Heuristiken im Kontext von Scheduling
|
|
- Oldwig Fischer
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Heuristiken im Kontext von Scheduling Expertenvortrag CoMa SS 09 CoMa SS 09 1/35
2 Übersicht Motivation Makespan Scheduling Lokale Suche Weitere Metaheuristiken Zusammenfassung Literatur CoMa SS 09 2/35
3 Motivation Heuristiken Es gibt eine Menge schwieriger Optimierungsprobleme da draußen. Angenommen: Wir müssen ein Problem dringend lösen Aber wir kennen die Struktur nicht. Wir haben keinen Algorithmus, der uns eine beste Lösung berechnet. Beste Lösung durch vollständige Enumeration. Kann je nach Problem hässlich viel werden. Laufzeit von O(2 n ) ist schon für n 20 nicht mehr machbar. Idee: gute Lösungen durch eine Heuristik. CoMa SS 09 3/35
4 Heuristik Ein Optimierungsproblem besteht aus einem Suchraum S mit zulässigen (potentiellen) Lösungen, einer Bewertungsfunktion c : S R und einem Optimierungsziel min oder max. Gesucht ist eine beste Lösung bezüglich der Bewertungsfunktion und des Optimierungsziels. Definition Eine Heuristik ist ein Algorithmus, der eine zulässige Lösung einer Probleminstanz generiert, aber nicht notwendigerweise eine optimale Lösung. Ziel: Finde eine Lösung nahe am Optimum in akzeptabler Zeit. In der Praxis Heuristiken,... für die man Gütegarantie angeben kann und/oder die in der Praxis gut abschneiden und die gute (polynomiale) Laufzeit haben. CoMa SS 09 4/35
5 Motivation Scheduling Kasse im Supermarkt Bediene Kunden entsprechend ihrer Ankunftszeit. Kunden mit geringer Einkaufsmenge vorlassen? Wartezeit der nachfolgenden Kunden verlängert sich nur wenig. Wartezeit des Vorgelassenen verkürzt sich. Gesamtsumme der Wartezeiten wird kleiner. Unterschiedliche Ziele haben unterschiedliche optimale Reihenfolgen. CoMa SS 09 5/35
6 Übersicht Motivation Makespan Scheduling Lokale Suche Weitere Metaheuristiken Zusammenfassung Literatur CoMa SS 09 6/35
7 Paralleles Makespan Scheduling Makespan-Scheduling mit identischen Maschinen Gegeben sei eine Menge von Jobs J = {1,..., n} mit Dauer p 1,..., p n N und Menge von Maschinen M = {1,..., m}. Gesucht ist Zuteilung (Schedule) f : J M der n Jobs auf m identische Maschinen, so dass Makespan minimiert wird. Schwierigkeit max j M i J:f (i)=j Nicht für jedes interessante, Praxis-relevante Scheduling-Problem ist optimaler Algorithmus bekannt. Ziel dann: Finde einen zulässigen, möglichst guten Schedule. p i CoMa SS 09 7/35
8 Beispiel Jobs Maschinen Makespan CoMa SS 09 8/35
9 Einfache Heuristiken Algorithmus Least-Loaded (LL) Für i = 1 bis n: Weise Job i der Maschine zu, die bisher die geringste Last hat. Algorithmus Longest-Processing-Time (LPT) 1. Sortiere Jobs, so dass p 1 p 2, p n. 2. Für i = 1 bis n: Weise Job i derjenigen Maschine zu, die bisher die geringste Last hat. Güte der Algorithmen? Wie schnell berechnen sie eine Lösung? Wie gut sind die Algorithmen? Welcher von beiden ist besser? CoMa SS 09 9/35
