EQF-Punkte für Kreisvierecke. Eckart Schmidt
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- Hildegard Hofmann
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1 EQF-Punkte für Kreisvierecke Eckart chmidt Mit EQF wird ezug genommen auf die Encyclopedia of Quadri-Figures von hris van Tienhoven [1], in der Viereckpunkte aufgelistet und in ihrem geometrischen Zusammenhang dargestellt werden. Hier werden diese Punkte für Kreisvierecke näher untersucht. Gearbeitet wird in baryzentrischen Koordinaten des Diagonaldreiecks Q-DT. uf dieses Dreieck beziehen sich auch die angesprochenen geometrischen Eigenschaften. Vorbemerkungen zu Kreisvierecken Ein Viereck im engeren inne wird bei hris van Tienhoven [1] als Quadrigon QG angesprochen, bestehend aus vier Punkten P 1, P 2, P 3, P 4 und vier Geraden L 1 =P 1 P 2, L 2 =P 2 P 3, L 3 =P 3 P 4, L 4 =P 4 P 1. Daneben werden die ezeichnungen Quadrangle Q für vier Punkte ungeordnet und Quadrilateral QL für vier Geraden ungeordnet benutzt. Jedes Quadrigon kann als Quadrangle und als Quadrilateral aufgefasst werden und zu jedem Quadrigon als auch Quadrilateral können drei Quadrigons betrachtet werden. Ein Kreisviereck wird hier als Quadrangle angesprochen. In den bbildungen wird nur die konvexe QG- Komponente dargestellt. Das Diagonaldreieck Q-DT eines Kreisvierecks ist stumpfwinklig. ls ezugsdreieck für baryzentrische Koordinaten sei der cheitel des stumpfen Winkels. Der Umkreis des Vierecks ist der Polarkreis polar circle des Diagonaldreiecks. Der Polarkreis eines Dreiecks ist der Kreis, für den Ecke und Gegenseite jeweils in Pol-Polaren-eziehung stehen. Nur für stumpfwinklige Dreiecke existiert der Polarkreis, sein Mittelpunkt liegt im Höhenschnitt. eine Gleichung ist: x y z 0 0 enutzt werden die onway-bkürzungen,, mit,
2 2 a b c, 2 a b c, 2 a b c, 4. Wählt man einen Punkt P p : q : r 4 mit q p r auf dem Polarkreis des ezugsdreiecks, so ergeben die Ecken des nti-eva-dreiecks die fehlenden Ecken des Kreisvierecks: P p : q : r, P p : q : r, P p : q : r, P p : q : r Für Kreisvierecke fallen einige EQF-Punkte zusammen: Q-P1 = Q-P6 = Q-P36, Q-P2 = Q-P14 = Q-P15 = Q-P37 =QL-P2 = QG-P10, Q-P3 = Q-P4 = Q-P8 = Q-P12 = Q-32 =QG-P5, Q-P13 = Q-P28, Q-P20 =Q-P30. Es liegen z.. folgende Punkte kollinear: auf Q-L1 = Q-L2: Q-P1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 32, 33, 34, 36, 37, QL-P2, QG-P5, 10, auf Q-L3: Q-P1, 5, 6, 10, 18, 20, 22, 25, 26, 30, 36, auf Q-L5: Q-P3, 4, 8, 10, 11, 12, 13, 28, 32, QG-P5 auf einer weiteren Gerade: Q-P1, 6, 13, 28, 29, 36. piegelt man das Diagonaldreieck Q-DT am Umkreis des Kreisvierecks, so erhält man das Miquel-Dreieck Q-Tr2. Das Miquel-Dreieck Q-Tr2 ist für Kreisvierecke das Q-DT- Höhenfußpunktdreieck. lle Kreisvierecke mit gleichem Diagonaldreieck Q-DT haben somit das gleiche Miquel- Dreieck Q-Tr2. Der Neun-Punkte-Kreis des Diagonaldreiecks Q-i2 ist für Kreisvierecke der Umkreis des Miquel-Dreiecks Q-Tr2 mit der Mitte Q-P13 = Q-P28. Das Morley-Dreieck Q-Tr3 eines Kreisvierecks entartet trivial im Euler-Poncelet Point Q-P2 auf dem Q-DT-Umkreis Q- i1. Der Kegelschnitt Q-o3 eines Kreisvierecks ist der Q-DT- Umkreis Q-i1. Ortslinien für Q-Punkte der Kreisvierecke etrachtet man Kreisvierecke mit gleichem Diagonaldreieck, so ergeben sich Ortslinien für die Q-EQF-Punkte berücksichtigt bis Q-P38. Die Geometrie dieser Ortslinien bezieht sich auf das Diagonaldreieck Q-DT. Orientierungspunkte sind: chwerpunkt G = Q-P10, Umkreismitte O = Q-P11, Höhenschnitt H = Q-P12, Neun-Punkte-Zentrum N = Q-P13.
