KLAUSUR ZUR TECNISCEN MECANIK I Termin:. Septemer AUFGABE ( Punkte) Für das in A. dargestellte System kennt man l =; 5 m, G =5 kn und =. Man estimme a) die Reaktionen in den Bindungen, ) die Schnittgrößen in den Aschnitten und ihre graphische Darstellung. Wo efindet sich der gefährdete Querschnitt Der Sta ist ein IPB Profil. Man ermittle c) die Normalspannungsverteilung im gefährdeten Querschnitt und ihre graphische Darstellung sowie die maximalen Zug und Druckspannungen im gefährdeten Querschnitt. Für das I Profil gelten A =5; cm, I yy = cm 4 und W y = cm. A. + l l + lfi g K + y ^ z u G
LÖSUNG a) + N + G U l * ] G K l F N a ^xz Q ^ Mi() = F N : l + G:l sin() G:l cos() =! F N = G[cos() sin()] = ; 549 G Fix = N G: cos() G: sin() =! N = G:[cos()+sin()] = ; G Fiz = Q F N +G: cos() G: sin() =! Q = F N G:[cos() sin()] = ; 8 G Kontrollgleichung Mi() = Q :l F N : l = + + ; G ^ l ; G ] x + ; 549 G ; G x l ^ ; 8 G
) ; G N x Q z ; 8 G ο ß M y l x M y ρ N ; G Q z ; G <x < l; N = ; G; Q z = ; 8 G; M y = ; 8 Gx x =! M y =; x = l! M y = ; Gl <x < l; N = ; G; Q z =; G; M y = ; G( l x ) x =! M y = ; Gl; x = l! M y = N ; G Q z M y ; 8 G ; G ; Gl οοοοοοοοοοοοοοοο Der gefährdete Querschnitt efindet sich an der Stelle, x = l mit N = ; G und M y = ; Gl.
c) y ; G x ο ß ; Gl Wy ;Gl z z ;G A ;Gl Wy maximale Zugspannung ; G ; Gl xx = + =( 8; +9; 5) N/mm =; 88 N/mm A W y maximale Druckspannung xx = ; G A Gl ; =( 8; 9; ) N/mm = ; N/mm W y 4
AUFGABE ( Punkte) Das System in der A. esteht aus einem horizontal angeordneten Sta von der Länge l, der fest mit einem alzylinder vom Gewicht G = N und Radius r = l verunden ist. Am freien Ende des 4 Staes wirkt die vertikale Kraft F. Der alzylinder stützt sich in reiungsfrei auf ein Prisma vom Gewicht Q = 4 N und =. Das Prisma efindet sich auf einer rauhen horizontalen Eene (aftreiungskoeizient μ = ; ). Auf das Prisma wirkt eine elastische Feder mit der unverformten Länge s Λ = 5 cm, aktuellen Länge s =cmund Federkonstanten c = 5 kn/m. a) Man estimme den Wert der Kraft F = F r, damit sich das System im Grenzgleichgewicht efindet, mit der Verlagerungstendenz des Prismas nach rechts. ) Man estimme F = F l für Grenzgleichgewicht mit der Verlagerungstendenz des Prismas nach links. ) Wie groß ist F für Gleichgewicht ohne Reiung A. l l F G Z r Z a Z c Ψ Z Z Q Z A A A A A s I ` s Λ μ Ξ Π c 5
LÖSUNG a) V l l c F G Z r Z a Z Ψ Z Z} Z Z F N V l c G l F F N sin() Z} F N cos() Z Z F N Z/ F Z N Z~ Q I ` F T F N F e Sta und alzylinder Mi() = G: l + F N cos(): l F:l =! F N = Fi cos() (F + G)=F +G () = F N sin() =;! = F N sin() FiV = V G F +F N cos() =;! V = F N cos() G F = F Prisma FiV = F N cos()+f N Q =;! F N = Q + F N cos() Fi = F N sin() F e F T =
F e = c(s Λ s) =:5 N; F T = μ F N F N sin() F e μ Q μ F N cos() =! F N = Gl. () in Gl. () eingesetzt! F = F r = h F e + μ Q sin() μ cos() () F e + μ Q sin() μ cos() Gi = 495; 7 N () ) Verlagerungstendenz des Prismas nach links F T! F T ; μ! μ in Gl. () F = F l = h F e μ Q sin()+μ cos() Gi = 97; 947 N (4) c) Gleichgewicht ohne Reiung! μ =in Gl. () F = h F e sin() Gi = 444; 7 N (5) 7
