Der mittlere Fehler eines digitalisierten Koordinatenwertes beträgt ± 0.3m.

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1 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 996 am 9. Juli 996 Aufgabe Für ein Flurbereinigungsverfahren wurden die Eckpunkte eines Flurstückes aus der Flurkarte digitalisiert und in das amtliche Koordinatensystem transformiert. Weiterhin ist die Fläche des Flurstückes aus dem Liegenschaftsbuch bekannt. Der mittlere Fehler eines digitalisierten Koordinatenwertes beträgt ± 0.m. Der mittlere Fehler der aus dem Liegenschaftsbuch entnommenen Fläche beträgt ± F. Alle Beobachtungen sind voneinander unabhängig. Gesucht sind die ausgeglichenen Koordinaten der Eckpunkte. x F 4 Digitalisierte Koordinaten: y Pkt y [m] x [m] 4, 7,8, 6, 9, 70, 4 70,5 0,5 Fläche aus dem Liegenschaftsbuch: F = 88 m a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Welcher Ausgleichungsansatz ( vermittelnd oder bedingt ) erscheint Ihnen geeigneter? Begründen Sie Ihre Entscheidung. c) Ermitteln Sie die ausgeglichenen Koordinaten der Punkte sowie den mittleren Fehler eines beobachteten Koordinatenwertes.

2 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 996 am 9. Juli 996 Aufgabe Eine Funktion y = f(x) soll durch ein Polynom zweiten Grades approximiert werden. Der Ansatz für das Polynom lautet: y = a + b x + c x Die folgenden Wertepaare der Funktion sind bekannt: x y=f(x), 0,5,,5 5,8,8 7, 7,6 8,6 5,9 Die x-werte sind fehlerfrei. Die y-werte wurden gleichgenau bestimmt und sind voneinander unabhängig. a) Handelt es sich um ein lineares oder ein nichtlineares Ausgleichungsproblem? b) Bestimmen Sie die ausgeglichenen Koeffizienten des Approximationspolynoms durch Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. c) Wie groß ist der mittlere Fehler eines Funktionswertes y = f(x), der mit den ausgeglichenen Polynomkoeffizienten für den Wert x = 0 berechnet wird. d) Prüfen Sie die ermittelten Polynomkoeffizienten auf deren Signifikanz ( Irrtumswahrscheinlichkeit α=0,05 ). Stellen Sie aufgrund des Testergebnisses einen ggf. vereinfachten Ansatz auf und berechnen Sie die augeglichenen Koeffizienten dieses Ansatzes. e) Wie groß ist der mittlere Fehler eines Funktionswertes y = f(x), der mit den ausgeglichenen Polynomkoeffizienten des neuen Ansatzes für den Wert x = 0 berechnet wird. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem unter c) ermittelten und interpretieren Sie das Ergebnis.

3 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 996 am 9. Juli 996 Aufgabe Die Koordinaten des Neupunktes N sollen durch Beobachtung und Ausgleichung der Richtungswinkel ϕ bis ϕ auf den Festpunkten bis ermittelt werden. Der mittlere Punktfehler des Punktes N soll kleiner sein als cm. Bekannt sind die Koordinaten der Festpunkte sowie die Näherungskoordinaten des Neupunktes. ϕ N ϕ ϕ Festpunktkoordinaten: Pkt y [m] x [m] Näherungskoordinaten: Pkt y [m] x [m] N a) Ermitteln Sie die notwendige Meßgenauigkeit der Richtungswinkel unter der Voraussetzung, daß die Beobachtungen unkorrelliert und gleich genau sind. 4

4 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 996 am 6. September 996 Aufgabe Eine Strecke ist sechs mal mit verschiedenen Instrumenten gemessen worden. Die Tabelle enthält die Beobachtungen und deren mittlere Fehler. Nr. s gemessen [m] m s [cm],456,0,467,0,445,0 4,484 0,4 5,454 0,4 6,49, a) Ermitteln Sie die ausgeglichene Strecke s Und deren mittleren Fehler. b) Berechnen sie die normierten Verbesserungen für alle Beobachtungen. c) Ist eine Beobachtung aufgrund ihrer normierten Verbesserung als grob fehlerhaft einzuschätzen? Begründen Sie Ihre Aussage.

5 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 996 am 6. September 996 Aufgabe In einem Dreieck sind alle Seiten und alle Winkel bekannt. Die Seiten wurden direkt gemessen. Die Winkel wurden aus Richtungsbeobachtungen ermittelt, wobei jede Richtung im Dreieck genau einmal beobachtet wurde. Die Meßwerte sind untereinander nicht korreliert. γ a b F α c β Meßwerte: Strecken [m] Winkel [gon] a = 0,84 α = 5,4 b = 96,605 β = 44,04 c = 00,569 γ = 0,6 Der mittlere Fehler einer Streckenbeobachtung ist proportional der Quadratwurzel der gemessenen Strecke m s. Der mittlere Fehler einer Strecke von 00m beträgt cm. s Der mittlere Fehler einer Richtungsbeobachtung beträgt mgon. a) Berechnen Sie die Redundanz. b) Stellen Sie die Fehlergleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen auf und linearisieren Sie diese. c) Stellen Sie die Bedingungsgleichungen für eine Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen auf und linearisieren Sie diese. d) Ermitteln Sie die ausgeglichenen Beobachtungen nach einem der beiden Ansätze in einem Iterationsschritt. e) Überprüfen Sie die Linearisierung und entscheiden Sie ob weitere Iterationsschritte notwendig wären. f) Berechnen Sie den Flächeninhalt des ausgeglichenen Dreiecks. g) Berechnen Sie den mittleren Fehler des Flächeninhalts des ausgeglichenen Dreiecks.

6 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 996 am 6. September 996 Aufgabe Die Höhe des Punktes N soll durch räumlichen Vorwärtsschnitt von den bekannten Punkten und aus bestimmt werden. Dazu sollen die folgenden Horizontalrichtungen und Zenitwinkel beobachtet werden: Standpunkt Zielpunkt Horizontalrichtungen: r N N r r r N N Zenitwinkel: ζ N ζ N N ζ ζ r N r r r N Die Koordinaten der Festpunkte sowie die Näherungskoordinaten des Neupunktes sind bekannt. Punkt Y [m] X [m] Z [m] 9,055 70,0,456 8,07 7,54 05,547 N 8,7 6,5 0,4 Der mittlere Fehler der ausgeglichenen Höhe des Neupunktes (m Z ) soll einen Wert von cm nicht überschreiten. a) Geben Sie einen allgemeinen Lösungsweg für dieses Problem an. b) Ermitteln Sie die notwendige Genauigkeit der Richtungsmessung ( m r bzw. m ζ ) unter der Voraussetzung, daß Richtungen und Zenitwinkel gleich genau beobachtet werden.