10 Gütegarantien von Heuristiken Sei H eine Heuristik für das Scheduling-Problem Für jede Scheduling-Instanz bezeichne S H den mit der Heuristik berechneten Schedule. Für diese Scheduling-Instanz bezeichne S den optimalen Schedule. Falls es eine Zahl ρ > 1 mit c(s H ) ρ c(s ) für jede Scheduling-Instanz {J, M}, dann hat H Güte ρ. CoMa SS 09 10/35
11 Umfrage Welches ist der bessere Approximationsalgorithmus? Algorithmus Least-Loaded Für i = 1 bis n: Weise Job i der Maschine zu, die bisher die geringste Last hat. Maschine arbeitet Jobs in Reihenfolge der Zuweisung ab. Güte:? Algorithmus Longest-Processing-Time 1. Sortiere Jobs, so dass p 1 p 2 p n. 2. Für i = 1 bis n: Weise Job i derjenigen Maschine zu, die bisher die geringste Last hat. Güte:? CoMa SS 09 11/35
12 Least-Loaded Beispiel Gegeben: n = m(m 1) + 1 Jobs. Die ersten m(m 1) Jobs sind klein mit Größe 1. Der letzte Job hat Größe m. Verteile ersten n 1 kleinen Jobs auf m Maschinen Letzter Job belastet eine Maschine zusätzlich Jobs Maschinen m = Güte 2m 1 m = 2 1 m 3 7 2m 1 m Schlimmer wird es nicht mehr. CoMa SS 09 12/35
13 Theorem Algorithmus LL garantiert eine (2 1 m )-Approximation. Beweis. Untere Schranken: opt 1 m i J p i und opt max i J p i Maschine j mit Job i bestimme den Makespan, d. h. j = f (i ). Als i Maschine j zugewiesen wurde, hatte diese geringste Last: 1 m i<i p i. Gesamtlast von Maschine j höchstens 1 p i + p i = 1 p i + (1 1 m m m )p i i<i i i opt + (1 1 m )opt (2 1 m )opt CoMa SS 09 13/35
14 Longest-Processing-Time Jobs Maschinen m = m 1 Theorem LPT garantiert eine 4 3 -Approximation. Widerspruchsbeweis: Annahme: LPT habe für Eingabe p 1,..., p n Makespan > 4 3 opt. Es sei p 1 p n kürzeste Eingabesequenz mit der Eigenschaft. Sei i Job der Makespan bestimmt, es muss gelten i = n. 3 7 m CoMa SS 09 14/35
15 Job n wurde auf am wenigstens belasteter Maschine platziert: Last 1 n 1 m i=1 p i opt. p n > 1 3 opt und damit p i > 1 3 opt wegen p 1 p n Optimaler Schedule weist also höchstens zwei Jobs pro Maschine zu. Somit: n 2m Bei höchstens zwei Jobs pro Maschine ist folgender Schedule optimal: Job i für i m wird auf Maschine i gefertigt Job i für i > m auf Maschine m i + 1 Optimaler Schedule entspricht dann aber LPT Schedule Anmerkung Es existiert ein polynomielles Approximationsschema kein CoMa-Stoff CoMa SS 09 15/35
16 Precedence Constraints Zusätzliche Nebenbedingungen erleichtern die Optimierung nicht. Z. B. Reihenfolgebedingung für Bearbeitung von Jobs Supermarktbeispiel: Kunde geht erst zur Wursttheke, dann zur Käsetheke und anschließend zur Kasse Gesucht: Minimaler Makespan, der die Reihenfolge einhält. Beispiel mit einheitlichen Produktionszeiten CoMa SS 09 16/35
17 Lösungsansätze Kein Approximationsalgorithmus bekannt im allgemeinen Fall Anzahl Maschinen ist Bestandteil der Eingabe. Beliebiger Graph für Prioritäten (kein Intree oder Outtree). Nebenbedingungen abschwächen Jobunterbrechung zulassen Spezielle Struktur der Precedence Constrains fordern. Heuristik für Berechnung einer Startlösung und dann Verbesserung Z. B. große Jobs zuerst einplanen, mit kleineren auffüllen, oder Largest Number of Successors (LNS) zuerst, oder Suche nach kritischem Pfad CoMa SS 09 17/35
