Vorlesung : Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace-Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung

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1 Letzte Vorlesung : Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsbegriff Vorlesung : Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace-Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung kombinatorische Grundaufgaben (1) 1

2 Zur Erinnerung: Zufallsexperiment mathematische Beschreibung (Modellierung): Bedingungen des Experiments Ergebnismenge Ω (= Menge aller möglichen Ausgänge) Ereignis E Ω Elementarereignis ω Ω 2

3 Beispiel: Knobel-Spiel: Ereignisraum: Ω = Menge der Experimentausgänge = = { (Schere, Schere), (Schere, Papier), (Schere, Stein), (Papier, Schere), (Papier, Papier), (Papier, Stein), (Stein, Schere), (Stein, Papier), (Stein, Stein) } Elementarereignisse: jede einzelne mögliche Handstellungskombination (Handstellung Spieler 1, Handstellung Spieler 2) Ereignis (z.b.) : Spieler 1 gewinnt 3

4 Eintrittschancen von Ereignissen? n-malige Versuchswiederholung Bestimmung der relativen Eintrittshäufigkeiten Unser Versuch: 20x27 konkrete Knobelergebnisse Spieler 2 Schere Papier Stein Spieler 1 Schere Papier Stein

5 1. Die Eintrittshäufigkeiten der Elementarereignisse schwanken in unserer Versuchsserie sehr stark! (Verhältnismäßig kurze Versuchsserie.) 2. Relative Eintrittshäufigkeit für Ereignis E: h 540 (E) = = = 0, Relative Eintrittshäufigkeit für Ereignis F = Spieler 2 gewinnt : h 128 (F) = = = 0, Unsere Serie von 540 Versuchswiederholungen spricht dafür, dass das Spiel fair ist! 5

6 Aussage zu den Eintrittschancen von Ereignissen, ohne Häufigkeiten heranziehen zu müssen? - Empirisches Gesetz der großen Zahlen - Allgemeiner Ansatz, der den Anteil des interessierenden Ereignisses an der Ergebnismenge berücksichtigt: Laplace-Wahrscheinlichkeit Knobelbeispiel: P(E 1 ) = P(E 2 ) = 3 =

7 Beispiel: Versuchsbedingungen: 2 gleichlange Seile werden jeweils in der Mitte zusammengefaltet. Diese Faltstellen werden beide gleichzeitig in die Hand genommen und die Faust geschlossen, so dass die Faltenden nicht mehr zu sehen sind. Versuchsdurchführung: Die Aufgabe besteht darin, je zwei der herunterhängenden Seilenden willkürlich zusammenzubinden. Interessierendes Ereignis: Nach dem Öffnen der Faust stellt sich heraus, dass durch das Zusammen-binden ein einziger Ring entstanden ist. Frage: Handelt es sich bei diesem Versuch um ein Laplace- Experiment? Wie groß ist die Eintrittschance für das uns interessierende Ereignis? 7

8 Zufallsexperiment: Bedingungen: 2 gleichlange Seile, falten und in die Faust nehmen Experiment: willkürliches Zusammenbinden von je 2 der herunterhängenden Enden Elementarereignisse: Die 4 Seilenden E 1, E 2, E 3, E 4 paarweise verbunden. Schreibweise?? 8

9 Wir benennen die Seilenden: Seil 1 mit den Enden E 1 und E 2, Seil 2 mit den enden E 3 und E 4. Möglichkeiten für das paarweise Zusammenbinden der 4 Enden: 3 mögliche Versuchsausgänge: E 1 wird der Reihe nach mit jedem der 3 anderen Enden verbunden. 9

10 Mögliche Schreibweisen: Oder: Elementarereignisse (E 1 E 2 ; E 3 E 4 ) (E 1 E 3 ; E 2 E 4 ) (E 1 E 4 ; E 2 E 3 ) 10

11 Jedes der 3 möglichen Elementarereignisse hat die gleiche Eintrittschance: E 1 wird willkürlich mit E 2 oder E 3 oder E 4 verknotet. Die restliche Verknotung folgt dann zwingend. Laplace-Experiment mit Ω = 3 1 P(Elementarereignis)= 3 Achtung: Die Benennung der Knotenenden ist völlig willkürlich. Es gibt also genau 3 verschiedene Verknotungsmöglichkeiten. 11

