Ein Simulated Annealing-Verfahren für das Standardproblem der Tourenplanung mit Zeitfensterrestriktionen

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1 Ein Simulated Annealing-Verfahren für das Standardproblem der Tourenplanung mit Zeitfensterrestriktionen Jörg Homberger und Hermann Gehring Fachbereich Wirtschaftswissenschaft, FernUniversität Hagen, BR Deutschland Zusammenfassung Der Beitrag stellt ein Simulated Annealing-Verfahren zur Lösung des um Zeitfensterrestriktionen erweiterten Standardproblems vor. Die Zielfunktion berücksichtigt zwei Zielkriterien, die Minimierung der Fahrzeuganzahl als primäres und die Minimierung der Gesamtentfernung als sekundäres Kriterium. In der ersten Stufe eines zweistufigen Verfahrensansatzes wird daher zunächst ohne Berücksichtigung der Gesamtentfernung ein Tourenplan mit minimaler Fahrzeuganzahl berechnet. Von diesem Tourenplan ausgehend wird dann in der zweiten Stufe die von den Fahrzeugen zurückzulegende Gesamtentfernung minimiert. Der Focus des Beitrags liegt auf den in der ersten Verfahrensstufe getroffenen problembezogenen Entwurfsentscheidungen, die insbesondere die verwendeten Nachbarschaftsstrukturen und die entwickelte Kostenfunktion betreffen. Zur Bewertung des entwickelten Simulated Annealing-Verfahrens werden einschlägige Benchmarkprobleme von SOLOMON (1987) berechnet und die Ergebnisse mit den besten bekannten Lösungen verglichen. 1 Einführung und Problemformulierung Im Rahmen der Tourenplanung werden Problemstellungen untersucht, bei denen Auslieferungs- oder Sammelaufträge zu effizienten Fahrzeugtouren zusammenzufassen sind. Nachfolgend wird das um Zeitfensterrestriktionen erweiterte Standardproblem der Tourenplanung betrachtet, das auch als "Vehicle Routing Problem with Time Windows" (VRPTW) bezeichnet wird. Das VRPTW läßt sich wie folgt beschreiben (vgl. DOMSCHKE 1997): Innerhalb einer Planungsperiode sind von einem Depot aus n Kunden mit Fahrzeugen derselben Fahrzeugkapazität zu bedienen. Für jeden Kunden sind ein Bedarf, eine Bedienungsdauer und ein Zeitfenster gegeben. Der Bedarf eines Kunden ist durch genau eine Bedienung innerhalb des Kundenzeitfensters zu decken. Jedes Fahrzeug darf innerhalb der Planungsperiode nur einmal eingesetzt werden. Der früheste mögliche Abfahrzeitpunkt vom Depot sowie der späteste Zeitpunkt, zu dem ein Fahrzeug das Depot wieder erreicht haben muß, sind ebenfalls vorgegeben. Die Standorte des Depots und der Kunden sowie die kürzesten Entfernungen und die entsprechenden Fahrzeiten zwischen den einzelnen Kunden und zwischen dem Depot und den Kunden seien als bekannt vorausgesetzt. Als Optimierungsziel wird in der Literatur in der Regel mit erster Priorität die Minimierung der Fahrzeuganzahl und mit zweiter Priorität die Minimierung der von den Fahrzeugen zurückzulegende Gesamtentfernung zugrundegelegt (vgl. SOLOMON 1987). Das VRPTW ist ein kombinatorisches Optimierungsproblem, das aufgrund seiner Komplexität der Klasse der NP-schweren Problemen zuzuordnen ist (vgl. LENSTRA und RINNOY KAN 1981). In den letzten Jahren konnten mit sogenannten "modernen heuristischen Suchverfahren", wie z.b. Evolutionsstrategien (vgl. HOMBERGER 1997) und Tabu Search (vgl. TAILLARD et al. 1996), bereits gute Ergebnisse erzielt werden. Im Rahmen dieses Beitrags wird ein Simulated Annealing-Verfahren für das VRPTW vorgestellt. Der Fokus liegt auf der Beantwortung der Fragestellung, wie mit einem Nachbarschaftssuchverfahren die Fahrzeuganzahl eines Tourenplans systematisch reduziert werden kann? Zur Bewertung des entwickelten Simulated Annealing-Verfahrens werden einschlägige Benchmarkprobleme von SOLOMON (1987) berechnet und die Ergebnisse mit den besten bekannten Lösungen verglichen.

