge ls Reurso setze Offeschtlch glt ud Wr wähle völlg log de Aldug p p us (2) ud eree S p > Sp, dss ee Summe mt cht gegegeordeter Aldug e mml se Dher es ur ee mmle Summe gt folgt wederum S m{ S } p p + qed Aufge M ht mehrere Müze m Wert,5, ud 5 Cet M drf sch ee Müze vo eem elege Wert ehme, zwe wetere Müze vo eem dere Wert, dre vo eem drtte ud letztedlch ver vo dem restlche Wert ehme, lso espelswese 5+ 2 5+ 3 + 4 Welche größte Geldsumme m dmt eomme? Lösug: Wr he zwe Mege A {, 5,, 5} ud B {,2,3,4} De Summe S p st d mxml, we p (), p (5) 2, p () 3 ud p (5) 4 st De Summe eträgt S p S + 5 2+ 3+ 5 4 24 p + De geforderte Geldsumme eträgt dmt 24 Cet Aufge 2 Es se Zhle ( ) D st ( ) ee elege Permutto der postve Lösug: De Summe st geu d mml, we de Folge ud gegegeordet sd Ds st errecht für Permutto st de Summe glech ( ) Für dese - 5 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge Ee Zusmmehg zwsche dem rthmetsche Mttel (AM) ud eer extremle Umordug stellt der u folgede Stz her Stz 3 (Tscheyscheff-Uglechug extremler Umorduge) See ( ) ud ( ) zwe glechgeordete Folge chtegtver Zhle D glt oder usführlcher Form, AM ( ) AM ( ) AM ( ), Sd dgege ( ) ud ( ) gegegeordet, so glt ds Zeche stelle vo Bewes: Es glt * + + + : U { : < }, d + jedes U ee Umordug drstellt ud de Folge ( ),( ) ls glechgeordet vorusgesetzt sd Isesodere steht ds Glechhetszeche ur für Drus folgt U + + + + + + (( + ) mod ) + (( + ) mod ) + + 2 Dvso durch uf ede Sete ergt de Behuptug De Fll für de dere Uglechug ehdelt m log qed - 6 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge 2 AM-GM Uglechug Dher es uzählge Möglchete gt de wchtge AM-GM-Uglechug zu ewese stützt sch der ächste Bewes des Stzes druf e etes Lemm vo CAUCHY-LAGRAGE zu zege ud zu verwede, ws etlch schell zum gewüschte Erges führt Stz 2 (AM-GM Uglechug) Se ( ) ee Folge postver Zhle, so glt AM ( ) : : GM ( ) Glechhet legt geu d vor, we lle Zhle Bewes: Lemm (Uglechug vo Cuchy-Lgrge) ( ) glech sd Se ( ) ee Folge postver Zhle mt D glt Glechhet trtt geu d e, we lle Zhle glech sd Bewes: x See, welche wr der Form : + x * { : } : M x IV j j xj xj jxj (IS) folgt, dss mt x : x ud drstelle, woe mt : (IA) wege x M gelte muss Wege (IA) st x Für {,, } ud j { +,, } folgt x x j u j x x xj xj x x Kette j ud drus folge jetzt de x x x x Wege x x x + x [, x ] m M {} m - 7 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge ud drus folgt vor llem m{ x} x x ud mx{ x } x See A: { x } A B, B : zwe Multmege ud p x : de zugehörge x x gegegeordete Aldug, so st A B p : x x S x p ( x ) x p ee cht gegegeordete Aldug, so glt wege x p p x S S x p( x ) u st x Ds Glechhetszeche steht ur d, we uch p gegegeordet st Wr zege u: Ist x A e Mxmum, so uch x : Geg x mx { x: x A} p( x) m { p( x): x A} Ord x x mx { x: x A} x x Sp S p D er x mx{ x: x A} ud glt folgt mt dem gezegte er uch mx { x : x A} x x x x m { x: x A} D Mxmum ud Mmum mt üerestmme, müsse lle Elemete glech se qed Wr zege u de Aussge hd des Lemms ud der Homogetät des AMs ud GMs, de es glt AM ( ) α α α α AM ( ) ud setze wr ud GM ( ) : λ D glt GM ( α ) α α α α GM ( ) Dzu λ : - 8 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge λ λ Lemm λ AM( λ ) λ AM( ) AM ( ) GM ( ) λ qed Aufge 2 E Veräufer ht ee Blewge, dere Arme uterschedlch lg