18 Constraint-Beispiel mit LNS LNS optimal LNS kann zu Leerzeiten auf Maschinen führen Kritischer Pfad untere Schranke für Optimallösung: Makespan von 4 4 CoMa SS 09 18/35
19 Übersicht Motivation Makespan Scheduling Lokale Suche Weitere Metaheuristiken Zusammenfassung Literatur CoMa SS 09 19/35
20 Lokale Suche Lokale Suche (LS) ist algorithmisches Prinzip zur Lösung schwieriger kombinatorischer Optimierungsprobleme Iteratives Verbesserungsverfahren. Vorteil: Einfach zu implementieren, meist schnell zu berechnen. Definition Gegeben: Menge von zulässigen Lösungen S (Lösungsraum), Bewertungsfunktion c : S R. Gesucht: Lösung s S mit c(s ) c(s) s S. O. B. d. A. Betrachtung von Minimierungsproblemen. LS bewegt sich innerhalb des Lösungsraums von einer Lösung zur anderen (Iteration) bis Abbruchkriterium erfüllt. Systematische Suche: erlaube nur Schritte zu Nachbarlösungen CoMa SS 09 20/35
21 Nachbarschaft Definition Sei S die Menge der zulässigen Lösungen. Eine Nachbarschaftsstruktur N ist eine Abbildung aus dem Lösungsraum in die Potenzmenge: N : S 2 S. Für jedes s S ist N (s) die Teilmenge von Lösungen, die in einem Schritt von s aus erreicht werden können. N (s) heißt Nachbarschaft von s. S N (s) s CoMa SS 09 21/35
22 Algorithmus LS Algorithmus Lokale Suche INPUT: Startlösung s einer Instanz I OUTPUT: lokales Optimum bezüglich einer gewählten Nachbarschaft N WHILE es gibt noch bessere Lösung s N I (s) DO wähle bessere Lösung s N I (s) setze s := s ENDWHILE Ziel Algorithmus terminiert in lokalem Optimum bezogen auf Nachbarschaft N. Keine Gütegarantien gegenüber globalem Optimum CoMa SS 09 22/35
23 Wesentliche Schritte 1. Startlösung finden 2. Nachbarschaft ermitteln nicht zu groß! 3. Auswahl eines Nachbarn First Fit: erste verbessernde Lösung Best Fit: nimm beste Lösung aus vollständiger Nachbarschaft Random Fit: wähle einen zufälligen Nachbarn... Eventuell auch Der gewählte Nachbar darf temporär den Zielfunktionswert verschlechtern. Vergleiche: Simulated Annealing und Tabu Search. Flucht aus lokalem Optimum möglich. CoMa SS 09 23/35
24 Nachbarschaft beim Scheduling Jobs Maschinen m = Nachbarschaften m m jump Ein Job i wird bzgl. der Reihenfolge auf einer Maschine an andere Stelle verschoben jump(i, p) für alle möglichen Positionen p. exchange Zwei Jobs i und j werden bzgl. ihrer Reihenfolge auf einer Maschine getauscht exchange(i, j) für alle Paare (i, j). move Ein Job wird von seiner Maschine zur Bearbeitung auf eine andere verschoben move(i, m) für alle Maschinen m. CoMa SS 09 24/35
25 jump Das schon bekannte Beispiel Jobs Maschinen m = m 1 Eine jump-operation jump(7, 1) 7 m Jobs Maschinen m = jump(7, 1) m 1 2m 1 CoMa SS 09 25/35
26 exchange Das schon bekannte Beispiel Jobs Maschinen m = m 1 m Eine exchange-operation exchange(1, 7) Jobs Maschinen m = exchange(1, 7) m 1 2m 1 CoMa SS 09 26/35
27 move Das schon bekannte Beispiel Jobs Maschinen m = m 1 Eine move-operation move(7, 3) 7 m Jobs Maschinen m = move(7, 3) m 1 2m 1 CoMa SS 09 27/35
28 Suche in Nachbarschaft Das schon bekannte Beispiel Jobs Maschinen m = m m Optimallösung durch LS 1. move(6, 2) 2. move(7, 3) 3. move(3, 1) Problem: Zwischenschritte ohne Verbesserung des Makespans CoMa SS 09 28/35