7 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 997 am 4. April 997 Aufgabe In einem Dreieck wurden zwei Seiten, der eingeschlossene Winkel sowie die Fläche beobachtet. Die mittleren Fehler der Beobachtungen sind bekannt. Alle Beobachtungen sind voneinander unabhängig. Beobachtungen: α b = m m b = ± 0.0 m c = m m c = ± 0.0 m α = gon m α = ± gon F = m m F = ± m c F b a) Stellen Sie die ursprünglichen Verbesserungsgleichungen für einen Ansatz nach vermittelnden Beobachtungen auf. b) Stellen Sie die ursprüngliche Bedingungsgleichung für einen Ansatz nach bedingten Beobachtungen auf. (8) (4) c) Berechnen Sie die ausgeglichenen Beobachtungen nach einem der beiden Ansätze. (4) d) Verproben Sie das Ergebnis der Ausgleichung nichtlinear und entscheiden Sie, ob weitere Iterationsschritte erforderlich wären. () e) Berechnen Sie den mittleren Fehler einer Beobachtung mit dem Gewicht p i =. ()

8 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 997 am 4. April 997 Aufgabe Für eine -Parameter-Transformation sollen die Transformationsparameter durch Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen berechnet werden. Grundlage für die Berechnung sind die Koordinaten von identischen Punkten. Identische Punkte Punkt u v x y Neupunkt Punkt u v Der Transformationsansatz lautet in Matrizenschreibweise: x x y = 0 cosϕ + y sinϕ 0 sinϕ u cosϕ v Ausgangssystem der Transformation ist das u,v-system, Zielsystem ist das x,y-system. Die Koordinaten der Punkte im u,v-system werden als fehlerfrei betrachtet. Die Koordinaten der Punkte im x,y-system stellen Beobachtungen dar. Die Beobachtungen sind voneinander unabhängig und gleich genau. a) Stellen Sie die ursprünglichen Verbesserungsgleichungen auf. () b) Stellen Sie fest, für welche der unbekannten Transformationsparameter Näherungswerte erforderlich sind und ermitteln Sie diese. (6) c) Linearisieren Sie die Verbesserungsgleichungen. () d) Berechnen Sie die ausgeglichenen Transformationsparameter und deren mittlere Fehler. e) Verproben Sie das Ergebnis der Ausgleichung nichtlinear und entscheiden Sie, ob weitere Iterationsschritte erforderlich wären. f) Berechnen Sie mit den ausgeglichenen Transformationsparametern die Koordinaten des Neupunktes 4 im x,y-system. () () (4) g) Ermitteln Sie den mittleren Punktfehler des Punktes 4 im x,y-system. (0)

9 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 997 am 4. April 997 Aufgabe Für einen Theodoliten sollen der Kippachsenfehler k und der Zielachsenfehler z bestimmt werden. Zu diesem Zweck wurden Punkte unterschiedlicher Höhe in zwei Fernrohrlagen angezielt. Die Differenzen der beobachteten Horizontalkreisablesungen aus beiden Lagen wurden protokolliert. Weiterhin wurden für alle angezielten Punkte die Zenitwinkel bestimmt, welche als fehlerfrei betrachtet werden. Punkt ε [gon] (Differenz H II -H I ) ζ [gon] (Zenitwinkel) Die Formeln für die Berechnung der Fehlereinflüsse lauten für den Kippachsenfehler: ε = k cosζ für den Zielachsenfehler: ε = z sinζ k z Der Gesamteinfluß ergibt sich durch einfache Addition: ε = ε k + ε z a) Handelt es sich um ein lineares oder um ein nichtlineares Ausgleichungsproblem? Begründen Sie Ihre Aussage. b) Bestimmen Sie den Kipachsenfehler k und den Zielachsenfehler z durch eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. (4) (0) c) Prüfen Sie die erhaltenen Werte k und z auf deren Signifikanz (S = 95%). (0) d) Wiederholen Sie die Ausgleichung mit einem vereinfachten Ansatz. (0)

10 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 997 am. Oktober 997 Aufgabe Eine Ebene im Raum sei beschrieben durch die Gleichung: z = a + bx + cy Durch Messung sind die folgenden Koordinatentripel von Punkten der Ebene ermittelt worden: Punkt x [m] y [m] z [m] Die Werte der Komponenten x und y sind fehlerfrei. Bei den Werten der z-komponente handelt es sich um gleich genaue Beobachtungen. Gesucht sind die ausgeglichenen Parameter der Ebenengleichung. a) Handelt es sich um ein lineares oder um ein nichtlineares Ausgleichungsproblem? () b) Bestimmen Sie die unbekannten Parameter der Ebenengleichung durch eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. c) Bestimmen Sie die z-koordinate des Punktes in der ausgeglichenen Ebene mit den horizontalen Koordinaten x = 00 m und y = 00 m sowie deren mittleren Fehler m z. (0) ()

11 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 997 am. Oktober 997 Aufgabe Die Abbildung zeigt den Vermessungsriß zu einem Flurstück mit den Grenzpunkten,, und 4. Es wurden die Grenzlängen sowie die Diagonale s beobachtet. Zusätzlich wurden vom Standpunkt die Richtungen zu den Punkten, und 4 beobachtet. Gesucht ist die ausgeglichene Fläche des Flurstücks. Mittlere Fehler der Beobachtungen: Richtungen Strecken m r = ± 4 mgon m s = ± cm a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Stellen Sie die Verbesserungsgleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen auf und linearisieren Sie diese. c) Stellen Sie die Bedingungsgleichungen für eine Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen auf und linearisieren Sie diese. d) Berechnen Sie die ausgeglichene Fläche des Flurstückes nach einem den beiden Verfahren. (5) (5) (7) e) Verproben Sie das Ergebnis der Ausgleichung nichtlinear. (0) f) Geben Sie den ausführlichen Rechenweg für die Berechnung des mittleren Fehlers der Fläche an (keine Zahlenwerte). (0)

12 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 997 am. Oktober 997 Aufgabe Die Koordinaten des Neupunktes N sollen durch mehrfachen Bogenschnitt von den Festpunkten bis 4 bestimmt werden. Koordinaten der Festpunkte und Beobachtungen Pkt x [m] y [m] s [m] s s s s4.9 Näherungskoordinaten Pkt x [m] y [m] N Die mittleren Fehler der Strecken berechnen sich nach der Formel: m = 0. cm s s meter a) Vor der Messung soll eine Netzoptimierung durchgeführt werden da drei Beobachtungen ausreichend sind. Berechnen Sie welche der vier möglichen Beobachtungen aus dem Beobachtungsprogramm gestrichen werden kann. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes N durch Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen sowie den mittleren Punktfehler m P mit den drei verbliebenen Beobachtungen. c) Wie viele Beobachtungen sind bei einem Bogenschnitt mindestens erforderlich, um einen groben Beobachtungsfehler eindeutig lokalisieren zu können? Begründen Sie Ihre Aussage. (4) (5) (0)

13 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 998 am 0. März 998 Aufgabe Auf Grund einer Kostenabrechnung soll das Volumen eines Schüttkegels mit kreisförmiger Grundfläche bestimmt werden. Für die Volumenermittlung wurden folgende drei Größen beobachtet: die Höhe des Kegels h= 5.5 m der Umfang der Grundfläche u= 40.4 m der Radius des Kegelmantels b= 8. m h b Die Berechnungsformel für das Volumen lautet: V kegel = / (Grundfläche h) u Alle Beobachtungen sind voneinander unabhängig und gleich genau. a) Ermitteln Sie das ausgeglichene Volumen des Kegels. (5) b) Verproben Sie das Ergebnis der Ausgleichung nichtlinear. (0) c) Bestimmen Sie den mittleren Fehler des ausgeglichenen Volumens. (5)