3 Q-P1 Q-entroid Kreis: Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2 x y z a yz b zxc xy 0 Q-P2 Euler-Poncelet Point Kreis: Q-DT-Umkreis Q-i1 a yz b zx c xy 0 Q-P3 Gergonne-teiner point fix in H : : = Q-P12 Q-P4 Isogonal enter fix in H : : = Q-P12 Q-P5 Isotomic enter Kreis um H mit doppeltem Q-DT-Umkreisradius a x b y c z 2 xy yz zx 0
4 Q-P6 Parabola xes rosspoint Kreis: Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2 s. Q-P1 Q-P7 Q-Nine-Point Homothetic enter Kreis um G mit 2/3 Q-DT-Umkreisradius 3 x 3 y 3 z 2 xy yz zx 6 a yz b zx c xy 0 Q-P8 Midray Homothetic enter fix in H : : = Q-P12 Q-P9 Q-Miquel enter Kreis: Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2 s. Q-P1 Q-P10 entroid of Q-DT fix in G 1:1:1 = Q-P10 Q-P11 ircumcenter of Q-DT fix in O a : b : c = Q-P11 Q-P12 Orthocenter of Q-DT fix in H : : = Q-P12 Q-P13 Nine-Point enter of Q-DT fix in N : : = Q-P13 Q-P14 entroid of the Morley Triangle Morley Triangle entartet in Q-P2 Q-P15 Orthocenter of the Morley Triangle Morley Triangle entartet in Q-P2 Q-P16 Q-Harmonic enter Gerade: Radikalachse von Q-DT-Umkreis Q-i1 und Q-DT-Polarkreis x y z 0
5 Q-P19 ntiomplement of Q-P16 wrt Q-DT Gerade: Q-DT-isotomes ild des Q-DT-Umkreises Q-i1 0 z c y b x a Q-P20 Reflection of Q-P5 in Q-P1 Kreis: Q-DT-Umkreis Q-i1 s. Q-P2 Q-P22 Midpoint Q-P1 and Q-P20 Kreis: Mitte im Teilpunkt HO im Verhältnis 3/1; Radius 1/4 Q-DT-Umkreisradius z y x zx yz xy Q-P23 Inscribed quare xes rosspoint fix im Fernpunkt : : r q p, auch Q-Tf2-ild von H.