12 Uns interessierendes Ereignis E: Beim Zusammenbinden ist ein Ring entstanden. Günstige Versuchsausgänge für E = Elementarereignisse, die zur Menge E gehören = {(E 1 E 3 ; E 2 E 4 ), (E 1 E 4 ; E 2 E 3 ) } Mit der willkürlichen Wahl des 2. Knotens ist der weitere Verlauf des Experiments eindeutig bestimmt! 12

13 Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E E = Ein Ring entsteht. Günstige Ausgänge: (E 1 E 3 ; E 2 E 4 ) und (E 1 E 4 ; E 2 E 3 ) E = Anzahl der Elemente von E = 2 Laplace-Wahrscheinlichkeit von E: P( E) =

14 Laplace-Experiment Berechnung der Anzahl der Elementarereignisse (= Ω ) notwendig, Berechnung der Elementeanzahl von Ereignissen notwendig. Hilfsmittel zur Anzahlsberechnung: Kombinatorik 14

15 Das Zahlenbuch, Mathematik im 4. Schuljahr, Klett Verlag 2001, S.21, im Abschnitt Zahlenkombinationen: Gibt es noch andere Möglichkeiten, wie sich die 3 Kinder auf die Schaukeln setzen können? Grundproblem der Kombinatorik: Bestimmen der Anzahl der Möglichkeiten, in den vorgegebene Objekte unter bestimmten Bedingungen zusammengestellt werden können. Unterschiedliche Bedingungen (Forderungen) unterschiedliche Regeln zur Anzahlbestimmung 15

16 Hat unser Stochastik-Kurs unmittelbare Bezugspunkte zum Mathematikunterricht in der Grundschule? 16

17 Aufgaben des Faches Mathematik im Unterricht der Grundschule Bildungsstandards Lehrplan Allgemeine mathematische Kompetenzen Problemlösen Kommunizieren Argumentieren Modellieren Darstellen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Zahlen und Operationen Raum und Form Muster und Strukturen Größen und Messen Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Prozessbezogene Kompetenzen Problemlösen Kommunizieren und Argumentieren Modellieren (Darstellen wurde integriert) Inhaltsbezogene Kompetenzen Zahlen und Operationen Raum und Form (Muster und Strukturen wurde integriert) Größen und Messen Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Die Beschreibung der Anforderungen erfolgt durch die niveaubestimmenden Aufgaben. 17

18 Die Bildungsstandards und der Lehrplan in Sachsen-Anhalt wurden auf der Grundlage des gleichen Kompetenzmodells entwickelt. Im Lehrplan sind Anforderungen aus den Bildungsstandards teilweise zusammengefasst bzw. Bereiche integriert ausgewiesen. So werden z. B. im Grundschulunterricht nur anzubahnende inhaltsbezogene Kompetenzen wie das Umgehen mit elementaren funktionalen Beziehungen, das Erkennen und Fortsetzen von Zahlenfolgen und Mustern sowie das Lösen einfacher kombinatorischer Aufgaben in den jeweils geeigneten Bereichen benannt. 18

19 Aufgabe Nr. 3 aus dem Abschnitt Jahrmarkt (Schuljahrgang 4) Niveaubestimmende Aufgaben für die Grundschule Sachsen-Anhalt

20 Wie würden Sie diese Aufgabe lösen? Entwickeln Sie ein Baumdiagramm, das beim Lösen der Aufgabe helfen könnte. Kind ganz vorne Annalena 2. Kind in der Reihe Carolin Katja Sina 3. Kind in der Reihe K S C S C K Kind ganz hinten S K S C K C 20

