EQF-Punkte für Sehnen-Tangenten-Vierecke. Eckart Schmidt
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- Dorothea Neumann
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1 EQF-Punkte für ehnen-tangenten-vierecke Eckart chmidt Ein ehnen-tangenten-viereck hat einen Umkreis, auf dem die Ecken liegen, und einen Inkreis, den die eitengeraden berühren. Dabei ist der Umkreis der Polarkreis (polar circle) des Diagonal- Dreiecks und der Inkreis der Polarkreis des Diagonalen-Dreiecks. us der icht dieser beiden Dreiecke wird hier die Geometrie der ehnen- Tangenten-Vierecke untersucht. Zugrunde gelegt wird die Encyclopedia of Quadri Figures (EQF) von hris van Tienhoven [1]. Eine analytische Behandlung in baryzentrischen Koordinaten wird nur angedeutet. Vorbemerkungen Ein Viereck im engeren inne wird bei hris van Tienhoven [1] als Quadrigon (QG) angesprochen, bestehend aus vier Punkten P 1, P 2, P 3, P 4 und vier Geraden L 1 =P 1 P 2, L 2 =P 2 P 3, L 3 =P 3 P 4, L 4 =P 4 P 1. Daneben werden die Bezeichnungen Quadrangle (Q) für vier Punkte (ungeordnet) und Quadrilateral (QL) für vier Geraden (ungeordnet) benutzt. Jedes Quadrigon kann als Quadrangle und als Quadrilateral betrachtet werden. Ein ehnen-tangenten-viereck muss also als Quadrigon angesprochen werden. Es ist durch sein Diagonal-Dreieck Q- DT bzw. durch sein Diagonalen-Dreieck QL-DT eindeutig festgelegt. Beide Dreiecke haben eine gemeinsame Ecke im Folgenden als cheitel angesprochen und eine gemeinsame Gegenseitengerade im Folgenden als Basisgerade bezeichnet. Der cheitel sei die Ecke B, wenn eines der beiden Dreiecke als Bezugsdreieck B für baryzentrische Koordinaten gewählt wird. Der Winkel an dieser Ecke muss stumpfwinklig sein, damit ein Polarkreis existiert.
2 Vor dem Hintergrund, die Geometrie der ehnen-tangenten- Vierecke aus der icht der Dreiecke Q-DT und QL-DT zu beschreiben, seien gängige Punkte dieser beiden Bezugsdreiecke in ihrer EQF-Bezeichnung abgekürzt Q-DT QL-DT chwerpunkt G =Q-P10 G L =QL-P8 Umkreismitte O =Q-P11 O L =QL-P9 Höhenschnitt H =Q-P12 H L =QL-P10 Neun-Punkte-Zentrum N =Q-P13 N L =QL-P11 us dem QG-Bereich seien verkürzt zitiert cheitel QG-P1 M Q-Basismitte QG-P2 QL-Basismitte QG-P3 M L Der Mittelpunkt des Polarkreises eines stumpfwinkligen Dreiecks ist der Höhenschnitt; der Polarkreis hat mit Umkreis und Neun-Punkte-Kreis des Dreiecks die gleiche Radikalachse. Dies gilt sowohl im Q- als auch im QL-Bereich. Der Q-DT- Polarkreis ist der Umkreis und der QL-DT-Polarkreis ist der Inkreis des ehnen-tangenten-vierecks. Q-DT und QL-DT bestimmen sich gegenseitig Hintergrund ist, dass der Q-DT-Basis-Thales-Kreis die gemeinsame Höhe auf der scheitelabgewandten eite in einem Punkt des QL-DT- Umkreises senkrecht schneidet.
