Vorlesung Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik W1332

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1 Vorlesung Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik W1332 Fakultät für Wirtschaftswissenschaften W. Dangelmaier Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik - Inhalt 1. Einführung: Worum geht es hier? 2. System 3. Modell 4. Modellierung von Gegenständen 5. Strukturmodelle (Gebildestruktur) 7. Produktion 8. Digitale Fabrik 9. Planung von Produktionssystemen 10. Wirtschaftlichkeitsrechnung 11. Prüfungen 1

2 Grundstrukturen von Fertigungssystemen Lager A Zentrale Zwischenlagerung, getrenntes Fördersystem B Zwischenlagerung, im Fördersystem (ständig bewegtes Lagergut) C Fördern durch Lagersystem (Lagergut nur zum Fördern bewegt) Lager für Kaufteile und Halbzeuge - Lageralternative Flurförderer + Tragkettenförderer Förderkettenanordnung auf dem Förderfahrzeug 2

3 Lager für Kaufteile und Halbzeuge Modellgraph des Lagervorhofes 3

4 Hier sollen Systemeigenschaften modelliert werden, die sich im Zeitablauf ändern. Es gilt, Ereignisse und ihre zeitliche Abfolge zu betrachten. Dabei kann das zugrunde liegende Strukturmodell konstant sein. Petri-Netze bilden optimal solche Strukturen immer wiederkehrender Abläufe gleicher Struktur ab, wie man sie z.b. in der Serienfertigung findet. Ein Petri-Netz ist ein Stellen/Transitions-Netz. Stellen/Transitionsnetze Stellen-/Transitionsnetze (Petri-Netze) charakterisieren Prozesse durch die möglichen Zustände und Transitionen/Ereignisse in einer Ablaufstruktur (Ereignisse aktive Prozesselemente) Voraussetzung: Gültigkeit bestimmter Prozesszustände Ergebnis: Veränderung bestimmter Prozesszustände. Die Beschreibung des Prozessablaufs erfolgt über nacheinander eingenommene Prozesszustände Allgemein markiertes Petri-Netz Ein allgemein markiertes Petri-Netz PN ist definiert als PN: = {S, T, F, W, K, M, m 0 } S := {p} Menge der Plätze bzw. Stellen (Systemzustand, Systembedingungen) T := {a} Menge der Transitionen F := ( S x A x S ) {0, 1} Flussrelation W := ( F N ) Kantenbewertung K := ( S N ) Platzkapazität (bspw. Begrenzung des Warteraums) M := ( S N ) Menge der zulässigen Platzmarkierungen m 0 M Anfangsmarkierung Eine Markierung m M eines Petri-Netzes ist eine Abbildung m: S N, die jedem Platz eine Anzahl n 0 Marken zuordnet und den augenblicklichen Prozesszustand kennzeichnet. Die maximale Anzahl von Marken in einem Platz wird durch die Platzkapazität k festgelegt. 4

5 Beispiel 1: Petri-Netz N = (S, T, F, K, W, M 0 ) S = {s 1, s 2 } T = {t 1, t 2 } F = {(s 1, t 2 ), (t 2, s 2 ), (s 2, t 1 ), (t 1, s 1 )} K(s 1 ) = 8 W(s 1, t 2 ) = 6 M 0 (s 1 ) = 0 K(s 2 ) = 6 W(t 2, s 2 ) = 2 M 0 (s 2 ) = 2 W(s 2, t 1 ) = 2 W(t 1, s 1 ) = 1 Beispiel 2: Handhabungsgeräte Werkstück A: Beide Handhabungsgeräte Werkstück B: Handhabungsgerät II 5

6 Beispiel 2: Handhabungsgeräte Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 Sender ist sendefähig S2 Nachricht auf dem Bus S3 Empfänger verarbeitet Nachricht S4 Empfänger empfangsbereit S5 Empfangsbestätigung auf Bus S6 Sender wartet auf Antwort t 1 SP 2 SP 1 P 6 P 3 SP 44 S 6 t 4 t 2 S 3 t 3 Transitionen t1 Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen SP 5 Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes 6

