Lehr- und Übungsbuch MATHEMATIK für Informatiker Lineare Algebra und Anwendungen Mit 104 Bildern, 174 Beispielen und 222 Aufgaben mit Lösungen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung: Was ist Lineare Algebra?" 11 0.1 Drei typische Beispiele 11 0.1.1 Gegeneinander verschobene Koordinatensysteme und die Normalparabel" 11 0.1.2 Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Normalparabel" 12 0.1.3 Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Lösungskurven von Differentialgleichungen 14 0.2 Kommentar zu den Beispielen und Ausblick 16 1 Grundbegriffe - Mengen, Abbildungen, Vektoren 17 1.1 Mengen 17 1.1.1 Darstellung von Mengen 17 1.1.2 Mengenverknüpfungen 18 1.1.3 Spezielle Mengen, Zahlbereiche 20 Aufgaben 1.1 bis 1.7 20 1.2 Relationen und Abbildungen 21 1.2.1 Beispiele für Relationen 21 1.2.2 Äquivalenzrelationen 21 1.2.3 Abbildungen und einige Eigenschaften 22 1.2.4 Bijektive Abbildungen 24 Aufgaben 1.8 bis 1.14 25 1.3 Vektoren im anschaulichen Raum 26 1.3.1 Darstellung und charakteristische Rechenoperationen 26 1.3.2 Punkte, Geraden und Ebenen in Vektordarstellung 29 1.3.3 Berechnung von Abständen, Längen und Winkeln 34 1.3.4 Volumina und senkrechte Vektoren 37 Aufgaben 1.15 bis 1.21 39 2 Körper 41 2.1 Reelle Zahlen und Vektorräume 41 2.2 Definition eines Körpers 41 2.2.1 Algebraische Axiome der reellen Zahlen 41 2.2.2 Einfache Folgerungen aus den Axiomen 43 2.2.3 Verallgemeinerung: Axiome eines Körpers 44 Aufgaben 2.1 bis 2.4 45 2.3 Körper mit den Rechenoperationen der reellen Zahlen 46 2.3.1 Untersuchung der bekannten Zahlbereiche N, Z, Q 46 2.3.2 Körper zwischen" Q und R 47 Aufgaben 2.5 und 2.6 48 2.4 Die komplexen Zahlen als Körpererweiterung von R 48 2.4.1 Einige Bemerkungen zur Verwendung komplexer Zahlen 48 2.4.2 Körpereigenschaften von С 49 2.4.3 Algebraische Struktur der Einheitswurzeln 51 Aufgaben 2.7 bis 2.11 53
Inhaltsverzeichnis 7 2.5 Restklassen als Beispiele für endliche Körper 54 2.5.1 Beispiele und Gegenbeispiele für Körpereigenschaften bei Restklassen 54 2.5.2 Lösen von Gleichungen in Restklassenkörpern 56 2.5.3 Beispiel eines endlichen Körpers, der nicht aus Restklassen besteht.. 57 Aufgaben 2.12 bis 2.20 58 3 Vektorräume 60 3.1 Allgemeine Vektorräume 60 Aufgaben 3.1 bis 3.6 63 3.2 Der n-dimensionale Vektorraum R n 64 Aufgaben 3.7 bis 3.12 66 3.3 Lineare Unabhängigkeit 66 Aufgaben 3.13 bis 3.20 70 3.4 Der Austauschsatz von Steinitz 71 Aufgabe 3.21 73 3.5 Basis von Vektorräumen 73 Aufgaben 3.22 bis 3.28 75 3.6 Lösungsraum von linearen Gleichungssystemen 75 Aufgaben 3.29 bis 3.31 78 4 Lineare Abbildungen 79 4.1 Einleitung 79 Aufgaben 4.1 und 4.2 81 4.2 Definition und Eigenschaften linearer Abbildungen 82 4.2.1 Definition und einfache Schlußfolgerungen 82 4.2.2 Der Vektorraum C{V, W) 83 Aufgaben 4.3 bis 4.8 87 4.3 Standardbeispiele linearer Abbildungen 88 4.3.1 Veranschaulichungsmethode 88 4.3.2 Streckungen S : V -> V 89 4.3.3 Diagonalisierbare Abbildungen D : V > V 90 4.3.4 Scherungen T : V -> V 92 4.3.5 Projektionen P : V -> V 95 4.3.6 Orthogonale Projektionen, Spiegelungen und Drehungen 97 Aufgaben 4.9 bis 4.12 102 4.4 Der Homomorphiesatz und Folgerungen daraus 104 4.4.1 Der Homomorphiesatz 104 4.4.2 Folgerungen aus dem Homomorphiesatz 105 Aufgaben 4.13 und 4.14 106 4.5 Matrizen 107 4.5.1 Die Matrix einer linearen Abbildung bezüglich zweier Basen 107 Aufgaben 4.15 bis 4.18 110 4.6 Der Isomorphismus C(V, W) -> K mxn 111 4.6.1 Verknüpfung linearer Abbildungen und Matrixmultiplikation 111 4.6.2 Der spezielle Isomorphismus C(V, V) -> K mxm 112 4.6.3 Die Transformationsformel für Basiswechsel 113 Aufgaben 4.19 bis 4.21 114 4.7 Linearformen 115