AUFGABE (8 Punkte) Auf den Balken in A., der in eingespannt und in mit einem Seil festgehalten wird, wirken in die vertikale und in die horizontale Kraft F. Die Biegesteifigkeit dieses einfach statisch unestimmt gelagerten Balkens ist EI yy = EI = konst. Man estimme a) die Reaktionen in allen Bindungen und ) die Gleichungen der Biegelinie. A. l l F F l 8
LÖSUNG a) l l S F ρ M = V F l Mi() = F: l F: l + S:l =! S = F l Fi(V ) = V F + S =! V = F S = F + l Fi() = F =! = F Kontrollgleichung P M i() = : l V : l + S: l = F ρ F + l x ο M ß y N Q z M l x ρ y F l N Q z <x < l; M y(x )=( F + l )x ; EI[w(x )]" = M y (x ) EI[w(x )]" = ( F + l )x + EI[w(x )] = ( F + l )x + x + C EIw(x )= ( F + l )x + x + C x + C Randedingungen: w(x =)=! C = [w(x = )] =! C = EI[w(x = = l)] ( F + l ): 9 l + : l EIw(x = l)= ( F + l ): 7 l + : 9 l 9
<x < l; M y(x )=( F l ):( l x ); EI[w(x )]" = M y (x ) EI[w(x )]" = ( F l )x ( F l ): l EI[w(x )] = ( F l )x ( F l ): lx + C EIw(x )= ( F l ):x ( F l ): lx + C x + C 4 Üergangsedingungen: [w(x = l)] =[w(x = )]! C = ( F + l ): 9 l + : l w(x = l)=w(x =)! C 4 = ( F + l ): 7 l + : 9 l Randedingungen: w(x = l)=! = M = 8 Fl S = F l = 8 F; V = F S = 77 8 F F l l Fl F 8 ρ 77 F F l 8 F 8 ) Gleichungen der Biegelinie: <x < l; EI[w(x )] = 77 Fx + 8 Flx EIw(x )= 77 48 Fx + Flx [EI[w(x = = l)] 944 Fl ; EIw(x = 5 l)= 8748 Fl <x < l; [EI[w(x )] = Fx 4 Flx + 944 Fl EIw(x )= 48 Fx 4 Flx + 944 Fl x + 5 8748 Fl Kontrolle: EIw(x = l)=
KLAUSUR ZUR TECNISCEN MECANIK II Termin: 9. Septemer AUFGABE ( Punkte) Der Rahmen in der A. ewegt sich mit der Beschleunigung a. Der masselose Sta von der Länge l = ; m und Neigung = ist in agestützt und in am Rahmen angelenkt. In ist ein Körper von der Masse m = 5 kg am Sta efestigt. In wirkt auf den Sta eine elastische Feder mit der Federkonstanten c = kn/m, unverformten Länge s Λ =cmund aktuellen Länge s = 5 cm. a) Man estimme die Auflagerreaktion in. Für welchen Wert der Beschleunigung a het der Sta von der Stützfläche a ) Für a = m/s erechne man die Auflagerreaktion in und die Reaktionen im Gelenk und c) estimme die Schnittgrößen in den Aschnitten des Staes und ihre graphische Darstellung. Wo efindet sich der gefährdete Querschnitt des Staes A. Ωd l c l A A A A #ψ s l "! s Λ m Y g a
LÖSUNG a) d N l Y Q g Y l mg F #ψ e Y a "! l ma Y x j z F N Auf den freigeschnittenen Sta mit der Masse m in wirken folgende Kräfte: indie Gewichtskraft mg = 47; 5 N in die Trägheitskraft ma indie Federkraft F e = c(s s Λ ) = ; N indie Auflagerreaktion F N indie Komponenten N und Q der Reaktionskraft im Gelenk Mi() = F e sin(): l + mg cos(): l ma sin(): l F N cos():l = Der Sta het a, wenn F N! F N = mg + (F e ma) tan() a = g tan() + F e m = gilt. Daraus folgt =9; 4 m/s