2 2 Simulated Annealing-Verfahren Der Ansatz, kombinatorische Optimierungsprobleme mit Simulated Annealing (SA) zu lösen, wurde unabhängig voneinander von KIRKPATRICK et al. (1983) und CERNY (1985) entwickelt. SA basiert auf der Grundlage des von METROPOLIS et al. (1953) entwickelten Algorithmus zur Simulation der Abkühlung von Festkörpern. Ausgehend von einer Startlösung wird im Rahmen des SA eine stochastische Nachbarschaftssuche durchgeführt. Zu diesem Zweck wird in jeder Iteration aus der Nachbarschaft N(S) der aktuellen Lösung S eine Nachbarlösung S' N(S) zufällig ausgewählt. Die Entscheidung, ob S' als Folgelösung akzeptiert wird, d.h. die Suche von der ausgewählten Nachbarlösung S' weitergeführt wird, hängt von den Kosten C(S) und C(S') der Lösungen ab. Die Nachbarlösung S' wird in jedem Fall akzeptiert, falls sie eine Verbesserung gegenüber S darstellt, d.h. niedrigere Kosten als S aufweist. Hingegen wird die Nachbarlösung S' nur mit einer Wahrscheinlichkeit akzeptiert, falls S' mit höheren Kosten als S bewertet wird. Die Wahrscheinlichkeit P = EXP(- C/T) eine schlechtere Lösung zu akzeptieren ist von der Kostendifferenz C = C(S') C(S) und dem als "Temperatur" T bezeichneten Verfahrensparameter abhängig. Der Verfahrensparameter T wird während der Suche entsprechend einem sogenannten "Kühlplan" variiert. Häufig wird eine geometrische Funktion α(t) = at, a < 1, zur Reduktion der Temperatur herangezogen. Die pro Temperatur durchzuführende Anzahl an Iterationen nrep wird gewöhnlich in Abhängigkeit der Problemgöße festgelegt. Die Entwicklung eines Simulated Annealing-Verfahrens für ein bestimmtes kombinatorisches Optimierungsproblem erfordert zum einen problemspezifische Entwurfsentscheidungen, insbesondere die Definition einer Nachbarschaftsstruktur und die Wahl einer geeigneten Kostenfunktion, sowie zum anderen generische Entwurfsentscheidungen wie z.b. die Festlegung der Starttemperatur und die Wahl eines geeigneten Kühlplans (vgl. REEVES 1993). 3 Entwickeltes Simulated Annealing-Verfahren für das VRPTW Den meisten der in der Literatur diskutierten Lösungsverfahren liegen Ansätze zugrunde, bei denen gleichzeitig die Fahrzeuganzahl und die von den Fahrzeugen zurückzulegende Gesamtentfernung minimiert wird (vgl. POTVIN und BENGIO 1996, TAILLARD et al sowie CHIANG und RUSSELL 1996). Wie RETZKO (1995) zeigt, wächst die von den Fahrzeugen zurückzulegende Gesamtentfernung, falls die Zahl der eingesetzten Fahrzeuge unter einen bestimmten Wert weiter reduziert wird. Aus diesem Grunde kann umgekehrt - ausgehend von einem gegebenen Tourenplan - die Suche nach einem Tourenplan mit einer geringeren Fahrzeuganzahl durch das gleichzeitige Verfolgen des Ziels der Verringerung der Gesamtentfernung erschwert werden. Daher wird nachfolgend ein zweiphasiger Verfahrensansatz gewählt. Während in der ersten Phase zunächst versucht wird, ohne Berücksichtigung der Gesamtentfernung einen zulässigen Tourenplan mit einer minimalen Fahrzeuganzahl zu berechnen, wird ausgehend von der in der ersten Phase berechneten Lösung in der sich anschließenden zweiten Phase die von den Fahrzeugen zurückzulegende Gesamtentfernung minimiert. Den beiden Phasen des entwickelten Simulated Annealing-Verfahrens liegen jeweils unterschiedliche Entwurfsentscheidungen zugrunde. Im