Durch das Borgen steht an der Zehner-Stelle jetzt nur noch eine 1 statt einer 2
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- Kornelius Maurer
- vor 5 Jahren
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1 39 Subtraktion Subtraktion Allgemein Bezeichnungen: Minuend Subtrahend = Differenz Die Subtraktion zweier Zahlen wird stellenweise ausgeführt Dabei kann es vorkommen, dass eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahiert werden muss Um dies zu bewerkstelligen, kann aus der nachfolgenden Stelle ein Wert geborgt werden Beispiel: = und wieviel ist 1? ) geht nicht ) 1 von 10er Stelle borgen ) aus 1 wird 11 4 und wieviel ist 11? ) 7 Durch das Borgen steht an der ZehnerStelle jetzt nur noch eine 1 statt einer 2 3 und wieviel ist 1? ) geht nicht ) 1 von 100er Stelle borgen ) aus 1 an der ZehnerStelle wird 11 3 und wieviel ist 11? ) 8 Durch das Borgen steht an der HunderterStelle jetzt nur noch eine 2 statt einer 3 2 und wieviel ist 2? ) 0 1 und wieviel ist 4 ) 1 Statt beim Borgen die MinuendenStellen zu verkleinern, kann die SubtrahendenStelle vergrößert werden (wie Übertrag) = Das Ergebnis ist das gleiche, da die Differenz zwischen MinuendenStelle und SubtrahendenStelle gleich bleibt Beim Borgen über mehrere Stellen hinweg kann einem dieses Vorgehen jedoch leichter fallen
2 156 3 Arithmetische Schaltungen a) Subtrahieren Sie 11 6 = 5 im Binärsystem bei einer Wortbreite n = b) Subtrahieren Sie 12 5 = 7 im Binärsystem bei einer Wortbreite n =4 : in T c) Subtrahieren Sie = 3 im Binärsystem bei einer Wortbreite n =4
3 39 Subtraktion 157 HalbSubtrahierer Ein HalbSubtrahierer ist ein Schaltung, die ein EingangsBit y i von einem EingangsBits x i subtrahiert Das Ergebnis ist ein DifferenzBit und ein BorgeBit b i (b = borgen = engl borrow) Eingang x i Eingang y i Differenz Borgen b i Die Differenz entspricht der XORVerknüpfung der Eingänge, b i hat den Wert 1, wenn der Minuend 0 ist und der Subtrahend 1 ist x i y i x i y i HS b i b i Der Halbsubtrahierer kann eine Binärzahlen nur halb subtrahieren: Der Halbsubtrahierer an Stelle i erkennt zwar, ob er ein Bit von Stelle i +1borgen musste, kann jedoch selbst nicht berücksichtigen, ob der Halbsubtrahierer an Stelle i 1 von ihm selbst ein Bit borgen musste
4 158 3 Arithmetische Schaltungen VollSubtrahierer Im Gegensatz zum Halbsubtrahierer kann ein Vollsubtrahierer berücksichtigen, ob die vorangegangene Stelle i 1 ein Bit borgen musste a) Vervollständigen Sie nachfolgende Wertetabelle eines Vollsubtrahierers x i y i b i 1 b i : ^ b) Tragen Sie in nachfolgende Abbildung (links) eine Implementierung einer VollsubtrahiererSchaltung ein x i : y i " x i y i b b i1 b i b ±E Et## VS i1 eyh#i
5 di IA elk falls vorzcidu o Borrow out : Untebut, gilhger Week bbcch velassen 39 Subtraktion 159 RippleBorrowSubtrahierer Beim RippleBorrow Subtrahierer werden n Vollsubtrahierer so verschaltet, dass sich damit die Differenz d = x y zweier n Bit umfassender Zahlen berechnen lässt x n1 x 2 x 1 x 0 y n1 y 2 y 1 y 0 x i b i VS y i x i y i x i y i x i y i b i1 b i VS b i1 b i b i1 b i d n1 d 2 d 1 d 0 VS VS b i1 y 0 Halbsubtah alternative Betrachten Sie den Zahlenring für vorzeichenlose Zahlen Richtung steigender Werte a) Nehmen Sie an, die Eingangswerte des entworfenen RippleBorrowSubtrahierer sind vorzeichenlos Welches Zahlenformat hat die Differenz d? Welche Funktion hat das Borrow Out? los
6 H)=1 f3)= Arithmetische Schaltungen Betrachten Sie den Zahlenring für Zahlen im ZweierKomplement: negativ itiv b) Funktioniert der Subtrahierer auch mit dem ZweierKomplement? Wenn ja: Wie kann man einen Überlauf feststellen? Wenn nein: Warum nicht? : 41+3 : ney hey : 31=4 : hey ng : 2 : 0011 : : ,00^1= MAO 1101= =1100 Mqn 0001 = libelous : a hey = = hey
7 39 Subtraktion 161 c) Tragen Sie in nachfolgende Abbildung eine Schaltung ein, die einen Überlauf von Zahlen im Zweierkomplement feststellt x n1 y n1 kh* to I u d n1 neg uey = = hey