21 Wenn Annalena ganz vorne in der Reihe steht, gibt es also 6 (= 3 x 2) Möglichkeiten für die 4 Kinder, eine Reihe zu bilden. Wenn Annalena irgendwo in der 4-er-Reihe stehen darf, gibt es Kind ganz vorne: 2. Kind in der Reihe 3. Kind in der Reihe Kind ganz hinten 24 (= 4 x 3 x 2 x 1) Möglichkeiten 21

22 Grundaufgabe: Bestimmen der Anzahlen von Möglichkeiten Beispiel: SPIEGEL ONLINE 17. November 2005, 17:56 Wortspiel Wer nichts zu sagen hat, kann sich immer noch mit Blabla zu Wort melden - jetzt auch in schriftlicher Form. Mit der Schreibmaschine des Berliner Karikaturisten Willy Moese ist es ganz leicht, vielsagend nichts zu äußern. Das Wortspiel wird ab heute im Bonner Haus der Geschichte ausgestellt. Wie viel verschiedene Worte aus 3 Buchstaben kann man mit dieser Schreibmaschine überhaupt schreiben? 22

23 Analyse der gestellten Aufgabe: Wir wollen ein Wort der Länge 3 schreiben. Dafür stehen die 3 verschiedenen Buchstaben a, b und l zur Verfügung. Schreiben eines Wortes der Länge n : Aus unserem Buchstabenreservoir { a, b, l } wird n-mal hintereinander jeweils 1 Buchstabe ausgewählt. Hier: 3 Einzelentscheidungen sind nacheinander zu treffen. Frage: Wie viele verschiedene Worte der Länge 3 kann man schreiben? 23

24 Unser Buchstaben-Beispiel: Wie viele verschiedene Worte von 3 Buchstaben Länge können aus dem Buchstaben-Fundus {a,b,l} gebildet werden? 24

25 Produktregel zur Erzeugung von Worten der Länge m: Es sind m unabhängige Einzelentscheidungen zu treffen. Für die i-te Einzelentscheidung steht eine Menge von n i Entscheidungsmöglichkeiten zur Verfügung (i=1,,m). n n... Dann gibt es 1 2 verschiedene Möglichkeiten, eine Serie von m Einzelentscheidungen zu treffen. Beweis: m-stufiger Entscheidungsprozess Veranschaulichung durch einen Entscheidungsbaum 1. Entscheidung: n 1 Möglichkeiten, 2. Entscheidung: für jede der n 1 ersten Entscheidungen gibt es nun n 2 Möglichkeiten für die zweite Entscheidung n1 n 2 Möglichkeiten Vollständige Induktion! n m 25

26 Produktregel: Für jede natürliche Zahl m gilt: Stehen für die i-te Entscheidungsmöglichkeit n i Objekte zur Verfügung (für i=1,2,,m), so gibt es n1 n 2... nm Möglichkeiten, daraus Objektserien der Länge m zu bilden. Induktionsanfang: für m=1 ist die Aussage richtig: es gibt n 1 verschiedene Möglichkeiten; Induktionsschluss: Ind.-Voraussetzung: die Aussage ist für m=k richtig; Ind.-Behauptung: die Aussage ist dann auch für m=k+1 richtig: n n... n Ind.-Beweis: für k gibt es 1 2 k Möglichkeiten; kommt eine weitere Entscheidung dazu, erhöht sich die Gesamtanzahl der Möglichkeiten auf das n k+1 -Fache. Insgesamt gibt es nun Möglichkeiten. n1 n 2... nk nk+1 Für jede der bisherigen Möglichkeiten nun n k+1 neue Möglichkeiten fortzusetzen. Die Ind.-Behauptung ist also richtig und der Satz für jedes natürliche m bewiesen. 26

27 Buchstaben-Beispiel: Für {a,b,l}-worte der Länge 3: = 3 Insgesamt lassen sich (=27) verschiedene Worte bilden. 3 Für {a,b,l}-worte der Länge 6: = Insgesamt lassen sich 6 (=729) verschiedene Worte bilden. 3 Für {a,b,l}-worte der Länge m: m Insgesamt lassen sich 3 verschiedene Worte bilden. 27