3 Ist Q-DT das Bezugsdreieck, so erhält man die Ecken des ehnen-tangenten-vierecks ) ( ), ( ), ( ), ( r q p P r q p P r q p P r q p P für r b q p,, Die QL-Basis-Punkte teilen dann die Q-Basis harmonisch im Verhältnis Ist QL-DT das Bezugsdreieck, so erhält man die eitengeraden des ehnen-tangenten-vierecks ) ( ), ( ), ( ), ( n m l L n m l L n m l L n m l L für B c n m a l, ) (,. Die Q-Basis-Punkte teilen dann die QL-Basis harmonisch im Verhältnis c a. Benutzt werden die onway-bkürzungen B,,, mit 2, 2, 2 c b a c b a c b a B, 4 B B. Durch die Berechnungsgrundlagen des EQF-Katalogs ist damit ein analytischer Zugang zu den EQF-Punkten eines ehnen- Tangenten-Vierecks möglich, worauf hier verzichtet wird. Q-Punkte Es werden die Punkte Q-P1 bis Q-P37 berücksichtigt. Keine ngaben werden zu Q-P17, Q-P18, Q-P27 gemacht. Ergänzend sind die Eigenschaften des EQF-Katalogs zu beachten.
4 Q-P1 Q-entroid Dieser Punkt wird als weiterer Bezugspunkt herangezogen, da er von zentraler Bedeutung für die Geometrie der ehnen-tangenten-vierecke ist. Q-P1 eines ehnen-tangenten-vierecks ist wie folgt konstruktiv durch Q-DT bestimmt Das Q-DT sei B und bei B stumpfwinklig. Der Thales-Kreis über schneidet die Höhe auf der eite von B in H L. Q-P1 ist der zweite chnitt von M H L mit dem Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2. Q-P1 = Q-P6 = Q-P36 Q-P2 Euler-Poncelet Point uch dieser Punkt wird als weiterer Bezugspunkt herangezogen. Q-P2 ist die piegelung von H an Q-P1 oder zweiter chnitt von O L und Q-DT-Umkreis. Q-P2 = Q-P14 = Q-P15 = Q-P37 = QL-P2 = QG-P10 Q-P3 Gergonne-teiner Point Q-P3 ist der Mittelpunkt H des Q-DT-Polarkreises. Q-P3 = Q-P4 = Q-P8 = Q-P12 = Q-P32 = QG-P5 Q-P4 Isogonal enter Q-P4 ist der Mittelpunkt H des Q-DT-Polarkreises. Q-P3 = Q-P4 = Q-P8 = Q-P12 = Q-P32 = QG-P5 Q-P5 Isotomic enter Q-P5 teilt allgemein G.Q-P1 im Verhältnis -43
5 Q-P6 Parabola xes rosspoint Zweiter chnitt von M H L mit dem Q-DT-Neun-Punkte-Kreis. Q-P1 = Q-P6 = Q-P36 Q-P7 Q-Nine-Point Homothetic enter Q-P7 teilt H.Q-P1 im Verhältnis -41. Q-P8 Midray Homothetik enter Q-P8 ist der Mittelpunkt H des Q-DT-Polarkreises. Q-P3 = Q-P4 = Q-P8 = Q-P12 = Q-P32 = QG-P5 Q-P9 Q-Miquel enter Zweiter chnitt von H.Q-P1 und dem Q-DT-Neun-Punkte-Kreis. Q-P10 entroid of Q-DT Q-P10 = G Q-P11 ircumcenter of Q-DT Q-P11 = O