14 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 998 am 0. März 998 Aufgabe Von einem elektronischen Tachymeter soll die Additionskonstante des Streckenmeßteils ermittelt werden. Zu diesem Zweck wurden in einem Dreieck alle Seiten und alle Winkel beobachtet. Die Meßwerte sind untereinander nicht korreliert. Meßwerte: Strecken [m] Winkel [gon] a = 04.8 α = b = β = 46.7 c = γ = 0.75 b γ a α c β Der mittlere Fehler einer Streckenbeobachtung beträgt ± 5 mm. Der mittlere Fehler einer Winkelbeobachtung beträgt ± mgon. a) Berechnen Sie die Redundanz. () b) Ermitteln Sie die ausgeglichene Additionskonstante in einem Iterationsschritt. (40) c) Berechnen Sie den mittleren Fehler der ausgeglichenen Additionskonstante. d) Überprüfen Sie die Signifikanz der ermittelten Additionskonstante für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 5% (zweiseitige Fragestellung). (5)

15 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 998 am 0. März 998 Aufgabe Der Höhenunterschied zwischen den Punkten und 4 läßt sich nicht direkt beobachten. Für die Bestimmung dieses Höhenunterschiedes h 4 soll daher ein Nivellementsnetz beobachtet werden. Höhenunterschied Nivellementsweg [km] h 0.7 h.8 h 4.6 h 4.4 h.0 4 Der mittlere Fehler des ausgeglichenen Höhenunterschiedes h 4 soll einen Wert von ± 4 mm nicht überschreiten. Gesucht ist der mittlere Fehler für einen Kilometer Doppelnivelement m km mit dem das Nivellementsnetz beobachtet werden muß damit die vorgegebene Genauigkeit für h 4 erreicht wird. a) Wählen Sie die Unbekannten und stellen Sie die Verbesserungsgleichungen auf für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. b) Geben Sie den vollständigen Rechenweg für die Berechnung von m km nach dem vermittelnden Ansatz an. c) Stellen Sie die Bedingungsgleichungen für eine Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen auf. d) Geben Sie den vollständigen Rechenweg für die Berechnung von m km nach dem bedingten Ansatz an. e) Berechnen Sie die m km nach einem der beiden Ansätze. f) Stellen Sie die Verbesserungsgleichungen für einen vermittelnden Ansatz auf bei dem der Höhenunterschied h 4 als Unbekannte eingeht. (0)

16 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 998/99 am 9. März 999 Aufgabe Die Koordinaten eines Neupunktes N sollen durch polares Anhängen bestimmt werden. Es wurden die Richtungen r und r sowie die Strecke s beobachtet. Aufgrund des Zentrierfehlers bei der Instrumentenaufstellung sind die Koordinaten der Anschlußpunkte als fehlerbehaftet zu betrachten. F N r r s F Beobachtung Wert Standardabweichung x 55,76 m ± mm y 588,87 m ± mm x 0,5 m ± mm y 694,54 m ± mm r 0,0000 gon ± mgon r 57,5856 gon ± mgon s 6,56 m ± 5 mm a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes N. () b) Geben Sie den genauen Rechenweg für die Berechnung der Standardabweichungen von x N und y N an. (keine Zahlenwerte, schematischer Aufbau der Matrizen) c) Geben Sie den genauen Rechenweg für die Berechnung der Parameter der Fehlerellipse des Punktes N an. () (6)

17 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 998/99 am 9. März 999 Aufgabe Bei der Digitalisierung eines Gleisplanes wurden die Koordinaten der Punkte bis 4 beobachtet. Die Punkte sind Anfangs- bzw. Endpunkte der aufeinanderfolgenden Trassierungselemente Gerade g, Kreisbogen k und Gerade g. Es ist bekannt, daß der Übergang zwischen den Elementen g und k sowie k und g knickfrei sein muß. Das bedeutet, daß die Tangentenrichtung an den Kreisbogen k in den Punkten bzw. der Richtung der dort anliegenden Geraden g bzw. g entspricht. Folgende Koordinaten wurden beobachtet: Punkt X[m] Y[m] Die Beobachtungen sind gleich genau und voneinander unabhängig. a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Stellen Sie die ursprüngliche(n) Bedingungsgleichung(en) für einen Ausgleichungsansatz nach bedingten Beobachtungen auf. (0) c) Linearisieren Sie die ursprüngliche(n) Bedingungsgleichung(en). d) Berechnen Sie die verbesserten Beobachtungen. e) Verproben Sie das Ergebnis der Ausgleichung nichtlinear und entscheiden Sie ob weiter Iterationsschritte notwendig wären. (0)

18 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 998/99 am 9. März 999 Aufgabe Die Funktion z = f(x,y) = ax+by beschreibt einen Kegelmantel dessen z-parameterlinie eine Ellipse ist. Die folgenden Punkte des Kegelmantels wurden angemessen: Punkt x y z 0, 0,6,9,7 -,4,8 0,5 4 -, -,4-4,8 5,5-4,8 -,7 Die Werte für x und y sind fehlerfrei, die z-werte wurden beobachtet. Die Beobachtungen sind gleich genau und voneinander unabhängig. a) Bestimmen Sie die ausgeglichenen Parameter a und b der Funktion z = ax+by. (0) b) Untersuchen Sie durch einen geeigneten Test ob die Parameter a und b als gleich betrachtet werden können. (Irrtumswahrscheinlichkeit α = 5%) (5)

19 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung und Statistik SS 999 am 6. Oktober 999 Aufgabe Der Vortrieb eines Tunnels wird mittels eines einseitig angeschlossenen Polygonzuges kontrolliert. Im Außenraum wird auf dem Startpunkt S am Tunnelportal der Anschlußwinkel β 0 zum Fernziel F sowie die Horizontalstrecke d zum Brechpunkt B gemessen. Im Tunnel wird über den Brechpunkt B durch Messung von β und d der Durchschlagspunkt D angeschlossen, an dem das Zusammentreffen mit einem zweiten Tunnelbautrupp geplant ist. Meßwerte β 0 9, gon β,4455 gon d 45,678 m, m d Koordinaten Punkt X [m] Y [m] Fernziel F 88,45 74,47 Startpunkt S 795, 5,00 Auf Grund der problematischen athmosphärischen Verhältnisse im Tunnel kann für die Genauigkeit der Brechungswinkel nur eine Standardabweichung von σ β = mgon angesetzt werden. Die Genauigkeit der Horizontalstrecken läßt sich erfahrungsgemäß mit σ = ± ( mm + ppm) abschätzen. d a) Berechnen Sie die Koordinaten des Durchschlagpunktes D sowie die dazugehörigen Standardabweichungen σ XD und σ YD mit ihrem Korrelationskoeffizienten ρ XYD. (0) b) Berechnen Sie die Elemente der Fehlerellipse für den Durchschlagpunkt D. (0)

20 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung und Statistik SS 999 am 6. Oktober 999 Aufgabe Ein direkter trigonometrischer Höhenanschluß des Neupunktes P an den Festpunkt P ist aufgrund fehlender Sichtverbindung nicht möglich. Statt dessen wurden von P und P die Zenitwinkel zu den Pegelpunkten A und B gemessen, deren Höhenunterschied AB aus hochgenauen Überwachungsmessungen mit AB =,7 cm fehlerfrei bekannt ist. Die Lagekoordinaten aller vier Punkte liegen vor. Die Standardabweichungen der beobachteten Zenitwinkel sind mit σ z = 0,5 mgon unkorreliert anzusetzen. a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Geben Sie die Bedingungsgleichungen für einen Ansatz nach bedingten Beobachtungen an und stellen Sie die Jacobi-Matrix B T auf. c) Wie läßt sich in einem Ansatz nach vermittelnden Beobachtungen der fehlerfreie (0) Höhenunterschied AB mit ausreichender Genauigkeit stochastisch modellieren? d) Geben Sie die Verbesserungs- und Bedingungsgleichungen für einen Ansatz nach (5) vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungen zwischen den Unbekannten an. Stellen Sie die Matrizen A und G auf. e) Geben Sie die Verbesserungs- und Bedingungsgleichungen für eine freie Netzausgleichung an. Stellen Sie die Matrizen A und G sowie den Vektor s auf. (0) (0) f) Geben Sie ausführlich den Rechenweg für die unter d) und e) beschriebenen Ansätze an. (0)