28 Grundaufgaben der Kombinatorik: 1. Permutationen m verschiedene Objekte sollen zu Ketten der Länge m angeordnet werden. verschiedene Anordnungsmöglichkeiten Beispiel: {a,b,l}-worte der Länge 3, in denen keine Buchstabenwiederholungen zugelassen sind abl alb bal bla lab lba Für die Wahl des ersten Buchstaben gibt es 3 Möglichkeiten, für die Wahl des 2.Buchstaben nur noch 2 Möglichkeiten, für die Wahl des 3. Buchstaben nur noch 1 Möglichkeit. m(m 1)...1( = m!) 3!( = 3 2 1) verschiedene 3-Buchstaben-Worte ohne Buchstabenwiederholungen zu bilden 28

29 1. Buchstabe a b l 2. Buchstabe b l a l a b 3. Buchstabe l b l a b a 3 mal 2 mal 1 3 x 2 x 1 verschiedene mögliche Worte. 29

30 Fragen nach der Anzahl von Möglichkeiten spielen im Mathematikunterricht der Grundschule eine wichtige Rolle. Was ist für die Anordnung der Stäbchen wirklich wichtig? Nussknacker Klasse 1, S. 87, im Abschnitt Räumliche Beziehungen: Es gibt jeweils verschiedene Möglichkeiten, die Steckwürfel oder Stäbe anzuordnen. Findet diese Möglichkeiten heraus. 30

31 Die Nussknacker-Aufgaben in der Sprache der Kombinatorik: Steckwürfel: Unterer, mittlerer, oberer Steckwürfel Wir legen eine Anordnung fest und ordnen unsere 3 Würfel zu einer 3-er - Kette an Für die Farbe des unteren Würfels gibt es 3 Möglichkeiten, Für die Farbe des mittleren Würfels gibt es dann noch 2 Möglichkeiten. Für die Farbe des obersten Würfels bleibt nur noch eine Farbe übrig = 3! = Also (Produktregel!): Möglichkeiten 6 Oberer Würfel Mittlerer Würfel Anzahl der Permutationen von 3 Elementen Unterer Würfel 31

32 Die Stäbchen-Aufgabe führt ebenso auf die Permutationen von 3 Objekten: linkes Stäbchen rechtes Stäbchen unteres Stäbchen oder: Stäbchen auf Platz 1 Stäbchen auf Platz 2 Stäbchen auf Platz 3 oder:... und nun Zuordnen der Farben zu dieser Stäbchen-Abfolge. Platz 1 Platz 2 Platz 3 Anordnung aller gegebenen Objekte zu einer Kette 3! Möglichkeiten 32

33 2. Variationen ohne Wiederholung aus m verschienen Objekten sollen k Objekte ausgewählt und der Reihe nach zu einer Kette der Länge k aufgereiht werden, Objektwiederholungen sind dabei unzulässig. Produktregel (Entscheidungsbaum!): verschiene Möglichkeiten m(m 1)...(m k+ 1) Beispiel: {a,b,l}-worte der Länge 2 sollen gebildet werden, in denen keine Buchstabenwiederholungen zugelassen sind. ab al ba bl la lb 3 2 Länge 2 : Es werden also nicht alle Buchstaben aus dem Buchstaben-Fundus ausgeschöpft! Wortmöglichkeiten 33

34 Entscheidungsbaum: Für die 2. Entscheidung reduziert sich der zulässige Buchstaben- Fundus jeweils um einen Buchstaben. 3 (3 1)( = 3 2 = Es gibt zulässige Worte. 6) 34

35 3. Variationen mit Wiederholung: aus m verschienen Objekten sollen k Objekte ausgewählt und der Reihe nach zu einer Kette der Länge k aufgereiht werden, Objektwiederholungen sind dabei zulässig. Produktregel (Entscheidungsbaum!): m...m = m k verschiene Möglichkeiten Beispiel: {a,b,l}-worte der Länge 2 sollen gebildet werden, in denen Buchstabenwiederholungen zugelassen sind. aa ab al ba bb bl la lb ll 3 3 = 3 2 = 9 Wortmöglichkeiten 35