6 Q-P12 Orthocenter of Q-DT Q-P12 ist der Mittelpunkt H des Q-DT-Polarkreises. Q-P3 = Q-P4 = Q-P8 = Q-P12 = Q-P32 = QG-P5 Q-P13 Nine-Point enter of Q-DT Q-P13 = Q-P28 = N Q-P14 entroid of the Morley-Triangle Das Morley Triangle entartet in Q-P2. Q-P15 Orthocenter of the Morley-Triangle Das Morley Triangle entartet in Q-P2. Q-P16 Q-Harmonic enter chnitt der Radikalachsen von Q-DT- und QL-DT-Umkreis sowie Q-DT-Umkreis und Q-DT-Polarkreis. Q-P17 1 st djunct Q-entroid --- Q-P18 2 nd djunct Q-entroid --- Q-19 3 rd djunct Q-entroid Q-P19 ist das Q-DT-isotome Bild von Q-P20; Q-P20 teilt G.Q-P1 im Verhältnis -23. Q-P20 Reflection of Q-P5 in Q-P1 Q-P20 liegt auf dem Q-DT-Umkreis und teilt G.Q-P1 im Verhältnis -23. Q-P20 = Q-P30
7 Q-P21 Reflection of Q-P16 in Q-P1 piegelung vom chnitt (Q-P16) der Radikalachsen von Q-DT- und QL-DT-Umkreis sowie Q-DT-Umkreis und Q-DT-Polarkreis an Q-P1. Q-P22 Midpoint Q-P1 and Q-P20 Q-P22 teilt allgemein G.Q-P1 im Verhältnis -13 Q-P23 Inscribed quare xes rosspoint Fernpunkt der Geraden H.Q-P1. Q-P24 nticomplement of Q-P1 wrt Morley Triangle Q-P24 teilt H.Q-P1 im Verhältnis -43. Q-P25 1 st Q-Quasi entroid Q-P25 teilt allgemein G.Q-P1 im Verhältnis -41
8 Q-P26 2 nd Q-Quasi entroid Q-P26 teilt allgemein G.Q-P1 im Verhältnis 21 Q-P27 M3D enter --- Q-P28 Midpoint of the foci of the Q-Parabolas Q-P28 = Q-P13 = N Q-P29 omplement of Q-P2 wrt Q-DT piegelung von Q-P1 an N (auf Q-i2). Q-P30 Reflection of Q-P2 in Q-P11 Q-P30 liegt auf dem Q-DT-Umkreis und teilt G.Q-P1 im Verhältnis -23. Q-P30 = Q-P20 Q-P31 omplement of Q-P16 wrt Q-DT Q-P31 ist das Q-DT-Komplement des chnitts (Q-P16) der Radikalachsen von Q-DT- und QL-DT-Umkreis sowie Q-DT-Umkreis und Q-DT-Polarkreis.
9 Q-P32 entroid of the ircumcenter Quadrangle Q-P32 ist der Mittelpunkt H des Q-DT-Polarkreises. Q-P3 = Q-P4 = Q-P8 = Q-P12 = Q-P32 = QG-P5 Q-P33 entroid of the Orthocenter Quadrangle Q-P33 teilt H.Q-P1 im Verhältnis -32. Q-P34 Euler-Poncelet Point of the entroid Quadrangle Q-P34 teilt H.Q-P1 im Verhältnis 21. Q-P35 1 st Penta Point Q-P35 teilt allgemein G.Q-P2 im Verhältnis -16. Q-P36 omplement of Q-P30 wrt Q-DT Zweiter chnitt von M H L mit dem Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2. Q-P1 = Q-P6 = Q-P36 Q-P37 Reflection of Q-P12 in Q-P1 Q-P37 = Q-P2 oder piegelung von H an Q-P1 Q-P2 = Q-P14 = Q-P15 = Q-P37= QL-P2 =QG-P10