6 Q-P24 nticomplement of Q-P1 wrt Morley Triangle Kreis: Mitte im Q-DT-DeLongchamps-Punkt X20; Radius doppelter Q-DT-Umkreisradius. 3 x 3 y 3 z 2 a 3 yz 2 b 3 zx 2 c 3 xy 0 Q-P25 1 st Q-Quasi entroid Kreis: Mitte im Teilpunkt HO im Verhältnis 4/5; Radius 2/3 Q-DT-Umkreisradius 5 a 8 x 5 b 8 y 5 c 8 z 223a 5 yz 223b 5 zx xy 0 c Q-P26 2 nd Q-Quasi entroid Kreis: Mitte im Teilpunkt HO zum Verhältnis 5/4; Radius 1/3 Q-DT-Umkreisradius 4 a 10 x 4 b 10 y 4 c 10 z 37a 8 yz 37b 8 zx 37 8 xy 0 c
7 Q-P28 Midpoint of the foci of the Q-Parabolas fix in N = Q-P13 Q-P29 omplement of Q-P2 wrt Q-DT Kreis: Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2 s. Q-P1 Q-P30 Reflection of Q-P2 in Q-P11 Kreis: Q-DT-Umkreis Q-i1 s. Q-P2 Q-P31 omplement of Q-P16 wrt Q-DT Gerade: Q-DT-Komplement von der Q-P16-Gerade 0 z c y b x a Q-P32 entroid of the ircumcenter Quadrangle fix in : : H = Q-P12 Q-P33 entroid of the Orthocenter Quadrangle Kreis: Mitte Teilpunkt HO im Verhältnis -3:1; Radius 3/2 Q-DT-Umkreisradius z y x xy c zx b yz a zx yz xy Q-P34 Euler-Poncelet Point of the entroid Quadrangle Kreis: Mitte im Teilpunkt HO im Verhältnis 1/2; Radius 1/3 Q-DT-Umkreisradius z y x
8 a 3b 10 xy 3 b 3c 10 yz c 3 a 10 zx 0 Q-P35 1 st Penta Point Kreis: Mitte Teilpunkt HO im Verhältnis 3:2; Radius 1/5 Q-DT-Umkreisradius 26 a x 26 b y 26 c z 4 11a yz 4 11b zx 4 11c xy 0 Q-P36 omplement of Q-P30 wrt Q-DT Kreis: Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2 s. Q-P1 Q-P37 Reflection of Q-P12 in Q-P1 Kreis: Q-DT-Umkreis Q-i1 s. Q-P2 Q-P38 Montesdeoca-Hutson Point Kreis: piegelung des Q-DT-Neun-Punkte-Kreises am Q-DT-Umkreis Q-i1 a b c x y z 3 a yz b zx c xy 0
9 Ortslinien für QL-Punkte der Kreisvierecke Ein Kreisviereck wurde wie oben ausgeführt als Quadrangle betrachtet. Ein Quadrangle hat drei Quadrigon-Komponenten. Jede dieser Komponenten kann als Quadrilateral interpretiert werden. omit existieren für ein Kreisviereck drei Versionen eines QL-Punktes. Diese Punkte können in spezieller Lage sein und mit ihren Ortslinien im obigen inne weitere geometrische Zusammenhänge aufzeigen berücksichtigt bis QL-P26. ezugsdreieck ist weiterhin das Diagonaldreieck Q-DT. Dargestellt ist nur die konvexe Quadrigon-Komponente. Eine analytische erechnung wird unterdrückt. QL-P1 Miquel Point Die drei QL-P1-Punkte eines Kreisvierecks sind die Höhenfußpunkte des Diagonaldreiecks Q-DT. ie bilden das Miquel-Dreieck Q-Tr2. QL-P2 Morley Point Das Morley-Dreieck aus den drei QL-P2-Punkten entartet trivial in Q-P2 s. Q-P2. QL-P3 Hervey Point Die Ortslinien der drei QL-P3-Punkte sind Geraden, deren Dreieck aus dem Diagonaldreieck Q-DT durch treckung von H mit dem Faktor 1/2 entsteht s. QL-P4, -P5. QL-P4 Miquel ircumcenter Die drei QL-P4-Punkte eines Kreisvierecks liegen kollinear auf der Mittelsenkrechten von H.Q-P9.
10 Ihre Ortslinien sind Geraden, deren Dreieck aus dem Diagonaldreieck Q-DT durch treckung von H mit dem Faktor 1/2 entsteht s. QL-P3, -P5. QL-P5 Kantor-Hervey Point Die drei QL-P5-Punkte eines Kreisvierecks liegen kollinear mit N, einzeln kollinear mit Q-P1 und einer Q-DT-Ecke. Die QL-P4-Ortslinien sind Geraden, deren Dreieck aus dem Diagonaldreieck Q-DT durch treckung von H mit dem Faktor 1/2 entsteht s. QL-P3, -P4. QL-P6 Dimidium Point Die QL-P6-Punkte eines Kreisvierecks sind die Mitten von H und den Ecken des Q-DT-Mittendreiecks s. QL-P3, -P4, -P5.