sd We er 2 Klo Mehl verreche wll, wegt er erst de Hälfte uf eer Wgeschle (dh er lcert ee gewsse Mege Mehl mt eem -Klo schwere Gewcht us), d uf der dere Gt er so dem Käufer mehr oder weger ls 2 Klo Mehl? Lösug: Ageomme, de Ble he de Läge ud Bem erste Awege wrd x vergee, so dss x glt, lso x Klo Mehl Bem zwete Awege gt der Veräufer x Klo Der Käufer eommt sgesmt x + x + > 2 2 Klo Mehl Somt hdelt der Veräufer uwrtschftlch (dfür er udefreudlch) Wr gee och ee wetere, wchtge Bezehug zwsche dem GM mt dem hrmosche Mttel (HM) m ächste Stz et - 9 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge Stz 22 (GM-HM Uglechug) Se ( ) ee Folge postver Zhle D glt GM ( ) HM ( ) : Glechhet legt geu d vor, we lle Zhle glech sd Bewes: Aus AM (/ ) GM (/ ) ( ) GM Behuptug folgt de qed Aufge 22 Se ( ) ee Folge postver Zhle Bewese Se: 2 W trtt Glechhet uf? Lösug: Aus der AM-GM Uglechug folge ud Multplto ergt de Behuptug Glechhet legt geu d vor, we lle Zhle glech sd Aufge 23 Zege Se für jedes türlche >: +! < 2 - -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge Lösug: M wede de AM-GM Uglechug uf de türlche Zhle,2,, : + ( + ) > 2 2! Aufge 24 Ist so glt S: x de Summe vo postve Zhle x j, j,,, + x S ( )! Lösug: ch der AM-GM Uglechug glt S S ( + x ) ( x ) + + S + + S! S! Aufge 25 E Würfel se so edlch vele Quder zerlegt, dss der Ihlt der Umugel des Würfels so groß st we de Summe der Ihlte der Umugel ller Quder der Zerlegug Bewese Se, dss d lle deser Quder Würfel sd Lösug: Wr zege zuächst, dss für de Ihlt ees Quders Q: x : x [, x ] ud de Ihlt seer Umugel K r : { x : x r } 2 mt r 2 x de Bezehug Kr Q 2 glt, woe de etlch reursv durch schätze wr de Durchmesser mt π 2 + + : 2 cos tdt defert sd Dzu - -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge 2 2 d : dm( Q) x x x Q ch ute Für de Ihlt der Umugel ergt sch d d ( 2 Kr r d Q ) Q 2 2 2 2 Glechhet etsteht her geu d, we Q e Würfel st Wr summere u lle Umugelhlte uf ud erhlte : K K 2 Q, woe Q Q der Ihlt des Würfels st ud K der Ihlt der große Umugel, welche de Würfel umgt Dher glt er uch K K 2 Q Somt muss für jede Umugel ees Quders K Q gelte, dher de rechte Sete 2 der Glechug sost leer ls de le wäre Drus folgt er, dss jeder Quder e Würfel se muss - 2 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge 3 Rerrgemet-AM-GM Uglechug Zum fle Ede deser Themt gee wr och e erwetertes Korollr et, welches ee teresste Bezehug zwsche dem AM ud GM uter extremler Umordugsedguge herstellt Stz 3 (Rerrgemet-Uglechug zweter Art) See A ud B zwe Multmege mt der gleche Mächtget A B Isesodere gelte > A Für jede jetve Aldug q: A B ezechet ds Produt Pq P q q ( ) : A (3) De Aldug heßt glechgeordet, we für je zwe Elemete ud us A de Uglechug geu d glt, we q ( ) q ( ) st Es gt geu ee glechgeordete Aldug q +, s uf Vertuschug vo gleche Elemete der Multmege A ud B Ds Produt st mxml uter lle P P q+ q (32) De Aldug heßt gegegeordet, we für je zwe Elemete ud us A de Uglechug geu d glt, we q ( ) q ( ) st Es gt geu ee gegegeordete Aldug q, s uf Vertuschug vo gleche Elemete der Multmege A ud B Ds Produt st mml uter lle P P q q Bewes: (3) Dss wr geu ee Aldug ostruere öe, welche s uf Vertuschug glecher Elemete glechgeordet st, st ufgrud scho gezegtem lr Se u q q+, A: < q( ) > q( ) (her se weder