7 Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 S2 S3 S4 S5 S6 Sender ist sendefähig Nachricht auf dem Bus Empfänger verarbeitet Nachricht Empfänger empfangsbereit Empfangsbestätigung auf Bus Sender wartet auf Antwort SP 2 t 1 t 2 SP 1 P 6 P 3 SP 44 S 6 S 3 t 4 t 3 SP 5 Transitionen t1 Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 S2 S3 S4 S5 S6 Sender ist sendefähig Nachricht auf dem Bus Empfänger verarbeitet Nachricht Empfänger empfangsbereit Empfangsbestätigung auf Bus Sender wartet auf Antwort SP 2 t 1 t 2 SP 1 P 6 P 3 SP 44 S 6 S 3 t 4 t 3 SP 5 Transitionen t1 Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes 7

8 Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 Sender ist sendefähig S2 Nachricht auf dem Bus S3 Empfänger verarbeitet Nachricht S4 Empfänger empfangsbereit S5 Empfangsbestätigung auf Bus S6 Sender wartet auf Antwort SP 2 t 1 t 2 SP 1 P 6 P 3 SP 4 S 6 S 3 t 4 t 3 SP 5 Transitionen t1 Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 S2 S3 S4 S5 S6 Sender ist sendefähig Nachricht auf dem Bus Empfänger verarbeitet Nachricht Empfänger empfangsbereit Empfangsbestätigung auf Bus Sender wartet auf Antwort SP 2 t 1 t 2 SP 1 P 6 P 3 SP 4 S 6 S 3 t 4 t 3 SP 5 Transitionen t1 Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes 8

9 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik Das Fertigungssegment Felgenfertigung unserer Fahrradfabrik soll eine Reihe von Arbeitsstationen enthalten, die nach dem Fließprinzip angeordnet sind. Unter einer Arbeitsstation (AS) verstehen wir in diesem Zusammenhang eine oder mehrere Produktiveinheiten gleicher Art. Angelieferte Profilstangen (s3) werden zunächst auf die richtige Länge abgesägt und die abgetrennten Teile dann auf einer Biegemaschine rundgewälzt (t2). Beide Arbeitsgänge werden zusammen in einer AS (s4) durchgeführt. Die zugeschnittenen Profile (s5) werden in der nächsten AS (s8) durch zwei gerändelte Stifte (s7) am Stoß verbunden (t4). Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik Im Folgenden werden je nach Felgendurchmesser entweder große oder kleine Löcher für Speichen gebohrt. Für beide Vorgänge steht allerdings nur eine AS (s12) zur Verfügung, um die sie konkurrieren müssen. Anschließend werden Ventillöcher gebohrt bevor abschließend eine Oberflächenbehandlung folgt (hier nicht mehr abgebildet). Verbunden werden die einzelnen Arbeitsstationen durch einen Gabelstapler (s1), der die aus 10 Teilen bestehenden Lose von Station zu Station transportiert (t1,t3,t5 und t10). 9

10 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik Arbeitsstation 1 s4 10 s3 t2 s5 t1 10 s1 s2: Profilstangen Hauptlager t1: Profilstangen anliefern s3: Lager vor AS1 s1: Gabelstapler t2: Profilstangen sägen und rundwalzen s4: Maschinen AS1 s5: Lager hinter AS1 s2 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik Arbeitsstation 2 s4 s7 s s3 t2 s s6 t4 s9 t1 t3 10 s1 s2 t3: Los von AS1 zu AS2 transportieren s6: Lager vor AS2 t4: verbinden am Stoß s7: gerändelte Stifte (für dieses Beispiel unbegrenzt = verfügbar) s8: Maschine AS2 s9: Lager hinter AS2 10

