Mikroökonomik B (Bachelor)

Transkript

1 Bitte eintragen: Matrikel-Nr.: MUSTERLÖSUNG Mikroökonomik B (Bachelor) Prüfung vom Wichtige Hinweise: Sie haben 90 Minuten Zeit, um die folgenden drei Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig ein! Der Prüfungsbogen umfasst 22 Seiten einschließlich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit! Benutzen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer! Tragen Sie Ihre Matrikelnummer und Ihre Platznummer auf diesem Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein. Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. 3cm frei. Taschenrechner sind nicht erlaubt. Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis sowie einen amtlichen Ausweis mit Lichtbild (z.b. Personalausweis) zur Kontrolle bereit. VIEL ERFOLG! Für Korrektur bitte frei lassen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Σ Aufgabe 1 /30 Aufgabe 2 /3 /3 /3 /6 /5 /4 /3 /3 /30 Aufgabe 3 /3 /6 /5 /3 /4 /3 /3 /3 /30 Total /90 1

2 Aufgabe 1: Multiple-Choice- und Kurz-Fragen (30 Punkte) Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort. Multiple-Choice-Fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte Antwort gibt 3 Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte. Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. 3 Sätze!). Jede korrekt beantwortete Frage gibt 3 Punkte. (a) Intertemporale Budgetmenge: Konsument Kurt lebt über zwei Perioden. Sein Einkommen in Perioden 1 bzw. 2 beträgt m 1 = 4 bzw. m 2 = 8. Der Preis für das einzige Konsumgut beträgt in den Perioden jeweils p 1 = 1 bzw. p 2 = 2. Kurt sieht sich keinem perfekten Kapitalmarkt gegenüber: In Periode 1 erspartes kann er ohne Zins in Periode 2 mitnehmen. Alternativ kann er einen Kredit von maximal 2 Geldeinheiten aufnehmen, zu einem Zinssatz von 100%. Welchen der nachfolgend dargestellten Konsumpläne x A,...,x E kann sich Kurt leisten? [Tipp: Skizzieren Sie Kurt s Budgetmenge.] c x A x B x C x D x E c 1 Autarkie -Punkt ist ( 4 1, 8 2 )=(4,4), Steigung jeweils (1+r) p 1 p 2, also 1/2 für Sparer, 1 für Kreditnehmer. Mit maximaler Kreditaufnahme ist der Konsum in t = = 6. alle nur x C nur x C und x D x nur x B, x C und x D 2

3 (b) Intertemporaler Einkommenseffekt: Konsument Konstantin konsumiert ein Gut x über zwei Perioden t = 1,2. Er hat Präferenzen der Form U(x 1,x 2 ) = u(x 1 )+δu(x 2 ), u > 0, u < 0, δ (0,1). Nachfolgend dargestellt ist Konstantin s ursprünglicher Konsumplan x = (x 1,x 2 ) inklusive Budgetgerade und Indifferenzkurve: Konsum t = 2 x A x B x C x 2 x D x x 1 Konsum t = 1 Nun erhöht sich Konstantin s Einkommen in Periode 1. Vervollständigen Sie folgenden Satz (bezugnehmend auf die dargestellten Punkte x A,...,x D ): Konstantin s neuer Konsumplan kann in allen gezeigten Punkten x A,...,x D ausser liegen. Hier entscheidend: In der Vorlesung x D haben wir gezeigt, dass Konsum bei den genannten Präferenzen (geometrisches Diskontieren mit abnehmen- x A und x D x x A, x B und x D dem Grenznutzen) immer ein normales Gut ist (also: positiver Einkommenseffekt). x A (c) Axiome der Erwartungsnutzentheorie: Welches der 4 Axiome der Erwartungsnutzentheorie wird von folgenden Präferenzen verletzt: ( 12 ( 1 2 0, 1 2 1), 1 2 2) ( 1 4 0, 1 4 1, 1 2 2)? Rationalität Stetigkeit x Reduktion Unabhängigkeit 3

4 (d) Mean-Preserving Spread: Nachfolgend zwei Geldlotterien g und h mit zwei bzw. drei möglichen Ergebnissen. h 1 / 2 1 / 2 g 1 / 3 1 / 2 1 / Lotterie g ist hierbei ein Mean-Preserving-Spread von h. Zeigen Sie dies, indem Sie eine zusammengesetzte Lotterie aufzeichnen, welche die Ergebnisse von Lotterie h durch weitere Lotterien ersetzt h 1 / 2 1 / 2 2 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / (e) Sicherheitsäquivalent: Erwartungsnutzenmaximierer Heinrich hat die Bernoulli- Nutzenfunktion u(w)=w/(w+2). Er sieht sich der Lotterie g= ( 1 4 0, 3 4 4) gegenüber. Wie hoch ist Heinrichs Sicherheitsäquivalent für diese Lotterie? 1 EU(g)= = 1/2 x 2 SÄ(g)=2 (löst w/(w+2)=eu(g)= 1 2 ) 3 [E[g]= =3 P=E[g] SÄ(g)=1] 4 4

