Stan Wagon. Mathematica. in Aktion. Aus dem Amerikanischen übersetzt von Dr. Frank Eyßelein und Moritz Berger

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1 Stan Wagon Mathematica in Aktion Aus dem Amerikanischen übersetzt von Dr. Frank Eyßelein und Moritz Berger Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 9 Eine kurze Einführung 17 Notationsregeln 19 Vordefinierte Funktionen 20 Der Gebrauch von Funktionen 20 Hilfsfunktionen 23 Löschen überflüssiger Daten 24 Modifizieren von Mathematica 24 Programmfehler Primzahlen Der Test großer Primzahlen Das asymmetrische Verschlüsselungsverfahren Die Verteilung der Primzahlen Effektive Rekursionen Rollende Kreise Die Entdeckung der Zykloide Die Ableitung der Trochoide Kreise, die auf Kreisen rollen Die Zykloide und die Schwerkraft Oberflächen Die Anwendung zweidimensionaler Zeichenwerkzeuge Die Darstellung von Oberflächen Gemischte partielle Ableitungen müssen nicht zwangsläufig gleich sein Versagen des Tests für das Vorhandensein bloß eines kritischen Punktes Iterative Graphiken Rosenkurven Die Cantorsche Funktion Die Penrose-Parkettierung Das dynamische Verhalten der quadratischen Abbildung Andere Formen der kreisförmigen Bewegung 145

3 5. Iterative komplexe Graphiken Komplexe Cantorsche Mengen Iterierte Funktionssysteme Gewichtung des Chaosspiels: Der Barnsleysche Farn Juliamengen Mit der Schildkröte zur Rekursion Willkommen in der Welt der Schildkröte Rekursion durch Verändern von Symbolfolgen Eine raumfüllende Kurve Der Flug einer Schildkröte im Raum entlang einer Peano-Kurve Mathematische und botanische Bäume Andere Typen von dreidimensionalen Graphiken Ein idealer Vorratskeller Eine parametrische Trochoide Die Verwendung von Polarkoordinaten Erzeugung eines Toms oder eines Möbiusbandes mittels rotierender Kreise Einfärbung von Landkarten auf einem Toms Ein fraktales Tetraeder wird zu einem Würfel Ein besonders schönes Beispiel einer parametrisieten Oberfläche Einige Algorithmen aus der Zahlentheorie Der antike und der moderne euklidische Algorithmus Der erweiterte euklidische Algorithmus Die linearen diophantischen Gleichungen und das Problem des Schutzes von Variablennamen Der Chinesische Restsatz Kettenbrüche Ägyptische Brüche Primzahlzertifikate Imaginäre Primzahlen und teilerfremde imaginäre Zahlen Der komplexe euklidische Algorithmus Quadratische Reste Die Berechnung der Summe zweier Quadratzahlen über komplexe ggts Gauß'sche Primzahlen Summen aus zwei Quadraten via reeller ggts Quadratwurzeln modulo einer ganzen Zahl Eine allgemeine Lösung zur Berechnung der Summe zweier Quadrate Eisensteinsche Primzahlen 316

4 10. Weitere Anwendungsmöglichkeiten Die Ableitung als Bildsequenz Die Bahnen von Billardkugeln auf elliptischen Tischen Der Kunstgalarie-Satz Die Abzählbarkeit rationaler Zahlen Algebraische Zahlen Die Riemannsche Zeta-Funktion Der Einfluß der komplexen Nullstellen von L, und die Verteilung der Primzahlen 356 Anhang: Weitere Programmbeispiele 365 A.l Kapitel A. 1.1 Der Primzahlentest nach dem Wilsonschen Satz 366 A. 1.2 Ein erweiterter Primzahlalgorithmus 366 A. 1.3 Die Ver- und Entschlüsselung ganzzahliger Botschaften 366 A. 1.4 Die Funktion 7t (%) liefert die Anzahl von Primzahlen kleiner als x 367 A. 1.5 Die Riemannsche Näherung für JI (%) 368 A. 1.6 Das Abzählen von Primzahlen in einer Kongruenzklasse 368 A. 1.7 Das Abzählen von Primzahlen modulo A.2 Kapitel A.2.1 Ein Programm zur Animation einer Trochoide 369 A.2.2 Ein Programm zur Erzeugung einer Animation für Epizykloiden und Hypozykloiden 370 A.2.3 Rollende Polygone 371 A.2.4 Ein Reuleaux-Dreieck rollt innerhalb eines Quadrats 372 A.2.5 Die Zykloide als Tautochrone 374 A.2.6 Die Zykloide als Brachistochrone 376 A.3 Kapitel A.3.1 Die Berechnung der Cantorschen Menge mit Hilfe von Integralen 379 A.3.2 Die Animation von Cantorschen Funktionen 379 A.3.3 Das Sierpinski-Dreieck 380 A.4 Kapitel A.4.1 Das Chaosspiel unter Verwendung einer universellen Folge 381 A.4.2 Ausgefüllte Juliamengen für die reelle quadratische Abbildung/r 381 A.5 Kapitel A.5.1 Animationen von Bäumen 382 A.5.2 Eine rekursive Schildkröte mit Abbruchbedingung, Drehung und unter Verwendung eines Stacks 383 A.5.3 Die raumfüllenden Kurven von Sierpinski und Peano 385

5 A.5.4 Die Darstellung der Abbildung von einem Intervall auf ein Quadrat 385 A.5.5 Eine dreidimensionale Schildkröte 386 A.6 Kapitel A.6.1 Ein Test auf die paarweise Teilerfremdheit ganzer Zahlen 388 A.6.2 Der Spalt-Algorithmus für Ägyptische Brüche 388 A.6.3 Das Programm zur Erzeugung von Tabelle A.7 Kapitel A.7.1 Der Shankssche Algorithmus für Quadratwurzeln modulo einer ganzen Zahl 388 A.7.2 Primitive Darstellungen von n als fa + gb, 389 A.8 Anmerkung zur Mathematica-Version Literaturverzeichnis 393 I Mathematica-Objekte 399 II Mathematka-in-Aktion-Objekte 401 III Sachindex