21 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung und Statistik SS 999 am 6. Oktober 999 Aufgabe Der Höhenunterschied h zwischen zwei Punkten ist mehrmals mit verschiedenen Instrumenten beobachtet worden. Die Messungen sind unkorreliert. Die Standardabweichungen der einzelnen Beobachtungen sind bekannt. Gesucht ist der ausgeglichene Höhenunterschied h. Meßwerte i l i [m] σ i [cm] 0,88,0 0,88,0 0,84,0 4 0,896,5 5 0,90,5 6 0,89,5 7 0,908,5 8 0,86,0 9 0,95,0 0 0,896,0 a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Berechnen Sie den ausgeglichenen Höhenunterschied h und seinen mittleren Fehler. c) Überprüfen Sie mit Hilfe eines geeigneten Tests ob die von Ihnen gewählte Standardabweichung σ 0 mit dem errechneten mittleren Fehler der Gewichtseinheit m 0 übereinstimmt. (S = 95%) (0) d) Nennen Sie die drei möglichen Ursachen für die Ablehnung der Hypothese des unter c) durchgeführten Tests. (5) e) Die Meßwerte enthalten einen groben Beobachtungsfehler. Ermitteln Sie anhand einer geeigneten Testgröße welche Beobachtung fehlerhaft ist und treffen Sie eine Aussage über die Größe des groben Fehlers. (0)

22 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 999/000 am. März 000 Aufgabe Die Koordinaten des Punktes N sollen durch Beobachtung eines Rückwärtsschnittes bestimmt werden. Im selben Richtungssatz wird auch der Neupunkt 5 beobachtet. Die Koordinaten des Punktes 5 sollen später durch polares Anhängen bestimmt werden. Alle Richtungsbeobachtungen sind unabhängig und gleich genau. 4 N 5 Beobachtungen: Punkt X [m] Y [m] R [gon] 60,50 00,4 7,5007, ,59 76, ,59 7,787 60, ,5 85,96 09,950 X 0 Y 0 N a) Ermitteln Sie die ausgeglichenen Koordinaten des Punktes N durch Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen in einem Iterationsschritt. (5) b) Überprüfen Sie das Ergebnis der Ausgleichung nichtlinear. c) Berechnen Sie den mittleren Punktfehler des Punktes N. d) Berechnen Sie den mittleren Fehler einer Richtungsbeobachtung. e) Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung des mittleren Punktfehlers des Punktes 5 an. Die Strecke s von N nach 5 und deren Standardabweichung σ s seien bekannt. (0)

23 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 999/000 am. März 000 Aufgabe Für Gleisbauarbeiten sind vier Punkte eines Kreisbogens aufgemessen worden. Es kann vereinfachend davon ausgegangen werden, daß die Koordinaten der Punkte x...x 4 und y...y 4 unabhängig voneinander und gleich genau sind. Gesucht sind die Koordinaten des Mittelpunktes des ausgleichenden Kreisbogens sowie dessen Radius. Koordinaten: Näherungswerte: Punkt x y 8,4 65,49 x M0 = 70 m 089,47 684,7 y M0 = 5490 m 06, ,750 R 0 = 000 m 4 08,444 6,459 Kreisgleichung explizit: Kreisgleichung implizit: x y i i = x = y M M + R cost + R sin t ( xi xm ) + ( yi ym ) = R i i a) Stellen sie die Verbesserungsgleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen auf. b) Stellen Sie die A-Matrix und den l ~ -Vektor auf. (Zahlenwerte!) c) Geben Sie detailliert den Rechenweg für die Berechnung der Unbekannten nach a) an. d) Stellen Sie die Bedingungsgleichungen für eine Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen mit Unbekannten auf. e) Stellen Sie die B T -Matrix, die A-Matrix und den w-vektor auf. (Zahlenwerte!) f) Geben Sie detailliert den Rechenweg für die Berechnung der Unbekannten nach d) an. g) Wie kann das Ergebnis von f) nichtlinear überprüft werden? Wann wären weitere Iterationsschritte erforderlich?

24 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 999/000 am. März 000 Aufgabe Bei der Digitalisierung einer Flurkarte sind die Koordinaten der Punkte, und bestimmt worden. Für eine anschließende Kartenhomogenisierung soll geklärt werden, ob die drei Punkte im Rahmen der Digitalisiergenauigkeit eine Gerade bilden. Es kann davon ausgegangen werden, daß alle Koordinaten unkorreliert und gleich genau sind. Die Standardabweichung der Koordinaten σ xy ist bekannt. Hinweis zum Ansatz: Die Punkte, und spannen ein Dreieck auf. Im Falle der Kolinearität hat die Fläche F des Dreieckes den Wert null. Es ist also zu überprüfen, ob F signifikant von null abweicht. a) Stellen Sie den Funktionalen Zusammenhang für die Berechnung der Fläche F auf. b) Leiten Sie die Formel für die Berechnung der Standardabweichung σ F von F her. Vereinfachen Sie so weit als möglich. c) Wählen Sie eine geeignete Prüfgröße um F auf Signifikanz zu testen. d) Welcher Verteilung unterliegt die von Ihnen gewählte Prüfgröße? e) Formulieren Sie Hypothese und Alternativhypothese für den Test. Handelt es sich um eine einseitige oder um eine zweiseitige Fragestellung? f) Geben Sie den Schrankenwert bzw. die Schrankenwerte für die Prüfgröße an (S = 95%).

25 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 000 am 0. September 000 Aufgabe Ein Fahrzeug bewegt sich in einer annähernd geradlinig gleichförmigen Bewegung. Zu den Zeitpunkten t 0, t und t wird die jeweilige Position des Fahrzeuges durch Beobachtung mit einem Tachymeter bestimmt. Die Standardabweichung der Richtungsmessung beträgt σ ϕ = ± 0, mgon, die der Streckenmessung σ s = ± mm. Die Beobachtungen sind stochastisch unabhängig. Die Berechnung erfolgt im lokalen Koordinatensystem des Tachymeters. Zeitpunkt t [sek.] ϕ [gon] s [m] t 0 0 4,44 6,6 t 4,76,8 t 8,64 50,574 x t s t v y v x ϕ t 0 Tachymeter y a) Berechnen Sie für den Zeitpunkt t die Koordinaten x,y und die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v x,v y des Fahrzeuges. () b) Berechnen Sie für die Größen x,y, v x,v y die Kovarianzmatrix. (6) c) Prädizieren Sie, unter der Annahme einer geradlinig gleichförmigen Bewegung, aus den Größen x,y, v x,v y sowie t,t die Koordinaten x,y und die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v x,v y des Fahrzeuges zum Zeitpunkt t. (4) d) Berechnen Sie für die prädizierten Größen x,y, v x,v y die Kovarianzmatrix. (4) e) Berechnen Sie die ausgeglichenen Größen x, y, v x, v y durch Aufdatierung der (0) prädizierten Größen x,y, v x,v y aus Aufgabe c) mit den Beobachtungen ϕ und s durch Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. f) Berechnen Sie für die ausgeglichenen Größen x, y, v x, v y die Kovarianzmatrix. (4)

