Analyse von Petrinetz-Modellen: Invarianten

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1 Analyse von Petrinetz-Modellen: Invarianten Dozent: P. Massuthe Referent: Evgenij Belikov Institut für Informatik Humboldt Universität zu Berlin Blockseminar Analyse von Petrinetz-Modellen 20. Januar 2009

2 Übersicht Was sind Invarianten? 1 Was sind Invarianten? 2 3 4

3 Begriff Was sind Invarianten? Etymologie Motivation Invariante, die (lat.): Größe, die bei Eintritt gewisser Veränderungen unveränderlich bleibt (math.) (Duden) Invariante: eine für eine gegebene Klasse mathematischer Objekte (Zahl, Funktion, Vektor, Gruppe) definierte Größe oder Eigenschaft, die bei bestimmten mathematischen Operationen unverändert (invariant) bleibt. Die Eigenschaft der Unveränderlichkeit von Größen (Invarianz) ist v. a. in der Physik von Bedeutung, da aus bestimmten Symmetrien auf Erhaltungssätze (z. B. für Energie, Drehimpuls) geschlossen werden kann. (Meyer s Lexikon)

4 intuitiver Zugang Was sind Invarianten? Etymologie Motivation Man möchte Korrektheit eines modellierten Systems nachweisen Was heißt aber korrekt? Es erfüllt die Spezifikation. Diese wiederum kann als eine Menge an Eigenschaften formuliert werden, die die Anforderungen an das System beschreiben Man braucht etwas, um diese Eigenschaften formal fassen und beweisen zu können (Logik, Lineare Algebra)

5 Welche Eigenschaften gibt es? Etymologie Motivation z.b.: Es passiert nichts schlechtes oder: Es passiert etwas gutes weitere speziellere Eigenschaften sind denkbar z.b. p,q, die in einem Kryptoverfahren verwendet werden sind zufällig und prim assert(pop(push(x)) == x); Auf welchem Abstraktionsniveau? Auf welchem man möchte.

6 Invarianten informell Was sind Invarianten? Etymologie Motivation Invariante intuitiv: etwas Unveränderliches, was unabhängig von Ablauf des Prozesses stets gilt Als Invariante eines Systems bezeichnet man gewöhnlich eine solche Eigenschaft, die bei der Arbeit des Systems unabhängig vom konkreten Ablauf erhalten bleibt. (nach Starke)

7 Einschränkungen Was sind Invarianten? Im Folgenden beschränken wir uns auf elementare Systemnetze keine Kantenbeschriftung Kantengewichte immer 1 (d.h. durch einen Pfeil fließt genau eine Marke) keine Kapazitäten U = { } (ununterscheidbare schwarze Marken) Elementare Netze reichen aus, um das Konzept der Invarianten und ihre Verwendung zu veranschaulichen

8 Elementares Systemnetz Definition Sei N = (P, T, F, m 0 ) ist ein elementares Systemnetz mit dazugehörigen endlichen geordneten Menge von Plätzen P = {p 1,..., p k }, einer endlichen geordneten Menge von Transitionen T = t 1,..., t l, mit P T = und F = def (P T ) (T P) der Flussrelation sowie der Anfangsmarkierung m 0. Es gelten die oben erwähnten Einschränkungen.

9 Markierung Was sind Invarianten? Definition Eine Markierung (in elementaren Systemnetzen) M : P N ist eine Abbildung, die jedem Platz p P eine natürliche Zahl zuweist, und bedeutet die Anzahl der Marken, die sich auf dem Platz befinden, die kann auch als Spaltenvektor notiert werden kann: p 1 m =... p k

10 Effekt des Schaltens einer Transition Definition Jede Transition t i T beschreibt den Effekt des Schaltens auf den Zustand und kann analog als Spaltenvektor notiert werden: z 1 t =... z k +1, wenn p i t und t mit z i = 1, wenn p i t und t) 0, sonst

11 Schritt, sequentieller Ablauf Definition Ein Schritt m t m i kann somit als Vektoraddition dargestellt werden: m i = m + t Ein sequentieller Ablauf von N ist eine Sequenz von Schritten t 1 t 2 m 0 m 1... t i m i Eine Markierung m i ist erreichbar in N, wenn es ausgehend von m 0 ein Ablauf existiert, der zur gegebenen Markierung m i führt.