11 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik s4 s7 s s3 t2 s s6 t4 s9 10 t1 t3 10 s1 t5 s2 s11 10 t8 t6 s14 s12 s10 t9 t7 s13 Arbeitsstation 3 t5: Los von AS2 zu AS3 transportieren s10: Lager vor AS3 t6: Rohling in Maschine (AS3) einlegen um kleine Löcher zu bohren t7: Rohling in Maschine (AS3) einlegen um große Löcher zu bohren t8: kleine Löcher bohren t9: große Löcher bohren s12: Bohrer AS3 s11: AS3 reserviert für kleine Löcher s13: AS3 reserviert für große Löcher s14: Lager hinter AS3 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik s4 s7 s8 2 t1 10 s2 s15 10 s3 t2 s s6 t4 s9 10 t3 s1 t5 10 s t10 t8 t6 10 s14 s12 s10 t10: fertige Felgen ins Lager (s15) bringen und Bestand an Profilstangen aufstocken t9 s13 t7 11

12 Beispiel 5: Werkstückhandhabung mit Roboter Werkstückträger voll an Werkstücke auf FTS ab Werkstückträger leer ab 22 Handhabungswerkzeuge Werkstücke auf FTS an Werkstückträger leer an Werkstückträger voll ab Beispiel 5: Werkstückhandhabung mit Roboter 1 Roboter, Werkstückträger und Handhabungswerkzeug 2 FTS ankommend mit Werkstücken 3 Bereitstellen der Werkstücke 4 Werkstücke, nicht fertig bearbeitet 5 Werkstücke vor nächstem Arbeitsvorgang 6 Werkstück bearbeitet, nicht gespannt 7 Werkstück ausschleusen oder nächster Arbeitsvorgang 8 FTS abfahrend 9 Roboter frei 10 Werkstückträger + Handhabungswerkzeug 11 Aufspannen 1 12 Werkstück aufgespannt, mit Handhabungswerkzeug 13 Werkstückträger voll in Richtung Fertigung ab 14 Werkstückträger voll mit Handhabungswerkzeug 15 Abspannen 16 Werkstückträger + Werkstück + Handhabungswerkzeug abgespannt 17 Werkstückträger und Handhabungswerkzeug trennen 18 Werkstückträger leer, ohne Handhabungswerkzeug in Puffer 19 Werkstück, Roboter und Werkstückträger mit Handhabungswerkzeug trennen 20 Werkstückträger leer, mit Handhabungswerkzeug 21 Aufspannen 2 22 Handhabungswerkzeug-Puffer 23 Werkstückträger voll aus Fertigung 24 Werkstückträger aus Puffer leer an 25 Werkzeuge zusätzlich kommissionieren 26 Werkstückträger leer, mit Handhabungswerkzeug 27 Werkstückträger voll und Handhabungswerkzeug vorhanden 12

13 Eine Transition ist schalt- oder arbeitsfähig, wenn gilt: Die Eingangsplätze enthalten jeweils so viele Marken, wie die Vielfachheit der sie verbindenden Kanten angibt. Die Ausgangsplätze können die anfallenden Marken bei Einhalten der Platzkapazitäten aufnehmen. Über die ständige Veränderung der Markierung beim Schalten der Transitionen wird die ergebnisabhängige Abarbeitung der jeweiligen Aktionen gesteuert. Im allgemeinen Fall ändert eine Transition a eine Markierung m in eine neue Markierung m gemäß m (s) - V (s, t), wenn (s, t) (S x T) s S : m (s) = m (s) + V (t, s), wenn (t, s) (T x S) m (s), sonst Es lassen sich ohne Probleme Montage-, Kommissionier- oder Transportvorgänge darstellen. Konfliktsituationen, wie sie z. B. im obigen Beispiel für das Handhabungsgerät II auftreten, müssen über Entscheidungsregeln gelöst werden. Will man Forderungen unterscheiden, können Marken gefärbt werden: Ein gefärbtes Petri-Netz PNC stellt eine Abbildung mehrerer allgemeiner Petri-Netze mit unterschiedlicher Struktur in einem Netz dar: PNC: = (S, T, F, C, W, K, M, m 0 ) S := {s} Menge der Plätze T := {t} Menge der Transitionen C := {c} Menge der Markenfarben F := ( S x T ) ( T x S ) {0, 1} Flussrelation W := ( F x C ) N farbenabhängige Kantenbewertung K := ( S x C ) N Platzkapazität M := ( S x C ) N zulässige Markierung m 0 M Anfangsmarkierung 13