8 Inhaltsverzeichnis АЛЛ Der Dualraum eines Vektorraums 115 Aufgaben 4.22 und 4.23 117 5 Unitäre Räume 119 5.1 Das Skalarprodukt 119 Aufgaben 5.1 bis 5.4 121 5.2 Die Schwarzsehe Ungleichung 122 Aufgaben 5.5 bis 5.7 123 5.3 Winkel, Orthonormierung 124 Aufgaben 5.8 bis 5.17 131 5.4 Das Abstandsproblem 133 Aufgaben 5.18 bis 5.21 140 5.5 Semibilinearformen und adjungierte Abbildungen 140 Aufgaben 5.22 bis 5.27 145 6 Eigenwerte 147 6.1 Vorbemerkung 147 6.1.1 Zur Bedeutung der beiden Hauptresultate 147 Aufgaben 6.1 bis 6.8 152 6.2 Invariante Unterräume, Eigenwerte und Eigenvektoren 155 6.2.1 Definition und Eigenschaften invarianter Unterräume 155 6.2.2 Zerlegung in invariante Unterräume 156 6.2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren 158 Aufgaben 6.9 bis 6.17 159 6.3 Das charakteristische Polynom 161 6.3.1 Vorbemerkung über Determinanten 161 6.3.2 Eigenwerte und charakteristisches Polynom 163 Aufgaben 6.18 bis 6.21 170 6.4 Das erste Hauptresultat 171 6.4.1 Formulierung von Hauptresultat 1 171 6.4.2 Bemerkungen zu Hauptresultat 1 172 Aufgaben 6.22 bis 6.24 177 6.5 Eigenwerte normaler, hermitescher und unitärer Abbildungen 177 6.5.1 Vorbemerkung 177 6.5.2 Normale, hermitesche und unitäre Abbildungen 178 6.5.3 Untersuchung normaler Abbildungen Ф C(V, V) und Hauptresultat 2 179 6.5.4 Folgerungen für hermitesche und unitäre Abbildungen 181 Aufgaben 6.25 bis 6.28 182 7 Algebraische Strukturen 183 7.1 Vorbemerkung zu algebraischen Strukturen 183 7.2 Gruppen 184 7.2.1 Gruppen und Körper 184 7.2.2 Beispiele für Gruppen 185 7.2.3 Isomorphe Gruppen 188 7.2.4 Einfache Eigenschaften von Gruppen 190 7.2.5 Untergruppen 191
Inhaltsverzeichnis 9 7.2.6 Ordnung von Elementen und Untergruppen 194 Aufgaben 7.1 bis 7.10 196 7.3 Ringe 197 7.3.1 Ringe - Definition und Beispiele 197 7.3.2 Polynomringe 198 7.3.3 Invertierbare und nicht invertierbare Elemente 200 7.3.4 Der Euklidische Algorithmus 202 7.3.5 Einsetzungen in Polynome 205 Aufgaben 7.11 bis 7.20 207 8 Lineare Optimierung 208 8.1 Lineare Programme 208 Aufgaben 8.1 bis 8.5 216 8.2 Der Simplexalgorithmus 217 Aufgaben 8.6 bis 8.10 230 8.3 Dualität 231 Aufgaben 8.11 bis 8.14 237 9 Graphentheorie 239 9.1 Grundbegriffe ungerichteter Graphen, spezielle Graphen 239 Aufgaben 9.1 bis 9.6 245 9.2 Planare Graphen, chromatische Zahl 246 Aufgaben 9.7 bis 9.12 250 9.3 Kürzeste Wege 251 Aufgaben 9.13 bis 9.16 253 9.4 Steinerbäume, Minimalgerüste, Greedy-Algorithmus 255 Aufgabe 9.17 259 9.5 Paarungen in paaren Graphen, Ungarischer Algorithmus 259 Aufgaben 9.18 bis 9.21 267 10 Kryptologie 269 10.1 Tauschchiffren 269 Aufgaben 10.1 bis 10.6 276 10.2 Lineare Schieberegister 276 Aufgaben 10.7 bis 10.11 282 10.3 Schwer interpretierbare Funktionen, RSA-Algorithmus 282 Aufgaben 10.12 bis 10.17 290 Lösungen 291 Literaturverzeichnis 325 Sachwortverzeichnis 326