29 Übersicht Motivation Makespan Scheduling Lokale Suche Weitere Metaheuristiken Zusammenfassung Literatur CoMa SS 09 29/35
30 Simulated Annealing Erreichen einer besseren Lösung durch Umweg über eine Verschlechterung möglich. Nachbarlösungen, die besseren Zielfunktionswert liefern, werden immer akzeptiert, Verschlechterung nur mit bestimmter Wahrscheinlichkeit W. W wird durch zeitabhängigen Parameter und den Grad der Verschlechterung kontrolliert. Anfangs können stärkere Verschlechterungen auftreten Akzeptanzverhalten ermöglicht lokale Optima wieder zu verlassen, um Lösungsqualität zu verbessern. Parameter: Temperatur T (im Laufe des Verfahrens reduzieren, bis T = 0). Abkühlungsfahrplan ist wichtigste Komponente zur Beeinflussung des Erfolges Problem: Keine allgemeingültigen Regeln vorhanden CoMa SS 09 30/35
31 Tabu Search Verfahren der iterativen Verbesserung durch Nachbarschaftssuche. Ergänzung des Suchprozesses durch eine Art Gedächtnis, sog. TABU-Liste Speicherung historischer Suchschritte. Bereits besuchte Lösungen vermeiden. Auswahl der besten Nachbarschaftslösung, die nicht in der Liste steht. Mögliche Abbruchkriterien: feste Anzahl von Iterationen überschritten, leere Nachbarschaft, ausreichend gute Lösung. Problem: gute Tabu-Listenlänge a priori unbekannt CoMa SS 09 31/35
32 Übersicht Motivation Makespan Scheduling Lokale Suche Weitere Metaheuristiken Zusammenfassung CoMa SS 09 32/35
33 Zusammenfassung gesehen: Reihenfolgeprobleme Was können Heuristiken? Gütebeweise wichtig: Bestimmung unterer Schranken möglich Verbesserungsheuristik: Lokale Suche zentraler Begriff: Nachbarschaft Nachbarschaften beim Scheduling CoMa SS 09 33/35
34 Übersicht Motivation Makespan Scheduling Lokale Suche Weitere Metaheuristiken Zusammenfassung Literatur CoMa SS 09 34/35
35 Literatur Peter Brucker Scheduling Algorithms Michael Pinedo Scheduling - Theory, Algorithms, and System Simulated Annealing: wiki/simulierte_abkühlung Ingo Wegener Simulated Annealing Beats Metropolis in Combinatorial Optimization. Tabu Search: Fred Glover Tabu Search CoMa SS 09 35/35
Approximationsalgorithmen
Makespan-Scheduling Kapitel 4: Approximationsalgorithmen (dritter Teil) (weitere Beispiele und Illustrationen an der Tafel) Hilfreiche Literatur: Vazarani: Approximation Algorithms, Springer Verlag, 2001.
MehrApproximationsalgorithmen
Ausarbeitung zum Thema Approximationsalgorithmen im Rahmen des Fachseminars 24. Juli 2009 Robert Bahmann robert.bahmann@gmail.com FH Wiesbaden Erstellt von: Robert Bahmann Zuletzt berarbeitet von: Robert
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrOhne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt?
Ohne Fehler geht es nicht Doch wie viele Fehler sind erlaubt? Behandelte Fragestellungen Was besagt eine Fehlerquote? Welche Bezugsgröße ist geeignet? Welche Fehlerquote ist gerade noch zulässig? Wie stellt
Mehr1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
MehrAlgorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrDas Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual!