Rahmen dieses Beitrags wird im wesentlichen auf die problemspezifischen Entwurfsentscheidungen der ersten Phase eingegangen. Zu Beginn des Verfahrens wird mit Hilfe des Savingsverfahren von CLARKE und WRIGHT (1964) eine zulässige Startlösung für die nachfolgende Nachbarschaftssuche berechnet. Für die iterative Berechnung von Nachbarlösungen während der ersten Phase wird hier das komplexere Konzept des "Compound-Move" verwendet. Compound-Moves setzen sich aus verschiedenen einfachen Move-Operatoren zusammen. Nach GLOVER (1991) und OSMAN (1993) stellen sie ein besonders effektives Konzept dar. Im gegebenen Fall werden zwei einfache Move-Operatoren in einen Compound-Move einbezogen: 1. Ein aus der Menge MoveSet = {Or-Opt-Move, 2Opt*-Move, 1-Single-Interchange-Move} zufällig ausgewählter Move-Operator.

3 2. Ein modifizierter Or-Opt-Move, der dem Ziel der Verringerung der Fahrzeuganzahl durch weitestgehende Auflösung einer Tour dient. Die Operatoren der Menge MoveSet gehen auf folgende Autoren zurück: Dem Or-Opt-Move liegt ein Tauschkonzept von OR (1976) zugrunde. Explizit unter der Bezeichnung "Move" führten OSMAN (1993) den 1-Single-Interchange-Move und POTVIN et al. (1996) den 2Opt*-Move ein. Ausgehend von einem zulässigen Tourenplan tp wird eine zulässige Nachbarlösung in zwei Schritten berechnet. Im ersten Schritt wird mit Hilfe eines aus der Menge MoveSet zufällig gewählten Move-Operators eine zulässige Nachbarlösung tp' berechnet. Exemplarisch sei nachfolgend der Or-Opt-Move kurz beschrieben. Ein Or-Opt-Move faßt eine Ausfüge- und eine Einfügeoperation zusammen. Mittels dieser Operationen wird eine Sequenz von einem oder mehreren Kunden aus einer Tour t eines Tourenplans tp ausgefügt und anschließend an einer anderen Stelle von tp wieder eingefügt. Im Falle nur eines Kunden gilt: Ein Kunde i* wird aus der ihm bedienenden Tour t = (0,..., i*-, i*, i*+,..., 0) ausgeführt, indem die verbleibenden Kunden der Tour t unter Ausschluß des Kunden i* in der ursprünglichen Reihenfolge bedient werden. Die um den Kunden i* reduzierte Tour t 1 lautet dann: t 1 = (0,..., i*-, i*+,..., 0). Handelt es sich bei der Tour t um eine Pendeltour, d.h. das Fahrzeug bedient ausschließlich den Kunden i*, so wird der Kunde i* aus der Tour t ausgefügt, indem die Tour t aufgelöst wird. Ein ausgeführter Kunde i* wird in eine Tour t 2 des Tourenplans eingefügt, indem die Tour t 2 nur die Bedienung des Kunden i* erweitert wird. Wird die Einfügestelle durch zwei aufeinanderfolgende Orte (j, j+) bezeichnet, so gilt: t 2 = (0,..., j, j+,..., 0). Durch das Einfügen des Kunden i* ergibt sich die Tour t 3 = (0,..., j, i*, j+,..., 0). Grundsätzlich ist es nicht ausgeschlossen, daß ein Kunde wieder in die Tour eingefügt wird, aus der er ausgeführt wurde. Allerdings kann sich dann die Einfügestelle von der Ausfügestelle unterscheiden. Sowohl die Sequenz der auszufügenden Kunden als auch die Einfügeposition werden, unter Berücksichtigung der Restriktionen, zufällig ausgewählt. Im zweiten Schritt wird aus dem berechneten Tourenplan tp' mittels eines modifizierten Or-Opt- Operators die Nachbarlösung tp'' berechnet. Der modifizierte Or-Opt-Operator zielt auf die Berechnung eines Tourenplans mit einer geringeren Fahrzeuganzahl ab. Zu diesem Zweck wird versucht, diejenige Tour t