Einführung in Operations Research Vorlesung 9:

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1 Einführung in Operations Research Vorlesung 9: Prof. Dr. Thomas Slawig AG Algorithmische Optimale Steuerung basierend auf einer LV, Folien und Beispielen von Prof. Dr. Klaus Jansen Institut für Informatik CAU Kiel

2 (Forts.)

3 H = {x 2 d a T x = b} a 2 d b 2 a 6= H + = {x a T x b} H = {x a T x apple b} Bemerkung: Die Anzahl der Halbräume, deren Schni= das Polyeder definieren, kann größer als die Dimension (hier: d) des Raumes sein.

4 Erinnerung Def. konvexe Menge M: x,y in M, 0<=s<=1 => sx + (1-s)y in M conv(v )={x x = X iv i, v i 2 V, X i =, i } (ohne Beweis, s. z. B. Rockafellar: Convex Analysis 1970) V conv(v ) P V j =,...,d d x j

5 P P (b) (c)

6 Beweis (c) ) (b) I Sei F = {x 2 R n : Ax = b, x I Wegen Rang A = m gilt: 0} beschränkt, Rang A = m Ax = b () () ā 11 ā 1,n m ā m1 ā m,n m x 1.. x n m x n m+1. x n = b1. bm () x n m+i = b nx m i ā ij x j, i =1,..., m. j=1

7 Beweis (c) ) (b) (Forts.) Also: Damit: Ax = b () x n m+i = b nx m i j=1 ā ij x j = b i mit x := (x j ) n m j=1 ā > i x, i =1,..., m. Ax = b, x 0 () bi ā > i x 0, i =1,...,m x j 0, j =1,...,n m I Darstellung rechts benutzt nur Variablen x =(x 1,...,x n m ) 2 R n m. I D. h. durch die Nebenbedingungen wird eine Menge P 2 R n beschrieben. I P ist Schnitt von n Halbräumen, also Polyeder,... I... und Polytop, da F beschränkt. m

8 Beweis (b) ) (c) I Sei P R n m Polytop, o.b.d.a. im positiven Orthanden, d.h. x i 0,i=1,...,n m. I Polytop ist nach Def. Schnitt von Halbräumen: X n m j=1 h ij x j apple g i, i =1,...,n. I Nach Annahme haben die ersten n m Ungleichungen die Form: x i 0, i =1,...,n m. I Einführung von Schlupfvariablen x n m+1,...,x n 0: n I ergibt: X m j=1 h ij x j + x i = g i, i = n m +1,...,n m (n [H I] x = b, H =(h ij) ij 2 R m),i 2 R m m,x 0. {z } =A2R m n

9 P F = {x Ax = b, x } ˆx =(x,...,x n m ) T 2 P ˆx x P nx m x i = g i j= h ij x j i = n m +,...,n F

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11 Wdh.: A B = {A j,...,a jm } A ji A j <...<j m B (m m) B =[A j...a jm ] B x 2 n x j = tk j = j k t =(t,...,t m ) T = B b

12 x ( ) c T xax= b, x B = {A i =,...,m} apple B( ) <...<B(m) apple n x ( ), i i= x ( ) i A = b, x ( ) i, i =,...,m. j fest: B x ij A = A j. i= > A j 62 B (vgl. Beweis ) j fest: i= (x ( ) i x ij )A + A j = b.

13 x ( ) x ( ) i > 8i x ij > (j fest): = i:xij > x ( ) i B( ) = x ( ) ` l x ij x`j A j für A B( l )

14 Für 0 := min i:x ij >0 x (0) x ij = x (0) B(`) x`j (Minimum wird für ` angenommen) gilt: b = = = i=1 i=1 i=1,i6=` x (0) 0 x ij A + 0 A j x (0) x (0) B(`) x`j x ij {z } =0,i=` x (0) 0 x ij {z } =:x (1) A + 0 A j A + 0 {z} =:x (1) j A j Setze x (1) := x(0) 0 x ij,i=1,...,m () x (1) B(`) =0) x (1) j := 0