5 (f) Wohlfahrt: Betrachten Sie einen Produzenten-/Konsumentenmarkt mit inverser Nachfrage p(q)=a bq und Produktionskosten C(q)=cq (mit b,c>0 und a>c). Konsumenten sind Preisnehmer. Nachfolgend dargestellt ist die Spanne möglicher Preise p auf diesem Markt, inklusive dem Preis bei vollständiger Konkurrenz p c, sowie dem Monopolpreis p m. A {}}{ p c B {}}{ p m C {}}{ p Betrachten Sie nun für beliebige Preise p die Produzentenrente (PR), die Konsumentenrente (KR), sowie die Gesamtrente (GR). Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Im Bereich B sinkt GR in p. Im Bereich B sinkt KR in p. x Im Bereich B sinkt PR in p. Im Bereich C sinkt KR in p. (g) Preissetzung Monopol vs. Cournot: In der Vorlesung wurde gezeigt: Der Gesamtoutput im Cournot-Duopol ist höher als die Menge, welche ein Monopolist produzieren würde. Erläutern Sie (verbal) den Unterschied in den jeweiligen Kalkülen, welcher hierfür verantwortlich ist. [Tipp: Welcher Effekt, der einen Monopolisten bremst, den Output weiter zu erhöhen, findet sich im Cournot-Duopol nur in abgeschwächter Form, und warum?] Eine Erhöhung der Menge senkt den Preis aller abgesetzten Einheiten um p (q). Im Cournot-Duopol wird nur die Auswirkung auf die eigene Menge, nicht auf jene der anderen berücksichtigt. 5

6 (h) Gleichgewichtskonzepte in statischen Spielen: Im folgenden Schema ist für ein beliebiges Spiel in strategischer Form dargestellt (wie in der Vorlesung): Die Menge aller Strategieprofile ( SP ), die Menge aller SP, welche die Eliminierung strikt dominierter Strategien bzw. die iterierte Eliminierung strikt dominierter Strategien überlebt ( ESDS bzw. IESDS ), sowie die Menge aller SP, welche ein Nash- Gleichgewicht darstellen ( NGG ). Welche der mit A,B,...,H beschrifteten Mengen ist immer (d.h. für beliebige Spiele) leer? SP ESDS IESDS A D B E F C G H NGG A, B, D und G B, C, F und G x C, D, F und G C, F, G und H 6

7 (i) Gemischte Strategien: Sherlock und Watson spielen das in der Vorlesung besprochene Chicken Game sie fahren mit Fahrrädern aufeinander zu und entscheiden gleichzeitig, tough zu sein (weiter aufeinander zuzufahren) oder chicken zu sein (auszuweichen), mit folgenden Payoffs: Sherlock tough chicken Watson tough chicken 1, 1 0, 10 10, 0 2, 2 Neben den beiden Gleichgewichten in reinen Strategien gibt es eines in gemischten Strategien, in welchem jeder mit Wahrscheinlichkeit 8/9 tough ist. Nun zieht sich Sherlock einen Helm und Protektoren an, sodass sich sein Payoff bei tough/tough (also bei einer Kollision) von 1 auf 1/2 erhöht. Wie lautet Sherlock s Strategie im geänderten Spiel (im Gleichgewicht in gemischten Strategien)? Erläutern Sie kurz. Sherlock wird seine Strategie nicht ändern. Dies, weil sein Mischverhältnis darauf abzielt, Watson indifferent zwischen tough/chicken zu halten, und Watson s Payoffs sind ja unverändert. (j) Strategien in Extensivformspielen: Der furchtbar einsame Peter spielt Schere- Stein-Papier mit sich selber. Zuerst wählt er Schere, Stein oder Papier, und danach wählt er nochmals eine der drei Optionen. Wieviele mögliche (reine) Strategien hat Peter in diesem Extensivform-Spiel mit sich selbst? x 3 4 7

8 Aufgabe 2: Stackelberg-Wettbewerb, Spiele in extensiver Form (30 Punkte) Betrachten Sie das folgende Modell des Stackelberg-Wettbewerbs. Firmen 1 und 2 produzieren ein homogenes Gut und maximieren ihren jeweiligen Gewinn. Firma 1 wählt dabei zuerst die Menge q 1, danach wählt Firma 2 die Menge q 2. Die Kostenfunktion der beiden Firmen ist gegeben durch c i (q i )=c i q i, c i > 0,i {1,2}, und die inverse Marktnachfrage ist gegeben durch P=a b(q 1 + q 2 ), mit a,b>0. (a) Formulieren Sie für eine gegebene Menge q 1 das Optimierungsproblem von Firma 2. (3 Punkte) max q 2 Π 2 =(a b(q 1 + q 2 ) c 2 )q 2 8