s tp' des Tourenplans tp' weitestgehend aufzulösen, welche die geringste Anzahl von Kunden aufweist. t s wird nachfolgend auch als "kleinste" Tour bezeichnet. Das Einfügen von Kunden wie folgt präzisiert: Die Kunden der Tour t s werden entsprechend ihrer Bedienungsreihenfolge nacheinander in je eine Tour t t s, t tp' eingefügt, sofern die Restriktionen des VRPTW nicht verletzt werden. Existieren für einen Kunden k t s alternative Einfügestellen (i, i+) in anderen Touren, so sind zwei Fälle zu unterscheiden: Falls ein Index i+ einen Kunden bezeichnet, wird die durch das Einfügen bewirkte Verschiebung der frühestmöglichen Abfahrtszeit bei dem Kunden i+ als Entscheidungskriterium herangezogen. Falls ein Index i+ das Depot bezeichnet, dient dagegen die durch das Einfügen bewirkte Verschiebung der frühest möglichen Ankunftszeit am Depot i+ als Entscheidungskriterium. Existieren mehrere zulässige Einfügestellen mit gleicher minimaler Verschiebezeit, so wird diejenige Einfügestelle gewählt, für die die zusätzlich zu fahrende Strecke ein Minimum annimmt. Sofern kein Kunde der Tour t s wegen drohender Verletzung der Restriktionen in eine andere Tour t t s, t tp', eingefügt werden kann, wird keine Veränderung an tp' vorgenommen. Die "Kosten" eines Tourenplans tp - im weiteren Sinne - können prinzipiell durch den Zielfunktionswert, also in der ersten Phase durch die Fahrzeuganzahl CF(tp), ausgedrückt werden. In dem Fall, daß zwei zu bewertende Tourenpläne die gleiche Fahrzeuganzahl aufweisen, werden beide Tourenpläne auch mit den gleichen Kosten bewertet. Eine Entscheidung, welche Suchrichtung zu präferieren ist, kann in diesem Fall nicht ohne weiteres getroffen werden. Aus diesem Grunde wurden zwei weitere, die Kosten beschreibende Kennzahlen gewählt, welche die Aussicht auf den Erfolg der

4 Einsparung eines weiteren Fahrzeugs mit einbeziehen. Auf diese Weise wird die Suchrichtung im Hinblick auf eine bessere Zielerreichung des primären Zielkriteriums festgelegt. Die beiden zusätzlich entwickelten Kennzahlen beziehen sich auf die kleinste Tour t s eines Tourenplans tp und schätzen auf unterschiedliche Art ab, wie leicht die Tour t s im Zuge der weiteren Suche vollständig aufgelöst werden kann. Als erste, ganz einfache Kennzahl CK(tp) dient die Anzahl der Kunden, die in der Tour t s bedient werden. Unterstellt wird also, daß ein kleiner Wert für CK(tp) die vollständige Auflösung der Tour t s begünstigt. Als zweite Kennzahl CV(tp) wird die hier so bezeichnete "drohende Verletzung der Zeitfensterrestriktionen " berechnet. Mit der Kennzahl wird abgeschätzt, um wieviel Zeiteinheiten die Zeitfensterrestriktionen verletzt werden, falls man die Tour t s vollständig auflösen würde. In dem in Abb. 1 dargestellten Beispiel wird abgeschätzt, um wieviel Zeiteinheiten die Zeitfensterrestriktionen verletzt werden, wenn der Kunde k = 4 der kleinsten Tour zwischen die Orte i = 2 und i+ = 3 eingefügt wird. Geographische Darstellung einer Tour: 2 Legende: ZV 1 ZV Zeitliche Darstellung einer Tour: Zeitfenster Bedienungszeit Wartezeit Bedienungsreihenfolge t 1 t 2 t 4 t 3 sa t Depot Abb. 1. Berechnung von Zeitfensterverletzungen. Nachdem die Kunden 1 und 2 innerhalb ihres Zeitfensters bedient wurden, erreicht das Fahrzeug den eingefügten Kunden k = 4 außerhalb des