Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie"

Angelika Amsel
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie Dr. Caroline Geisler 13. Juni 2018

Hans Berger (1873-1941) und das EEG Hans Berger zeichnete 1924 das erste EEG (Elektroenzephalogramm) eines Menschen auf.

2 Hans Berger ( ) und das EEG Hans Berger zeichnete 1924 das erste EEG (Elektroenzephalogramm) eines Menschen auf. Er beschrieb die verschiedenen Rhythmen im gesunden und kranken Gehirn, wie z.b. den Alpha-Rhythmus (7-13 Hz) während des wachen und entspannten Zustandes.

3 Oszillationen im Gehirn Verschiedene oszillatorische neuronale Aktivitäten sind mit verschiedenen Verhaltensmustern assoziiert. Rhythmische Synchronisation neuronaler Aktivität. Welche Mechanismen führen zu neuronalen Oszillationen?

4 Rhythmen des Kortex I Theta Oszillationen (7-8Hz) im Hippocampus; exploratives Verhalten; die Phase der Pyramidenzellen-Spikes codiert den genauen Ort. (Huxter 2003) Rippel Oszillationen (> 100Hz) im Hippocampus; Tiefschlaf; Reaktivierung erlebter Sequenzen; Synaptische Plastiziät (Lernen). (Csicsvari 1999)

5 Rhythmen des Kortex II Gamma Oszillationen (30-80Hz): weit verbreitet; Koexistenz mit Theta; Aufmerksamkeit; Integration Sensorischer Information (Salinas 2001 und Fries 2001)

6 Rhythmen des Kortex III Up-and-Down Oszillationen (< 1Hz): Tiefschlaf; Wechsel zwischen aktivem und hyperpolarisiertem Zustand; field units example cell

7 Neuronale Oszillationen verstehen Neurone als einzelne Oszillatoren Verbindung zwischen Neuronen Synchronisation in neuronalen Netzen Untersuchung in Experimenten und theoretischen Modellen (Buzsáki 2004)

8 (Izhikevich 2007b)

9 Neuronale Oszillation im Phasenraum A (Izhikevich 2007b und Wang 2010) dx = f(x)+εp(t) dθ = 1+ε PRC(θ)p(t)

10 Zwei gekoppelte Oszillatoren (Izhikevich 2007b)

11 System schwach gekoppelter Oszillatoren dx i = f(x i)+i syn = f(x i )+ε Die entsprechenden Phasen: n j=1 g ij (x i,x j ) dθ i = 1+ε Q i (θ i ) n j=1 g ij (x i (θ i ),x j (θ j )) Langsame Phasen-Veränderung: θ i (t)=t+φ i dφ i = ε Q i (t+φ i ) n j=1 g ij (x i (t+φ i ),x j (t+φ j ))

12 dφ i = Q i (t+φ i ) n j=1 = ω i + H ij (φ j φ i ) i j g(x i (t+φ i ),x j (t+φ j )) mit H ij (φ j φ i ) = 1 T T Zwei gekoppelte Oszillatoren: 0 Q i (t)g(x i (t),x j (t+φ j φ i )) dφ 1 dφ 2 = ω 1 + H 1 (φ 2 φ 1 ) (I) = ω 2 + H 2 (φ 1 φ 2 ) (II)

13 Zwei schwach gekoppelte Oszillatoren Subtrahiere (I) von (II), mit χ = φ 2 φ 1 und ω = ω 2 ω 1 dχ = ω+ H 2( χ) H 1 (χ) ω+ H(χ) Fixpunkt: H(χ) = ω Stabil für: dh(χ)/dχ fix < 0 (Izhikevich 2007b)

14 Beispiel aus der Übung Zwei gekoppelten Oszillatoren: φ 1 = ω 1 + c 1 sin(φ 2 φ 1 ) φ 2 = ω 2 + c 2 sin(φ 1 φ 2 ) Bestimmt werden soll Fixpunkte und deren Stabilität als Funktion von ω = ω 1 ω 2, c=c 1 + c 2 und χ = φ 2 φ 1. Subtration: χ = ω c sin(χ) Fixpunkte: χ = 0 χ1 = arcsin(ω/c), χ 2 = π arcsin(ω/c) d Stabilität: dχ χ = c cos(χ) χ1 : c cos[arcsin(ω/c)]= c 1 (ω/c) 2 < 0 stabil χ2 : c cos[π arcsin(ω/c)]=c 1 (ω/c) 2 > 0 instabil Für ω = 0: stabil in Phase; instabil in Anti-Phase

15 Was wir von zwei Oszillatoren lernen... Neurone mit Type I PRC synchronisieren anti-phasisch mit exzitatiorischen Synapsen. Aber synchronisieren mit inibitorischen Synapsen. Neurone mit Type II PRC synchronisieren in Phase mit exzitatiorischen schnellen Synapsen. Je mehr negativ die PRC, desto größer die Chance für Synchronisation. Langsame Rhythmen können mit exzitatorischen Synapsen synchronisiert werden. Schnelle Rhythmen brauchen langsame inhibitorische Synapsen zur Synchronisation. Synchronisation ist möglich mit schnellen exzitatorischen und langsamen inhibitorischen Synapsen (feed-back-loop).

