1 Technischer Regelkreis

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1 Regelungstechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 1 von 5 1 Technischer Regelkreis 1.1 Definitionen S20 System Eine Anordnung von Gebilden, die miteinander in Beziehung stehen und die sich gegenüber der Umgebung abgrenzen lasen Prozess: Die Gesammtheit der zusammenwirkenden Vorgänge in einem System, durch die Materie, Energie, Informationen umgeformt, transportiert und gespeichert wird SISO: Single Input- Single Output MiMo: Multi Input- Multi Output Steuerung: ohne Rückkopplung -kann bei stabiler Strecke nicht instabil werden Regelung: mit Rückkopplung (wirkt als Gegenkopplung) -immer ein Vergleichsglied zwischen Führungsgrösse (Sollwert) und Regelgrösse(Istwert) -min. ein Vergleichsglied -kann auf veränderte Störgrössen reagieren -kann bei stabiler Strecke instabil werden Begriff deutsch Begriff englisch Ergänzende Regelstrecke plant controlled system Der aufgabengemäss zu beeinflussende Teil des Systems Reglekreis Regler controller Bestehent aus Vergleichsglied und Regelglied Regeleinrichtung controlling means Reglesignalkreis control circuit Vergleichsglied comparing element Bildet den Fehler (Differenz) e=r-y Regelglied controller; controlling element Berechnet aus dem Fehler die Stellgrösse u Stelleinrichtung actuator; power amplifier; servo Funktionseinheit, die den Energie- oder Massenstrom lenkt Verstärker amplifier Messeinrichtung measuring unit; transmitter Messumformer Regelgrösse y controlled variable; desiered value Führungsgrösse r reference variable; set value Störgrösse z Last disturbance variable; load Stellgrösse u manipulatetd (correcting) variable Regeldifferenz e deviation; error variable e =r-y Fehler Rückkopplung feedback Rückführung 1.2 Klassifizierung technischer Systeme einfach schwierig für Regler statisch dynamisch linear nichtlinear Ausnahmen: 2-, 3-Pt.Regler Simulation zeitinvariant zeitvariant Zeitkontinuierlich zeitdiskret ẏ = ku y T y k+1 = ay k + bu k wertkontinuierlich wertdiskret kausal akausal konzentrierte verteilte zb. Stromleitung: Parameter Parameter ein R und ein C/ sehr viele RC-Glieder in Serie deterministisch stochastisch vorhersehbar/zufällig

2 Regelungstechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 2 von 5 2 Regelungen 2.1 Glieder S70 Benennung Funktion UTF Sprungantw. Verlauf Sprungantw. Symbol P-Glied S35 y(t)=k u(t) K K I-Glied S28 ẏ = Ku(t) y = K t 0 K = 1 R C u(t)dt K s Kt Totzeit-Glied S41 y(t) = u(t T t ) e Tts K u(t T t ) PT 1 -Glied S37 T ẏ + y = Ku(t) 1 T = K i K p K = 1 K p K 1 + T s K(1 e t T ) 2.2 Stetigähnliche Regler Rückkopplung des Reglers S57 Die Rückkopplung mit einem P T 1 -Glied über dem Zweipunkteregler bewirkt einen bedeutend kleineren Rippel. Leider ist der Mittelwert noch unterhalb des Sollwertes. Dies kann mit Hilfe eines P T 1 -Gliedes am Schluss vor der Hauptrückkopplung behoben werden Dreipunktregler S59 Damit d = 0 wird muss c=t u K I sein.

3 Regelungstechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 3 von Zweipunktregler S46,71 Ein Zweipunktregler ist ein unstetig arbeitender Regler mit zwei Ausgangszuständen. Je nachdem, ob der Istwert über oder unter dem Sollwert liegt, wird der erste oder der zweite Ausgangszustand eingenommen. Beispiele von Zweipunktereglerschaltungen: S52,53 Die Anstiegszeit beträgt nach dem Einschwingvorgang: t ein = 2a (bk p q a)k ik m Die Abfallszeit beträgt nach dem Einschwingvorgang: t aus = 2a (bk p+q a)k ik m Die Anstiegszeit beträgt nach dem Einschwingvorgang: t ein =T g ln( e Tu Tg (A a) bks A+a bk s ) + T u Die Abfallszeit beträgt nach dem Einschwingvorgang: t aus =T g ln( A+a bk s+ bks Tu e Tg A a ) 2.3 Stationäre Signale Für den stationären Fall gelten folgende Bedingungen: Fehlersignale werden jeweils als Null angenommen. Integratoren haben am Eingang Null. Integratoren haben am Ausgang einen beliebigen Wert. Totzeitglieder werden kurzgeschlossen. PT 1 -Glieder wirken als P-Glieder mit K P = K P T1 behandelt.