Bedienungszeitfensters. Die Bedienung des Kunden wird in Bezug auf die spätest zulässigen Beginn der Bedienung um die dargestellte ZV 1 verzögert. Durch Rückwärtsrechnung ausgehend vom Depot läßt sich die späteste Ankunftszeit sa bei dem Kunden i+ = 3 für den Fall berechnen, daß das Fahrzeug gerade noch rechtzeitig zu dem Depot zurückkehrt. Kommt das Fahrzeug jedoch, wie in Abb. 1 angenommen, erst nach dem Zeitpunkt sa an, so ergibt sich eine positive Zeitdifferenz die in der Abb. 1 ebenfalls dargestellte Zeitfensterverletzung ZV 2. Durch Addition der berechneten Zeitfensterverletzungen ZV 1 und ZV 2 erhält man für das Beispiel einen Wert für die drohende Verletzung der Zeitfensterrerstriktionion, falls man die kleinste Tour auflösen würde. Über die Akzeptanz der durch einen Compound Move berechneten Nachbarlösung tp'' wird nun entsprechend der in Abb. 2 dargestellten Vorgehensweise entschieden. Sofern die berechnete Nachbar-

5 lösung tp'' N(tp) bezüglich einer der drei Kennzahlen CF, CK oder CV eine Verbesserung gegenüber der aktuellen Lösung tp darstellt, wird diese als neue aktuelle Lösung akzeptiert und die Suche von tp'' fortgeführt. In dem Fall, daß die Nachbarlösung sowohl einen größeren Wert CK als auch einen größeren Wert CV aufweist, wird die Nachbarlösung nur mit einer, in der Abb. 2 angegebenen Wahrscheinlichkeit akzeptiert. Es sei ergänzend bemerkt, daß sich die Fahrzeuganzahl CF aufgrund der verwendeten Move-Operatoren nicht vergrößern kann. CF := CF(tp'') - CF(tp); CK := CK(tp'') - CK(tp); CV := CV(tp'') - CV(tp); IF ( ( CF < 0) OR ( CK < 0) OR ( CV < 0) ) THEN ELSE Bestimme Zufallszahl R [0,1) IF ( EXP (- CV/ T) > R ) tp := tp''; THEN tp := tp''; ELSE Abb. 2. Akzeptanz einer Nachbarlösung. Was die generischen Entwurfsentscheidungen der ersten Phase anbelangt, sei bemerkt, daß im wesentlichen die Konzepte von VAN LAARHOVEN und AARTS (1987) angewandt werden. Wie einführend bereits beschrieben, wird die Temperatur entsprechend der Funktion α(t) = at reduziert. Die für jede Temperatur durchzuführende Anzahl an Abkühlungsschritten nrep(n) = bn wird in Abhängigkeit der Problemgröße n festgelegt. Die Phase 1 wird abgebrochen, sobald eines der nachfolgenden Stoppkriterien erfüllt ist: (1) Innerhalb von ks Kühlschritten erfolgte keine Auflösung einer Tour. (2) Die Temperatur fällt unter den kritischen Wert T min. (3) Die Auflösung einer weiteren Tour ist aufgrund der begrenzten Ladekapazitäten der Fahrzeuge nicht möglich. Auf die Entwurfsentscheidungen der zweiten Phase wird in diesem Beitrag nicht eingegangen. Hinsichtlich der Problematik, die Gesamtentfernung zu minimieren, sei auch auf die zahlreich in der Literatur vorhandenen Ansätze hingewiesen [vgl. TAILLARD et al und GLOVER 1991]. 3 Evaluierung Nachfolgend wird kurz auf die Festlegung der Verfahrensparameter eingegangen und die erzielte Lösungsqualität beschrieben. Im Rahmen einer durchgeführten Parameterstudie haben sich die in der folgenden Tab. 1 dargestellten Parameterwerte als geeignet herausgestellt. Diese wurden für alle Problemberechnungen beibehalten. T 0 A b ks T min Tab. 1. Parameterwerte. Berechnet wurden die von SOLOMON (1987) beschriebenen 56 Probleminstanzen, die in der Literatur üblicherweise zur Verfahrensbewertung herangezogen werden. Die Ergebnisse wurden mit den besten