36 Entscheidungsbaum: Für die zweite Entscheidung steht derselbe Buchstaben- Fundus zur Verfügung wie für die erste Entscheidung! 3 3 Worte sind bildbar. 36

37 Das Zahlenbuch, Mathematik im 4. Schuljahr, S. 5, im Abschnitt Schriftliche Addition und Subtraktion: Wie viele verschiedene Beispiel-Zahlenpaare lassen sich für diese interessante Zahleneigenschaft finden? Wähle aus den zehn Ziffern 0, 1,, 9 drei Ziffern aus und bilde daraus eine dreistellige Zahl. Variation mit Wiederholung? Aus 10 Objekten sollen 3 ausgewählt und zu einer Kette angeordnet werden; Mehrfach-Auswahl ist erlaubt. Es gibt 10 3 Möglichkeiten. 37

38 Die Anordnung der ausgewählten Ziffern ist wesentlich! Achtung: Die Forderung dreistellige Zahl bedeutet, dass an der Hunderterposition keine Null stehen darf. Es handelt sich nicht um eine Variation mit Wiederholung! Die Idee des Entscheidungsbaumes hilft aber trotzdem Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Beispielzahlen zu bilden. 38

39 Außerdem: Bei der Ziffernauswahl darf nicht 3x dieselbe Zahl gewählt werden Von den Möglichkeiten der Ziffernauswahl sind noch 9 nicht erlaubte Fälle abzuziehen es verbleiben Möglichkeiten. 39

40 Charakteristische Eigenschaft der im Vorangegangenen betrachteten Probleme: Für die Bildung der Entscheidungsfamilien war die Reihenfolge wesentlich: mehrstufige Entscheidungsprozesse, Entscheidungsketten, Entscheidungsabfolgen Die festgelegte Reihenfolge machte eine Veranschaulichung durch einen Entscheidungsbaum möglich: 1. Entscheidungsstufe 2. Entscheidungsstufe 3. Entscheidungsstufe... 40

41 Neue Problemstellung: aus m verschienen Objekten sollen k Objekte ausgewählt (zusammengestellt) werden. Dabei spielt die Reihenfolge der einzelnen Objekte in der Zusammenstellung keine Rolle. Kombinationen (Objektwiederholungen können dabei zulässig oder auch nicht zulässig sein. 2 verschiedene Unterfälle.) Das wir Gegenstand der nächsten Verlesung sein. 41

42 Wichtige Begriffe der heutigen Vorlesung: Laplace-Experiment: Benennung der Elementarereignisse Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Kombinatorik: Grundproblem Anzahlsberechnungen Entscheidungsbaum als wichtiges Hilfsmittel! Permutationen Variationen ohne Wiederholung Variationen mit Wiederholung 42

43 Zum kommenden Montag zu lösende Übungsaufgaben: Aufgabe Nr. 20 aus dem Skript sowie die Aufgaben Nr. 1 und 2 aus dem Abschnitt der Niveaubestimmenden Aufgaben Sachsen-Anhalt Was ist wichtig an der Aufgabe Nr. 20: a) Systematisch alle möglichen Feldauslegungen ausprobieren und erfassen; Tipp: Tangram-Spiel nachbauen und ausprobieren! eine geeignete Darstellungsweise (=Schreibweise) für die verschiedenen Feldauslegungen (=Elementarereignisse unseres Versuchs Tangram-Feld auslegen ) finden Die Elemente von Ω ausschreiben. b) Wahrscheinlichkeitsberechnung für das Ereignis genau 1 Stein waagerecht. (Passt das Laplace-Modell? Begründen!) 43

44 Was ist wichtig an diesen beiden Aufgaben? Welche Anforderungen werden an Grundschulkinder im Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeit gestellt? Was muss vermittelt werden, damit die Kinder die Aufgaben lösen können? Ihre Aufgabe: Lösen Sie die beiden Aufgaben. Überlegen Sie: Würden die Kinder genauso wie Sie an die Lösung herangehen? Gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Aufgaben zu lösen? Die Aufgabenblätter liegen auf dem Flügel zum Abholen bereit! 44