12 Inzidenzmatrix N (auch: Akzidenzmatrix) Definition Ein elementares Systemnetz kann auch in Form einer Matrix notiert werden t t 1l N = def (t 1,..., t k ) =..... t k1... t kl Die transponierte dieser Matrix N T gegeben durch: N T (j, i) = N (i, j) N beschreibt das Netz nicht eindeutig, es ist zwar ersichtlich, ob eine Transition existiert, aber nicht zu welchen Plätzen sie eine Schlinge besitzt

13 Inzidenzmatrix: technisches Beispiel

14 Typische Fragen an Netzmodelle Ist die Markenanzahl auf bestimmten Plätzen invariant? Ist ein Systemzustand vom Anfangszustand aus erreichbar? Ist das Netz lebendig? Ist die Markenanzahl für alle bzw. bestimmte Plätze beschränkt? Ist das Netz aus Szenarien komponiert?

15 Klassifikation der Eigenschaften Zustandseigenschaften (z.b. Mutex-Eigenschaft, zwei um ein knappe Ressource konkurrierende Prozesse sind nie parallel in ihrem kritischen Zustand) Ablaufeigenschaften (z.b. Evolution von Mutex, wenn einmal pending, dann irgendwann auch critical) Weitere Eigenschaften (z.b. Quiescence von Mutex, die kalte Transition quiet kann, muss aber nicht schalten)

16 Aussagenlogische Zustandsformeln Definition Zustandseigenschaften werden als aussagenlogische Formeln notiert: Sei P eine Symbolmenge, dann definieren wir die Menge sf (P) der Zustandsformeln über P als die kleinste Menge der Symbolsequenzen, so dass 1. P sf (P), und 2. Wenn α,β sf (P), dann auch α und α β Es gilt, die von der Aussagenlogik bekannten Notation: α ist atomar gdw. α P, (α β) steht für ( α β), und (α β) für ( α β)

17 Gültigkeit von Zustandsformeln Definition Sei P eine Symbolmenge, a P und p, q sf (P). Dann a = p (p gilt in a) ist induktiv definiert durch: 1. a = p gdw. p a, für atomare Zustandsformel p, 2. a = p gdw. nicht a = p, 3. a = p q gdw. a = p und a = q Sei desweiteren N ein elementares Systemnetz und p sf (P N ), dann sagen wir p gilt in N (bzw. is eine gültige Zustandseigenschaft von N) und schreiben N = p gdw. a = p für alle erreichbaren Zustände(Markierungen) a von N.

18 Mutex 1 Was sind Invarianten? Beispiel (Mutex-Eigenschaft): m 0 = (critical l critical r )

19 Zustandsformeln: technisches Beispiel m 0 = (B C) (A C)

20 Elementare (Un-) Gleichungen in N Politik ist für den Augenblick. Eine Gleichung ist für die Ewigkeit. Albert Einstein Definition Sei N = (P, T, F, M 0 ) ein elementares Systemnetz mit p 1,..., p k P N und n 0,..., n k Z, dann ist ɛ : n 1 p n k p k = n 0 eine Gleichung in N (analog für Ungleichungen)

21 Gültigkeit von Gleichungen Definition Sei N ein elementares Systemetz, und ɛ : n 1 p n k p k = n 0 eine Gleichung von N, sowie m eine Markierung von N. ɛ gilt in m gdw. n 1 m(p 1 ) n k m(p k ) = n 0 Sei N anfangsmarkiert. ɛ gilt in N gdw. für jede erreichbare Markierung m i von N gilt: ɛ gilt in m i. Wir schreiben auch n = (n 1,..., n k ), wobei n 0 als die Konstante von n bezeichnet wird. Alternative Notation: n m i = n 0

22 (Un-)Gleichungen: technisches Beispiel A 0 (kanonische Ungleichung) A + B = 23 (gilt nicht in m 0 ) A + C + D = 1 (gilt in m 0 )