6 bekannten Lösungen verglichen. Alle Problemberechnungen wurden auf einem PC (Pentium- Prozessor, 200 MHz) durchgeführt. Mit dem entwickelten Simulated Annealing-Verfahren konnte für 55 Probleminstanzen die jeweils geringste bekannte Fahrzeuganzahl gefunden werden. Andere aus der Literatur bekannten Verfahren ermitteln jeweils für eine geringere Anzahl von Probleminstanzen die bzgl. des primären Zielkriteriums "Fahrzeuganzahl" besten bekannten Lösungen (vgl. Homberger). Der Tab. 2 sind die Werte für die kumulierte Fahrzeuganzahl, die mit den aus der Literatur bekannten Lösungsverfahren berechnet wurden, zu entnehmen. Referenzverfahren Kumulierte Fahrzeuganzahl Kumulierte Gesamtentfernung Homberger und Gehring (1998) / beschriebenes SA Homberger und Gehring (1997) Taillard et al. (1996) Bachem et al. (1997) Rochat und Taillard (1995) Thangiah et al. (1995) Potvin et al. (1996) Chiang und Russell (1996) Potvin und Bengio (1996) Kontoravdis und Bard (1995) Tab. 2. Vergleich kumulierter Ergebnisse für die 56 Problembeispiele von SOLOMON (1987). Um die Robustheit des entwickelten Simulated Annealing-Verfahren zu bewerten, wurde jede Probleminstanz fünf mal berechnet. Jede der fünf Berechnungen einer Probleminstanz wurde mit unterschiedlichen Zufallszahlen durchgeführt. Im folgenden wird die einmalige Berechnung aller Probleminstanzen als Berechnungslauf bezeichnet. In der Tab. 3 werden für den besten und den schlechtesten der fünf Berechnungsläufe die kumulierte Fahrzeuganzahl und die zur Ermittlung der besten Lösungen benötigte mittlere Rechenzeit angegeben. Bester Berechnungslauf Schlechtester Berechnungslauf Kumulierte Fahrzeuganzahl Mittlere Rechenzeit Kumulierte Fahrzeuganzahl Mittlere Rechenzeit sec sec Tab. 3. Vergleich des besten und des schlechtesten Berechnungslaufs. Die skizzierten Ergebnisse zeigen, daß die beschriebene erste Phase des entwickelten Simulated Annealing-Verfahrens gut geeignet ist, für Probleminstanzen des VRPTW Lösungen mit einer geringen Fahrzeuganzahl in kurzer Rechenzeit zu berechnen. Literatur Bachem, A.; Bodmann, M.; Bolz, G.; Emden-Weinert, T.; Erdmann, A.; Kiahaschemi, M.; Monien, B.; Prömel, H. J.; Schepers, J.; Schrader, R.; Schulze, J.; Tschöke, S. (1997): Verbundprojekt PARALOR: Parallele Algorithmen zur Wegeoptimierung in Flugplanung und Logistik. Universität Köln, Angewandte Mathematik und Informatik, Report No , Köln Cerny, V. (1985): Thermodynamical approach to the traveling salesman problem: An efficient simulation algorithm. Journal of Optimization theory and application 45: 41-51

7 Chiang, W.; Russell, R. A. (1996): Simulated annealing metaheuristics for the vehicle routing problem with time windows. Annals of Operations Research 63: 3-27 Clarke, G. and Wright, J. W. (1964) Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points. Operations Research 12: Domschke, W. (1997): Logistik: Rundreisen und Touren. 4. Aufl. Oldenbourg, München Glover, F. (1991) Multilevel tabu search and embedded search neighborhoods for the traveling salesman problem. Working paper, Graduate School of Business and Administration, University of Colorado, Boulder, Colorado. Homberger, J. (1997): Zwei Evolutionsstrategien für das Standardproblem der Tourenplanung mit Zeitfensterrestriktionen. In: Biethahn, J.; Hönerloh, A.; Kuhl, J.; Leisewitz, M.