vorusgesetzt, dss A ud B us mdestes zwe verschedee Elemete estehe) Für q : A B gelte u q ( ) q ( ) {, } mt q ( ) q ( ) ud q ( ) q ( ), womt q ( ) < q ( ) folgt u st - 3 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge q ( ) q ( ) q q ( ) q ( ) q ( ) q ( ) q ( ) q ( ) q P P (log )( q( ) q( )) q ( ) q ( ) l ( q ( ) q ( )) l >, l l d uch < < < < > > glt, worus Pq > Pqfolgt D l l ee cht glechgeordete Aldug stets e cht mxmles Produt erzeugt, folgt drus, dss e mxmles Produt ee glechgeordete Aldug estze muss, dh es glt Pq mx{ Pq} + (32) De Exstez ud Edeutget deser Aldug st ufgrud scho gezegtem eeflls lr Aus (3) folgt Pq > Pq, jedoch st de Aldug q : A B us (3) st cht gegegeordet, worus folgt, dss jedes Produt eer cht gegegeordete Aldug cht Pq mml st Ds st ufgrud der Edeutget des Mmums (s uf Vertuschug glecher Elemete) dmt äquvlet, dss e mmles Produt ee gegegeordete Aldug he muss ud es glt P m{ P } q q qed Stz 32 (Rerrgemet-AM-GM Uglechug) See ( ) ud ( ) zwe glechgeordete Folge chtegtver Zhle mt > {,, } D glt ( ) GM( ) AM GM ( ) GM ( ) GM ( ) Sd de Folge gegegeordet, so glt ur och M( ) A GM ( ) GM ( ) - 4 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge Bewes: Es glt + + * : U { : <, d jedes } U + ee Umordug st ud de Folge ls glechgeordet vorusgesetzt sd Glechhet glt ur für Weter glt U + + + + + + (( + ) mod ) + (( + ) mod ) + 2 Ds Zehe der -Wurzel uf ede Sete ergt de Behuptug De AM ( ) GM ( ) Uglechug GM ( ) GM ( ) st trvl Für de dere Fll verfährt m log qed - 5 -
Rerrgemet-, Tscheyscheff- ud AM/GM-Uglechuge 4 Aschlussemeruge zur ddtsche Awedug der Uglechugstheore Uglechuge sollte zwr stets so wchtg etrchtet werde we Glechuge, wefer dese er dem Schüler vermttelt werde müsse erchte ch ls frgwürdg Der Schüler wrd etlch dem 2 Schuljhr mt de Symole > ud < ofrotert, er der Regel scho 5 Jhre gzzhlge Krdltäte ch der Größe eorde ud uterschede Ds geometrsche Mttel wrd spätestes der Oerstufe ees Gymsums sozusge defert, AM-GM Uglechuge fde er um Awedug Später jedoch eomme Mttel wesetlch mehr Bedeutug, we zb der Stochst, vor llem gegeüer dem usgeprägtere Begrff des Erwrtugswertes Uglechuge dee er vermehrt dem Aschätze ud Eschräe vo Größe der Phys gegeüer der Reltät ommt eem erechete Wert omplexe Systeme mmer weger Bedeutug zu m dee de uch Uschärfereltoe De Vertefug der Uglechugstheore m Lehrpl dee dmt ledglch der Förderug mthemtscher Kretvtät Ds e flsch se, jedoch schet es cht uedgt otwedg zu se Uglechuge öe ur exstere, we ds Trchotome-Axom gültg st I welchem Berech m er e Axom für gültg oder ugültg erläre st ee erstzuehmede Prolemt Es gt j uch uedlch vele Körper mt exsteter Chrterst der de AM- GM-Uglechug versgt Drüer hus muss ee Aordug des Körpers erlärt worde se Mt Uglechuge stelle wr hd vo Umformuge fest, dss rgedetws mt etws derem durchus uterschedlch st Selteer dee se m Fll der Asymmetre dzu ee Glechhet zu zege türlch muss we mmer der Lehrer e rffertes Prolem etwcel, welches so de Reltät dem Mesche e zu stelle wgt, welches omplett mt Uglechuge gelöst werde Auch dem weger Mthemtteresserte Schüler st mt oder ohe Ketsse üer Uglechuge geholfe oder cht Bemereswert sd Uglechuge ud hre verlüffede Resultte er lleml ud dher st user Umgg mt he durchus wert geschult zu werde S R Scheder - 6 -