23 Klassifikation der Invarianten Man unterscheidet u.a. zwischen Platz- und Transitionsinvarianten P-Invarianten: geben ein Wichtung für eine in jeder erreichbaren Markierung konstante Markrierungssumme ab T-Invarianten: geben einen Parikh-Vektor an, der die Markierung nicht verändert (erhaltende Transitionssequenz) Invarianten sind Lösungen eines bestimmten Linearen Gleichungssytems (LGS) und können mit Hilfe des Gauß schen Eliminationsverfahrens berechnet werden Invarianten gelten unabhängig von konkreten Abläufen von N stellen die Beziehung zwischen der Struktur des Netzes und dem Verhalten des Systems dar

24 (kurz: P-Invarianten) Definition Sei N T die Transponierte der Akzidenzmatrix von N, dann ist die Lösung i des homogenen LGS N T x = 0 eine Platz-Invariante von N. Eine P-Invariante heißt positiv, wenn für alle Komponenten von i gilt i j 0 und mind. eine davon mit i j > 0 bildet den Träger von i N ist von P-Invarianten überdeckt, wenn für alle p i P N je eine positive P-Invariante existiert, mit i j > 0 Satz: Ist N von P-Invarianten überdeckt, so existiert eine P-Invariante, mit i j > 0 für alle j 1,..., k (d.h. das Netz ist beschränkt)

25 Akzidenzmatrix: technisches Beispiel Abbildung: Ein Beispiel Es-Netz mit Akzidenzmatrix, Anfangsmarkierung, Invarianten und gültigen Gleichungen A + C + D = 1 B C + E = 0 A + B + D + E = 1

26 Akzidenzmatrix: technisches Beispiel Abbildung: Ein Beispiel Es-Netz mit Akzidenzmatrix, Anfangsmarkierung, Invarianten und gültigen Gleichungen A + C + D = 1 B C + E = 0 A + B + D + E = 1 2A + B + C + 2D + E = 2

27 P-Invarianten Was sind Invarianten? Elementarer Invariantensatz Sei N = (P, T, F, m 0 ), n = (n 1,..., n k ) eine P-Invariante von N und P = p 1,..., p k, dann ist n 0 = n m 0 die Konstante von n und n 1 p n k p k = n 0 die Gleichung von n gilt in N. Dabei wird die aus der Invarianten gewonnene Gleichung oft selbst als Invariante bezeichnet. Die Umkehrung dieses Satzes gilt unter der milden Annahme, dass jede Transition aktivierbar ist, begründet analog zum folgenden Beweis.

28 P-Invarianten Was sind Invarianten? Beweis des Elementaren Invariantensatzes Beweis: z.z. n M = n 0 gilt, für jede erreichbare Markierung. Die Gleichung gilt schon für M 0, dabei ist jede erreichbare Markierung in endlich viele Schritten zu erreichen: er reicht zu zeigen, dass n M i = n M j für jeden Schritt gilt. n M j = n (M i + t) (Schritt als Verktoraddition) = n M i + n t = n M i + 0 (da n eine Invariante ist) = n M i

29 Parikh-Vektor Was sind Invarianten? Definition Für jedes Wort q W (T ) bezeichne der Spaltenvektor q : T N den Parikh-Vektor von q, das ist eine Abbildung, die für t T die Anzahl des Vorkommens von t in q als Wert hat. T-Invarianten ohne negative Komponenten beschreiben möglich Kreise im Erreichbarkeitsgraphen, realisierbare T-Invarianten tatsächlich vorhandene. Beim Schalten eines durch die T-Invariante Wortes q ist die Markierung, i.e. der Systemzustand invariant.

30 (kurz: T-Invarianten) Definition Sei N ein elementares Systemnetz, so bezeichnen wir jede nichttriviale Lösung des LGS N i = 0 als Transitionsinvariante von N Eine T-Invariante wird al echt bezeichnet, wenn i, keine negativen Komponenten hat. Eine T-Invariante heißt realisierbar in N, wenn es ein Wort q mit q = i und eine erreichbare Markierung m mit m q m. N ist von T-Invarinaten überdeckt, wenn es eine T-Invariante besitzt, die in allen Komponenten positiv ist.

31 Sei N d das zu N duale elementare Systemnetz (oder Transponierte), das sich dadurch ergibt, dass Transitionen und Plätze ihre Rollen tauschen, so entspricht die P-Invarinate von N der T-Invarianten von N d und umgekehrt. Transitionsinvariantensatz: sei (m 1,..., m k ) eine t 1 t 2 Transitionsinvariante von N und sei m 0 m 1... t i m i sequentieller Ablauf von N, in dem jede Transition t i in genau m i Schritten vorkommt. Dann sind m 0 und m i identisch.