-C.; Nissen, V.; Tietze, M. (Hrsg.): Betriebswirtschaftliche Anwendung des Softcomputing. Vieweg, Wiesbaden Kirkpatrick, S.; Gelatt Jr., C. D.; Vecchi, M. P. (1983): Optimization by simulated annealing. Science 220: Kontoravdis, G.; Bard, J. F. (1995): A GRASP for the vehicle routing problem with time windows. ORSA Journal on Computing 7: Lenstra, J.; Rinnooy Kan, A. (1981): Complexity of vehicle routing and scheduling problems. Networks 11: Metropolis, N.; Rosenbluth, M.; Rosenbluth, A.; Teller, A.; Teller, E. (1953): Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics 21: Or, I. (1976) Traveling salesman-type combinatorial problems and their relation to the logistics of blood banking. Ph.D. thesis, Department of Industrial Engineering and Management Science, Northwestern University, Evanston, IL Osman, I. H. (1993) Metastrategy simulated annealing and tabu search algorithms for the vehicle routing problem. Annals of Operations Research 41: Potvin, J.-Y.; Kervahut, T.; Garcia, B.-L.; Rousseau, J.-M. (1996): The vehicle routing problem with time windows, part 1: Tabu search. INFORMS Journal on Computing 8: Potvin, J.-Y.; Bengio, S. (1996): The vehicle routing problem with time windows, part 2: Genetic search. INFORMS Journal on Computing 8: Reeves C. R. (1993): Modern heurstic techniques for combinatorial problems. John Wiley & Sons, Inc, New York Retzko R. (1995): Flexible Tourenplanung mit selbstorganisierenden Neuronalen Netzen. Unitext, Göttingen Rochat, Y.; Taillard, E. D. (1995): Probabilistic diversification and intensification in local search for vehicle routing. Universität Montreal, Centre de recherche sur la transportation, CRT-95-13, Montreal Solomon, M. M. (1987): Algorithms for the vehicle routing and scheduling problems with time window constraints. Operations Research 35: Taillard, E. D.; Badeau, P.; Gendreau, M.; Guertin, F.; Potvin, J.-P. (1996): A tabu search heuristic for the vehicle routing problem with soft time windows. Universität Montreal, Centre de recherche sur la transportation, CRT-95-66, Montreal Thangiah, S. R.; Osman, I. H.; Sun, T. (1995): Metaheuristics for vehicle routing problems with time windows. Research Report No: UKC/IMS/OR94/8. Institute of Mathematics and Statistics, University of Kent. Van Laarhoven, P. J. M.; Aarts E. H. L. (1987): Simulated annealing: Theory and applikations. D. Reidel Publishing Company,. Dordrecht VERÄNDERUNGEN

8 3.1 Erste Verfahrensphase Zu Beginn des Verfahrens werden mit Hilfe des Savingsverfahrens von Clarke und Wright eine zulässige Startlösung für die nachfolgende Nachbarschaftssuche berechnet. Die der Nachbarschaftssuche zugrunde liegenden problembezogenen Entwurfsentscheidungen, insbesondere die verwendete Nachbarschaftsstruktur und die Kostenfunktion, sowie die durch den Kühlplan festgelegten verfahrensbezogenen Entwurfsentscheidungen werden nun beschrieben. Nachbarschaftsstruktur Kostenfunktion Kühlplan 3.2 Zweite Verfahrensphase Ausgehend von dem in der ersten Verfahrensphase berechneten besten Tourenplan wird in der zweiten Verfahrensphase die Gesamtentfernung minimiert. Die zu diesem Zweck für die zweite Verfahrensphase getroffenen Entwurfsentscheidungen werden nachfolgend kurz beschrieben. Im Unterschied zur