11 QL-P7 Newton-teiner Point Die QL-P7-Punkte eines Kreisvierecks liegen auf dem Thales- Kreis über Q-P1.Q-P2. Die QL-P7-Ortslinien sind Thales-Kreise über einer Q-DT- Ecke und der Mitte der Q-DT-Gegenseite. QL-P8 entroid QL-DT Die Ortslinien der QL-P8-Punkte eines Kreisvierecks sind Geraden durch G parallel zu den Q-DT-eiten. QL-P9 ircumcenter QL-DT Die QL-P9-Punkte eines Kreisvierecks liegen auf den Verbindungsgeraden von Q-P2 und den Q-DT-Ecken. Die Ortslinien der QL-P9-Punkte sind enkrechte zu den Q- DT-eitenhalbierenden in den zweiten chnitten mit dem Q- DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2.
12 QL-P10 Orthocenter QL-DT Die Ortslinien der QL-P10-Punkte sind die Q-DT- Höhengeraden. QL-P11 Nine-Point enter QL-DT Die Ortslinien der QL-P11-Punkte eines Kreisvierecks sind Geraden. QL-P12 QL-entroid or Lateral entroid Die QL-P12-Punkte eines Kreisvierecks liegen konzyklisch mit Q-P1, die Mitte des Kreises teilt N.Q-P1 im Verhältnis 2:1. Die Ortslinien der QL-P12-Punkte sind Kreise gleichen Radius 1/3 Q-DT-Umkreisradius; die Kreismitten teilen die trecken von N zu den eitenmitten im Verhältnis 1:2
13 QL-P13 QL-Harmonic enter Die Ortslinien der QL-P13-Punkte eines Kreisvierecks sind Geraden, deren Dreieck Q-DT-perspektiv bzgl. H liegt. QL-P16 QL-Quasi ircumcenter Die Ortslinien der QL-P10-Punkte sind die Q-DT- Höhengeraden s. QL-P10. QL-P17 QL-djunct Quasi ircumcenter Die QL-P17-Punkte eines Kreisvierecks liegen in den zweiten chnitten der Q-DT-eitenhalbierenden mit den Thales- Kreisen über den eitenmitten und H. Die QL-P17-Punkte liegen konzyklisch mit H und G auf dem Thales-Kreis über diesen Punkten. QL-P18 Reflection of QL-P8 in QL-P2 Die QL-P18-Punkte liegen allgemein kollinear. Ihre Ortslinien sind Kurven höherer Ordnung.
14 QL-P19 Midpoint of QL-P1 and QL-P7 Die Ortslinien der QL-P19-Punkte eines Kreisvierecks sind die Thales-Kreise über den Q-DT-Höhenfußpunkten und den Mitten der eitenhalbierenden. QL-P22 QL-Nine-Point enter Homothetic enter Die QL-P22-Punkte eines Kreisvierecks liegen kollinear. Ihre Ortslinien sind Kurven höherer Ordnung. QL-P23 enter of the Inscribed Midline Hyperbola Die QL-P23-Punkte eines Kreisvierecks liegen auf den Geraden von Q-P1 zu den Q-DT-eitenmitten. Die Ortslinien der QL-P23-Punkte eines Kreisvierecks sind Kreise, die die Q-DT-eiten innen mittig berühren. QL-P24 Intersection QL-P1.QL-P8 ^QL-P13.QL-P17 Die Ortslinien der QL-P24-Punkte von Kreisvierecken sind die Thales-Kreise über den trecken von H zu den Q-DT-eitenmitten.
15 QL-P26 Least quares Point Die Ortslinien der QL-P26-Punkte eines Kreisvierecks sind Geraden; das zugehörige Teildreiseit ist das Q-DT-nti-eva- Dreieck von H. QL-L1 The Newton Line Die drei QL-L1-Geraden eines Kreisvierecks sind die Verbindungsgeraden von Q-P1 zu den Q-DT-eitenmitten. QL-L2 teiner Line Die QL-L2-Geraden eines Kreisvierecks sind die Verbindungsgeraden von Q-P2 zu den Q-DT-Ecken.