32 Umgekehrt gilt auch: Reproduzierbarkeitssatz: Wenn N keine Transitionsinvarianten hat, ist keine Markierung von sich selbst aus wieder erreichbar. Die Häufigkeiten der Transitionen eines Szenarios bilden eine Transitionsinvariante. Umgekehrt sind Transitionsinvarianten mit kleinen Komponenten Kandidaten zur Konstruktion von Szenarien. (Bsp.:T-Invarianten finden Anwendung bei der verifikation von Soundness, von Workflow-Netzen)

33 Grundlagen Zustandseigenschaften mit P-Invarianten beweisen Beweise mit Hilfe von P-Invarianten und Fallen Gauß sches Eliminationsverfahren zur Lösung von LGS Gegeben N eine Matrix, gesucht Lösung(en) des durch N x = 0 gegebenen homogenen Gleichungssystems 1.Phase: Elimination, man bringe die Matrix unter Verwendung elementarer Zeilenumformungen (Vertauschen zweier Gleichungen, Multiplikation einer Gleichung mit einem ganzzahligen Faktor, Addition zweier Gleichungen) in Stufenform 2.Phase: Rücksubstitution, man setze ein und Berechne die Lösung bzw. den Lösungsraum

34 Unerreichbarkeitstest Was sind Invarianten? Grundlagen Zustandseigenschaften mit P-Invarianten beweisen Beweise mit Hilfe von P-Invarianten und Fallen Der Elementare Invariantensatz liefert einen leicht durchzuführenden Unerreichbarkeitstest: Geg. eine Markierung m i und eine P-Invariante i, falls gilt i m i i m 0, so ist m i nicht erreichbar in N. Sei m i Spaltenvektor mit Komponenten (0, 1, 1, 0, 0), dann gilt: m 0 i = 1 = i m i, für (0, 1, 0, 1, 0) m 0 i = 1 i m i = 0

35 Mutex 2 Was sind Invarianten? Grundlagen Zustandseigenschaften mit P-Invarianten beweisen Beweise mit Hilfe von P-Invarianten und Fallen Unter Verwendung von Fallen und P-Invarianten gilt: z.z. C + E <= 1 aus C + D + E = 1 (P-Invariante) und D <= 1 (kanonische Ungleichung) folgt: (1) - (2) = C + E <= 1

36 Falle Was sind Invarianten? Grundlagen Zustandseigenschaften mit P-Invarianten beweisen Beweise mit Hilfe von P-Invarianten und Fallen Definition Sei N = (P, T, F, m 0 ) und eine Menge von Plätzen Q P, so ist Q eine Falle von N, wenn es ex. p Q und p t, so existiert auch ein q Q mit q t Eine Falle Q ist markiert, wenn für ein q i Q in einen beliebigen Markierung m i gilt m i (q i ) 1. Eine Falle heißt initialisiert, wenn sie in m 0 markiert ist. Satz: Die Ungleichung jeder initialisierten Falle ist gültig in N.

37 Peterson s Mutex (1981) Grundlagen Zustandseigenschaften mit P-Invarianten beweisen Beweise mit Hilfe von P-Invarianten und Fallen

38 Peterson s Mutex nach Umbenennungen Grundlagen Zustandseigenschaften mit P-Invarianten beweisen Beweise mit Hilfe von P-Invarianten und Fallen

39 Beweis der Mutexeigenschaft Grundlagen Zustandseigenschaften mit P-Invarianten beweisen Beweise mit Hilfe von P-Invarianten und Fallen z.z. E + N 1 (*), aus drei P-Invarianten: 1.G + H = 1 2.C + D + E + F = 1 3.L + M + N + P = 1 und den beiden initialisierten Fallen: 4.C + F + G + M 1 5.L + P + H + D 1 folgern wird mit (1) + (2) + (3) (4) (5) = ( ) (also die Mutex Eigenschaft gilt in N)