Das Dilemma des Einbrechers Wer die Wahl hat, hat die Qual! 0kg 4000 Euro Luster 5,5 kg, 430.- Laptop 2,0 kg, 000.- Schatulle 3,2 kg, 800.- Uhr 3,5 kg, 70.- Schwert,5 kg, 850.- Bild 3,4 kg, 680.- Besteck
MehrDas Lastverteilungsproblem
Das Lastverteilungsproblem Approximationsalgorithmen Referent Franz Brauße Veranstaltung Proseminar Theoretische Informatik Universität Trier, FB IV Dozent Prof. Dr. Henning Fernau 23.02.2012 Übersicht
MehrBabeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf
Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrScheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.
Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrStackelberg Scheduling Strategien
Stackelberg Scheduling Strategien Von Tim Roughgarden Präsentiert von Matthias Ernst Inhaltsübersicht Einleitung Vorbetrachtungen Stackelberg Strategien Ergebnisse Seminar Algorithmische Spieltheorie:
MehrApproximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling
Approximationsalgorithmen: Klassiker I Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling VO Approximationsalgorithmen WiSe 2011/12 Markus Chimani
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
MehrStellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster
Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrHäufig wiederkehrende Fragen zur mündlichen Ergänzungsprüfung im Einzelnen:
Mündliche Ergänzungsprüfung bei gewerblich-technischen und kaufmännischen Ausbildungsordnungen bis zum 31.12.2006 und für alle Ausbildungsordnungen ab 01.01.2007 Am 13. Dezember 2006 verabschiedete der
MehrEinführung in Scheduling
Einführung in Scheduling Dr. Julien Bidot Sommersemester 28 Institut für Künstliche Intelligenz Inhalt I. Definition und Formulierung des Scheduling- Problems II. Projektplanung III. Produktionsplanung
MehrLeichte-Sprache-Bilder
Leichte-Sprache-Bilder Reinhild Kassing Information - So geht es 1. Bilder gucken 2. anmelden für Probe-Bilder 3. Bilder bestellen 4. Rechnung bezahlen 5. Bilder runterladen 6. neue Bilder vorschlagen
MehrWir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen:
1 Parallele Algorithmen Grundlagen Parallele Algorithmen Grundlagen Wir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen: Dekomposition eines Problems in unabhängige Teilaufgaben.
MehrKapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume
Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen
Mehr15 Optimales Kodieren
15 Optimales Kodieren Es soll ein optimaler Kodierer C(T ) entworfen werden, welcher eine Information (z.b. Text T ) mit möglichst geringer Bitanzahl eindeutig überträgt. Die Anforderungen an den optimalen
MehrWir machen neue Politik für Baden-Württemberg
Wir machen neue Politik für Baden-Württemberg Am 27. März 2011 haben die Menschen in Baden-Württemberg gewählt. Sie wollten eine andere Politik als vorher. Die Menschen haben die GRÜNEN und die SPD in
MehrLiteratur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)
Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,
MehrS=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J
Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung
MehrKonzepte der Informatik
Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens
MehrEinführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)
Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff
MehrAnwendungsbeispiele Buchhaltung
Kostenstellen in Webling Webling ist ein Produkt der Firma: Inhaltsverzeichnis 1 Kostenstellen 1.1 Was sind Kostenstellen? 1.2 Kostenstellen in der 2 Kostenstellen in Webling 2.1 Kostenstellen erstellen
MehrAnwendungsbeispiele. Neuerungen in den E-Mails. Webling ist ein Produkt der Firma:
Anwendungsbeispiele Neuerungen in den E-Mails Webling ist ein Produkt der Firma: Inhaltsverzeichnis 1 Neuerungen in den E- Mails 2 Was gibt es neues? 3 E- Mail Designs 4 Bilder in E- Mails einfügen 1 Neuerungen
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrWas meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?
Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrBerechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien
Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
MehrÜbungen zur Vorlesung Induktive Statistik Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@dvz.fh-koeln.de Aufgabe 3.1 Übungen zur Vorlesung Induktive Statistik Bedingte Wahrscheinlichkeiten
MehrDie Post hat eine Umfrage gemacht
Die Post hat eine Umfrage gemacht Bei der Umfrage ging es um das Thema: Inklusion Die Post hat Menschen mit Behinderung und Menschen ohne Behinderung gefragt: Wie zufrieden sie in dieser Gesellschaft sind.