16 QL-L3 Pedal Line Die drei QL-L3-Geraden eines Kreisvierecks bilden ein Q-DTähnliches Dreieck. Ortslinien der Ecken sind Kreise mit dem gemeinsamen Q-DT-Punkt X974; weitere Kreisschnitte liegen auf den QL-L3-Geraden; das Mittendreieck der Kreise ist ebenfalls Q-DT-ähnlich. QL-L4 Morley Line Die drei QL-L4-Geraden eines Kreisvierecks sind die Verbindungsgeraden von Q-P2 zu den piegelungen von H an den Q-DT-eitenmitten. QL-L5 NM Line Die QL-L5-Geraden eines Kreisvierecks gehen durch die Q-DT-Höhenfußpunkte. QL-L6 Quasi Ortholine Die QL-L6-Geraden eines Kreisvierecks sind die Verbindungsgeraden von Q-P2 zu den chnitten der Ecktransversalen des Q-DT-Lemoine-Punktes L mit dem Q-DT-Umkreis.
17 Ortslinien für QG-Punkte der Kreisvierecke Die Voraussetzungen für QG-Punkte eines Kreisvierecks entsprechen denen der QL-Punkte, da ein Kreisviereck als Quadrangle betrachtet wird und damit drei Quadrigon- Komponenten hat. omit existieren für ein Kreisviereck drei Versionen eines QG-Punktes. Diese Punkte können in spezieller Lage sein und mit ihren Ortslinien weitere geometrische Zusammenhänge aufzeigen berücksichtigt bis QG-P15. Die Zeichnungen enthalten nur die konvexe Quadrigon- Komponente. ezugsdreieck ist weiterhin das Diagonaldreieck Q-DT. QG-P1 Diagonal rosspoint Die QG-P1-Punkte eines Quadrangle sind die Q-DT-Ecken. QG-P2 Midpoint 3 rd Q-Diagonal Die QG-P2-Punkte eines Quadrangle bilden das Q-DT- Mittendreieck. QG-P3 Midpoint 3 rd QL-Diagonal Die QG-P3-Punkte eines Kreisvierecks liegen kollinear auf der Q-DT-Tripolaren von Q-P16. Ihre Ortslinien sind die Q-DT-eitengeraden. QG-P4 1 st QG-Quasi centroid Die QG-P4-Punkte von Kreisvierecken liegen konzyklisch mit Q-P34; Mitte des Kreises ist die piegelung vom Teilpunkt HO im Verhältnis 1:2 an Q-P34; Radius: 1/3 Q-DT-Umkreisradius.
18 Ihre Ortslinien sind Kreise mit 2/3 Q-DT-Umkreisradius; die Mitten der Kreise teilen die trecken von der Mitte HO zu den Ecken im Verhältnis -1:4. QG-P5 1 st QG-Quasi ircumcenter Die drei QG-P5-Punkte eines Kreisvierecks fallen in den Punkt H, da das Viereck der Umkreismitten der Teildreiecke in H entartet. QG-P6 1st QG-Quasi Orthocenter QG-P6-Punkte eines Kreisvierecks sind konzyklisch mit Q-P2; Mittelpunkt des Kreises ist die piegelung von O an Q-P2. Ortslinien der QG-P6-Punkte sind drei Kreise; Radius ist der doppelte Q-DT-Umkreisradius; Mitten liegen diametral zu den Q-DT-Ecken auf dem Q-DT- Umkreis. QG-P7 1st QG-Quasi Nine-Point enter QG-P7-Punkte von Kreisvierecken sind konzyklisch mit Q-P1; der Mittelpunkt des Kreises ist die piegelung von N an Q-P1. Die zugehörigen Ortslinien sind Kreise um die Q-DT- eitenmitten mit dem Q-DT-Umkreisradius.