8 162 3 Arithmetische Schaltungen 310 Division Allgemein Bei der Division gilt allgemein: Dividend / Divisor = Quotient + Rest Division zur Basis 10, wie in der Schule gelernt: 9876 : 0054=0 1 Runde 1 Teildividend = 9 Passt 54 in 9? Nein, dh 0 mal 9876 : 0054=01 2 Runde 2 Teildividend = 98 Passt 54 in 98? Ja Wie oft? = 44 (1 mal) = 10 (negativ bleibt bei 1 mal) 4476 : 0054=018 3 Runde 3 Teildividend = 447 Passt 54 in 447? Ja Wie oft? = 393 (1 mal) = 339 (2 mal) = 285 (3 mal) = 231 (4 mal) = 177 (5 mal) = 123 (6 mal) = 069 (7 mal) = 015 (8 mal) = 039 (negativ bleibt bei 8 mal) 4 Runde 0156 : 0054=018 Rest 48 * 4 Teildividend = 156 Passt 54 in 156? Ja Wie oft? = 102 (1 mal) = 048 (2 mal) = 006 (negativ bleibt bei 2 mal)
9 Ii Tei A 1 no 310 Division 163 Die Division zur Basis 2 folgt demselben Prinzip wie die Division zur Basis 10 Da der Teildividend jedoch nur 0 oder 1 mal in den Divisor passen kann, ist die Bestimmung der jeweiligen QuotientenStelle wesentlich einfacher a) Berechnen Sie binär vorzeichenlos für n =4die Division 13/4 =3Rest ldivid Id ED: 00 f On ; r u : M ; = hey 0 = hey 00 = 3it aen#o o % Rest A ^ Rest T b) Berechnen Sie binär vorzeichenlos für n =4die Division 10/3 =3Rest 1
10 164 3 Arithmetische Schaltungen Kombinatorischer Dividierer a) Vervollständigen Sie nachfolgende Abbildung um geeignete Bauelemente und Verbindungen zu einer Schaltung, die zwei vorzeichenlose 4 Bit breite Zahlen zu einem Quotienten q und einem Rest r dividiert x 3 x 2 x 1 x 0 : y 3 y 2 y 1 y 0 x i y i x i y i x i y i x i y i VS VS VS HS x i y i x i y i x i y i x i y i VS VS VS HS x i y i x i y i x i y i x i y i VS VS VS HS x i y i x i y i x i y i x i y i VS VS VS HS q 3 q 2 q 1 q 0 Rest: r 3 r 2 r 1 r 0
11 310 Division 165 Sequentieller Dividierer Nachfolgende Abbildung skizziert eine sequentielle Schaltung, die zur Division (hier: x/y) vorzeichenloser Zahlen der Wortbreite n =4verwendet werden kann D y 3 y 2 y 1 y 0 SUB R 0 R x 3 x 2 x 1 x 0 Das DivisorRegister D ist n =4Bit breit, das RestRegister R ist 2n =8Bit breit Zuerst wird der Dividenn der rechten Hälfte des RestRegisters R abgelegt; die linke Hälfte wird mit 0 initialisiert Der Divisor wirm DivisorRegister D abgelegt Anschließend wirterativ n =4mal folgendes durchgeführt: RestRegister R um eine Stelle nach links schieben, dabei von rechts mit Nullen auffüllen Der Subtrahierer bestimmt mittels Subtraktion R 2n 1n D, ob der Divisor D in den TeilDividenden R 2n 1n passt Ist das Ergebnis der Subtraktion itiv, dh hat der Divisor in den TeilDividenden reingepasst, wird R 0 auf 1 gesetzt und das Ergebnis der Subtraktion (der Rest) in R 2n 1n übernommen Der Quotient findet sich in der rechten Hälfte des RestRegstiers, dh R n 10, der DivisionsRest in der linken Hälfte, dh R 2n 1n
12 166 3 Arithmetische Schaltungen a) Tragen Sie in folgende Abbildung für n =4die Registerinhalte ein, die sich für die Division 13 : 4 = 3 Rest 1 ergeben a SUB ab b Initialisierung Nach Schieben: Nach Schieben: Nach Schieben: Nach SUB/ODER: Nach Schieben: Nach Subtr/ODER: Erste Runde Zweite Runde Dritte Runde Dritte Runde Vierte Runde Vierte Runde Nachfolgende Abbildungen zeigen eine Schaltung, welche die sequentielle Division implementiert, sowie den zugehörigen Zustandsautomaten T b) Tragen Sie in den ZustandsAutomaten geeignete Übergänge und Ausgangssignale so ein, dass der Zustandsautomat die Schaltung in gewünschter Weise steuert
Durch das Borgen steht an der Zehner-Stelle jetzt nur noch eine 1 statt einer 2
3.9 Subtraktion 155 3.9 Subtraktion Allgemein Bezeichnungen: Minuend - Subtrahend = Differenz Die Subtraktion zweier Zahlen wird stellenweise ausgeführt. Dabei kann es vorkommen, dass eine größere Zahl
Durch das Borgen steht an der Zehner-Stelle jetzt nur noch eine 1 statt einer 2
.9 Subtraktion 55.9 Subtraktion Allgemein Bezeichnungen: Minuend - Subtrahend = Differenz Die Subtraktion zweier Zahlen wird stellenweise ausgeführt. Dabei kann es vorkommen, dass eine größere Zahl von
Zur Multiplikation von Gleitkommazahlen müssen die Mantissen inkl. führender 1, als Festkommazahlen multipliziert werden.