MehrHilfe zur Urlaubsplanung und Zeiterfassung
Hilfe zur Urlaubsplanung und Zeiterfassung Urlaubs- und Arbeitsplanung: Mit der Urlaubs- und Arbeitsplanung kann jeder Mitarbeiter in Coffee seine Zeiten eintragen. Die Eintragung kann mit dem Status anfragen,
MehrKapitalerhöhung - Verbuchung
Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.
MehrDie Komplexitätsklassen P und NP
Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 3. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Mehr4. Dynamische Optimierung
4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrGuten Morgen und Willkommen zur Saalübung!
Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10
Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrDas große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten
Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während
MehrKapitel 7 und Kapitel 8: Gleichgewichte in gemischten Strategien. Einleitung. Übersicht Teil 2 2. Übersicht 3
Übersicht Teil 2 Kaitel 7 und Kaitel 8: Gleichgewichte in gemischten Strategien Übersicht Teil 2 2 Übersicht Einleitung Was ist eine gemischte Strategie? Nutzen aus gemischten Strategien Reaktionsfunktionen
Mehr4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.
Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrKorrigenda Handbuch der Bewertung
Korrigenda Handbuch der Bewertung Kapitel 3 Abschnitt 3.5 Seite(n) 104-109 Titel Der Terminvertrag: Ein Beispiel für den Einsatz von Future Values Änderungen In den Beispielen 21 und 22 ist der Halbjahressatz
MehrDie Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie
Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der
MehrEva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit
Eva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit Frau Dr. Eva Douma ist Organisations-Beraterin in Frankfurt am Main Das ist eine Zusammen-Fassung des Vortrages: Busines
MehrBeispiel(unten ist der Spielfeldrand):
Anleitung Side by Side ist ein Puzzle mit einfachen Regeln, das in einem 6x6 (oder größerem) Gitter gespielt wird. Ziel des Spieles ist es, die leeren Kästchen mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 oder einem X zu
MehrSuche in Spielbäumen Spielbäume Minimax Algorithmus Alpha-Beta Suche. Suche in Spielbäumen. KI SS2011: Suche in Spielbäumen 1/20
Suche in Spielbäumen Suche in Spielbäumen KI SS2011: Suche in Spielbäumen 1/20 Spiele in der KI Suche in Spielbäumen Spielbäume Minimax Algorithmus Alpha-Beta Suche Einschränkung von Spielen auf: 2 Spieler:
Mehr1 Einleitung. 1.1 Motivation und Zielsetzung der Untersuchung
1 Einleitung 1.1 Motivation und Zielsetzung der Untersuchung Obgleich Tourenplanungsprobleme zu den am häufigsten untersuchten Problemstellungen des Operations Research zählen, konzentriert sich der Großteil
MehrHandbuch ECDL 2003 Professional Modul 3: Kommunikation Postfach aufräumen und archivieren
Handbuch ECDL 2003 Professional Modul 3: Kommunikation Postfach aufräumen und archivieren Dateiname: ecdl_p3_04_03_documentation.doc Speicherdatum: 08.12.2004 ECDL 2003 Professional Modul 3 Kommunikation
MehrAbschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1
B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,
MehrJÖRG RAMBAU. Neulich an der TU Berlin...