26 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 000 am 0. September 000 Aufgabe Zur Bestimmung des Restneigungsfehlers r eines Nivelliers wurde die folgende Messungsanordnung gewählt: L L L I I Beobachtungen: Standpunkt Zielpunkt Lattenablesung Strecke [m] I I L 0,9406,4 L,6685 4, L,4490 6,6 I II L 0,494 5,0 L,4,4 L,005,5 I II Die Beobachtungen sind unabhängig und gleich genau. Die Einflüsse von Erdkrümmung und Refraktion können für die Berechnung vernachlässigt werden. a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. () b) Stellen Sie die Verbesserungsgleichungen für einen Ansatz nach vermittelnden Beobachtungen auf. (4) c) Stellen Sie zahlenmäßig die A-Matrix für den vermittelnden Ansatz auf. (4) d) Geben Sie den ausführlichen Rechenweg für die Berechnung von r und den mittleren Fehler m r nach Ansatz b) an. e) Stellen Sie die Bedingungsgleichungen für eine bedingte Ausgleichung mit Unbekannten auf. f) Stellen Sie zahlenmäßig die B-Matrix und die A-Matrix für den bedingten Ansatz mit Unbekannten auf. g) Geben Sie den ausführlichen Rechenweg für die Berechnung von r und den mittleren Fehler m r nach Ansatz e) an. (4) (4) (4) (4) h) Berechnen Sie r und den mittleren Fehler m r nach einem der beiden Ansätze. (4)

27 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 000 am 0. September 000 Aufgabe Die Koordinaten des Punktes N sollen durch Streckenmessung von vier Festpunkten bestimmt werden. Im gleichen Zuge soll überprüft werden, ob das verwendete Streckenmeßgerät eine Additionskonstante aufweist. Die Beobachtungen sind stochastisch unabhängig. Die Näherungskoordinaten von N sind bekannt. Die Standardabweichung einer Streckenbeobachtung beträgt σ s = ± mm. 4 N Koordinaten und Beobachtungen Punkt X Y Strecke,587 5,69 8,567 4,875 7,58 0,55 55,89 5,987 6,9 4 60,98 69,7 8,87 Näherungskoordinaten X 0 Y 0 N 4, 47,7 a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. () b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes N sowie die Additionskonstante a durch Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. c) Überprüfen Sie die Linearisierung der Verbesserungsgleichungen und entscheiden Sie, ob weitere Iterationsschritte notwendig wären. d) Überprüfen Sie mit Hilfe eines geeigneten Tests, ob die Ausgleichung Modellfehler aufweist (S=95%). Handelt es sich hierbei um eine ein- oder zweiseitige Problemstellung? Begründen Sie Ihre Aussage. e) Überprüfen Sie die statistische Signifikanz der ermittelten Additionskonstante a (S=95%). Handelt es sich hierbei um eine ein- oder zweiseitige Problemstellung? Begründen Sie Ihre Aussage. (6) (4) (4) (4)

28 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 000/00 am 6. März 00 Aufgabe Die Eckpunkte eines Flurstückes wurden aus einer Flurkarte digitalisiert. Die Standardabweichung einer Koordinatenbeobachtung beträgt σ xy = ± 0 cm. Neben den Koordinaten ist aus einer anderen Messung die Fläche mit einer Standardabweichung von σ F = ± 5 m bekannt. Alle Beobachtungen sind voneinander unabhängig. 4 Beobachtungen: Pkt X[m] Y[m],0 98,74 98,5 954, 7,5 976,5 4 4, 949,60 F F = 090 m a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. () b) Stellen Sie die Bedingungsgleichung(en) für eine Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen auf. c) Linearisieren Sie die Bedingungsgleichung(en) und bauen Sie die B T -Matrix und den w-vektor auf. (0) d) Berechnen Sie die ausgeglichenen Koordinaten in einem Iterationsschritt. e) Berechnen Sie die mittleren Fehler der ausgeglichenen Koordinaten. f) Berechnen Sie den mittleren Fehler des Widerspruches. g) Überprüfen sie die Linearisierung der Bedingungsgleichung(en) und entscheiden Sie, ob weitere Iterationsschritte notwendig wären. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

29 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 000/00 am 6. März 00 Aufgabe Die Abbildung zeigt die Mauerkrone einer Gewichtsstaumauer in der Draufsicht. Die Mauer ist in zehn Blöcke unterteilt. Um die vertikalen Relativbewegungen der Blöcke bestimmen zu können, wurden an den Fugen jeweils zwei Lattenstandpunkte (...0) vermarkt. Die Instrumentenstandpunkte für das Nivellier befinden sich außerhalb des Bauwerkes auf den Beobachtungspfeilern PF und PF. PF PF Von Jedem der beiden Instrumentenstandpunkte wurde zu jedem Lattenstandpunkt eine Lattenablesung beobachtet. Es wurde nur eine Latte verwendet, um den Lattennulpunktfehler auszuschalten. Es kann davon ausgegangen werden, dass alle Lattenablesungen unabhängig und gleich genau sind. Gesucht sind die ausgeglichenen Höhen der Lattenstandpunkte und der Restneigungsfehler des verwendeten Nivellierinstrumentes. a) Wählen Sie einen geeigneten Satz von Unbekannten. (0) b) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. c) Stellen Sie die Verbesserungsgleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen auf. (0) d) Stellen Sie die A-Matrix und den l-vektor auf. e) Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung der Unbekannten an. f) Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung des mittleren Fehlers des Höhenunterschiedes zwischen den Punkten und an. g) Wie ändert sich die A-Matrix wenn zusätzlich der Refraktionskoeffizient k als k Unbekannte eingeführt wird? Höhenkorrektur = + s R h) Stellen Sie für den Fall einer freien Netzausgleichung mit Teilspurminimierung über die Höhen der Lattenstandpunkte die A-Matrix und die G-Matrix auf.

30 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 000/00 am 6. März 00 Aufgabe Die Koordinaten des Grenzsteines 5 sind in zwei Beobachtungsepochen bestimmt worden. In der ersten Epoche wurde der Stein orthogonal, in der zweiten Epoche polar bestimmt. Es soll untersucht werden, ob sich der Grenzstein zwischen beiden Epochen in seiner Lage geändert hat. Festpunkte Punkt x y 50,7 47,6 9,0 7,05 6,44 59,5 4 57, 5,48 β s 5 y x 4 Orthogonale Beobachtungen Punkt x [m] σ x [cm] y [m] σ y [cm] 0,00 fehlerfrei 0,00 fehlerfrei ,00 fehlerfrei 5 0,7,0-99,88,0 Polare Beobachtungen Beobachtung Wert σ β,9 gon ± mgon s 5,807 m ± 5 mm a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes 5 in beiden Epochen. () b) Berechnen Sie die Kovarianzmatrizen der Koordinaten des Punktes 5 für beide Epochen. c) Definieren und berechnen Sie eine geeignete Prüfgröße, um die Identität der Punktlagen beider Epochen zu überprüfen. (5) (0) d) Welcher Verteilungsfunktion unterliegt die von Ihnen definierte Prüfgröße? e) Stellen Sie Hypothese und Alternativhypothese für einen Test auf. Handelt es sich um eine einseitige oder um eine zweiseitige Fragestellung? f) Interpretieren Sie das Testergebnis.