9 (b) Bestimmen Sie die Beste-Antwort Funktion von Firma 2. (3 Punkte) q 2 (q 1 )= 1 2b (a bq 1 c 2 ) 9

10 (c) Formulieren Sie das Optimierungsproblem von Firma 1, gegeben die Beste-Antwort Funktion von Firma 2. (3 Punkte) Das Optimierungsproblem von Firma 1 ist max q 1 Π 1 =(a b(q 1 + q 2 (q 1 )) c 1 )q 1 10

11 (d) Berechnen Sie den Preis und die Mengen, welche die beiden Firmen im Stackelberg- Gleichgewicht produzieren. Zeigen Sie, dass im Stackelberg-Gleichgewicht die Gewinne der beiden Firmen gegeben sind durch Π 1 = 8b 1 (a+c 2 2c 1 ) 2 für Firma 1, und Π 2 = 16b 1 (a 3c 2+ 2c 1 ) 2 für Firma 2. (6 Punkte) Das Optimierungsproblem von Firma 1 ist max q 1 Π 1 =(a b(q 1 + q 2 ) c 1 )q 1 mit 2s Reaktionsfunktion ergibt sich aus der BEO: damit ergibt sich und die angegebenen Gewinne max q 1 Π 1 = 0.5(a bq 1 2c 1 + c 2 )q 1 q 1 = 1 2b (a+c 2 2c 1 ) q 2 = 1 4b (a 3c 2+ 2c 1 ) p= 1 4 (a+c 2+ 2c 1 ) 11

12 Nehmen Sie für den Rest der Aufgabe an, dass die Firmen mit Grenzkosten von c 1 = c 2 = 0 produzieren und die inverse Nachfrage gegeben ist durch P = 16 (q 1 + q 2 ). Beide Firmen können entweder eine Menge von 4 oder von 7 produzieren, also q i {4,7}. (e) Stellen Sie die Situation als Spiel in extensiver Form dar. Wieviele Teilspiele enthält das Spiel (inklusive dem gesamten Spiel selber)? (5 Punkte) F1 4 7 F2 F (32, 32) (20, 35) (35, 20) (14, 14) Das Spiel hat 3 Teilspiele, das komplette Spiel selbst sowie die beiden Teilspiele, in denen F2 die Menge wählt. 12

13 (f) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte, sowie alle teilspielperfekten Nashgleichgewichte des Spiels. (4 Punkte) Nash-GG sind (Notation: (s 1,s 2 ):(4,(4 7,7 7)),(7,(4 4,7 4)) und (7,(4 7,7 4)), nur das letzte ist teilspielperfekt. 13

14 (g) Könnten sich die beiden Firmen besser stellen (als im teispielperfekten Nash-Gleichgewicht), wenn sie sich vor Beginn des Spiels verbindlich auf die produzierten Mengen und eine Aufteilung des gesamten Gewinns festlegen könnten? Falls ja, geben Sie ein Beispiel für eine solche Verbesserung an. (3 Punkte) Ja, Mengen q 1 = q 2 = 4 führen zu einem Gesamtgewinn von 64, der zum Beispiel (40, 24) aufgeteilt werden könnte und damit beide Firmen besser stellt als das Nash-GG 14

15 (h) Erklären Sie intuitiv, welche Art von Nash-Gleichgewichten durch Teilspielperfektion ausgeschlossen werden soll. Nutzen Sie dafür zum Beispiel das Spiel aus den vorherigen Teilaufgaben. (3 Punkte) Nash-GG können in dynamischen Spielen unglaubwürdige Drohungen enthalten. Im Spiel oben ist die Aktion q 2 = 7 q 1 = 7 unglaubwürdig, da Firma 2 einen höheren Gewinn mit q 2 = 4 erreichen kann wenn Firma 1 eine Menge von 7 gewählt hat. 15

16 Aufgabe 3: Intertemporale Konsumentscheidung, Entscheidung unter Unsicherheit (30 Punkte) Konsument K lebt für zwei Perioden und bezieht seinen Nutzen aus dem Konsum in beiden Perioden, x 1 bzw. x 2, laut der folgenden Nutzenfunktion: u(x 1,x 2 )= x 1 + δ x 2, wobei δ (0,1]. Der Preis des Konsumgutes in Perioden 1 und 2 ist p 1 = p 2 = 1. In Periode 1 hat K ein Vermögen von w, er bezieht sonst kein Einkommen. K traut keinen Banken und hat deswegen keinen Zugang zum Kapitalmarkt, er kann aber den Teil des Vermögens, den er in der ersten Periode nicht für den Konsum ausgibt, zuhause aufbewahren, dabei verschwindet jedoch ein Teil α (0,1) auf unerklärliche Weise. (a) Stellen Sie K s Optimierungsproblem auf. (3 Punkte) max x 1,x 2 U(x 1,x 2 )= x 1 + δ x 2 s.t. x 2 (w p 1 x 1 )(1 α)/p 2 16