19 QG-P8 2 nd QG-Quasi entroid treckt man das Diagonal-Dreieck Q-DT von Q-P1 mit dem Faktor 1/3, erhält man das Dreieck der QG-P8-Punkte eines Kreisvierecks; die QG-P8-Punkte liegen auf dem Thales-Kreis über G.Q-P7. Die zugehörigen Ortslinien sind Kreise durch G mit 1/3 Q-DT- Umkreisradius; die Mitten liegen Q-DT-streckungsähnlich bzgl. N zum Faktor 1/3. QG-P9 2 nd QG-Quasi ircumcenter Die QG-P9-Punkte von Kreisvierecken sind die Mitten von H und den Q-DT-Ecken, sie liegen auf dem Q-DT-Neun-Punkte-Kreis Q-i2, hier auch Umkreis des Miquel-Dreiecks Q-Tr2.
20 QG-P10 2 nd QG-Quasi Orthocenter Die QG-P10-Punkte eines Kreisvierecks fallen im Punkt Q-P2 zusammen; dessen Ortslinie ist der Q-DT-Umkreis Q-i1. QG-P11 2 nd QG-Quasi Nine-Point enter treckt man das Diagonal-Dreieck Q-DT von Q-P7 mit dem Faktor 1/4, erhält man das Dreieck der QG-P11-Punkte eines Kreisvierecks. Die Ortslinien der QG-P11-Punkte sind Kreise mit 1/3 Q-DT- Umkreisradius; das Dreieck der Kreismitten liegt Q-DTstreckungsähnlich bzgl. G zum Faktor 1/4. QG-P12 Inscribed Harmonic onic enter Die QG-P12-Punkte von Kreisvierecken sind die Ecken des nti-eva-dreiecks von Q-P16. Ihre Ortslinien sind die eitengeraden des Q-DT- Höhenfußpunktdreiecks Miquel-Dreiecks Q-Tr2. QG-P13 ircumscribed Harmonic onic enter Die QG-P13-Punkte liegen Q-DT-perspektiv bzgl. Q-P16. Ihre Ortslinien sind Geraden durch H senkrecht zu den Q-DT- eitenhalbierenden.
21 QG-P14 enter of the M3D Hyperbola Die QG-P14-Punkte eines Kreisvierecks liegen konzyklisch mit Q-P2 und perspektiv zum Q-DTumbeschriebenen Dreieck bzgl. der piegelung des Q-DT- DeLongchamps-Punktes X20 an Q-P2. Ihre Ortslinien sind die eitengeraden des Q-DT-umbeschriebenen Dreiecks. QG-P15 Kirikami enter Die QG-P15-Punkte sind allgemein die an Q-P1 gespiegelten Q-DT-Ecken; Ortslinien der QG-P15-Punkte eines Kreisvierecks sind Kreise durch H und zwei Q-DT-Ecken. QG-L1 The 3 rd Diagonal Die QG-L1-Geraden eines Quadrangles sind die eitengeraden des Q-DT.
22 QG-L2 The Harmonic Line Die QG-L2-Geraden eines Kreisvierecks sind die Geraden von Q-P16 zu den Q-DT-Ecken. QG-L3 The QG-entroids Line Die QG-L3-Geraden eines Kreisvierecks sind die Geraden von Q-P1 zu den Q-DT-Ecken. QG-L4 1 st QG-Quasi Euler Line Die QG-L4-Geraden eines Kreisvierecks sind die Verbindungsgeraden von H zu den Teilpunkten von Q-P1 und Q-DT-Ecken im Verhältnis -1:4. QG-L5 2 nd QG-Quasi Euler Line Die QG-L5-Geraden eines Kreisvierecks sind die Verbindungsgeraden von Q-P2 zu den Teilpunkten von Q-P1 und Q-DT-Ecken im Verhältnis 1:2. bschließende nmerkung: Diese usarbeitung ist ein erster Versuch, die Geometrie der EQF-Punkte für Kreisvierecke aus der icht des Diagonaldreiecks anzusprechen und einer weiteren earbeitung zu empfehlen. Literatur [1] hris van Tienhoven: Encyclopedia of Quadri-Figures. Eckart chmidt - Holstenstraße 42 - D Raisdorf eckart_schmidt@t-online.de
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