31 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am 7. September 00 Aufgabe Von einer Stahlkugel wurden der Durchmesser und die Masse beobachtet. Beide Beobachtungen sind voneinander unabhängig. Die Dichte der Stahlkugel ist fehlerfrei bekannt. Der Einfluss der Temperatur kann vernachlässigt werden. Dichte von Stahl: ρ Stahl = 7, g m Beobachtungen: d =,5 mm σ d = ± 0, mm m = 7,65 g σ m = ± 0, g Gesucht ist das ausgeglichene Volumen der Stahlkugel. Formel für das Volumen: V = Kugel π 6 d a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. () b) Stellen Sie die Verbesserungsgleichungen für einen Ansatz nach vermittelnden Beobachtungen auf. c) Stellen Sie die Bedingungsgleichung(en) für einen Ansatz nach bedingten Beobachtungen auf. d) Berechnen Sie das ausgeglichene Volumen nach einem der beiden Ansätze in einem Iterationsschritt. e) Überprüfen Sie die Linearisierung und entscheiden Sie, ob weitere Iterationsschritte erforderlich wären. Begründen Sie Ihre Entscheidung. (0)

32 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am 7. September 00 Aufgabe Die Abbildung zeigt einen Riss mit der Orthogonalaufnahme eines Flurstückes.,6 6,6 8,8,9 8,46 9,44 7,04, 0,0 9,40 Gesucht ist der Flächeninhalt des Flurstückes F und dessen mittlerer Fehler m F. Alle Beobachtungen sind voneinander unabhängig und gleich genau mit einer Standardabweichung von σ = ± cm. a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Stellen Sie die ursprünglichen Bedingungsgleichungen für eine Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen auf. c) Wählen Sie einen geeigneten Satz von Unbekannten und stellen Sie die ursprünglichen Verbesserungsgleichungen für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen auf. d) Berechnen Sie die Verbesserungen der Beobachtungen nach einem der beiden Ansätze in einem Iterationsschritt. e) Berechnen sie den mittleren Fehler der Gewichtseinheit m 0. Überprüfen Sie mit Hilfe eines geeigneten Tests, ob der Schätzwert m 0 signifikant größer ist als die Standardabweichung σ 0 (S=95%). f) Mit welcher Testgröße lassen sich grobe Fehler im Beobachtungsmaterial lokalisieren? Geben Sie den detaillierten Rechenweg zur Berechnung dieser Testgröße an. Welcher Verteilung unterliegt die Testgröße? g) Geben Sie den detaillierten Rechenweg für die Berechnung des ausgeglichenen Flächeninhaltes F und dessen mittleren Fehler m F an. (0) (0) (5)

33 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am 7. September 00 Aufgabe Bei der Digitalisierung einer Flurkarte sind die Koordinaten der Punkte,, und 4 bestimmt worden. Für eine anschließende Kartenhomogenisierung soll geklärt werden, ob die beiden Geraden g und g im Rahmen der Digitalisiergenauigkeit parallel verlaufen. Es kann davon ausgegangen werden, daß alle Koordinaten unkorreliert und gleich genau sind. Die Standardabweichung der Koordinaten σ xy ist bekannt. 4 g g Hinweis zum Ansatz: Verschiebt man Punkt in Punkt, spannen die Geraden g und g ein Dreieck auf. Im Falle der Parallelität hat die Fläche F des Dreieckes den Wert null. Es ist also zu überprüfen, ob F signifikant von null abweicht. a) Stellen Sie den Funktionalen Zusammenhang für die Berechnung der Fläche F auf. b) Leiten Sie die Formel für die Berechnung der Standardabweichung σ F von F her. Vereinfachen Sie so weit als möglich. c) Wählen Sie eine geeignete Prüfgröße um F auf Signifikanz zu testen. d) Welcher Verteilung unterliegt die von Ihnen gewählte Prüfgröße? e) Formulieren Sie Hypothese und Alternativhypothese für den Test. Handelt es sich um eine einseitige oder um eine zweiseitige Fragestellung? f) Geben Sie den Schrankenwert bzw. die Schrankenwerte für die Prüfgröße an (S = 95%).

34 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 00/00 am 5. März 00 Aufgabe Beim Aufmaß eines Flurstückes wurden die lokalen Koordinaten der Grenzpunkte bestimmt. Die Koordinaten sind unabhängig und gleich genau. Die Standardabweichung der Koordinaten σ xy ist bekannt. Es soll die Fläche des Flurstückes nach der Gaußschen Flächenformel berechnet werden: F = n i= y ( x i i+ xi ) Gesucht ist eine Formel für die Standardabweichung der Flächen von beliebigen n-ecken, welche mit der Gaußschen Flächenformel berechnet wurden. a) Stellen sie die Gaußsche Flächenformel für ein allgemeines Fünfeck auf. b) Stellen Sie die Formel für die Standardabweichung der Fünfecksfläche auf. (0) c) Verallgemeinern Sie die unter b) aufgestellte Formel für beliebige n-ecke. (0) d) Vereinfachen Sie soweit als möglich.

35 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 00/00 am 5. März 00 Aufgabe In einem unregelmäßigen Viereck wurden alle Seiten und alle Winkel beobachtet. Alle Beobachtungen sind voneinander unabhängig. Beobachtungen: a: 96,87 m b: 00,77 m c: 8,09 m d: 77,986 m α: 98,8 gon β: 89,59 gon γ: 9,75 gon δ: 8,44 gon d α δ a c β γ b Die Standardabweichung der Streckenbeobachtungen beträgt σ s = ± cm. Die Standardabweichung der Winkelbeobachtungen beträgt σ w = ± 5 mgon. a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. () b) Wählen Sie für einen Ausgleichungsansatz nach vermittelnden Beobachtungen einen geeigneten Satz von Unbekannten. c) Stellen Sie die ursprünglichen Verbesserungsgleichungen für einen Ausgleichungsansatz nach vermittelnden Beobachtungen auf. d) Stellen Sie die ursprünglichen Bedingungsgleichungen für einen Ausgleichungsansatz nach bedingten Beobachtungen auf. e) Wählen Sie eines der beiden Modelle für die Berechnung aus und linearisieren Sie es. (7) (7) (0) f) Stellen Sie die P-Matrix bzw. die P - -Matrix auf. g) Berechnen Sie die Verbesserungen der Beobachtungen in einem Iterationsschritt. h) Berechnen Sie den mittleren Fehler der Gewichtseinheit. () i) Überprüfen Sie das Ergebnis der Ausgleichung nichtlinear und entscheiden Sie, ob weitere Iterationsschritte notwendig wären. (7)

36 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 00/00 am 5. März 00 Aufgabe Das Diagramm zeigt die grafische Darstellung einer Zeitreihe. Die Tabelle gibt die Messwerte an. Es kann davon ausgegangen werden, dass der Zeitpunkt der jeweiligen Messung fehlerfrei erfasst wurde. Alle Messwerte sind gleich genau und unabhängig voneinander. Zeitreihe 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0,0,0,0 0, ,0 Zeit Beobachtungen Zeit Messwert,0 5,4 6,7 4 7, 5 6,8 6 6, 7 4, 8-0, Die dargestellte Zeitreihe soll durch ein Polynom. Grades approximiert werden. a) Berechnen Sie die Koeffizienten des Polynoms durch vermittelnde Ausgleichung. b) Testen Sie die erhaltenen Koeffizienten auf Signifikanz. (0) c) Vereinfachen sie das Modell und stellen Sie für das vereinfachte Modell die A-Matrix auf.