14 Die Fortschreibung eines Stellen-/Transitionen-Netzes über eine Folge von Markierungen mittels eines Computers benutzt vier Datenbereiche die Adjazenzmatrix A, die die Netzstruktur wiedergibt. Dabei entspricht die Anzahl der Zeilen der Anzahl der Stellen, die Anzahl der Spalten der Anzahl der Transitionen. Der Matrixwert als Pfeilgewichtigung ist positiv, wenn eine Stelle im Nachbereich, und negativ, wenn eine Stelle im Vorbereich einer Transition liegt. den Markenvektor M, der die aktuelle Markenbelegung der einzelnen Stellen und damit den aktuellen Systemzustand ausdrückt. den Kapazitätsvektor K, der das maximale Fassungsvermögen einer Stelle angibt den Transitionsvektor T als Anzeige, welche Transition wie oft schalten soll. Die Bedingung für die Aktivierung einer Transition lautet 0 M + A T K Transitionen t 1 t 2 w = 2 w = 2 S 1 k=4 S 2 k=4 S 3 k=4 A = t 1 t 2 t 3 t 4 S S S S Stellen t 3 S 4 k=4 t 4 Weiterhin gelten M= 3 K= 4 t 1 =

15 Aus 0 M + A T K und x 0 = folgt, dass t 1 unter den gegebenen Voraussetzungen nicht schaltfähig ist. 0 0 für t 3 = x 0 = t 3 ist schaltfähig Petri-Netz: Beispiel Schalten von t 1 Für das Beispielnetz gilt: 0 m + t 1 k Für die Transition t 1 ergibt sich Also kann die Transition schalten. 15

16 Aufgabe 6.1 Gegeben seien folgende Netzwerke a B A e h b E d f g C D c m 0 k a b c d e f g h A B C D E a) Geben Sie eine mögliche Schaltreihenfolge an. b) Wie könnte man sich die Anwendung vorstellen? m 0 k a b c d e f a B A e b E d f C D c A B C D E c) Geben Sie eine mögliche Schaltreihenfolge an. 16

17 Lösung a) B C E A D Eine mögliche Schaltreihenfolge wäre bspw. g g g g g g d d d a a a a a A B C D E Lösung b) Es eine externe taktgebende Uhr. Mit jedem Takt schaltet alles, was schalten kann gleichzeitig. Natürlich entstehen dann ggf. Konflikte (siehe Konflikte und Kontakte) c) B 10 C E A +3-1 D

18 c c c c c c c c c c A B C D E e e e e e e e e e e A B C D E d d d a a a a a e e A B C D E

19 Tote Transitionen/Markierungen Kann bei keiner Markierung der Erreichbarkeitsmenge schalten Totale Verklemmung (keine Transition kann schalten) Lebendiges Netz Keine ale oder partielle Verklemmung Alle Transitionen können schalten Konfliktfreies und konfliktbehaftete Netze Problem bei gleichzeitig aktivierten Transitionen Eine Transition nimmt der anderen die Aktivität Kontaktsituationen Vermeidung durch Aufstellung von komplementären Bedingungen Ausschließliche Betrachtung von hinführenden Kanten 19