40 Epilog Was sind Invarianten? Zusammenfassung Diskussion Quellenverzeichnis Es existieren unterschiedliche Klassen der Systemigenschaften Sowie passende mächtige Analysetechniken um ihre Gültigkweit nachzuweisen U.a. sind Invarianten Grundlage und Hauptpfeiler der Analyse von Petrinetzen P-Invarianten dienen oft dem Nachweis bestimmter Zustandseigenschaften Hinzunahme von Fallen erweitert den Anwendungskreis der vorgestellten Technik Beziehung: Systemeigenschaft, Systemzustand, Zustandsformel, Zustandsgleichung, P-Invariante, Netzstruktur

41 zum Mitnehmen Was sind Invarianten? Zusammenfassung Diskussion Quellenverzeichnis Geg. P-Invariante n von N, so ist n 1 p n k p k = n 0 gültig in N und es gilt n m 0 = n 0 Unerreichbarkeitstest: geg. P-Invatiante i und Anfangsmarkierung, sowie eine markierung m i, wenn i m 0 i m i, so ist m i nicht erreichbar in N Ist ein Netz N von einer P-Invarianten überdeckt, so ist N beschränkt. Gegeben i 0, ist eine P-Invarinate, wenn f.a. t T gilt i t = 0 Sei N lebendig und es gilt i m 0 = i m i für alle erreichbaren Markierungen, dann ist i eine P-Invarinate.

42 Noch Fragen?

43 Literatur I Was sind Invarianten? Zusammenfassung Diskussion Quellenverzeichnis Bronstein ; Semendjajew ; Musiol ; Mühlig: Matrizen, Lineare Gleichungssysteme. In: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt a. M., 5.Auflage, 2001, Kapitel 4.1, 4.4, S , , 286 Desel, Jörg ; Reisig, Wolfgang: Place or Transition Petri Nets. In: LNCS Vol Lectures on Petri Nets I: Basic Models, Advances in Petri Nets. Springer-Verlag, London, UK, 1996, S

44 Literatur II Was sind Invarianten? Zusammenfassung Diskussion Quellenverzeichnis Reisig, Wolfgang: Platzinvarianten elementarer Systemnetze; Fallstudie: Wechselseitiger Ausschluss. In: Petrinetze - Modellierungstechnik, Analysemethoden, Fallstudien. Springer-Verlag, Berlin, 1998, Kapitel 13, 38-43, S , Reisig, Wolfgang: Case Study: Mutex; State-Properties of Elementary System Nets. In: Elements of Distributed Algorithms - Modeling and Analysis with Petri Nets. Springer-Verlag, Berlin, 2008, Kapitel 11, 19 (8, 9, 10, 14), S , ( , ) Starke, Peter H.: Invarianten. In: Analyse von Petri-Netz-Modellen. B.G. Teubner, Stuttgart, 1990, Kapitel 11, S

45 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

46 Zusammenfassung Diskussion Quellenverzeichnis Berechnung minimaler Invarianten (1) Geg. N mit n Plätzen und k Transitionen (n k-matrix), gesucht minimale P-Invarianten von N 1. Wir bilden wir Matrix D 0, indem wir an N rechts eine n-reihige Diagonalmatrix I n anfügen D 0 hat n Zeilen und n + k Spalten, wobei in den letzten k Spalten außer Nullen je genau eine eins steht. 2. Nun wird i = 1,... k aus der Matrix D i 1 die Matrix D i wie folgt berechnet:

47 Zusammenfassung Diskussion Quellenverzeichnis Berechnung minimaler Invarianten (2) a. Für alle Paare z 1, z 2 von Zeilen von D i 1 mit z 1 (i) z 2 (i) < 0, (deren i-te Komponenten verschiedene Vorzeichen haben), wird die Zeile z := abs(z 2 (i)) z 1 + abs(z 1 (i)) z 2 (mit z i = 0) gebildet, durch den größten gemeinsamen Teiler aller Komponenten dividiert und an D i angehängt

48 Zusammenfassung Diskussion Quellenverzeichnis Berechnung minimaler Invarianten (3) b. danach werden aus der erhaltenen Matrix alle Zeilen gestrichen, wo z(i) 0 In der schließlich erhaltenen Matrix D k streichen wir die ersten k Spalten, in ihnen befinden sich nur Nullen. Die restliche Matrix hat n Spalten und jeder ihrer Zeilen ist eine echte P-Invariante, darunter sind alle minimalen. (aus den minimalen P-Invarianten können alle Anderen per Linarkombination und Skalarmultiplikation erzeugt werden)