37 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am 5. September 00 Aufgabe Eine Straßenachse wurde durch eine kinematische GPS-Messung aufgenommen. Das Ergebnis der Messung ist eine Sequenz von n Punktkoordinaten. Die Punktkoordinaten können vereinfacht als unabhängige und gleichgenaue Beobachtungen betrachtet werden. Die Standardabweichung eines beobachteten Koordinatenwertes sei σ xy. Zum Zweck der Analyse soll aus den Koordinaten ein Winkelbild berechnet werden. φ s φ s i φ i s i i+ n Das Winkelbild besteht aus den Wertepaaren [s,φ ], [s,φ ],... [s n-,φ n- ]. Für die Auswertung wird die Kovarianzmatrix des Winkelbildes benötigt. a) Geben Sie die Formeln für die Berechnung der Größen s, φ, s und φ aus den Beobachtungen an. b) Stellen Sie die F-Matrix für den funktionalen Zusammenhang zwischen Ergebnis- und Beobachtungsgrößen auf. (0) c) Ermitteln Sie die vollständige Kovarianzmatrix der Größen s, φ, s und φ. Vereinfachen Sie die Elemente soweit als möglich. d) Geben Sie den symbolischen Aufbau der Kovarianzmatrix eines beliebigen Winkelbildes an, verwenden Sie hierzu die Indizes i, i+ usw. (0) (0) l Jacobi-Matrizen symbolisch z.b.: x... 0, Matrixelemente ausführlich z.b.:... l x x = s

38 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am 5. September 00 Aufgabe In einem lokalen Koordinatensystem wurden drei Punkte angemessen. Das Instrument befand sich im Koordinatenursprung, beobachtet wurden Richtungswinkel und Strecken. Von den drei beobachteten Punkten ist bekannt, dass sie auf einer Geraden liegen. x Die Gerade lässt sich durch die Gleichung x = a + b y beschreiben. Beobachtet wurden die Werte s, s, s, t, t, t. Die Standardabweichung der Strecken beträgt σ s, die der Richtungswinkel σ t. Gesucht sind die ausgeglichenen Parameter a und b der Geradengleichung. y a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Wählen Sie einen geeigneten Berechnungsansatz für die Berechnung von a und b. Stellen Sie die dazugehörigen Bedingungs- bzw. Verbesserungsgleichungen auf. (0) c) Beschreiben Sie ausführlich den Rechenweg für die Berechnung von a und b sowie von deren Kovarianzmatrix. (0) d) Punkt 4 hat einen Y-Wert von 400 m. Wie groß ist der mittlere Fehler des x-wertes, wenn dieser mittels der Geradengleichung berechnet wird. Geben Sie den ausführlichen Rechenweg an. (0) l Jacobi-Matrizen symbolisch z.b.: x... 0, Matrixelemente ausführlich z.b.:... l x x = s

39 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am 5. September 00 Aufgabe Eine Größe wurde in zwei Messreihen beobachtet. Alle Beobachtungen sind voneinander unabhängig. Nr r r 0,745,696 0,950,495,, ,755,87 5 0,4,76 6 0,84,66 7,000, , ,64 0,4 a) Berechnen Sie für beide Messreihen den Mittelwert und den mittleren Fehler der Einzelbeobachtung. b) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test, ob die Beobachtungen beider Messreihen der gleichen Standardabweichung unterliegen. (S=95%) c) Überprüfen Sie mit einem weiteren Test, ob beide Messreihen den gleichen Erwartungswert besitzen. (S=95%) () (5) (5)

40 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 00/00 am 6. März 00 Aufgabe Die Abbildung Zeigt ein Flurstück dessen Eckpunkte tachymetrisch aufgemessen wurden. Alle Beobachtungen sind voneinander unabhängig. Die Standardabweichung der Streckenbeobachtungen beträgt σ s = ±5mm, die der Richtungsbeobachtungen σ r = ±0mgon. StPkt Beobachtungen: Punkt Richtung Strecke 45,785 gon 5,456 m 5,59 gon 4,95 m 9,58 gon 8,79 m 4 6,57 gon,8 m 4 a) Berechnen Sie die Fläche des Flurstücks. b) Berechnen Sie die Standardabweichung der Fläche. (0) c) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten der Fläche mit der Strecke s. (0)

41 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 00/00 am 6. März 00 Aufgabe Ein Hyperboloid kann durch eine implizite Gleichung der Form x y z + = dargestellt werden. Hierin sind a und b die reellen a b c Halbachsen (siehe Abbildung). Kühltürme in Kraftwerken haben oft die Form eines Hyperboloids. Ein solcher Kühlturm soll nun auf Deformationen überprüft werden. Dazu wird mit einem berührungslos messenden Tachymeter die Oberfläche in einem Raster angemessen. Ursprüngliche Beobachtungen sind die Strecken s i, die Horizontalrichtungen r i und die Zenitdistanzen ζ i. Die Beobachtungen sind unabhängig voneinander, ihre Standardabweichungen σ s, σ r und σ ζ sind bekannt. Durch die so entstandene Punktwolke soll ein ausgleichendes Rotationshyperboloid gerechnet werden, bei dem die reellen Halbachsen a und b gleichen Betrag haben. Gesucht sind die Abweichungen der gemessenen Punkte von der gerechneten Hyperboloidfläche. Die Rotationsachse des Hyperboloids soll zur z-achse des Standpunktsystems parallel sein. Es ist zu beachten, dass der Symmetriepunkt des Hyperboloids mit dem Standpunkt des Tachymeters nicht identisch ist! Rechenweg:. Berechnung der kartesischen Punktkoordinaten im Standpunktsystem. x = s cosr sinς y i i i = s sin r sinς i zi = si cosς i. Berechnung der Unbekannten und Verbesserungen als bedingte Ausgleichung mit Unbekannten (Gauß-Helmert-Modell). a) Nennen Sie die unbekannten Parameter des Hyperboloids. () b) Wie viel aufgemessene Punkte sind für eine eindeutige Lösung erforderlich? () i i i i c) Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung der Kovarianzmatrix der kartesischen Punktkoordinaten an (Ableitungen, F-Matrix symbolisch). Stellen Sie schematisch dar, welche Elemente der Kovarianzmatrix besetzt sind. d) Stellen sie die Bedingungsgleichungen für eine bedingte Ausgleichung mit Unbekannten auf. e) Linearisieren Sie die Bedingungsgleichungen und stellen Sie symbolisch die B T - und die A-Matrix sowie den w- und den s-vektor auf. (0) (0) f) Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung der P-Matrix an. g) Geben Sie den Rechenweg für die Berechnung der Unbekannten und der Verbesserungen an. h) Wie kann die Linearisierung der Bedingungsgleichungen überprüft werden? (0)