17 (b) Zeigen Sie, dass K s optimaler Konsum in den Perioden 1 und 2 gegeben ist durch x 1 = w δ 2 (1 α)+1 und x 2 = wδ 2 (1 α) 2 δ 2 (1 α)+1. Einsetzen der Nebenbedingung liefert (6 Punkte) max x 1 U(x 1,x 2 )= x 1 + δ (w p 1 x 1 )(1 α)/p 2 mit BEO 1 2 x 1 x 1 = δ p 1 p 2 (1 α) 2 = 0 (w p 1 x 1 )(1 α)/p 2 w = δ 2 p2 1 p 2 (1 α)+ p 1 w δ 2 (1 α)+1 x 2 =(w x 1 )(1 α)= wδ 2 (1 α) 2 δ 2 (1 α)+1 17

18 (c) Wie verändert sich der optimale Konsum in Periode 1, falls K einen größeren Anteil seiner Ersparnisse in Periode 2 übernehmen kann, also falls α fällt? Welche zwei Effekte bestimmen die optimale Veränderung des Konsums in Periode 1 bei einer Verringerung von α? Welche Vorzeichen haben sie? (5 Punkte) Da die Ableitung von x 1 nach α positiv ist, führt ein gesenktes α zu einem niedrigeren Konsum in Periode 1 (und zu einem höheren in Periode 2) EK- und Substitutionseffekt. Senken von α erhöht Lebens-EK, ein höheres EK erhöht den optimalen Konsum in Periode 1. Auf der anderen Seite macht ein verkleinertes α den Konsum in Periode 2 relativ gesehen attraktiver. 18

19 K hat nun die Möglichkeit, in Periode 1 einen Tresor zum Preis T zu kaufen. Falls er den Tresor kauft, hat er in Periode 2 das komplette nicht ausgegebene Geld aus Periode 1 zur Verfügung, in diesem Fall gilt also α = 0. Nehmen Sie außerdem folgende Werte für die Parameter an: δ = 1,w=24, und falls K den Tresor nicht kauft ist α = 0.5 (d) Wie sieht K s optimaler Konsumplan mit Tresor aus? (3 Punkte) Mit Tresor ist der Zinssatz Null, und da δ = 1 folgt aus der Bedingung MRS = 1+r = 1, dass x 1 = x 2. Der Kauf des Tresors reduziert das Vermögen um T, also gilt x T 1 = xt 2 = w T 2 = 24 T 2 19

20 (e) Bis zu welchem Preis T ist K bereit, den Tresor zu kaufen? Mit der vorherigen Teilaufgabe ist der Nutzen bei Kauf des Tresors: U(x T 1,x T 2)=2 (24 T)/2 Ohne Tresor ist der optimale Konsumplan Vergleich der Nutzen: x 1 = w δ 2 (1 α)+1 = 24 3/2 = 16 x 2 = wδ 2 (1 α) 2 δ 2 (1 α)+1 = 24/4 3/2 = 4 U(x 1,x 2 )= 16+ 4=6 6<2 (24 T)/2 9<(24 T)/2 T < 6 (4 Punkte) 20

21 K hat seine vollständige Ablehnung gegen Banken aufgegeben und überlegt nun ein Sparkonto zu eröffnen, welches ihm in der ersten Periode angelegtes Geld mit dem Zinssatz 1 + r verzinst. K geht aber davon aus, dass die Bank mit einer Wahrscheinlichkeit von α bankrott geht und K s angelegte Ersparnisse komplett verloren sind. K ist Erwartungsnutzenmaximierer mit der gleichen zu Grunde liegenden Nutzenfunktion wie oben. Parameterrestriktionen aus den vorhergehenden Teilaufgaben gelten nicht mehr. (f) Stellen Sie K s Optimierungsproblem auf. (3 Punkte) maxeu = x 1 + δ(1 α) (w x 1 )(1+r) x 1,x 2 (g) Wie viel wird K in der ersten Periode konsumieren? (3 Punkte) x 1 = w 1+δ 2 (1 α) 2 (1+r) 21

22 (h) Wie unterscheidet sich der optimale Konsum in der ersten Periode bei einem Netto- Zinssatz von r=0von dem Ergebnis aus Teilaufgabe (b)? Warum? (3 Punkte) x 1 ist größer als vorher. Mit Unsicherheit kommt Risikoaversion hinzu was zu einer geringeren Ersparnis führt. 22