) Für a = m/s folgt! F N = mg + (F e ma) tan() = 5; 4 N Fix = F N sin() mg sin() ma cos()+f e : cos() N =;! N = F N sin() m[g sin()+a cos()] + F e : cos() =; N Fiz = F N cos()+mg cos() ma sin()+f e : sin() Q =;! Q = F N cos()+m[g cos() a sin()] + F e : sin() =8; 8 N c) Auf den Sta wirken folgende Kräfte: N = F N sin() =99; 958 N; Q = F N cos() =57; 7 N N = mg sin()+ma cos() = 49; 9 N Q = mg cos() ma sin() =4; 4 N N = F e cos() =; N; Q = F e sin() = ; 9 N N =; N; Q =8; 8 N N Q N Q l l N N x Q x x Q x M y N Q z ο ß x ο ß N M y N N l Q Q Q z l Q f N f M y ρ N N Q l x z Q
<x < l; N = N = 99; 958 N; Q z = Q =57; 7 N; M y = Q :x ; x =! M y =; x = l! M y = Q l =; 84 Nm <x < l; N = N N =49; 978 N; Q z = Q Q =; 7 N; M y = Q ( l + x ) Q x ; x =! M y = Q l =; 84 Nm x = l! M y = Q l Q l =; 7 N <x < l; N = N = ; N; Q z = Q = 8; 8 N; M y = Q ( l x ); x =! M y = Q l =; Nm; x = l! M y = N 99; 958 N 49; 978 N ; N Q z 57; 7 N ; 7 N 8; 8 N M y hhhhhhh ; 84 Nm ; 7 Nm Der gefährdete Querschnitt efindet sich an der Stelle mit x = l und die Schnittgrößen sind N =49; 978 N und M y =; 7 Nm. 4
AUFGABE ( Punkte) Ein Körper von der Masse m =; 8kgkann sich entlang einer vertikalen Führung ewegen (A. ). Auf den Körper wirkt eine Feder mit der Federkonstanten c = :5 N/m und unverformten Länge s Λ = ; 5 m. Die Bewegung eginnt aus der Ruhelage I mit unverformter Feder. a) Man ermittle die Geschwindigkeit v der Masse m nachdem sie den Weg h =; 5 m is in die Lage II zurückgelegt hat. In dieser Lage stößt dieser Körper auf einen anderen Körper von der Masse m = 5; kg, der sich in der Lage III im Ruhezustand efindet (v = ). Die Stoßzahl eträgt l =; 9. ) Man erechne die Geschwindigkeiten u und u der eiden Körper nach dem Zusammenstoß. Der Körper von der Masse m stützt sich auf eine Feder mit der Federkonstanten c = 5 N/m, die in der mit A ezeichneten Lage unverformt ist. In der Lage III ist diese Feder mit f = m g=c =; 49 m verformt. c) Man estimme den Weg h, den der Körper mit der Masse m is in die Lage IV mit der Geschwindigkeit gleich Null (Umkehrlage) zurücklegt. A. A m " "" " "" " "" c f h I II m m % % c Z / m III Φ ΦΦ c Φ ΦΦ Φ ΦΦ s Λ C Λ ΛΛ C Λ ΛΛ C Λ ΛΛ C C CC CC C Λ c Ω % s h e 7 Z m IV οοο οοο οοο f c h 5
LÖSUNG a) Konservatives System E kii + E pii = E ki + E pi =konst Lage I: E ki =; E pi = Lage II: E kii = m v ; E pii = m gh + c(s sλ ) s = s Λ + h =; 4 m m v m gh + c(s sλ ) = v =gh c m (s s Λ )! v =; 5 m/s ) Stoß v =; 5 m/s; v =; l =; 9; m =; 8kg; m =5; kg u = v (v v )( + l)m m + m ; u = v + (v v )( + l)m m + m u = ; 9 m/s; u =; 798 m/s c) Konservatives System E kiii + E piii = E kiv + E piv Lage III: E kiii = m u ; E piii = m gf + c f Lage IV: E kiv =; E piv = m g + c ; = f + h m u m gf + c f = m g + c! a + + c = (Λ) a = 75; N/m; = 5; 99 N; c =; 8 Nm Lösungen der Gleichung (*) =; 5 m <f nicht sinnvoll =; 4 m >f führt auf die Lösung h = f =; 97 m.