20 Aufgabe 6.2 Verändern Sie das gegebene Netz so, dass über die Aufstellung komplementärer Bedingungen ausschließlich hinführende Kanten betrachtet werden müssen. a B A e h b E d f g C D c a b c d e f g h A B C D E a B e b E f C c a b c d e f A B C A d D D E Lösung a) a B B e b E E f C c C a b c d e f g h A B C D h g E A A d D D A B C D E

21 A a B B A e b E d E f C c D D C a b c d e f A B C D E A B C D E Zustandsmaschinen Die Kapazität einer Stelle kann 1 sein Jede Transition besitzt eine Stelle im Vor- und Nachbereich Markenanzahl bleibt stets konstant 21

22 Synchronisationsgraph Stellen besitzen eine Transition im Vor- und Nachbereich Verhalten wird durch Kreise bestimmt Ein Kreis ist ein geschlossener Weg mit einer Menge von Stellen Free-Choice-Netz Verbindung von Zustandsmaschine und Synchronisationsgraph Konflikterlaubnis bei Transitionen im Nachbereich Deadlock S D Jede Transition, die beim Schalten Marken in S D einbringt, entnimmt auch wenigstens eine Marke Eine Stellenmenge S D eines markierten PN ist ein Deadlock Ein unmarkierter Deadlock wird nie wieder markiert 2 1 Trap S T Jede Transition, die Marken aus S T entnimmt, gibt auch mindestens eine Marke an S T zurück Nachbereich ist zugleich Vorbereich Ein markierter Trap wird nie unmarkiert

23 Zeitbehaftete Netze Vorgänge die durch Stellen dargestellt werden und Zustände repräsentieren Start und Ende werden durch Vor- oder Nachgeschaltete Transitionen ausgedrückt Vorgang ist begonnen und nicht beendet Zeitmaßstab zur Angabe von Start- und Endereignissen Ausführungszeit t 1 und t 3 Netze mit individuellen Marken ist als Erweiterung der Stellen-/Transitionsnetze anzusehen Gefärbte Petri-Netze (CP-Netze) Prädikat/Transitionsnetze (Pr/T-Netze) Stellen/Transitionsnetz Zusammenfassen gleichartiger Stellen (s1 und s2, Werkstücke vor Bearbeitung) Zusammenfassen gleichartiger Transitionen 23

24 Reduziertes Netz Marken der zusammengefassten Stellen müssen unterscheidbar sein (Marke A,B) Kanten mit ursprünglichen Schaltbedingungen müssen wiedergegeben werden Festlegung welche Marken von den Stellen des Vorbereichs einer Transition abgezogen werden Festlegung welche Marken den Stellen des Nachbereichs einer Transition zugeführt werden Netze mit individuellen Marken Prädikat/Transitionen-Netz (Pr/T-Netz) Aus Transition t 1 und t 2 wird Start der Bearbeitung Aus Transition t 3 und t 4 wird Ende der Bearbeitung Voraussetzung: Variable und Funktionen müssen als Matrixelemente zugelassen sein Inzidenzmatrix des Petri-Netzes als Pr/T-Netz Zeiten können von unterschiedlichen Klassen abhängen Variable und Funktionen können als Schaltbedingung dienen Prädikatenlogische Sprachen zur Beschreibung 24

25 Aufgabe T 2 2 a) Definieren Sie das hier vorliegende Petri- Netz in angemessener Weise. S 1 (8) T 1 Anfangsbelegungen von: m 0 (S 1 ) = 5 m 0 (S 2 ) = 2 S 2 (6) 2 b) Errechnen Sie, ob die Transition T1 schalten kann (Schaltregel). c) Errechnen Sie mit Hilfe der Schaltregel alle möglichen Transitionen, bis das Petri- Netz anhalten muss (Hinweis: Wenn Sie Aufgabenteil b gelöst haben, können Sie Ihr Endergebnis als Startzustand benutzen.). a) Definieren Sie das hier vorliegende Petri-Netz in angemessener Weise. Petri-Netz: N = (S, T, F, K, W, M 0 ) mit Stellenmenge: S = {s1, s2} Transitionsmenge: T = {T1, T2} Kantenmenge: F = {(s1, t2), (t2, s2), (s2, t1), (t1, s1)} Kapazitätsangaben der Stellen K mit: K(s1) = 8, K(s2) = 6 Kantengewichten W mit: W(s1, t2)=6, W(t2, s2)=2, W(s2, t1)=2, W(t1, s1)=1 Anfangsmarkierungen M 0 mit: M 0 (s1) = 5, M 0 (s2) = 2 b) Errechnen Sie, ob die Transition T1 schalten kann (Schaltregel). Also kann Transition T1 schalten. 25