Neulich an der TU Berlin... WO BLEIBT DER AUFZUG? Grrr!! u(x, y) = 1 + 4πy Zzzzz... u 0 (ξ)e (x ξ) 2 4y dξ Kann Mathematik da helfen? Wo bleibt der Aufzug Diskrete Mathematik spart Zeit und Nerven Jörg
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
Mehr3. GLIEDERUNG. Aufgabe:
3. GLIEDERUNG Aufgabe: In der Praxis ist es für einen Ausdruck, der nicht alle Detaildaten enthält, häufig notwendig, Zeilen oder Spalten einer Tabelle auszublenden. Auch eine übersichtlichere Darstellung
MehrEinrichten einer Festplatte mit FDISK unter Windows 95/98/98SE/Me
Einrichten einer Festplatte mit FDISK unter Windows 95/98/98SE/Me Bevor Sie die Platte zum ersten Mal benutzen können, muss sie noch partitioniert und formatiert werden! Vorher zeigt sich die Festplatte
MehrBedienungsanleitung für den Online-Shop
Hier sind die Produktgruppen zu finden. Zur Produktgruppe gibt es eine Besonderheit: - Seite 1 von 18 - Zuerst wählen Sie einen Drucker-Hersteller aus. Dann wählen Sie das entsprechende Drucker- Modell
MehrAlles zu seiner Zeit Projektplanung heute
Alles zu seiner Zeit Projektplanung heute Nicole Megow Matheon Überblick Projektplanung Planen mit Graphentheorie Maschinenscheduling Ein 1 Mio. $ Problem Schwere & leichte Probleme? Zeitplanungsprobleme?
MehrReporting Services und SharePoint 2010 Teil 1
Reporting Services und SharePoint 2010 Teil 1 Abstract Bei der Verwendung der Reporting Services in Zusammenhang mit SharePoint 2010 stellt sich immer wieder die Frage bei der Installation: Wo und Wie?
MehrLange Nacht der Wissenschaft. Ein Klassiker. Die Mathematik der Kürzesten Wege
Lange Nacht der Wissenschaft Ein Klassiker Die Mathematik der Kürzesten Wege 09.06.2007 schlechte@zib.de Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB) http://www.zib.de/schlechte 2 Überblick
MehrApproximation in Batch and Multiprocessor Scheduling
Approximation in Batch and Multiprocessor Scheduling Tim Nonner IBM Research Albert-Ludwigs-Universität Freiburg 3. Dezember 2010 Scheduling Zeit als Ressource und Beschränkung Formaler Gegeben sind Jobs
MehrHIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN
HIER GEHT ES UM IHR GUTES GELD ZINSRECHNUNG IM UNTERNEHMEN Zinsen haben im täglichen Geschäftsleben große Bedeutung und somit auch die eigentliche Zinsrechnung, z.b: - Wenn Sie Ihre Rechnungen zu spät
MehrLichtbrechung an Linsen
Sammellinsen Lichtbrechung an Linsen Fällt ein paralleles Lichtbündel auf eine Sammellinse, so werden die Lichtstrahlen so gebrochen, dass sie durch einen Brennpunkt der Linse verlaufen. Der Abstand zwischen
MehrBinäre Bäume. 1. Allgemeines. 2. Funktionsweise. 2.1 Eintragen
Binäre Bäume 1. Allgemeines Binäre Bäume werden grundsätzlich verwendet, um Zahlen der Größe nach, oder Wörter dem Alphabet nach zu sortieren. Dem einfacheren Verständnis zu Liebe werde ich mich hier besonders
MehrKap. 8: Speziell gewählte Kurven
Stefan Lucks 8: Spezielle Kurven 82 Verschl. mit Elliptischen Kurven Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Zur Erinnerung: Für beliebige El. Kurven kann man den Algorithmus von Schoof benutzen, um die Anzahl
MehrInformatik-Sommercamp 2012. Mastermind mit dem Android SDK
Mastermind mit dem Android SDK Übersicht Einführungen Mastermind und Strategien (Stefan) Eclipse und das ADT Plugin (Jan) GUI-Programmierung (Dominik) Mastermind und Strategien - Übersicht Mastermind Spielregeln
MehrErstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc
Erstellen von x-y-diagrammen in OpenOffice.calc In dieser kleinen Anleitung geht es nur darum, aus einer bestehenden Tabelle ein x-y-diagramm zu erzeugen. D.h. es müssen in der Tabelle mindestens zwei
MehrPeer-to-Peer- Netzwerke
Peer-to-Peer- Netzwerke Christian Schindelhauer Sommersemester 2006 14. Vorlesung 23.06.2006 schindel@informatik.uni-freiburg.de 1 Evaluation der Lehre im SS2006 Umfrage zur Qualitätssicherung und -verbesserung
MehrLernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können.