16 Eine Kette aus gekoppelten Oszillatoren Beispiel: die Schwimm-Bewegungen der Neunaugen dφ 1 dφ k dφ n = ω 1 + H + (φ 2 φ 1 ). = ω k + H (φ k 1 φ k )+H + (φ k+1 φ k ). = ω n + H (φ n 1 φ n ) Welche Lösung ergibt eine Traveling Wave?

17 Synchronisation im neuronalen Netz

18 Synaptische Dynamik Exponentieller Zerfall: ds = δ(t) s τ 1 s(t) = s 0 τ e (t t 0)/τ Alpha-Funktion: (t t 0 ) s(t)=s 0 e (t t 0)/τ τ exzitatorisch: τ = 5ms inhibitorisch: τ = 20ms s(t) s(t) time [ms] time [ms]

19 Differenz zweier Exponential-Funktionen: ds dx = x(t) s τ d = δ(t 0 ) x τ r s(t) = s 0 ( e (t/τ d) e (t/τ r) ) s max ( ) τr /(τ d τ r τr )( = s 0 1 τ ) r τ d τ d s(t) time [ms]

20 Synaptischer Strom I(t): I AMPA (t) = g AMPA s AMPA (t) (V E AMPA ) I GABA (t) = g GABA s GABA (t) (V E GABA ) E AMPA = 0 mv E GABA = 75 mv time [ms] Post-Synaptisches Potential ca. < 1 mv. I(t)/g

21 Gamma Oszillationen: Synaptische Verbindungen PC IN PING: Pyramidal-InterNeuron-Gamma ING: InterNeuron-Gamma

22 Oszillationen in neuronalen Netzen Verschiedene Mechanismen können Oszillationen generieren: Excitation zwischen Neuronen: Netz aus Pyramiden-Zellen Inhibition zwischen Neuronen: Netz aus Interneuronen Exzitation-Inhibition feedback-loop. Schnelle Exzitation, langsame Inhibition. Gap-Junctions: Elektrische Kopplung zwischen Neuronen. Schrittmacher-Neurone: diktieren anderen Populationen Rhythmus (Thalamus, Mediales Septum)

23 Neuronales Netz: System aus Differential-Gleichungen Beispiel: Hodgkin-Huxley-Neurone mit 4 gekoppelten DGL für V i, h i, n i and s i dv i dh i dn i ds i = ḡna + C m3 (V i )h i (V i E Na +) ḡk + C n4 i(v i E K +) ḡl C (V i E L ) g syn C s i(v i E syn ) I app,i (t) = α h (V i )(1 h i ) β h (V i )h i = α n (V i )(1 n i ) β m (V i )n i = α 1/(1+exp( (V j θ syn )/2))(1 s i ) βs i j Nummerische Lösung in Python, C, C++, Matlab, etc.

24 Gamma Oszillationen im inhibitorischen Netzwerk Wittington, Traub und Kollegen: Gamma Oszillationen (30-80Hz) in vitro nach Blockade von AMPA und NMDA Rezeptoren. Zeit-Konstante der inhibitorischen Synapse korrelierte mit Frequenz des Rhythmus. Gamma Oszillationen im Modell: inhibitorisches Netzwerk (Wang and Buzsaki 1996) modifiziertes HH Neuron vom Type I realistische Synapsen (Wang 2010)

25 Referenzen (Buzsáki 2004) Buzski G., Draguhn A. Neuronal oscillations in cortical networks. Science 2004 Jun 25; 304 (5679): (Csicsvari 1999) Csicsvari J., Hirase H., Czurko A., Mamiya A., Buzsaki G. Oscillatory coupling of hippocampal pyramidal cells and interneurons in the behaving Rat. J Neurosci 1999 Jan; 19(1): (Fries 2001) Fries P., Reynolds J.H., Rorie A.E., Desimone R. Modulation of oscillatory neuronal synchronization by selective visual attention. Science Feb 23;291(5508): (Huxter 2003) Huxter J., Burgess N., O Keefe J. Independent rate and temporal coding in hippocampal pyramidal cells. Nature Oct 23;425(6960): (Izhikevich 2007b) Izhikevich E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. Chapter 10 (Salinas 2001) Salinas E., Sejnowski T.J. Correlated neuronal activity and the flow of neural information. Nat Rev Neurosci Aug;2(8): (Wang 2010) Wang X.-J. Neurophysiological and computational principles of cortical rhythms in cognition. Physiol. Rev. 2010, 90:

Ähnliche Dokumente

Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie

Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie Caroline Geisler geisler@lmu.de May 30, 2018 Stabilitätsanalyse in 2D Das Modell: Nullkline: dv dt dw dt = f(v) w+i F(V,w) = bv cw G(V,w) F(V,w)