26 c) Errechnen Sie mit Hilfe der Schaltregel alle möglichen Transitionen, bis das Petri-Netz anhalten muss. T2 schaltet T1 schaltet T2 schaltet nicht mehr Nachdem T1 geschaltet hat, kann jetzt auch T2 schalten, danach noch einmal T1 und dann ist Schluss. Diskrete Simulation Eine Zustandsänderung wird durch ein Ereignis oder eine Sequenz von Ereignissen bewirkt (ereignisorientiert) Der zeitliche Ablauf bei diskreten ereignisorientierten Modellen setzt sich aus einer Folge von Ereignissen zusammen Ein Ereignis wird konsequent durch den Übergang von einem Modellzustand zu einem anderen definiert Der Zustand bleibt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen unverändert Die meisten ereignisorientierten, diskreten Simulationssysteme lassen sich auf gefärbte zeitbehaftete Petri-Netze zurückführen 26

27 Diskrete Simulation Diskrete Simulation 27

28 Diskrete Simulation Zur Ermittlung der Auslastung sind je Maschine die belegten Zeitabschnitte zur Simulationsdauer ins Verhältnis zu setzen (Maschine 2: 29/ %). Dasselbe gilt für die Warteschlangenlänge (Mittlere Warteschlangenlänge Maschine 2: 3 Zeitabschnitte mit Warteschlangenlänge 0, 15 Zeitabschnitte mit Warteschlangenlänge 1, 12 Zeitabschnitte mit Warteschlangenlänge 2; ( ) : 30 = 1,3) und die Wartezeit im Puffer, die auf alle Werkstücke zu beziehen ist ( ) : 12 = 3,25 Zeitabschnitte. Entsprechend berechnet sich die mittlere Durchlaufzeit zu (Austrittszeitpunkt Eintrittszeitpunkt) : Anzahl Werkstücke. Diskrete Simulation Aufgabe 6.4 Im Bereich Teilefertigung, Rohbau und Montage sollen 3 Gabelstapler für den Transport eingesetzt werden. Es gibt dazu 10 Transportbahnhöfe. Einen Transportauftrag soll, wenn einer oder mehrere Gabelstapler frei sind, der räumlich nächste zugeordnet werden. Falls alle Gabelstapler belegt sind, kommen die Transportaufträge in die Warteschlange. Aus der Warteschlange wird ein Auftrag dem ersten freien Gabelstapler zugeordnet. Zurückgestellte Transportaufträge (aus der Warteschlange) sollen vorrangig eingeplant werden. Ein Gabelstapler bleibt am Ende eines Transportauftrages am Ankunftsbahnhof. Es soll ein Belegungsdiagramm für die 3 Gabelstapler bis zum Zeitpunkt 350 ZE erstellt werden. Zu berechnen ist der Auslastungsgrad der 3 Gabelstapler die mittlere Wartezeit eines Transportauftrages und der gesamte erforderliche Transportweg. 28

29 Bahnhof Diskrete Simulation Ausgangssituation Ort Belegungszustand Gabelstapler 1 Bhf. 1 unbelegt Gabelstapler 2 Bhf. 2 unbelegt Gabelstapler 3 Bhf. 3 unbelegt Entfernungsmatrix Bahnhof Auftragstabelle Transportauftrag Dauer [ZE] von nach Zeitpunkt [ZE]