70 Arithmetische Schaltungen Multiplikation vorzeichenbehafteter Zahlen Zur Multiplikation vorzeichenbehafteter Zahlen (er-komplement) kann auf die Schaltung für vorzeichenlose Multiplikation zurückgegriffen
2 Initialisierung clk_mkand= clk_produkt= multiplexer= init/>>1= 6 Schieben clk_mkand= clk_produkt= multiplexer= init/>>1=
Arithmetische Schaltungen c) Vervollständigen Sie nachfolgend abgebildeten Zustands-Automaten so, dass er den Multiplizierer wie gewünscht steuert. Nehmen Sie an, dass Sie zur Detektion des Schleifen-Abbruchs
3.8 Sequentieller Multiplizierer 159
.8 Sequentieller Multiplizierer 59 Nachfolgende Abbildung zeigt den (unvollständigen) Aufbau einer Schaltung zur Implementierung des gezeigten Multiplikationsverfahrens. b) Vervollständigen Sie die Schaltung
Durch das Borgen steht an der Zehner-Stelle jetzt nur noch eine 1 statt einer 2
.9 Subtraktio 7.9 Subtraktio Allgemei Bezeichuge: Miued Subtrahed = Differez Die Subtraktio zweier Zahle wird stelleweise ausgeführt. Dabei ka es vorkomme, dass eie größere Zahl vo eier kleiere Zahl subtrahiert
170I I-206I 10 - I I I O NR : 10 O I I I =7 O O I I = 3% 7 -od 6 : 14 : Arithmetische Schaltungen
' 172 3 Arithmetische Schaltuge a) Subtrahiere Sie 11 6 = 5 im Biärsystem bei eier Wortbreite =4 17 : 1011 6 : 0110 01=5 = 170 b) Subtrahiere Sie 12 5 = 7 im Biärsystem bei eier Wortbreite =4 72 : 1100
3.8 Sequentieller Multiplizierer 167
.8 Sequentieller Multiplizierer 67 a) Welche Organisation hat das ROM? 6=64 Datenwerte zu je 9 Bit Im ROM wird durch die Adress-Bits, und der Zustand festgelegt, durch die Adress-Bits und 4 der Rundenzähler,
Dividend / Divisor = Quotient + Rest 9876 : 0054= : 0054= = -10 (negativ bleibt bei 1 mal) 4476 : 0054=018
78 Arithmetische Schaltungen Division Allgemein Bei der Division gilt allgemein: Dividend / Divisor = Quotient + Rest Division zur Basis, wie in der Schule gelernt: 9876 : 54= Runde Teildividend = 9 Passt
Begriffe, die auf eine Multiplikation oder Division hinweisen
Fachbegriffe der Addition und Subtraktion Bei der Addition werden Zahlen zusammengezählt: 2 + 4 = 6 1. Summand 2. Summand Summe Bei der Subtraktion wird eine Zahl von einer anderen abgezogen. 7 2 = 5 Minuend
m) Bestimmen Sie die maximale Gatterlaufzeit der zweistufigen 16 Bit Carry-Look- Ahead-Schaltung zur korrekten Bestimmung von GG 0.
3.5 CarryLookAhead 151 m) Bestimme Sie die maximale Gatterlaufzeit der zweistufige 16 Bit CarryLook AheadSchaltug zur korrekte Bestimmug vo GG 0. TS go, y g + 2T 6T 12T f T Nachfolgede Abbildug zeigt eie
3.1 Schaltungselemente 129. b) Tragen Sie in nachfolgende Abbildung die Realisierung eines 1 Bit 4-auf-1 Multiplexers aus Logikgattern ein.
3.1 Schaltungselemente 129 b) Tragen Sie in nachfolgende Abbildung die Realisierung eines 1 Bit 4-auf-1 Multiplexers aus Logikgattern ein. 2 1 0 1 1 130 3 Arithmetische Schaltungen emultiplexer emultiplexer
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3 Initialisierung. Initialisierung. Addieren clk_mkand= clk_produkt= multiplexer= multiplexer= I0 init/>>1= mon. init/>>1= 0.
u Arithmetische Schaltungen c) Vervollständigen Sie nachfolgend abgebildeten s-automaten so, dass er den Multiplizierer wie gewünscht steuert Nehmen Sie an, dass Sie zur Detektion des Schleifen-Abbruchs
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