4 Regelungstechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 4 von 5 3 Linearisierung 3.1 LTI-Systeme Linearität S76 Zeitinvarianz S82 Φ(x1 + x2) = Φ(x1) + Φ(x2) Φ(x(t t 0 ) = Φ(x) x(t t 0 ) Φ(c x) = c Φ(x) 3.2 Erwünschte Nichtlinearität S84 In einem Prozess sind Linearitäten meist erwünscht, da sie meist mit Gleichungen zu lösen sind. Viele Efekte, wie zum Beispiel die Modulation oder so sind aber gerade erst durch Nichtlinearitäten möglich. Daher unterscheidet man: 3.3 Erfassen von nicht liniearen Kurven Messung einer statischen Kennlinie S86 Da das Signal x meist nicht zugänglich ist, muss man den ganzen Prozess ausmessen. Mit einem Dreieck kann man die Kennlinie auslesen. Sie wird jedoch von einer unechten Hysterese verzert, die eine Hysteresebreite von 2α T, wobei α die Rampensteilheit ist und T die Zeitkonstante des PT1-Gliedes Mathematische Erfassung einer Messkurve S89 1. Wahl einer geegneten Funktion: Gesucht ist ein Graph, der eine ähnliche Form hat wie die Messkurve. Günstig sind Polynome, da sie mathematisch einfach zum beschreiben sind, aber auch Sinus- oder Arctan- Funktionen 2. Bestimmung der Parameter: (a) Methode der ausgewählten Punkte: i. Gleich viele Messpunkte wie frei zu wählende Parameter der Approximationsfunktionen. ii. Einsetzen der Koordinaten der Messpunkte in die Gleichungen.

5 Regelungstechnik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 5 von 5 (b) Methode der kleinsten Fehlerquadrate: i. Mindestens gleich viele Messpunkte wie Parameter der Appxomationsfunktion, können jedoch mehr gewählt werden. ii. Fehler bilden zwischen Messpunkt und Funktionspunkt. zb. P1: e 1 = 2 y = 2 (a(1.5) + b(1.5) 2 ) P2: e 2 = 5.5 y = 5.5 (a(7) + b(7) 2 ) P3: e 3 = 4.5 y = 4.5 (a(4) + b(4) 2 ) iii. Nach Guass ist die beste Näherung, wenn die Summe der Fehlerquadrate minimal wird. = S =e e e 2 3 = min δs δa = 2e 1 δe1 δa + 2e 2 δe2 δa + 2e 3 δe3 δa = 0 δs δb = 2e 1 δe1 δb + 2e 2 δe2 δb + 2e 3 δe3 δb = 0 iv. Nachteil dieser Methode ist, dass es meist einen grossen Rechenaufwand ergibt. Sie ist jedoch genauer als die erste Methode. Ausserdem geht die Approixmationsfunktion nicht durch die Messwerte. 3.4 Linearisierung Modelleinschränkung S92 Praktisch alle physikalische Systeme unterliegen gewissen Aussteuergrenzen. In diesen können sie linear sein. Es muss darauf achten, dass das System diese nicht überschreitet Arbeitspunkt S93 Wenn eine Kennlinie für einen bestimmten Aussteuerung einen nicht zu grosse Krümmung hat, kann man in der Näherung diese durch die Tangente ersetzen, und somit wieder linear rechnen. Trigonometrische Funktionen bei Arbeitspunkt α = 0: sin α α tan α α cos α Durch inverse Kennlinie S94 Durch das Vorschalten der Inversen Kennlinie kann man die Nichtlinearitäten beheben. Das System als ganzes reagiert nun linear, das Innere des System jedoch immer noch nicht, wie man an den Kennlinien gut erkennen kann Durch Gegenkopplung S96 Da ein Prozess variierende Koefizienten besizten kann, kann die Kompensation nicht immer mit der inversen Kennlinie geschehen. Deshalb ist es oft günstiger die Nichtliniearitäten mit einer Gegenkopplung zu kompensieren. Diese ist umso wirksamer je grösser die Verstärkung K p ist. Es können jedoch Stabilitätsprobleme auftreten.