10 Zusammenfallende Q-Punkte Q-P1 = Q-P6 = Q-P36 Q-P2 = Q-P14 = Q-P15 = Q-P37 = QL-P2 =QG-P10 Q-P3 = Q-P4 = Q-P8 = Q-P12 = Q-P32 = QG-P5 = H Q-P13 = Q-P28 = N Q-P20 = Q-P30 Kollineare Punkte Q-L1 = Q-L2 =Q-L6 Q-P1, Q-P2, Q-P3, Q-P4, Q-P6, Q-P7, Q-P8, Q-P9, Q-P12, Q-P14, Q-P15, Q-P24, Q-P32, Q-P33, Q-P34, Q-P36, Q-P37. Q-L3 Q-P1, Q-P5, Q-P6, Q-P10, Q-P18, Q-P20, Q-P22, Q-P26, Q-P30, Q-P36. Q-L4 Q-P1, Q-P6, Q-P23, Q-P36. Q-L5 (Q-DT-Euler-Gerade) Q-P3, Q-P4, Q-P8, Q-P10, Q-P11, Q-P12, Q-P13, Q-P28, Q-P32. Konzyklische Punkte Q-i1 = Q-DT-Umkreis Q-P2, Q-P9, Q-P14, Q-P15, Q-P20, Q-P30, Q-P37. Q-i2 = Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-P1, Q-P6, Q-P29, Q-P36 Punkte auf Q-Kegelschnitten Q-o1 = gleichseitige Q-DT-Umhyperbel (Zentrum Q-P1) Q-P2, Q-P3, Q-P4, Q-P8, Q-P12, Q-P14, Q-P15, Q-P32, Q-P37. Q-o3 = Q-DT-Polarkreis (Umkreis des ehnen-tangenten- Vierecks) Q-o4 = gleichseitige Q-DT-Umhyperbel (Zentrum Q-P29) Q-P3, Q-P4, Q-P8, Q-P12, Q-P20, Q-P30, Q-P32. Q-o5 = Q-DT- Umhyperbel Q-P1, Q-P6, Q-P16, Q-P17, Q-P19, Q-P20, Q-P30, Q-P36
11 Q-nmerkungen Q-2o1 Die chsen der beiden Umparabeln des ehnen- Tangenten-Vierecks sind die zueinander senkrechten symptoten von Q-o1. Q-u7 entartet zu Q-o1. QL-Punkte Es werden die Punkte QL-P1 bis QL-P26 berücksichtigt. Keine ngaben werden zu QL-P14, QL-P15, QL-P21, QL-P22, QL- P26 gemacht. Ergänzend sind die Eigenschaften des EQF- Katalogs zu beachten. QL-P1 Miquel Point Fußpunkt der Q-DT- bzw. QL-DT-cheitel-Höhe QL-P2 Morley Point QL-P2 = Q-P2 oder piegelung von H an Q-P1 QL-P2 = Q-P2 = Q-P14 = Q-P15 = Q-P37 = QG-P10 QL-P3 Hervey Point QL-P3 ist der chnitt der Radikalachse von QL-DT-Umkreis und QL-DT-Neun-Punkte-Kreis mit einer Parallelen zur Basisgeraden im halben bstand zu H.
12 QL-P4 Miquel ircumcenter QL-P4 ist der chnitt einer Parallelen zur Basisgeraden im halben bstand zu H und einer Tangenten im Höhenfußpunkt (QL-P1) an den QL-DT-Neun-Punkte-Kreis. QL-P5 Kantor-Hervey-Point QL-P5 liegt im chnitt von H L M und einer Parallelen zur Basisgeraden im halben bstand zu H. QL-P6 Dimidium Point QL-P6 ist die Mitte von H M. QL-P7 Newton-teiner Point chnitt der Geraden O L und M H L. QL-P8 entroid of QL-DT QL-P8 = G L
13 QL-P9 ircumcenter of QL-DT QL-P9 = O L QL-P10 Orthocenter of QL-DT QL-P10 = H L ist Mittelpunkt des QL-DT-Polarkreises. QL-P11 Nine-point enter of QL-DT QL-P11 = N L QL-P12 QL-entroid or Lateral entroid QL-P12 teilt die trecke M.Q-P1 im Verhältnis 21. QL-P13 QL-Harmonic enter QL-P13 ist der QL-DT-Tripol der Geraden H L M und liegt auf der Radikalachse der Umkreise von Q-DT- und QL-DT. QL-P16 QL-Quasi ircumcenter QL-P16 ist die piegelung von H L an der Basisgeraden. QL-P17 QL-djunct Quasi ircumcenter QL-P17 ist der zweite chnitt von G und dem QL-DT-Umkreis.