15 b = i=1,i6=` x (0) 0 x ij {z } =:x (1) A + 0 {z} =:x (1) j A j Neue Basis B 0 = B\{A B(`) } [ {A j },d.h.b 0 (`) =j: =) x (1) B 0 (i) = Damit gilt: ( x (1) B(`) =0 x (0) 0 x ij, i 6= ` hier gilt: B 0 (i) = 0, i = ` Änderung: B 0 (`) =j b = = i=1,i6=` i=1 x (0) 0 x ij A + 0 A j x (1) B 0 (i) A B 0 (i) = nx i=1 x (1) i A i

16 x ij > x ( ) x ( ), (j fest): i = = i:xij > x ( ) i x ij =. j

17 x ij apple i= (x ( ) i x ij )A + A j = b. F

18 x ( ) x ( ) i B = {A i =,...,m} j A j 62 B x ij > x ( ) ( ) ( x ( ) i x ij i 6= ` i = ` x ( ) i = B (i) B 0 =(B\{A B(`) }) [ {A j } x ( ) ( ) ` 6= `0

19 Beweis Satz Zulässigkeit wurde oben schon gezeigt. Zu zeigen: B 0 = {A B0 (i) : i =1,...,m} linear unabhängig. I Annahme: 9d =(d 1,...,d m ) 6= 02 R m : 0= d i A B 0 (i) = i=1 i=1,i6=` d i A + d j A j (1) I Mit A j = x ij A folgt: i=1 0= i=1,i6=` (d i + d j x ij ) A + d j x`j A B(`) I Da B = {A : i =1,...,m} linear unabhängig ist, müssen alle Koe zienten Null sein, insbesondere d j x`j =0. I Da x`j > 0, folgt d j =0 I und aus (1) auch: d i =0 8i 6= j.

20 3. Beispiel n xz txs najib + EIN Ist ; II. } Aus Tableau - Schreibweise : sina.ir#:i:::: : 1 aus auf Gestalt formation [ Ä, II. 5 dulden teilen opuntia ( Coif Acg. ) : Finten, III. t.in#;iioio II

21 lw Basis roiable m. - BGH 3 B- bnx.ir#4+5bc2 { As.HR As}, ) = B( 37=5 s o in 3.no o Twwlecbr Basisuoiable Nidtbas Bspalte enthalte die heute Es gilt : An =3 Astray - Asi xij?_? tinab.ci ) : A. t.sk/tzl:.h:nlciiit4itugc.ia..(tz!.i.::n )

22 : Bsp. Spalte j : 1 in Basis aufnehmen : Bestimmen : i. n. - - min. min Xio gfifzlz 312 # in o ij xijso ii T III. an :} Spalte 0 iitinso - o_o [+5 21 o 1.no 1 o 1=1 Blik 3.dk. ersetze Asdnh An neues Tableau : erzeuge in Spalte ( wieder dn.ch j.1e.lk/rsvecfw eletaefekopeathne.li#zfo.ugebasis:n!iglio:4!iisnob=ean.ae..as3 g 1 B' G) in. BKK 4. BGH 5.

23 x ij x 0 ij B B 0 x`j x 0`q = x`q/x`j q =,...n x 0 iq = x iq x 0`q x ij q =,...,n i =,...,`, ` +,...,m B 0 (i) = j i 6= ` i = `

24 Anwendung der Formeln : j -1 l, Piroteleut 1=1.EE?.14i.noso anti 9. III. III. 3 }, o n q :O,...,.si#=xlq=IfTj9iXI Xsn IFI, xz ts Xcc +5 ergibt 1. Zeile des neuen Tableaus andere zilea : 2%10- } } - ; iiz ieiii.iiii.i.ti.int?ni+inwit=yaiisiif:::.=i.3:x3j.x3q-xigx31