6. Bäume Lernziele 6. Bäume Lernziele: Definition und Eigenschaften binärer Bäume kennen, Traversierungsalgorithmen für binäre Bäume implementieren können, die Bedeutung von Suchbäumen für die effiziente
MehrMotivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel.
Kontextfreie Kontextfreie Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen Bisher hatten wir Automaten, die Wörter akzeptieren Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de
MehrData Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik
Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener
MehrAnmerkungen zur Übergangsprüfung
DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung
MehrKompetitive Analysen von Online-Algorithmen
Kompetitive Analysen von Online-Algorithmen jonas echterhoff 16. Juli 004 1 Einführung 1.1 Terminologie Online-Algorithmen sind Algorithmen, die Probleme lösen sollen, bei denen Entscheidungen getroffen
MehrTheoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 11: Abstrakte Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt: A
MehrW-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik
MehrWir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden einander nicht.
2 Ein wenig projektive Geometrie 2.1 Fernpunkte 2.1.1 Projektive Einführung von Fernpunkten Wir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden
MehrDatenexport aus JS - Software
Datenexport aus JS - Software Diese Programm-Option benötigen Sie um Kundendaten aus der JS-Software in andere Programme wie Word, Works oder Excel zu exportieren. Wählen Sie aus dem Programm-Menu unter
MehrAbitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1
Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Eine Werbeagentur ermittelte durch eine Umfrage im Auftrag eines Kosmetikunternehmens vor Beginn einer Werbekampagne
MehrTevalo Handbuch v 1.1 vom 10.11.2011
Tevalo Handbuch v 1.1 vom 10.11.2011 Inhalt Registrierung... 3 Kennwort vergessen... 3 Startseite nach dem Login... 4 Umfrage erstellen... 4 Fragebogen Vorschau... 7 Umfrage fertigstellen... 7 Öffentliche
MehrInformation Systems Engineering Seminar
Information Systems Engineering Seminar Algorithmische Prüfung der Planarität eines Graphen Marcel Stüttgen, 22.10.2012 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1 Planarität - Definition Ein Graph heißt
MehrLehrer: Einschreibemethoden
Lehrer: Einschreibemethoden Einschreibemethoden Für die Einschreibung in Ihren Kurs gibt es unterschiedliche Methoden. Sie können die Schüler über die Liste eingeschriebene Nutzer Ihrem Kurs zuweisen oder
MehrAlgorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
MehrMarkovketten. Bsp. Page Ranking für Suchmaschinen. Wahlfach Entscheidung unter Risiko und stat. Datenanalyse 07.01.2015
Markovketten Markovketten sind ein häufig verwendetes Modell zur Beschreibung von Systemen, deren Verhalten durch einen zufälligen Übergang von einem Systemzustand zu einem anderen Systemzustand gekennzeichnet
MehrVirtueller Seminarordner Anleitung für die Dozentinnen und Dozenten
Virtueller Seminarordner Anleitung für die Dozentinnen und Dozenten In dem Virtuellen Seminarordner werden für die Teilnehmerinnen und Teilnehmer des Seminars alle für das Seminar wichtigen Informationen,
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrRessourceneinsatzplanung in der Fertigung
Fakultät Informatik, Institut für Angewandte Informatik, Professur Modellierung und Simulation Ressourceneinsatzplanung in der Fertigung Dr. Christoph Laroque Sommersemester 2012 Dresden, Ausblick: Ab
Mehr4 Aufzählungen und Listen erstellen
4 4 Aufzählungen und Listen erstellen Beim Strukturieren von Dokumenten und Inhalten stellen Listen und Aufzählungen wichtige Werkzeuge dar. Mit ihnen lässt sich so ziemlich alles sortieren, was auf einer
Mehr