14 QL-P18 Reflection of QL-P8 in QL-P12 QL-P18 ist die piegelung von G L am Teilpunkt (QL-P12) von M.Q-P1 im Verhältnis 21. QL-P19 Midpoint of QL-P1 and QL-P7 QL-P19 ist der Mittelpunkt von Höhenfußpunkt (QL-P1) und chnitt O L ^ M H L (QL-P7). QL-P20 Orthocenter Homothetik enter QL-P20 ist der chnitt von M.Q-P1 und einer Parallelen zur Basis durch Q-P2.
15 QL-P23 enter of the Inscribed Midline Hyperbola QL-P23 ist der chnitt von H L M und einer Parallelen zur Basis durch H. QL-P24 Intersection QL-P1.QL-P8 ^ QL-P13.QL-P17 QL-P24 liegt im chnitt des QL-DT-Umkreises und des Thales-Kreises über H M (zweiter chnitt auf M ). QL-P25 2 nd QL-Parabola Focus QL-P25 teilt die trecke von G L zum zweiten chnitt von G und dem QL-DT-Neun-Punkte- Kreis (QL-P17) im Verhältnis -13. QG-Punkte QG-P1 Diagonal rosspoint QG-P1 ist der cheitel. QG-P2 Midpoint 3 rd Q-Diagonal QG-P2 ist die Q-Basismitte M. QG-P3 Midpoint 3 rd QL-Diagonal QG-P3 ist die QL-Basismitte M L.
16 QG-P4 1 st QG-Quasi entroid QG-P4 teilt allgemein die trecke.q-p1 im Verhältnis -41 QG-P5 1 st QG-Quasi ircumcenter QG-P5 liegt in H. QG-P5 = Q-P3 = Q-P4 = Q-P8 = Q-P12 = Q-P32 QG-P6 1 st QG-Quasi Orthocenter QG-P6 ist die piegelung des cheitels an Q-P2 QG-P7 1 st QG-Quasi Nine-point enter QG-P7 ist der chnitt einer Parallelen zu O L durch Q-P1 und einer Parallelen zur Höhe durch Q-P2. QG-P8 2 nd QG-Quasi entroid QG-P8 teilt allgemein.q-p1 im Verhältnis 21.
17 QG-P9 2 nd QG-Quasi ircumcenter QG-P9 ist die Mitte von und H. QG-P10 2 nd QG-Quasi Orthocenter QG-P10 ist zweiter chnitt von O L und Q-DT-Umkreis. Q-P2 = Q-P14 = Q-P15 = Q-P37= QL-P2 =QG-P10 QG-P11 2 nd QG-Quasi Nine-point enter QG-P11 ist die Mitte von Q-P1 und der Mitte von.q-p2. QG-P12 Inscribed Harmonic onic enter QG-P12 liegt im chnitt von M H L und der Radikalachse der Umkreise von Q-DT und QL-DT.
18 QG-P13 ircumscribed Harmonic onic enter QG-P13 ist der chnitt der Radikalachse der Umkreise von Q-DT und QL-DT und der Gerade H L.Q-P2. QG-P14 enter of the M3D Hyperbola QG-P14 ist der chnitt einer Parallelen zur Basis durch und einer Parallelen zu M H L im doppelten bstand zu. bschließende nmerkung Diese usarbeitung ist ein Versuch, die Geometrie der EQF-Punkte für ehnen-tangenten-vierecke aus der icht des Diagonaldreiecks und des Diagonalendreiecks anzusprechen und einer weiteren Bearbeitung zu empfehlen. Eckart chmidt - Holstenstraße 42 - D Raisdorf http//eckartschmidt.de eckart_schmidt@t-online.de
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