42 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 00/00 am 6. März 00 Aufgabe Von einem Nivellierinstrument soll die Restneigung bestimmt werden. Zu diesem Zweck wurden in der unten abgebildeten Messungsanordnung die Lattenablesungen beobachtet. Die Beobachtungen sind voneinander unabhängig. Die Standardabweichung einer Lattenablesung beträgt σ l = ± mm. Z Z Z Z 4 S S Beobachtungen: Standpunkt Zielpunk t Lattenablesung [m] Strecke [m] S Z 0,904,05 Z,946,6 Z 0,7,05 Z 4,866 4,8 S Z,50 6,8 Z,544 4,8 Z 0,770,05 Z 4,458,6 a) Ermitteln Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. () b) Ermitteln Sie mit Hilfe eines geeigneten Ausgleichungsansatzes die Restneigung des Nivelliers. c) Überprüfen Sie das Ergebnis der Ausgleichung durch einen Globaltest auf Modellfehler (S = 95%). (0) (0) d) Testen Sie den ermittelten Restneigungsfehler auf Signifikanz (S = 95%). (0)

43 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am. September 00 Aufgabe Ein Fahrzeug bewegt sich entlang einer Geraden mit konstanter Geschwindigkeit. Beim Passieren bestimmter Punkte der Geraden erfolgt eine Zeitmessung. Fahrtrichtung (x, t ) (x, t ) (x, t ) Die Werte x und x sind fehlerfrei bekannt. Die Genauigkeit der Zeitmessung ist durch die Auflösung des Zeitmessers gegeben. Die Messwerte der Zeitmessung unterliegen einer Rechteckverteilung (siehe Grafik). Die Auflösung der Zeitmessung beträgt ε = 0,s. φ(t) t ξ-ε/ ξ ξ+ε/ Gesucht ist der Wert x und dessen Standardabweichung. gegeben: x = 5,987m x = 58,m ε = 0,s gemessen: t =,5s t = 9,8s t = 8,s gesucht: x, σ x a) Bestimmen Sie anhand der Verteilungsfunktion φ(t) und der Auflösung ε die Standardabweichung σ t der Zeitmessung. (0) b) Berechnen Sie den Wert x. () c) Berechnen Sie die Standardabweichung σ x. (0)

44 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am. September 00 Aufgabe Ein Punkt ist in seiner Lage durch mehrfachen Vorwärtsschnitt bestimmt worden. Die Abbildung zeigt die Messungsanordnung. Die Koordinaten der Anschlusspunkte sind bekannt und können als fehlerfrei betrachtet werden. Die Näherungskoordinaten des Neupunktes sind ebenfalls bekannt. Beobachtet wurden die Richtungen auf den Anschlusspunkten. Es kann davon ausgegangen werden, dass alle Richtungsbeobachtungen gleich genau sind. Gesucht sind die Koordinaten des Neupunktes 4. 4 Bekannt Beobachtet Pkt X [m] Y [m] SP ZP r [gon] 4,76 6,47 89, , 59,6 4 7,85 0,8 5,08 98,0 8, ,895 60,5976 8, ,477,697 a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Wählen Sie einen geeigneten Satz von Unbekannten für eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. c) Stellen Sie die ursprünglichen Verbesserungsgleichungen auf. (0) d) Linearisieren Sie die Verbesserungsgleichungen und stellen Sie die Gewichtsmatrix auf. e) Berechnen Sie die ausgeglichenen Unbekannten und deren mittlere Fehler in einem Iterationsschritt. f) Überprüfen Sie die Linearisierung und entscheiden Sie, ob weitere Iterationsschritte nötig wären. (0) (0)

45 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung SS 00 am. September 00 Aufgabe Eine physikalische Größe x wurde in zwei Messereien beobachtet. Die Beobachtungen sind normalverteilt und unkorreliert. Die Standardabweichung der Beobachtungen beträgt σ i = 0,9. Messreihen x x 0,54 0,9750 0,9 0,000 0,05 0,440,7 0,770 0,5 0,760 0,08 0,0 0,50 0,780 0,94 0,940 0,457 0,8 0,75 Für alle durchzuführenden Tests ist eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von S = 95% anzusetzen. a) Berechnen Sie die Mittelwerte jeder Messreihe. () b) Berechnen Sie für alle Beobachtungen den Redundanzanteil und die normierte Verbesserung. c) Überprüfen Sie für jede Messreihe das mathematische Modell durch einen Globaltest. (0) (0) d) Eliminieren Sie gegebenenfalls grobe Fehler aus den Beobachtungen. e) Überprüfen Sie anhand eines geeigneten Tests, ob beide Messreihen den gleichen Erwartungswert besitzen. (0)

46 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 00/004 am 5. März 004 Aufgabe Die Abbildung zeigt eine Abwassergrube deren Fassungsvermögen bestimmt werden soll. Die Grube hat die Form eines Zylinders. Das Fassungsvermögen ist erschöpft, wenn der Abwasserspiegel die Unterkante des Einlassrohres erreicht. Für die Vermessung stand nur eine Messlatte zur Verfügung. Die Standardabweichung der gemessenen Längen beträgt s l = ±cm. c b d a max. Beobachtungen: a:,00 m Höhe vom Boden zur Unterkante Deckel b: 0,50 m Durchmesser des Deckels c:,00 m Orthogonaler Abstand Innenkante Grube-Deckelrand d:,0 m Schrägstrecke vom Deckelrand zur Unterkante Einlassrohr a) Berechnen Sie die Grundfläche der Grube und deren Standardabweichung. b) Berechnen Sie die Höhe der Unterkante des Einlassrohres und deren Standardabweichung. c) Berechnen Sie das Fassungsvermögen der Grube und dessen Standardabweichung. d) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen Grundfläche und Höhe der Unterkante des Einlassrohres.

47 Diplom-Hauptprüfung Ausgleichungsrechnung WS 00/004 am 5. März 004 Aufgabe Mit einem Laserscanner wurden 00 Punkte einer Ebene aufgenommen. Die Messwerte sind Horizontalrichtungen f i, Schrägstrecken s i, und Zenitdistanzen? i. Die Beobachtungen sind unabhängig, die Standardabweichungen s f, s s und s? sind bekannt. Aus diesen Beobachtungen sollen die Parameter der ausgleichenden Ebene im Koordinatensystem des Instrumentes berechnet werden. Das lokale Koordinatensystem des Instrumentes ist gegeben durch die Nullrichtung als x-achse und die Stehachse als z-achse, welche durch eine y-achse zu einem kartesischen Linkssystem ergänzt werden. Die Formgleichung der Ebene lautet: r r r n x d = 0 mit n = Die Transformationsbeziehungen zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten sind gegeben durch: x s cosϕ sinζ x r = y = s sinϕ sinζ z s cosζ Die Ebenenparameter n r und d sollen durch eine Bedingte Ausgleichung mit Unbekannten und Bedingungen zwischen den Unbekannten ermittelt werden. z d? f x n r s y a) Bestimmen Sie die Redundanz des Ausgleichungsproblems. b) Stellen Sie die Bedingungsgleichungen mit Unbekannten auf. (0) c) Linearisieren Sie die unter b) aufgestellten Gleichungen und stellen Sie symbolisch die B T -Matrix und die A-Matrix auf. d) Stellen Sie die Bedingungsgleichung für die Normierung des Normalenvektors auf. e) Linearisieren Sie die unter d) aufgestellten Gleichungen und bauen Sie symbolisch die C T -Matrix auf. f) Definieren Sie ein Abbruchkriterium für den Iterationsprozess der Ausgleichung.