30 St. 1 Zeit Auftrag von nach St. 2 Zeit Auftrag von nach St. 3 Zeit Auftrag von nach Warteliste Transportweg von nach weg Gabelstapler Gabelstapler 2 53 von nach weg Gabelstapler 3 77 Gesamt 174 Auslastungsgrad Gabelstapler 1 0,742 Gabelstapler 2 0,742 Gabelstapler 3 0,685 Gesamt 0,723 Mittlere Wartezeit 4 ZE 30

31 Beispiel: Produktions- und Lagerhaltungsproblem Definierte Größen: s: Stufenindex der Monate 1 bis 12 x s : Lagervorrat am Ende des s-ten Monats y s : Innerhalb des s-ten Monates produzierte Menge (y s N s = {0, 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000}) a s : Nachfrage während des s-ten Monats L (x s 1 ): Lagerkosten während des s-ten Monats P (y s ): Produktionskosten als Funktion der produzierten Menge Die Gesamtkosten der s-ten Stufe sind dann g s (x s 1, y s ) = P (y s ) + L(x s 1 ) Beispiel: Produktions- und Lagerhaltungsproblem Damit ergibt sich für das vorliegende Problem folgendes mathematisches Modell x 0 = 0 x s = x s 1 + y s a s 0 < x s < x s max Y s N s 12 Z = (p [y s ] + L [x s 1 ] min s=1 Lösungsansatz nach Bellmann: Jeder Teilweg eines optimalen Weges oder Teilweges ist optimal. 31

32 Aufgabe 6.5 Gegeben seien die Nachfrage für die nächsten 6 Zeitabschnitte und die Bestellkosten k bes und die Lagerkosten k lag. Zeitabschnitt Nachfrage k bes = 250 /Bestellung k lag = 2 /(Stück*Zeitabschnitt) Die Kosten für eine Losgröße, die Zeitabschnitt t 1 bis Zeitabschnitt t 2 jeweils einschließlich abdeckt, ergeben sich zu k t1,t2 k bes k lag t2 (s t ) a s t1 1 s t = 1 k 0 + k 1,1 = = 250 k 1 = 250 QV 1opt = QV 1,1 t = 2 k 0 + k 1,2 = * 120 = 490 k 1 + k 2,1 = = 500 k 2 = 490 QV 2opt = QV 1,2 t = 3 k 0 + k 1,3 = * * 80 = 810 k 1 + k 2,3 = * 80 = 660 k 2 + k 3,3 = = 740 k 3 = 660 QV 3opt = (QV 1,1 ; QV 2,3 ) t = 4 k 0 + k 1,4 = 1470 k 1 + k 2,4 = = 1100 k 2 + k 3,4 = = 960 k 3 + k 4,4 = = 910 t = 5 k 0 + k 1,5 = 2110 k 1 + k 2,5 = = 1580 k 2 + k 3,5 = = 1280 k 3 + k 4,5 = = 1070 k 4 + k 5,5 = = 1160 t = 6 k 0 + k 1,6 = 2510 k 1 + k 2,6 = = 1900 k 2 + k 3,6 = = 1520 k 3 + k 4,6 = = 1230 k 4 + k 5,6 = = 1240 k 5 + k 6,6 = = 1320 k 4 = 910 QV 4opt = (QV 1,1 ; QV 2,3 ; QV 4,4 ) k 5 = 1070 QV 5opt = (QV 1,1 ; QV 2,3 ; QV 4,5 ) k 6 = 1230 QV 6opt = (QV 1,1 ; QV 2,3 ; QV 4,6 ) Lösung Damit werden in Zeitabschnitt 1, 2 und 4 Lose mit 100, 200 und 230 Stück bestellt. Die minimalen Stückkosten belaufen sich auf Beispiel Wagner/Within- Verfahren 32