25 Kostenänderung bei der Transformation: I Kosten für Iterierte x (0) : z (0) := c > x (0) = nx i=1 c i x (0) i = i=1 c x (0) I x (1) : Basis B 0 : B 0 (`) =j statt B(`). ( x (1) B 0 (i) = x (1) B(`) =0 I Kosten für Iterierte x (1) : z (1) = i=1 x (0) 0 x ij, i 6= ` hier gilt: B 0 (i) = 0, i = ` Änderung: B 0 (`) =j c B0 (i)x (1) B 0 (i) = = m X i=1,i6=` c i=1 x (0) 0 x ij c + 0 c j x (0) 0 x ij {z } =0,i=` + c j 0

26 Kostenänderung bei der Transformation: I Kosten für Iterierte: z (0) = c > x (0) = z (1) = c > x (1) = i=1 i=1 c x (0) c x (0) 0 x ij + c j 0 I Di erenz: z (1) z (0) = 0 c j m X i=1 c x ij {z } =:z j = 0 (c j z j )= c j {z } =: c j I X := (x ij ) ij 2 R m n entsteht durch Diagonalisierang der Basisspalten in A =) X = B 1 A 2 R m n I c B := (c ) i=1,...,m 2 R m I =) z j = X > c B j I =) z > =(z 1,...,z n )=c > B X = c> B B 1 A.

27 j c j < > c j X B (m m) A X c B 2 Z m IR X X = B A z =(z,...,z n ) T z T = cb T X = ct B B A A

28 x ( ) x j c j = (c j z j ) c = c z x ( ) 1. Aussage: s.o.

29 Beweis Satz 3.3.6, 2. Teil Zeige: c 0=) x ist optimal. I Sei y 2 R n zulässig, also Ay = b, y 0 I c = c z 0=) (c z) > y {z } {z} 0 0 0=) c > y z > y I z > = c > B B 1 A =) c > y z > y = c > B B 1 Ay {z} =b I Also ist x globales Minimum. = c > B B 1 b {z } =x B = c > x.

30 c j c j X m c j = c j z j = c j x ij c = c j c = i= x ij = =j x ij = (, c,...,c n ) ( c ) = i

31 c j m X i= x ij c = c j z j = c j x ( ) x i c = i= i= x ( ) i c = z ( ). A j x 0 q = x q x 0`q x j q =,...,n

32 ((m + ) (n + ) X ) Opt = false; Unbounded = false; not(opt) ^ not(unbounded) x j = c j 8j Opt = true j x j < ; x ij apple 8j Unbounded = true = i:x ij> x i x ij = x` x`j ; x`j X, Unbounded.

33 (endlich viele Ecken, immer Reduk4on)

34 3in +2 xz txg m.hxntxztxstxutasrcix.cig ,1T ( Nebenbed. najib -5^1 EIN III. II. Ergänze Tableau 0 A um. Beispiel3.3.EC ^ ,2 o ansfor ata - + } Aus x 20 wie in Zeile mit Werte ( 0.cn, r.r.es 7 : u.us#.tziiiii:!:ntiii= 1 } a. mit ceauß :

35 -3 t.se o : ebenfalls zu Null bringen - x - %% - I In II durch de aufzuteilen operationen ergibt v I-0 o = wähle 2 2.no äj Spalte eitcjeo z.b.ji24.in?.i...?..a..a äxa,

36 Jetzt Spalte : 2 in ji Basis aufnehmen : ( anders als in Bsp ) Bestien : i o 0 o o ij xijso ii L.tt?ziixizs0. mir II.ci 2 f e- 1 Blik 3.dk ersetze Asdnh An. neues Tableau : in e. 2 erzeuge Spalte E.LK/rsveCfw j 0 3h 0 O alle Leerte SO Mein erreicht 13h - tz.ty.xskostef.tn/aeswwfza7=9z x Lösung :( = x % 0 O 1 0 zz T 1 %, Ff tz Basis void.. ün ± F. K 5 ninth - f-3 in 521" ' 0 -