ersten Verfahrensphase wird bei der Berechnung einer Nachbarlösung auf die Anwendung des modifizierten Or-Opt-Moves verzichtet. In jeder Iteration wird lediglich ein aus der Menge MoveSet = {Or-Opt-Move, 2Opt*-Move, 1-Single-Interchange-Move} zufällig ausgewählter Move-Opertator angewendet. Die Kosten eines Tourenplans werden in der zweiten Phase durch die Gesamtentfernung ce(tp) ausgedrückt. Eine berechnete Nachbarlösung tp' wird auf jeden Fall akzeptiert, sofern sie eine geringere Gesamtentfernung als tp aufweist, also ce(tp') < ce(tp) gilt. In dem Fall, daß die Nachbarlösung tp' eine Verschlechterung gegenüber tp darstellt, also ce > 0 mit ce = ce(tp') - ce(tp) gilt, wird tp' mit der Wahrscheinlichkeit p = EXP(- ce / t) akzeptiert. Die Temperatur wird zu Beginn der zweiten Phase neu initialisiert. Die Berechnung der neuen Starttemperatur und deren Variation werden entsprechend den Konzepten von Van Laarhoven und Aarts nach einem polynomialen Kühlplan durchgeführt. Wie die Tab. 2 zeigt, konnte mit dem entwickelten Simulated Annealing-Verfahren bzgl. des primären Zielkriteriums "Fahrzeuganzahl" die besten Werte berechnet werden. Ein Vergleich bzgl. des sekundären Zielkriteriums "Gesamtentfernung" ist bei unterschiedlicher Fahrzeuganzahl nur bedingt möglich, da die Einsparung eines Fahrzeugs eine Erhöhung der Fahrstrecke zwingend voraussetzen kann. Dennoch ist festzustellen, daß die Verfahren von Taillard sowie Rochat und Taillard bessere Werte bzgl. des sekundären Zielkriteriums erzielen konnten.

9 Die skizzierten Ergebnisse zeigen, daß die hier im Vordergrund stehende erste Phase des entwickelten Simulated Annealing-Verfahrens gut geeignet ist, für Probleminstanzen des VRPTW Lösungen mit einer geringen Fahrzeuganzahl zu berechnen. Darüber hinaus kann die mit der zweiten Phase erzielte Gesamtentfernung als ordentlich bezeichnet werden, so daß insgesamt mit der zweiphasigen Konzeption des Simulated Annealing Verfahrens ein geeigneter Lösungsansatz für Probleminstanzen des VRPTW vorgestellt wurde.

10 Im Vergleich des besten mit dem schlechtesten Berechnungslauf fällt auf, daß die berechneten kumulierten Werte für die Fahrzeuganzahl lediglich um zwei Fahrzeuge voneinander abweichen. In Bezug auf die mit dem besten Berechnungslauf insgesamt erzielte Fahrzeuganzahl beträgt die Abweichung lediglich 0.5%. Die erste Phase des Simulated Annealing kann somit als sehr robust bezeichnet werden.

11 Um die Lösungsqualität bzgl. der Gesamtentfernung besser beurteilen zu können, wurde daher ein Vergleich mit den besten von Taillard berechneten Lösungen für die 51 Probleminstanzen durchgeführt, bei denen die gleiche Fahrzeuganzahl vorlag. Für die Probleminstanzen (außer R104, R110, R112, R207 und RC202) konnte mit dem Verfahren von Taillard eine kumulierte Gesamtentfernung von Einheiten, mit dem Simulated Annealing eine kumulierte Gesamtentfernung von Einheiten berechnet werden. Insgesamt ist zu bemerken, daß für die in Tab. 4 aufgeführten Probleminstanzen neue Bestlösungen bezüglich der Gesamtentfernung berechnet wurden. Probleminstanz Bestes Literaturergebnis Beste berechnete Lösung (vgl. Taillard 1996) R , ,80 R , ,73 R , ,46 R , ,40 R , ,11 R , ,84 R , ,47 R , ,65 R , ,12 R , ,38 R , ,05 RC , ,09 RC , ,28 RC , ,82 RC , ,04 Tab. 4: Neue Bestlösungen