AUFGABE (8 Punkte) Auf den Radsatz in A. von der Masse m = 5 kg, mit den Radien r = ; m, R = ; 5 m und dem axialen Trgheitsmoment = 5; kg.m wirkt das Moment M = 99 Nm. Üer ein Seil, das auf die Scheie mit dem Radius r geschlungen ist, wird ein Körper von der Masse m = 5 kg nach oenewegt. Als Bremse wirkt der eel mit l = ; 8 m, auf den die horizontale Kraft F = 4: N wirkt und die Scheie mit dem Radius R in erührt. Der Gleitreiungskoeizient eträgt μ =;. a) Man erechne die Beschleunigung s des Körpers mit der Masse m, die Winkeleschleunigung ' sowie die Reaktionen in allen Bindungen. ) Für den eel estimme man die Schnittgrößen und ihre graphische Darstellung. Wo efindet sich der gefährdete Querschnitt A. cξ Π l l '$ Ξ μ Ψ r M &% 4 m; r;r; ' Φ ΦΦ U F l m s 7
LÖSUNG a) Kinematik: s = r'! s = r '! ' = s=r () N Q c l l F r F N F l ' * M 4 F N '$ F Ψ r r mg &% 4 V 4 S S m g m s eel Mi() = F: l + F N: l =;! F N = F =:; N () Fi = N F r + F = F r = μf N = 4; N ()! N = F F r =:; N FiV = Q + F N =;! Q = F N =:; N Kontrollgleichung: Mi() = F: l F N: l + Q :l= Radsatz Mi(4) = M ' F r :R S:r = (4) Fi = 4 + F r =;! 4 = F r = 4; N 8
FiV = V 4 mg S F N =;! V 4 = F N + S + mg Masse m FiV = S m s m g =;! S = m s + m g (5) Die Gleichungen (), () () und (5) in (4) eingesetzt! s = M r m g R r μf m + r =; 59 m/s ; ' =; 97 rad/s S =:; 5 N, V 4 =5:9; N, ) N Q c l l F r x F N x F l x N Q c» yν F l M y M μ M y N N x Q z Q l x z l x F μ Qz N <x < l; N = N =:; N; Q z = Q = :; N; M y = Q :x ; x =! M y =; x = l! M y = Q l = :4; Nm <x < l; N = F =4:; N; Q z =; M y = Fl = :4; Nm <x < l; N =; Q z = F =4:; N; M y = F ( l x ); x =! M y = Fl = :4; Nm; x = l! M y = 9
N : N 4: N : N Q z 4: N :4 Nm Ω ΩΩ M y Ω ΩΩ :4 Nm Der gefährdete Querschnitt efindet sich im Bereich x (; l) mit N =4: N, M y = :4 Nm.